CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES. Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real CONCEPTOS BÁSICOS

Transcripción

1 Unidad didáctica 7 Funciones reales de variable real CONCEPTOS BÁSICOS Se llama función real de variable real a cualquier aplicación f : D R con D Œ R, es decir, a cualquier correspondencia que asocia a cada elemento de D un único número real Habitualmente, la notación que se usa para representar una función es = f( ), donde es la variable independiente, la variable dependiente f la aplicación que indica como se obtiene el valor de conocido el valor de Se llama dominio de definición de f al conjunto de números reales para los cuales eiste f() Se denota D(f), o simplemente D Es decir, D = { R eiste f()} En algunos casos, el dominio de la función no viene dado a priori sino que ha que calcularlo mediante la definición de f Además, en los modelos económicos para determinar el dominio no sólo ha que considerar la eistencia matemática de f(), sino también que tenga sentido en el conteto económico considerado tanto como f() Ejemplo : a) f : [, + ) R dada por f( ) = 4 es una función real de variable real cuo dominio es D = [, + ) b) = es una función con D = R - {} a que asocia a todo número real distinto de un único elemento de R c) La correspondencia dada por = no es una función, a que a cada número real positivo no nulo le asocia dos valores reales distintos, por ejemplo, para = 4, el valor de la variable puede ser o - + d) El dominio de la función f( ) = es D = (0, + ) a que para que eista, debe de ser maor o igual que 0, además como está en el denominador no puede ser 0 e) El coste C por día de una empresa es función de su producción diaria q según la relación C = q Si la empresa tiene una capacidad límite de producir 5000 unidades al día, el dominio de esta función es D = { q 0 q 5000 } Observar que desde el punto de vista matemático, el dominio de esta función sería R, sin embargo por el conteto económico el dominio se restringe al calculado Se llama rango o imagen de f al conjunto de números reales que toma la variable siendo = f() perteneciente al dominio de f Se denota Im(f) Es decir, Im(f) = { R eiste D con = f()} Ejemplo : a) Dada f( ) =, para que eista f() se debe cumplir que - 0, a que no eiste la raíz cuadrada de números negativos Por tanto, se debe cumplir por ello D = [, + ) Además, se verifica que Im(f) = [0, + ) b) La función C = q, estudiada en el ejemplo apartado e), cuo dominio es D = { q 0 q 5000 }, tiene como imagen Im(f) = { C 500 C } 5 c) Dada f( ) = +, al estar definida por un polinomio eiste para cualquier número real, luego D = R Además, se verifica que Im(f) = R Proecto de innovación ARAGÓN TRES

2 Unidad didáctica 7 Funciones reales de variable real d) Dada f( ) = +, se cumple que su dominio es D = R su imagen Im(f) = [, + ) Se llama gráfica de f al conjunto de todos los pares de números reales que tienen como primera componente cualquier valor del dominio de f como segunda su imagen f() Se denota Gr(f) Es decir, Gr(f) = {(, ) R D, = f()} Notar que la gráfica de f es una curva en R pero no todas curvas del plano son gráficas de funciones La gráfica de una función tiene la propiedad de que una recta vertical que pase por cualquier punto del eje OX la corta a lo sumo una vez, en caso contrario, significaría que un mismo número tendría más de una imagen por lo que no sería aplicación, por tanto tampoco función Ejemplo : a) La gráfica de la función f( ) = + es: La curva representada a continuación dada por los puntos que verifican función = f( ) = no corresponde a la gráfica de una Tipos de funciones Una función f() se dice: Función creciente en un intervalo I Œ D si para cualquier par de puntos, I, tales que < se verifica f( ) f( ) Proecto de innovación ARAGÓN TRES

3 Unidad didáctica 7 Funciones reales de variable real Función estrictamente creciente en un intervalo I Œ D si para cualquier par de puntos, I, tales que < se verifica f( ) < f( ) Función decreciente en un intervalo I Œ D si para cualquier par de puntos, I, tales que < se verifica f( ) f( ) Función estrictamente decreciente en un intervalo I Œ D si para cualquier par de puntos, I, tales que < se verifica f( ) > f( ) Función estrictamente creciente en R Función decreciente, pero no estrictamente decreciente en (0, + ) Una función f() se dice: Función cóncava en un intervalo I Œ D, si dados dos puntos cualesquiera, I el segmento, f( ), f( ) nunca se sitúa por encima de la gráfica que une los puntos ( ) ( ) Función estrictamente cóncava en un intervalo I Œ D, si dados dos puntos cualesquiera,, f( ), f( ) se sitúa por debajo de la I, el segmento que une los puntos ( ) ( ) gráfica Función convea en un intervalo I Œ D, si dados dos puntos cualesquiera, I el segmento, f( ), f( ) nunca se sitúa por debajo de la gráfica que une los puntos ( ) ( ) Función estrictamente convea en un intervalo I Œ D, si dados dos puntos cualesquiera,, f( ), f( ) se sitúa por encima de la I, el segmento que une los puntos ( ) ( ) gráfica Proecto de innovación ARAGÓN TRES

4 Unidad didáctica 7 Funciones reales de variable real Función cóncava pero no estrictamente cóncava en R Función estrictamente convea en R Una función f() se dice: Función acotada superiormente si eiste un número M cumpliendo que para cualquier valor de D se verifica f( ) M Función acotada inferiormente si eiste un número m cumpliendo que para cualquier valor de D se verifica f( ) m Función acotada si está acotada inferior superiormente Es decir, si eiste un número K > 0 tal que para cualquier valor de D, f( ) K, o equivalentemente, K f( ) K Función acotada superiormente no acotada inferiormente en R Función acotada superiormente por acotada inferiormente por - Una función f() se dice: Función par si para cualquier valor de D se cumple f( ) = f( ) En este caso, la gráfica de la función es simétrica respecto del eje OY Función impar si para cualquier valor de D se cumple f( ) = f( ) En este caso, la gráfica de la función es simétrica respecto del origen Función periódica si eiste un número M > 0 cumpliendo que para cualquier valor de D se verifica f( + M) = f( ) Proecto de innovación ARAGÓN TRES 4

5 Unidad didáctica 7 Funciones reales de variable real Función periódica de periodo π Función par Ejemplo 4: Observando la gráfica de la función f( ) = que se muestra a continuación, se tiene que f () es estrictamente creciente en R, estrictamente cóncava en (-, 0), estrictamente convea en (0, + ), no está acotada superior ni inferiormente es impar, a que f( ) = ( ) = = f( ) Operaciones con funciones Sean f g dos funciones reales de variable real con dominios D(f) D(g) respectivamente Se definen las funciones: Suma de f g como (f + g)() = f() + g() siendo D(f+g) = D(f) D(g) Producto de f por un escalar t como (tf)() = t f() siendo D(tf) = D(f) Producto de f g como (fg)() = f() g() siendo D(fg) = D(f) D(g) Cociente de f g como f ( ) = g f( ) g( ) siendo D f = D(f) { D(g) g() 0} g Composición de g f como (f o g)() = f( g( )) siendo D(f o g) ={ D(g) g() D(f)} Inversa de f: Esta función sólo se puede definir en el caso de que = f() sea inectiva, se denota f se define como f ( ) = f( ) = siendo D( f )= Im f Las gráficas de una función f de su inversa f son simétricas respecto de la recta = Ejemplo 5: Dadas las funciones: ( ) =, ( ) =, ( ) = vamos a realizar las siguientes operaciones: f g h Proecto de innovación ARAGÓN TRES 5

6 Unidad didáctica 7 Funciones reales de variable real a) ( f + g)( ) = f( ) + g( ) = + (5 h)( ) = 5 h( ) = 5 ( g h)( ) = g( ) h( ) = ( ) ( ) = = = h( ) f f h (f o g)()= f(g()) = f( ) = ( ), (g o f)()= g(f()) = g( )= b) La función g ( ) = es inectiva, para calcular su función inversa ha que operar de la siguiente forma: Intercambiando las variables en =, queda = despejando la tenemos que g + ( ) = + =, luego Proecto de innovación ARAGÓN TRES 6