Sistema de los Números Reales

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1 Sistema de los Números Reales El Conjunto de los Números Racionales Ysela Ochoa Tapia Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales /

2 Introducción Los racionales: Q Los números racionales permiten expresar medidas. Cuando se compara una cantidad con su unidad, se obtiene, por lo general, un resultado fraccionario. Por ejemplo: Si divido una pizza en dos partes, tengo dos mitades. Cada porción será / de la pizza (una parte de dos). En caso de tomar ambas porciones, volveré a tener la pizza entera (/ = ). Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales /

3 Racionales Definición Q = {x x = a b con a, b Z y b 0} a = Numerador b Denominador Numerador: Indica el número de unidades fraccionarias elegidas. Denominador: Indica el número de partes que se ha dividido la unidad. Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales /

4 Racionales Tipos de Fracciones F. Homogeneas F. Heterogeneas Tienen el mismo denominador Ejemplo:, Tienen diferente denominador Ejemplo: 4, 5 7 Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales 4/

5 Racionales Clasificación de Fracciones F. Propias F. Impropias F. Aparentes N < D N > D D divide N 8, 5, , 9 7, 5, Unitarias 5, 4 Enteras 4 Importante Las fracciones impropias se pueden escribir como fracciones mixtas = + = Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales 5/

6 Racionales Fracciones Decimales Las fracciones decimales es cuando el denominador es una potencia del 0. Ejemplos:,, Fracciones Equivalentes son equivalentes a b y c d a b = c d ad = bc Ejemplo: Escribir fracciones equivalentes a. 5 multiplicamos por fracciones unitarias: = 5 0 = 5 5 finalmente y son 0 5 fracciones equivalentes a 5 Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales 6/

7 Operaciones con Racionales Multiplicación de Racionales Si a y c son números racionales, entonces: b d Ejemplo: a b c d = ac bd Antes de multiplicar verifica si se puede simplicar a su minima expresión 4 = = 0 8 = = Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales 7/

8 Operaciones con Racionales División de Racionales Si a b y c d son números racionales, con c d 0 entonces: Ejemplo: a b c d = a b d c = ad bc Antes de multiplicar verifica si se puede simplicar a su minima expresión 4 7 = 7 4 = = 5 = = 7 6 = 6 4 Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales 8/

9 Operaciones con Racionales Suma y Resta de Números Racionales Se presentan los siguientes casos Fracciones Homogeneas a b ± c b = a±c b Ejemplo: 4 + = + = 5 = = +5 = 6 = 4 0 = 4 0 = 6 = + 4 = +4 = = Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales 9/

10 Operaciones con Racionales Fracciones Heterogeneas Convert. a Homo. Usando el MCM Multipl. en Aspa Ejemplo: Multiplicando por una fracción unitaria + 5 = ( ) + 5 = = 9 = Ejemplo: + = ( 7)+ ( 5) = = Ejemplo: Mínimo Común Múltiplo MCM(,6)= = ()+5() 6 = 9 6 = Ejem. MCM(5,7)= = (7)+(5) +0 5 = 5 5 = Ejemplo: Multiplicando en aspa + 5 = (6)+(5) = 6 (6) = 8 8 Ejemplo: Aspa + = (7)+5() (7) = Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales 0/

11 Operaciones con Racionales Definición El Mínimo Común Múltiplo (MCM), es el número natural más pequeño que es múltiplo de dos ó más números Ejemplo: Hallando el MCM (5 y 0), descomposición en primos Entonces el MCM(5 y 0)= 5 =60 Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales /

12 Operaciones con Racionales Operaciones Combinadas: ORDEN Pasar a fracción los números mixtos. Calcular potencias y raíces. Efectuar operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 4 Efectuar los productos y cocientes. 5 Realizar sumas y restas. Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales /

13 Operaciones con Racionales Ejemplo: Simplificar [ ( 5 + ) ] 5 0 Solución [ convirtiendo a homogeneas. = ( 5 ( ) + ( 4) ( )) + ] [ = ( ) ] 5 0 [ = 5 + ] [ = 5 + ] [ = 5 + ] 4 4 = [ 4 ( ) ( 4 4 )] = [ ] = [ 7 ] = 7 4 Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales /

14 Ejercicios Simplificar ( 7 5 Rpta : 05 + ) Rpta : ( + ) ( 5 + ) 7 6 Rpta : 4 ( Rpta : ( + 5 ) ( 5 ) 4 Rpta : Rpta : 6 7 Rpta : Expresar como mixto Rpta : 6 Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales 4/

15 Números Decimales Números Decimales Decimal Exacto Decimal Periódico Decimal Periódico Puro Decimal Periódico Mixto Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales 5/

16 Números Decimales Decimal Exacto Tiene un número finito de decimales Ejemplo: Decimal Periódico Puro Se repite continuamente una ó más cifras decimales Ejemplo: = 0. 7 Decimal Periódico Mixto Tiene una cifra decimal que no se repite y otra que se repite continuamente. Ejemplo: 0... = 0, Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales 6/

17 Números Decimales Cómo reconocer cuando una fracción produce un decimal exacto ó periódico? DECIMAL EXACTO a tendrá como resultado b un decimal exacto si b se descompone en, 5 ó ambos (únicos factores primos) DECIMAL PERIÓDICO a tendrá como resultado un decimal periódico si b b se descompone en ó 5 y además aparece otro número primo distinto al ó 5 5 Ejemplo: se expresa como decimal periódico, ya que =, esta el, además esta el. Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales 7/

18 Converción Cómo convertir una fracción a decimal y viceversa? Fracción a Decimal Exacto 5 8 =0.645 (dividimos usando la casita) Decimal Exacto a Fracción = 5? = 645 corremos el punto decimal a la derecha 000 posiciones y agregamos la misma cantidad de ceros al denominador ( ceros). simplificamos la fraccion 645 = 5, de este modo = Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales 8/

19 Converción Cómo convertir una fracción a decimal y viceversa? Fracción a Decimal Periódico Puro 7 = =0. 7 (dividimos usando la casita) 9 Decimal Periódico Puro a Fracción: REGLA DEL 9 Para el Numerador coloca la cifra que se repite. Para el Denominador colocar el nueve 9 tantas cifras tenga la parte periódica =0. 7 = 7 9 (solo un 9) 0...=0. = 99 lo que 0. = 7 (dos nueves), simplificando 99 = 7, por Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales 9/

20 Converción Cómo convertir una fracción a decimal y viceversa? Fracción a Decimal Periódico Mixto 7 0 = =5.7 6 (dividimos usando la casita) Decimal Periódico Mixto a Fracción: REGLA DEL 9 Para el Numerador colocar la parte decimal menos la parte no periodica. Para el Denominador colocar el nueve 9 tantas cifras tenga la parte periódica seguido del cero 0 tantas cifras tenga la parte no periódica =0.7 6 = 76 7 (solo un 9 y solo un 0) simplificando = 69 =, por lo que =0.7 6 = Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales 0/

21 Converción Ejemplos: =5.7 6 = = 5 + = 5(0)+ = =0. = (dos nueves y un cero), 990 simplificando = 8 = =0.456 = simplificando = 4, por lo que 0. = (un nueve y dos ceros), = , por lo que = 7 00 Ysela Ochoa Tapia Sistema de los Números Reales /

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