TEMA 6 SISTEMAS DE ECUACIONES

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1 TEMA 6 SISTEMAS DE ECUACIONES 6.1 Ecuaciones con dos incógnitas. Soluciones. Actividades página Comprueba si cada uno de los pares de valores siguientes es solución de la ecuación 4x y 1 c) x 0, y 4 Lo único que hay que hacer, es sustituir estos valores en la ecuación y ver si se cumple la igualdad CIERTO!!!!!! Entonces si es solución de la ecuación! Tareas : todos los ejercicios que faltan del 1 bis Representa las recta de ecuaciones: x 4y 7 x y 8 Cuál es la solución común a ambas ecuaciones? x 4y 7 Primero despejamos y en función de x x 7 4y y x 7 4 Consideramos la siguiente tabla de valores: x 1 y si x 1 y si x y Nos queda la tabla de valores: x 1 y puntos A 1,1, B, 0. 5 x y 8 Primero despejamos y en función de x y 8 x Consideramos la siguiente tabla de valores: x 4 y si x y 8 6 si x 4 y Nos queda la tabla de valores: x 4 y 6 4 Gráficamente es: puntos C, 6, D 4,

2 Tareas : 6. Sistemas de ecuaciones Actividades página Dí si alguno de los pares x 1 : y 4 x 7 : y 8 es solución de cada uno de los siguientes sistemas: d) x y 15 x y 1 Tomo el par x, y 1, 4 y lo sustituyo en el sistema para ver si es cierto IMPOSIBLE: entonces no es solución. Tomo el par x, y 7, 8 y lo sustituyo en el sistema para ver si es cierto CIERTO: entonces es solución. Tareas : todos los ejercicios que faltan del 1 6. Sistemas equivalentes Actividades página Representa estos tres sistemas equivalentes que se obtienen para resolver el primero de ellos: 1.1 x y 9 x y Primero despejamos y en función de x:

3 y 9 x x y Tenemos que dar una tabla de valores para cada recta: y 9 x x 0 4 y si x 0 y punto A 0, 9 si x 4 y punto B 4, 5 Tenemos la tabla de valores: x 0 4 y 9 5 x y x 1 y si x 1 y 1 punto C 1, si x y 0 punto D, 0 Tenemos la tabla de valores: x 1 y 0 Nos queda la siguiente representación gráfica: 1. x y 9 x 1 Primero despejamos y en función de x : y 9 x x 1 Tenemos que dar una tabla de valores para cada recta: ojo, para una, ya la tenemos de antes! x 1 x 1 6 Elegimos: x 6 6 y 0 4 Esto es así, pues la única condición que nos imponen es que x 6, mientras que sobre

4 y no nos dicen nada, de ahí que pueda tomar cualquier valor. Nos queda la siguiente representación gráfica: 1. x 6 y Tenemos que pintar cada una de las rectas dadas. x 6 Tenemos la tabla de valores x 6 6 y 1 Como sobre la y no nos dicen nada puede tomar cualquier valor. y Tenemos la tabla de valores x 1 5 y Como sobre la x no nos dicen nada puede tomar cualquier valor. La representación gráfica queda: Viendo las tres gráficas, comprobamos que se cortan en el mismo punto, por lo que los tres sistemas son equivalentes. Tareas : 6.4 Número de soluciones de un sistema lineal AL RESUMEN: Los sistemas que tienen una única solución se llaman compatibles determinados. Gráficamente, son dos rectas que se cortan en un punto." 4

5 y Actividades página 115 Tareas : x 6.5 Métodos de resolución de sistemas Método de sustitución. Actividades página Resuelve por el método de sustitución, los siguientes sistemas. d) x 4y 11 5x 7y 1 Despejamos la incógnita x en la 1ª ecuación: x 11 4y Se sustituye este valor de x en la otra ecuación: 511 4y 7y y 7y 1 Se trata de una ecuación de 1º grado con incógnita y, la resolvemos. 7y 1 55 y 54 7 Se sustituye este valor de y para hallar el correspondiente valor de x : x 11 4 Se trata de un sistema compatible determinado con solución x, y, Tareas : todos los ejercicios que faltan del Método de igualación. Actividades página Resuelve por el método de sustitución, los siguientes sistemas. d) x 4y 11 5x 7y 1 Despejamos la incógnita x en las dos ecuaciones. x 11 4y 5x 1 7y

6 x 11 4y x 1 7y 5 Se igualan las expresiones obtenidas. 11 4y 1 7y 5 Nos queda una ecuación de 1º grado en la incógnita y y 1 7y 55 0y 1 7y 0y 7y y 54 y 54 7 Se sustituye este valor de y, para hallar el correspondiente de x : x 11 4 Se trata de un sistema compatible determinado con solución x, y, Tareas : todos los ejercicios que faltan del Método de reducción. Actividades página 118 Resuelve por el método de reducción, los siguientes sistemas. c) x 4y 11 5x 7y 1 Elegimos la incógnita x; y multiplicamos la primera ecuación por 5 (coeficiente de la x en la segunda ecuación) mientras que la segunda ecuación la multiplicamos por 1 (opuesto del coeficiente de la x en la primera ecuación) x 4y 115 5x 7y 11 5x 0y 55 5x 7y 1 Sumamos en columna para obtener: 7y 54 y 54 7 Sustituimos este valor de y en una de las dos ecuaciones para hallar el correspondiente valor de x: 5x 7 1 5x x 14 1 x 15 5 Se trata de un sistema compatible determinado con solución x, y, Tareas : todos los ejercicios que faltan del 4 Resuelve este sistema simplificando previamente: 5x y 1 5x y 8x x 1 y 7 5 5x 15 y 15x y 8x x y

7 5x 15x 8x y y 15 5x 5 7y 70 x y 17 5x 7y 65 Aplicamos el método de reducción. Elegimos la incógnita y: multiplicamos la primera ecuación por 7. x y 177 5x 7y 65 14x 7y 119 5x 7y 65 Sumamos en columna para obtener: 9x 54 x Sustituimos este valor en una de las dos ecuaciones para hallar el correspondiente valor de y: 6 y 17 1 y 17 y Se trata de un sistema compatible determinado con solución x, y 6,5 Tareas : Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones. Actividades página Dos poblaciones A y B distan 5 km. Un peatón sale de A hacia B a una velocidad de 4km/h. Simultáneamente, sale de B hacia A otro a 6 km/h. Calcula el tiempo que tardan en cruzarse y la distancia que ha recorrido cada uno hasta ese instante. PLANTEAMIENTO Tenemos la tabla siguiente: distancia tiempo velocidad (km/h) peatón 1 A B x t 4 peatón B A 5 x t 6 Como espacio velocidad tiempo, tenemos que: peatón 1 x 4 t peatón 5 x 6 t RESOLUCIÓN Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: x 4t 5 x 6t Aplicamos el método de sustitución: 5 4t 6t 5 6t 4t t Sutituimos este valor de t, para hallar el correspondiente valor de x: x Se trata de un sistema compatible determinado con solución x, t 10, 5 7

8 SOLUCIÓN Se tarda 5. 5 horas El peatón 1 recorre 10 km El peatón recorre 15 km. Tareas : EJERCICIOS FINALES DEL TEMA 1. Comprueba si x, y 1 es solución de los siguientes sistemas de ecuaciones: b) x 4y 10 4x y 5 Sustituimos los valores dados en las dos ecuaciones Como la primera no se cumple, no es solución. Tareas : 1 a Completa los siguientes sistemas de ecuaciones para que ambos tengan la solución x, y 1 x b) y x y Sustituimos los valores dados x y 1 Finalmente es: x y 7 Tareas : a, 4 a) Representa gráficamente en los mismos ejes las dos rectas siguientes. x y x y Vamos a dar tablas de valores para cada una de las dos rectas. 8

9 x y Despejamos y en función de x: y x Consideramos la siguiente tabla de valores: x 0 y si x 0 y 0 punto A 0, si x y 1 punto B,1 Nos queda la tabla: x 0 y 1 x y Despejamos y en función de x: y x Consideramos la siguiente tabla de valores: x 0 y si x 0 y 0 punto C 0, si x y 0 punto D, 0 Nos queda la tabla: x 0 y 0 La representación gráfica queda: b) Di cuál es la solución de este sistema: x y x y La solución es el punto donde se cortan las dos rectas que es el punto x, y,1 Se trata de un sistema compatible determinado. c) Di si son equivalentes los sistemas: x y x y y 1 0 x 4y 10 Serán sistemas equivalentes si tienen la misma solución. Por lo tanto, sustituimos la solución del primero en el segundo. 9

10 Como son las dos ciertas, también es x, y,1 solución del sistema, por lo que los dos sistemas son equivalentes. Tareas : 5 6 Resuelve por sustitución. d) x 16 y y x 16 Elegimos la incógnita x y la segunda ecuación, para despejar dicha variable. y x 16 y 16 x y 16 x Se sustituye este valor de x en la primera ecuación. y y Nos ha quedado una ecuación de 1º grado con una incógnita. 4y 16 y Hallamos el m. c. m. 4y 16 y Como tenemos una igualdad donde todos los denominadores son iguales, los podemos quitar. 4y 48 6y 16 6y 4y 16 y y 16 8 Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x. x Se trata de un sistema compatible determinado con solución única x, y 0, 8 Tareas : 6 (a,b,c) 7 Resuelve por igualación. d) x 4y 4 x y 1 Elegimos la incógnita y para despejarla en las dos ecuaciones. x 4 4y y 1 x x 4 y 4 y 1 x Igualamos las dos expresiones obtenidas para la y. x 4 1 x 4 Nos ha quedado una ecuación de 1º grado en la incógnita x. x 4 4 8x 4 4 8x x 10

11 8 11x x 8 11 Sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente valor de y. y Se trata de un sistema compatible determinado con solución única x, y 8 Tareas : 7 (a,b,c) 8 Resuelve por reducción. 11, 5 11 x y f) x y 7 6 Elegimos la incógnita x. Multiplicamos la segunda ecuación por que es el coeficiente de la x en la primera ecuación. Multiplicamos la primera ecuación por 1 que es el coeficiente de la x en la segunda ecuación. x y 1 x y 7 6 OJO: x y x y 7 Restando en columna nos queda: x x y y 7 y 6 7 y 1 y 1 Sustituimos esta valor de y para hallar el correspondiente valor de x. x x Se trata de un sistema compatible determinado con solución única x, y 6, 1 Tareas : 8 (a,b,c,d,e) 9 Resuelve estos sistemas por el método que consideres más adecuado. x y d) x 4y 5 Vamos a aplicar el método de igualación. Elegimos la incógnita x para despejarla en las dos ecuaciones. x y x 4y 5 x y x 4y 5 Igualamos las dos expresiones obtenidas para x. y 4y 5 11

12 Nos ha quedado una ecuación de 1º grado en la incógnita y. y 1y 5 Como tenemos una igualdad con los mismos denominadores a ambos lados, se pueden eliminar. y 1y 5 y 1y 5 14y 7 y Sustituimos este valor de y, para halla el correspondiente valor de x. x Se trata de un sistema compatible determinado con una única solución x, y 1, 1 Tareas : los tres que faltan del 9 por los métodos de reducción, sustitución y representación gráfica: tres sistemas y tres métodos, es decir, uno distinto para cada uno. 11 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando dos veces el método de reducción para despejar cada una de las incógnitas: b) 9x 1y 54 11x 7y Elegimos la incógnita y. Multiplicamos la primera ecuación por 7 que es el coeficiente de la y en la segunda ecuación. Multiplicamos la segunda ecuación por 1 que es el coeficiente de la y en la primera ecuación. 9x 1y x 7y 1 6x 91y 78 14x 91y 86 Restamos en columna para obtener. 6x 14x 91y 91y x 9 x x 1y 54 11x 7y Elegimos la incógnita x. Multiplicamos la primera ecuación por 11 que es el coeficiente de la x en la segunda ecuación. Multiplicamos la segunda ecuación por -9 que es el opuesto del coeficiente de x en la primera ecuación. 9x 1y x 7y 9 99x 14y x 6y 198 Sumamos en columna. 99x 99x 14y 6y y 96 y Se trata de un sistema compatible determinado con solución única x, y, Tareas : 11 a, 14, Un librero ha vendido 45 libros, unos a euros y otros a 8 euros. Obtuvo por la venta 168 1

13 euros. Cuántos libros de cada clase vendió? PLANTEAMIENTO Llamamos Tenemos que: x al número de libros vendidos a euros y al número de libros vendidos a 8 euros ha vendido 45 libros x y 45 la venta 168 euros x 8y 168 RESOLUCIÓN x y 45 x 8y 168 Aplicamos el método de sustitución. Elegimos la incógnita x en la primera ecuación para despejarla en función de y. x 45 y Sustituimos este valor de y en la segunda ecuación. 45 y 8y 186 Nos ha quedado una ecuación de 1º grado en la incógnita y y 8y 168 4y y Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x. x Se trata de un sistema compatible determinado con una única solución x, y 7, 18 SOLUCIÓN Llamamos 7 libros vendidos a euros 18 libros vendidos a 8 euros Tareas : 17, 18, 19 (UNO CON CADA MÉTODO) 0 Un examen de tipo test consta de 50 preguntas y hay que contestar a todas. Por cada acierto se obtiene un punto y por cada fallo se restan 0. 5 puntos. Si mi nota ha sido 4. 5, Cuántos fallos y aciertos he tenido? PLANTEAMIENTO Llamamos Tenemos que: x al número de aciertos y al número de fallos test consta de 50 preguntas y hay que contestar a todas x y 50 Por cada acierto se obtiene un punto y por cada fallo se restan 0. 5 puntos. Si mi nota ha sido 4. 5 x 0. 5y 4. 5 RESOLUCIÓN x y 50 x 0. 5y 4. 5 Aplicamos el método de igualación. Elegimos la incógnita x para despejarla en ambas ecuaciones. x 50 y x 0. 5y 4. 5 Igualamos las dos expresiones obtenidas para x. 1

14 50 y 0. 5y y y y y Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x. x Se trata de un sistema compatible determinado con solución única x, y, 17 SOLUCIÓN aciertos 17 fallos Tareas : 1,, (UNO CON CADA MÉTODO) 4 Halla dos números naturales que suman 140 y tales que al dividir el mayor entre el menor obtenemos de cociente y de resto 14. PLANTEAMIENTO Llamamos Tenemos que: suman 140 x y 140 x es el número natural mayor y es el número natural menor al dividir el mayor entre el menor obtenemos de cociente y de resto 14 x y 14 Recuerda que D d RESOLUCIÓN x y 140 x y 14 r c D d c r Aplicamos el método de reducción. Restamos en columna. x x y 140 y 14 y y 16 y 16 4 Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x. x Se trata de un sistema compatible determinado con solución única x, y 98, 4 SOLUCIÓN Los números son 98 y 4 5 La suma de las edades de una madre y su hijo es 56 años. Hace 10 años, la edad de la madre era el quíntuple de la edad que tenía el hijo. Cuál es la edad actual de cada uno? PLANTEAMIENTO Llamamos Tenemos que: x es la edad de la madre y es la edad del hijo suma de las edades de una madre y su hijo es 56 años x y 56 hace 10 años, la edad de la madre era el quíntuple de la edad que tenía el hijo x 10 5y 10 Hemos de tener en cuenta la siguiente tabla con las edades. 14

15 edad actual edad hace diez años madre x x 10 hijo y y 10 RESOLUCIÓN x y 56 x 10 5y 10 Aplicamos el método de sustitución. Elegimos la incógnita y en la primera ecuación para despejarla en función de x. y 56 x Sustituimos este valor de y en la segunda ecuación. x x 10 x x x x x 5x 0 10 x Sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente valor de y. y Es un sistema compatible determinado con solución única x, y 40, 16 SOLUCIÓN La madre tiene 40 años y el hijo, 16 años. Tareas : 6 7 He cambiado un montón de monedas de 0 céntimos por monedas de 1 euro, de manera que ahora tengo 4 monedas menos que antes. Cuántas monedas de 0 céntimos tenía? PLANTEAMIENTO Llamamos Tenemos que. x es el número de monedas de 0 céntimos y es el número de monedas de 1 euro He cambiado un montón de monedas de 0 céntimos por monedas de 1 euro (ahora sigo teniendo la misma cantidad de dinero en el bolsillo) 1 y 0. 0 x ahora tengo 4 monedas menos que antes x 4 y RESOLUCIÓN y 0. x x 4 y Aplicamos el método de igualación. Se igualan las dos expresiones obtenidas para y. 0. x x 4 0. x x 4 x Sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente valor de y. y Se trata de un sistema compatible determinado con solución única x, y 0, 6 SOLUCIÓN Tenía 0 monedas de 0 céntimos. 8 Si Álvaro regala a Rita 4 de sus discos, ella tendrá el doble que el. Si Rita da 6 de sus discos a Álvaro, entonces será el quien tenga el doble que ella. Cuántos discos tiene cada uno? 15

16 PLANTEAMIENTO Llamamos Tenemos que. x es el número de disco de Álvaro y es el número de discos de Rita Si Álvaro x 4 regala a Rita 4 y 4 de sus discos, ella tendrá el doble que el y 4 x 4 Si Rita da 6 y 6 de sus discos a Álvaro x 6, entonces será el quien tenga el doble que ella y 6 x 6 RESOLUCIÓN y 4 x 4 y 6 x 6 Aplicamos el método de reducción. y 4 x 8 y 1 x 6 x y 4 8 x y 1 6 x y 1 x y 18 Elegimos la incógnita y. Multiplicamos la primera ecuación por -, que es el opuesto del coeficiente de y en la segunda ecuación. x y 1 x y 18 4x y 4 x y 18 Sumamos en columna para obtener. x 4x y y 4 18 x 4 x 4 14 Sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente valor de y. 14 y 18 y y 16 Se trata de un sistema compatible determinado con solución única x, y 14, 16 SOLUCIÓN Álvaro tiene 14 discos y Rita 16. Tareas : 0, 1,,,, 4 9 Un comerciante compró 5 juegos de un tipo y 5 de otro pagando por ellos 10 euros. Con la venta de los primeros ganó un 5% y con los segundos perdió el 5%, de forma que obtuvo 170 euros de ganancia sobre el precio de compra. Calcula el precio de compra de cada tipo de juego. PLANTEAMIENTO Llamamos x es el precio del primer juego y es el precio del segundo juego 16

17 Tenemos que: compró 5 juegos de un tipo y 5 de otro pagando por ellos 10 euros 5x 5y 10 con la venta de los primeros ganó un 5%5% de 5x x 8. 75x con los segundos perdió el 5%5% de 5y y 1. 5y obtuvo 170 euros de ganancia sobre el precio de compra 8. 75x 1. 5y 170 RESOLUCIÓN 5x 5y x 1. 5y 170 Aplicamos el método de sustitución. Elegimos la incógnita x en la primera ecuación para despejarla. 5x 10 5y 10 5y x 5 Sustituimos este valor de x en la segunda ecuación. 10 5y y y 1. 5y Calculamos el m. c. m y 4. 75y Como tenemos una igualdad con todos los denominadores iguales, este se puede suprimir y 4. 75y y y Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x. x Se trata de un sistema compatible determinado con solución única x, y , SOLUCIÓN El primer tipo de juego cuesta 1.76 y el segundo cuesta 18.4 euros. 17