Mó duló 06: Á lgebra Elemental II

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1 INTERNADO MATEMÁTICA 016 Guía para el Estudiante Mó duló 06: Á lgebra Elemental II Objetivo: Factorizar expresiones algebraicas y generalizar la operatoria de fracciones por medio del álgebra, que le permita al estudiante ampliar sus conocimientos en la operatoria, el planteamiento y la resolución de problemas. Problema 1 María quiere determinar un par de posibles lados del siguiente rectángulo de área x + 6xy. Cómo podría realizarlo? Se identifica el factor común de los términos y se escribe la expresión algebraica como un producto de factores en el que uno de ellos es el factor común. x 6xy x x 3y Respuesta: Los lados del rectángulo podrían ser x y x 3y. 1

2 Factorización La factorización es un procedimiento que permite expresar un polinomio como un producto de factores simples de tal manera que al multiplicarlos entre sí, se obtenga el mismo polinomio. Algunos tipos de factorización: Factor común: Diferencia de cuadrados: Trinomio cuadrado perfecto: Trinomio de la forma x + px + q: Suma y diferencia de cubos: Cubo de binomio: Actividad 1 Factoriza las siguientes expresiones: ) R: 3) R: 4) R: 5) R: 6) R: ) R: 8) R: 9) R: 10) R: 1

3 Problema Un terreno rectangular tiene un largo que es el doble del ancho menos 0 metros. a) Cuál es la razón entre el ancho y el largo? b) Cuál es el valor de la razón si el ancho es igual a 10 m? x: Ancho del rectángulo Entonces, el largo del rectángulo es x 0 Por lo que la razón entre el ancho y el largo queda como: x x 0 Si el ancho es 10 m, entonces: x x Respuesta: No es posible que el ancho sea de 10m, ya que la fracción algebraica se indetermina. Fracción Algebraica Se llama fracción algebraica al cociente entre dos expresiones algebraicas A y B, con B. Por ejemplo:, Problema 3 Si la altura y la base de un triángulo miden cm y cm respectivamente, cuál es su área? 3

4 Área del triángulo: atura base x 4 x 1 1 x Entonces, x x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Respuesta: El área del triángulo es x 1. Multiplicación y División de Fracciones Algebraicas Para multiplicar fracciones algebraicas utilizaremos los siguientes pasos: 1) Factorizar las expresiones algebraicas que sean posibles y determinar sus restricciones. ) Se multiplican ambas fracciones factorizadas, sin desarrollar los paréntesis. 3) Se simplifica la fracción obtenida. 4) Expresar el resultado final con sus respectivas restricciones. Para dividir fracciones algebraicas se realiza la multiplicación entre el dividendo y el inverso multiplicativo del divisor, realizando los mismos 4 pasos anteriores. Por ejemplo:,, ;, Actividad Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones: ) R: 3) R: 4

5 Problema 4 Si los lados de un triángulo son cm, cm y cm, cuál es su perímetro? 5 1 3a 6a 9a MCM 3a,6a,9a, 6a 5 3a 6a 6a a 1a a a 15 a 1a 15 a 14a 15 14a 15 Respuesta: El perímetro del triángulo es cm. Adición y Sustracción de Fracciones Algebraicas Para la adición de fracciones algebraicas, se recomienda seguir los siguientes pasos: 1) Se factorizan las fracciones, se indican sus restricciones y se simplifican si corresponden. ) Se calcula el MCM entre los denominadores de las fracciones. 3) Se amplifican las fracciones para igual los denominadores. 4) Al tener igual denominador, se conserva el denominador y se suman los numeradores. Para la sustracción de fracciones algebraicas, utilizaremos los mismos pasos anteriores, salvo que en el paso 4 se deben restar los numeradores, y para ello, se deben realizar los cambios de signo correspondientes. Por ejemplo: ;,, 5

6 Actividad 3 Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones: ) R: 3) R: Problema 5 Si una máquina A demora 4 horas en mezclar una determinada cantidad de litros de líquido y una máquina B demora 3 horas en hacer el mismo trabajo, cuántas horas tardarán en mezclar esa misma cantidad de líquido si ambas máquinas operan juntas? Máquina A: demora 4 horas en hacer la mezcla, entonces en 1 hora hace 4 1 de la mezcla. Máquina B: demora 3 horas en hacer la mezcla, entonces en 1 hora hace 3 1 de la mezcla. Juntas: demoran x horas en hacer la mezcla, entonces en 1 hora hacen x 1 de la mezcla Luego: /1x MCM 4 3 x x 1x 1x 4 3 x 3x 4x 1 x 1 1 x Entonces, la cantidad de horas que demorarán ambas máquinas en hacer la mezcla: de 1 hora de 60 minutos 60 = 10,85 Respuesta: Se demorarán 10,85 minutos que es equivalente a 1 hora y 43 minutos aproximadamente. 6

7 Ecuación Fraccionaria Se llama ecuación fraccionaria a aquella ecuación que tiene la incógnita en el denominador de una fracción algebraica. Para resolver una ecuación fraccionaria, se multiplican en ambos lados de la igualdad por el MCM de los denominadores de las fracciones, obteniéndose así una ecuación no fraccionaria que se debe resolver. Se debe comprobar que la solución sea pertinente al problema (si corresponde), y que no corresponda a alguna restricción de las fracciones. Por ejemplo: ;, Actividad 4 Resuelve las siguientes ecuaciones: ) R: