Probabilidad. Álvaro José Flórez. Febrero - Junio Facultad de Ingenierías. 1 Escuela de Ingeniería Industrial y Estadística

Transcripción

1 Probabilidad Álvaro José Flórez 1 Escuela de Ingeniería Industrial y Estadística Facultad de Ingenierías Febrero - Junio 2012

2 Probabilidad Expresión del grado de certeza de que ocurrirá un determinado suceso en un ambiente de incertidumbre (aleatorio). Este grado de certeza es basado en experiencia o compresión de la estructura del fenómeno estudiado. Hay una probabilidad del 50 % de obtener un número par al lanzar un dado Es probable que apruebe el parcial de fundamentos de estadística Es poco probable que me gane el baloto

3 Probabilidad Expresión del grado de certeza de que ocurrirá un determinado suceso en un ambiente de incertidumbre (aleatorio). Este grado de certeza es basado en experiencia o compresión de la estructura del fenómeno estudiado. Cuanto mayor es el grado de certeza de que ocurrirá el suceso, mayor será la probabilidad. La probabilidad se determina como un valor entre 0 y 1, donde 0 indica que el suceso no ocurre y 1 que el suceso ocurre con certeza. En el fondo, la teoría de probabilidades es solo sentido común expresado con números. Laplace

4 Importancia en la estadística La probabilidad tiene un papel crucial en la aplicación de la inferencia estadística porque una decisión, cuyo fundamento se encuentra en la información contenida en una muestra aleatoria, puede estar equivocada. Sin una adecuada compresión de las leyes básicas de la probabilidad, es difícil utilizar la metodología estadística de manera efectiva (Canavos, 1988). Cómo es posible que la media obtenida de una muestra de unos pocos hogares de todos los del país, pueda ser una estimación precisa de la media de la población?... Si diferentes muestras darían valores distintos de la media muestral ( x) La variabilidad muestral no es fatal (Azar no significa ausencia de regularidad)

5 Aleatoriedad Llamamos a un fenómeno aleatorio si los resultados individuales son inciertos y, sin embargo, existe una distribución regular de los resultados después de un gran número de repeticiones. Fig: Proporción de caras del lanzamiento de 3 monedas Proporción de caras Lanzamientos

6 Aleatoriedad Fig: Proporción de caras del lanzamiento de 3 monedas Proporción de caras Lanzamientos El comportamiento del azar es impredecible con pocas repeticiones pero presenta un comportamiento regula y predecible con muchas repeticiones

7 Importancia en la estadística El nexo que une la teoría de la probabilidad y la estadística es la noción de variable aleatoria, mostrando de esta manera cómo puede emplearse la teoría de la probabilidad para extraer conclusiones precisas acerca de una población sobre la base de una muestra extraída de ella. Extraer pautas donde hay (aparentemente) azar. Cuando se decide que la hay, se hace con una cierta seguridad. Lo que significa que se deja un margen para el posible error. Error, que aunque indicativo de nuestra ignorancia, está al menos acotado dentro de unos ciertos límites.

8 Definición de probabilidad Probabilidad Clásica (Laplace) Si un experimento que está sujeto al azar, puede ocurrir de n maneras mutuamente excluyentes e igualmente verosímiles (probables) y si n A de estas poseen un atributo A, la probabilidad de A es la fracción n A /n Al lanzar un dado Cuál es la probabilidad de que el resultado sea par? Al lanzar dos monedas Cuál es la probabilidad de obtener dos caras?

9 Definición de probabilidad Los inconvenientes de definir la probabilidad de esta forma son: No es válida cuando los posibles resultados no son equiprobables A veces no es posible contar los posibles resultados

10 Definición de probabilidad Los inconvenientes de definir la probabilidad de esta forma son: No es válida cuando los posibles resultados no son equiprobables A veces no es posible contar los posibles resultados Probabilidad Frecuentista (Bernouilli) Si un experimento se repite n veces bajo las mismas condiciones y n B de los resultados son favorables a un atributo B, el límite de n B /n conforme n se vuelva grande, se define como la probabilidad del atributo B

11 Definiciones de probabilidad Fig: Distribución muestral de la probabilidad de obtener una cara en lanzamiento de una moneda 10 lanzamientos 50 lanzamientos Densidad Proporción 100 lanzamientos Densidad Densidad Proporción 1000 lanzamientos Densidad Proporción Proporción

12 Definición de probabilidad Los inconvenientes de definir así la probabilidad son los siguientes: En algunas ocasiones no es posible realizar repeticiones del experimento. Las condiciones bajo las cuales se realiza el experimento pueden variar a lo largo del tiempo.

13 Definición de probabilidad Los inconvenientes de definir así la probabilidad son los siguientes: En algunas ocasiones no es posible realizar repeticiones del experimento. Las condiciones bajo las cuales se realiza el experimento pueden variar a lo largo del tiempo. Probabilidad Subjetiva o Personal El grado de creencia o convicción con respecto a la ocurrencia de una afirmación. Representa un juicio personal acerca de un fenómeno impredecible. la probabilidad de un suceso puede, y debe, variar en función de la nueva información recibida respecto del suceso Estos grados de creencia tiene como única restricción el que pertenezcan a una persona racional y coherente

14 Conceptos de probabilidad Espacio Muestral (S) El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Estos pueden ser finitos, infinitos numerables o continuos Evento Cualquier resultado o conjunto de resultados de un fenómeno aleatorio, es decir que A es un suceso si A S. Complemento (A ) El complemento de un evento A con respecto a S es el conjunto de todos los elementos de S que no están en A.

15 Conceptos de probabilidad Unión (A B) La unión de dos eventos A y B, es el evento que contiene a todos los elementos que pertenecen a A o a B, o a ambos. Intersección (A B) La intersección de dos eventos A y B, es el evento que contiene a todos los elementos comunes de A y B. Eventos mutuamente excluyentes (A B = ) Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si estos eventos no tienen ningún elemento en común.

16 Conceptos de probabilidad Representación gráfica de la relación entre eventos y el espacio muestral (Diagrama de Venn) Fig: Diagrama de Venn A B = A B C = A B = A (B C) = A B =

17 Conceptos de probabilidad Representación gráfica de la relación entre eventos y el espacio muestral (Diagrama de Venn) Fig: Diagrama de Venn A B = 1,2 A B C = 1 A B = 1,2,3,4,6,7 A (B C) = 1,2,3,4,7 A B = 4

18 Conceptos de probabilidad Se tienen los sucesos A, B y C, exprese en lenguaje de la teoría de conjuntos las siguientes operaciones: 1 Ocurren A y al menos uno de los otros dos. 2 Ocurre A y uno sólo de los otros dos. 3 Ocurre uno de los tres, pero no dos a la vez. 4 Ocurre C, pero no lo hacen ni A ni B 5 Ocurren al menos dos de los tres 6 No ocurre ninguno de los tres.

19 Reglas de la probabilidad 1 La probabilidad de cualquier suceso A (P (A)) cumple que: 0 P (A) 1 2 Si S es el espacio muestral de un modelo de probabilidad, entonces: P (S) = 1 3 Para cualquier suceso A, P (A ) = 1 P (A) 4 Si A y B son dos suceso cualesquiera se verifica que: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 5 Si A B entonces P (A) P (B)

20 Reglas de la probabilidad 1 Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces: P (A B) = P (A) + P (B) 2 Si A, B y C son eventos cualesquiera, entonces: P (A B C) =P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C) 3 Si A 1, A 2,..., A k son eventos mutuamente excluyentes, entonces: (1) P (A 1 A 2... A k ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) P (A k )

21 Ejemplo Al lanzar dos dados y se tiene los siguientes eventos: A: La suma de los dos dados es igual a 7 B: El resultado de los dados sean menores que 5 Cuál es la probabilidad de A B? Un sistema que contiene dos componentes A y B, y se conecta de manera que este funciona si cualquier componente funciona. Se sabe que la probabilidad de que A funcione es P (A) = 0,9 y la de B es P (B) = 0,8 y la probabilidad de ambos es P (A B) = 0,72 Cuál es la probabilidad de que el sistema trabaje?

22 Ejemplo De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés, 40 inglés, 51 castellano, 11 francés e inglés, 12 francés y castellano y 13 inglés y castellano. Se eligen al azar una persona y se desea saber: Cuál es la probabilidad de que no hable francés? Cuál es la probabilidad de que hable castellano? Cuál es la probabilidad de que entienda sólo en castellano? Cuál es la probabilidad de que sólo hable un idioma? Cuál es la probabilidad de que hable los tres idiomas?

23 Ejemplo De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés, 40 inglés, 51 castellano, 11 francés e inglés, 12 francés y castellano y 13 inglés y castellano. Se eligen al azar una persona: Si se selecciona una persona que habla castellano Cuál es la probabilidad de que hable ingles también?

24 Ejemplo De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés, 40 inglés, 51 castellano, 11 francés e inglés, 12 francés y castellano y 13 inglés y castellano. Se eligen al azar una persona: Si se selecciona una persona que habla castellano Cuál es la probabilidad de que hable ingles también? La probabilidad condicionada establece la probabilidad de un suceso (la persona habla inglés) bajo la condición de que se conoce otro suceso (la persona habla español)

25 Probabilidad Condicional Sean A y B dos eventos que se encuentran en un espacio muestral S de manera tal que P (B) > 0. La probabilidad condicional de A al ocurrir el evento B, se puede calcular como: P (A B) = De aquí se puede observar que: P (A B), P (B) > 0 P (B) P (A B) = P (A)P (B A) La probabilidad condicional permite una alteración de la probabilidad de un evento a la luz de mayor información.

26 Ejemplo De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés, 40 inglés, 51 castellano, 11 francés e inglés, 12 francés y castellano y 13 inglés y castellano. Se eligen al azar una persona: Si se selecciona una persona que habla castellano Cuál es la probabilidad de que hable ingles también?

27 Ejemplo De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés, 40 inglés, 51 castellano, 11 francés e inglés, 12 francés y castellano y 13 inglés y castellano. Se eligen al azar una persona: Si se selecciona una persona que habla castellano Cuál es la probabilidad de que hable ingles también? A los habitantes de una gran ciudad se les hizo una encuesta con el propósito de determinar el número de lectores de El País y El Tiempo. Los resultados de la encuesta fueron los siguientes: 40 % de los habitantes leen El País, el 36 % lee El Tiempo y un 18 % lee ambos periódicos. Si se selecciona al azar a un lector de El Tiempo, Cuál es la probabilidad de que también lea El País?

28 Probabilidad Condicional Dos eventos A y B son independientes, si y solo si: P (B A) = P (B) y P (A B) = P (A) De este resultado se tiene que: P (A B) = P (A)P (B)

29 Probabilidad Condicional Dos eventos A y B son independientes, si y solo si: P (B A) = P (B) y P (A B) = P (A) De este resultado se tiene que: P (A B) = P (A)P (B) Ejemplo Se lanza un dado 2 veces. Si el primer lanzamiento es seis, Cuál es la probabilidad de que el segundo lanzamiento sea también seis?

30 Probabilidad Condicional Regla multiplicativa Si, en un experimento, los eventos A 1, A 2,..., A k pueden ocurrir, entonces: P (A 1 A 2... A k ) =P (A 1 )P (A 2 A 1 )... P (A k A 1 A 2... A k 1 ) Si los eventos son independientes, entonces P (A 1 A 2... A k ) = P (A 1 )P (A 2 )... P (A k )

31 Ejemplo Un sistema contiene cinco componentes que se encuentran conectados entre sí como lo muestra la siguiente figura, donde las probabilidades indican la seguridad de que el componente funcione adecuadamente. Si se supone que el funcionamiento de un componente en particular es independiente del de las demás, Cuál es la probabilidad de que el sistema trabaje?

32 Ejemplo Se sacan tres cartas de una baraja ordinaria, si se definen los siguientes eventos: La primera carta es un as de diamantes (A), la segunda es de diamantes (cualquiera) (B), la tercer carta es negra y mayor que 3 pero menor que 7 (C). Cuál es la probabilidad de que se den los tres eventos? En un juego de tiro al blanco, la probabilidad de que el jugador 1 de en el blanco es 1/6, la del jugador 2 es de 1/4 y la del jugador 3 es de 1/3. Si cada uno dispara una sola vez al blanco. Cuál es la probabilidad de que el blanco sea alcanzado solamente una vez? Una urna contiene 6 bolas rojas y 4 verdes, y una segunda caja contiene 7 bolas rojas y 3 verdes. Se escoge al azar una bola de la primera caja y se pasa a la segunda. Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola de la segunda urna, esta sea roja?

33 Teorema de Probabilidad Total Si los eventos B 1, B 2,..., B k constituyen una división del espacio muestral S, de tal forma que P (B k ) 0 para i = 1, 2,..., k entones para cualquier evento A de S P (A) = k P (B i A) = i=1 k P (B i )P (A B i )) i=1

34 Ejemplo La policía para reforzar el respeto a los limites de velocidad coloca dos radares diferentes puntos de la ciudad (A y B), donde en cada sitio el radar funciona, respectivamente, el 40 % y el 20 % del tiempo. Si una persona que conduce a gran velocidad rumbo a su trabajo tiene, respectivamente, 0.2 y 0.8 de probabilidad de pasar por alguno de estos sitios. Cuál es la probabilidad de que esta persona resulte multada?

35 Ejemplo La policía para reforzar el respeto a los limites de velocidad coloca dos radares diferentes puntos de la ciudad (A y B), donde en cada sitio el radar funciona, respectivamente, el 40 % y el 20 % del tiempo. Si una persona que conduce a gran velocidad rumbo a su trabajo tiene, respectivamente, 0.2 y 0.8 de probabilidad de pasar por alguno de estos sitios. Cuál es la probabilidad de que esta persona resulte multada? Una planta armadora recibe microcircuitos provenientes de tres distintos fabricantes B1, B2 y B3. El 50 % del total se compra a B1 mientras que a B2 y B3 se les compra un 20 % y 30 % respectivamente. El porcentaje de circuitos defectuosos para B1, B2 y B3 es 5, 10 y 12 % respectivamente. Si todos los circuitos se almacenan en la planta sin importar quién fue el proveedor. Determinar la probabilidad de que una unidad armada en la planta contenga un circuito defectuoso

36 Regla de Bayes Si los eventos B 1, B 2,..., B k constituyen una división del espacio muestral S, de tal forma que P (B k ) 0 para i = 1, 2,..., k, entonces para cualquier evento A en S, tal que P (A) 0 P (B k A) = P (B r A) k i=1 P (B i A) = P (B r)p (A B r )) k i=1 P (B i)p (A B i )

37 Ejemplo Se sabe la prueba del polígrafo que se le aplica a un sospechoso es 90 % fiable cuando la persona es culpable y 99 % cuando es inocente. Si de un grupo de 10 sospechosos de un crimen (entre ellos el culpable) se selecciona uno y el polígrafo indica que es culpable Cuál es la probabilidad que este no sea el individuo que cometió el crimen?

38 Ejemplo Se sabe la prueba del polígrafo que se le aplica a un sospechoso es 90 % fiable cuando la persona es culpable y 99 % cuando es inocente. Si de un grupo de 10 sospechosos de un crimen (entre ellos el culpable) se selecciona uno y el polígrafo indica que es culpable Cuál es la probabilidad que este no sea el individuo que cometió el crimen? Si el polígrafo indica que es inocente Cuál es la probabilidad de que este individuo sea inocente?

39 Ejemplo Se sabe la prueba del polígrafo que se le aplica a un sospechoso es 90 % fiable cuando la persona es culpable y 99 % cuando es inocente. Si de un grupo de 10 sospechosos de un crimen (entre ellos el culpable) se selecciona uno y el polígrafo indica que es culpable Cuál es la probabilidad que este no sea el individuo que cometió el crimen? Si el polígrafo indica que es inocente Cuál es la probabilidad de que este individuo sea inocente? Cuál es la probabilidad de que el polígrafo acierte?

40 Ejemplo Un taxi se vio implicado en un accidente nocturno con choque y huida posterior. Hay dos compañías de taxis en la ciudad, la Verde y la Azul. El 85 % de los taxis de la ciudad son Verdes y el 15 % Azules. Un testigo del accidente identificó el taxi como Azul. El tribunal comprobó la fiabilidad del testigo bajo las mismas circunstancias que había la noche del accidente y llegó a la conclusión de que el testigo identificaba correctamente cada uno de los colores en el 80 % de las ocasiones. Luego de las declaraciones del testigo Cuál es la probabilidad de que el taxi implicado en el accidente fuera en efecto azul?

41 Bibliografía Canavos, G. (1988). Probabilidad y Estadística: Aplicaciones y métodos. Mc Graw Hill, México, vol. 1 edition. Devore, J. L. (2008). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Thomson Paraninfo, México, vol. 7 edition. Montgomery, D. and Runger, G. (2004). Probabilidad y estadística aplicadas la ingeniería. Limusa-Wiley, México, 2 edition.