Probabilidad Condicional

Transcripción

1 Cómo actualizar la probabilidad de un evento dado que ha sucedido otro? o Cómo cambia la probabilidad de un evento cuando se sabe que otro evento ha ocurrido?

2 Ejemplo: Una persona tiene un billete de lotería con los números 2, 7, 10, 14, 15, 20. Antes de que se realice el sorteo la probabilidad de que gane la lotería tiene cierto valor.

3 Cuál es la probabilidad de sacarse la lotería después de saber que ha salido el número 7?

4 Veamos como se puede definir la probabilidad condicional. Después de realizar muchas veces un experimento, se tiene que es el número de intentos en los que B ocurre. Entre estos elementos se cuenta los intentos en que el evento A también ocurre. Se puede considerar entonces que la razón es una medida de la probabilidad (condicional) de A dado que ha ocurrido B

5 Definición: Si se sabe que un evento B ha ocurrido y deseamos conocer la probabilidad de otro evento A, tomando en cuenta que B ha ocurrido, tenemos que esta probabilidad condicional está dada por: con Pr(B)>0

6 Regresando al problema anterior: Sea B={uno de los números ganadores es el número 7} y A={los números 2,7,10,14,15,20 son seleccionados} En esta lotería los posibles números van del del 1 al 30

7 Otro ejemplo: Suponga que se lanzan dos dados y se observa que la suma X es un número impar Cuál es la probabilidad de que X sea menor que 8?

8 Regla de multiplicación para probabilidades condicionales. Sean A y B dos eventos. Si Pr(B) > 0 entonces Similarmente, si Pr(A)>0,

9 Ejemplo: Se tiene que dos bolas son seleccionadas aleatoriamente (sin reemplazo) de un caja que contiene r bolas rojas y b bolas azules. Cuál es la probabilidad de que la primera bola sea roja y la segunda azul?

10 Generalización a más eventos: Para 3 eventos: Para n eventos:

11 Ejemplo: Supongamos ahora que tenemos 4 bolas que serán seleccionadas una a una (sin reemplazamiento) de una caja que contiene r bolas rojas, b bolas azules ( ) Cuál es la probabilidad de obtener la serie: roja, azul, roja, azul?

12 Comentario: las probabilidades condicionales siguen las mismas reglas que las probabilidades standard (no condicionales). Por ejemplo:

13 Ley de la probabilidad total Partición: Sea S el espacio muestral de un experimento y considere k eventos en S, tal que son eventos disjuntos y. Se dice entonces que los eventos B forman un partición.

14 Ley de la probabilidad total Teorema: Suponga que los eventos forman una partición de S y para j=1,2,...k. Entonces para cada evento A en S:

15 Ejemplo Se tienen dos cajas que contienen tornillos largos y cortos. Una de ellas tiene 60 tornillos largos y 40 cortos. La segunda caja contiene 10 tornillos largos y 20 cortos. Suponga que una caja se selecciona al azar y se saca aleatoriamente un tornillo. Cuál es la probabilidad de que el tornillo seleccionado sea un tornillo largo?

16 Ley de probabilidad total para el caso condicional:

17 Eventos independientes: Si el conocimiento de que el evento B ha ocurrido no cambia la probabilidad de que el evento A ocurra, se dice que A y B son eventos independientes. Definición: dos eventos A y B son independientes si

18 De aquí se sigue que A y B son eventos independientes si y solo si: y

19 Probabilidad condicional Ejemplo: Se tienen 2 máquinas (1 y 2) en una fábrica que funcionan independientemente una de otra. Sea A el evento de que la máquina 1 se estropee durante 8 hrs y sea B el evento de que la máquina 2 se estropee durante 8 hrs. Suponga que Pr(A)=1/3 y Pr(B)=1/4 Cuál es la probabilidad de que al menos una de las máquinas se estropee durante el mismo período de tiempo?

20 Eventos independientes (generalización): Los k eventos son independientes (o mutuamente independientes) si para cada subconjunto de j de los k eventos se tiene que

21 Ejemplo: Para que A, B y C sean independientes se deben satisfacer las siguientes relaciones:

22 Ejemplo: Suponga que una moneda se lanza dos veces de modo que se tiene el siguiente espacio muestral: S={HH, HT, TH, TT}. Sean los siguientes eventos: -H en el 1er lanzamiento: A={HH, HT} -H en el 2do lanzamiento: B={HH, TH} -ambos resultados iguales: C={HH, TT}

23 Independencia condicional Como hemos dicho, las probabilidades condicionales tienen las mismas propiedades que las probabilidades no condicionales. Un ejemplo más es el siguiente: Se dice que los eventos son condicionalmente independientes dado B, si para cada subcolección de esos eventos se tiene que