MÓDULO IV SESIÓN 01: INTRODUCCIÓN A MATEMÁTICA FINANCIERA

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1 DIPLOMADO SOBRE IDENTIFICACIÓN, FORMULACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS DE INVERSIÓN PÚBLICA EN ETAPA DE PERFIL INCORPORANDO LA GESTIÓN DEL RIESGO EN CONTEXTO DE CAMBIO CLIMÁTICO MÓDULO IV SESIÓN 01: INTRODUCCIÓN A MATEMÁTICA FINANCIERA Dirección General de Inversión Pública Dirección de Políticas y Estrategias de la Inversión Pública Unidad de Desarrollo de Capacidades

2 Qué es la matemática Financiera? Es la ciencia que nos proporciona las herramientas necesarias para tomar decisiones de inversión o de crédito, a lo largo del tiempo. Para qué sirve la Matemática Financiera? Para manejar flujos monetarios en el tiempo con criterio técnico

3 Valor del Dinero en el Tiempo El valor del dinero cambia con el tiempo y mientras más largo sea este, mayor es la evidencia de la forma como disminuye su valor. El dinero tiene entonces un valor diferente en el tiempo, dado que está afectado por varios factores: La inflación. El riesgo. La oportunidad que tendría el dueño del dinero de invertirlo en otra actividad económica, protegiéndolo no solo de la inflación y del riesgo sino también con la posibilidad de obtener una utilidad. El dinero per se, tiene una característica fundamental, la capacidad de generar mas dinero, es decir de generar mas valor. Los factores se expresan y materializan a través de la Tasa de Interés. 3

4 Valor del Dinero en el Tiempo Ejemplo: Un individuo obtiene hoy un ingreso (Y 0 ) de S/ por una sola vez y decide no consumir nada hoy. Tiene la opción de poner el dinero en el banco. a) Cuál será el valor de ese monto dentro de un año si la tasa rentabilidad o de interés (r) que puede obtener en el banco es de 10%? * (0,1) = 100 (rentabilidad) = (valor dentro de un año) Periodo 0 (Año 0) Si r = 10% Periodo 1 (Año 1) S/ S/

5 Valor del Dinero en el Tiempo Valor Futuro Sólo 1 periodo Si son 3 periodos Año: VA Año: VA VF VA* 1 r VF Donde: r = tasa de interés VF VF 1 r1 r1 r VA1 3 VA* r VF VA* 1 Caso General: n r 5

6 Valor Actual: Tasa de Interés simple y compuesta Caso 1 periodo Caso 3 periodos Año: VA Año: VA 0 1 VA VA VF VF 1 r VF 1 r* 1 r* 1 r 1 r 3 VF Donde: r = tasa de interés VF Caso General: VA VF 1 r n 6

7 Valor futuro y Valor actual Ejemplo VF: a) Si se tiene S/ hoy y la tasa de interés anual es de 12%. Cuál será su valor al final del tercer año? Año 0: Año 1: * (1+0,12) = Año 2: * (1+0,12) = Año 3: * (1+0,12) = Alternativamente: VF= * (1+0,12) 3 = * 1,4049 =

8 Valor futuro y Valor actual Ejemplo VA: b) Si en cuatro años más necesito tener S/ y la tasa de interés anual es de 15%. Cuál es el monto que requiero depositar hoy para lograr la meta? Año 4: Año 3: / (1+0,15) = 2.869,6 Año 2: 2.869,6 / (1+0,15) = 2.495,3 Año 1: 2.495,3 / (1+0,15) = 2.169,8 Año 0: 2.169,8 / (1+0,15) = 1.886,8 Alternativamente: VA= / (1+0,15) 4 = / 1,749 = 1.886,8 8

9 Caso Especial VF, VA: Valor futuro y Valor actual Caso especial c) Si los S/ de hoy equivalen a S/ al final del año 3. Cuál será la tasa de interés anual relevante? VF= * (1+r) 3 = (1+r) 3 = 1,64 (1+r) = (1,64) 1/3 1+r = 1,18 r = 0,18

10 Tasa de Interés compuesta y simple Tasa de interés compuesta: Corresponde al mismo concepto asociado a la conversión de un valor actual (VA) en un valor final (VF) y viceversa. El monto inicial se va capitalizando periodo a periodo, así por ejemplo, luego del primer periodo se suma el capital más los intereses ganados y este total es el que gana intereses para un segundo periodo. VF = Monto capitalizado (valor final) VA = Inversión inicial (valor actual) VF VA* 1 r n r = tasa de interés del periodo n = número de períodos (1+r) n : Factor de capitalización VF VA 1 1 : Factor de descuento r (1+r) n n 10

11 Tasa de Interés compuesta y simple Tasa de interés simple: Concepto poco utilizado en el cálculo financiero, es de fácil obtención, pero con deficiencias por no capitalizar la inversión periodo a periodo. El capital invertido es llevado directamente al final sin que se capitalice periodo a periodo con los intereses ganados VF = Monto acumulado (valor final) VA = Inversión inicial (valor actual) VF VA* (1 r * n) r = tasa de interés del periodo n = número de períodos VA (1+r*n) : Factor acumulación simple VF 1 1 r * n : Factor descuento simple (1+r*n) 11

12 Tasa de Interés compuesta y simple Ejemplo tasa de interés compuesta vs. Tasa de interés simple: Si se tiene S/ hoy y la tasa de interés anual es de 12%. Cuál será su valor al final del tercer año? Con tasa interés compuesta: C = * (1+0,12) 3 = * 1,4049 = Con tasa interés simple: r 1+r 1+r Intereses ganados: Año 1: S/. 120 Año 2: S/. 134 Año 3: S/. 151 C = * (1+0,12*3) = * 1,36 = r*3 Intereses ganados: Año 1: S/. 120 Año 2: S/. 120 Año 3: S/

13 Tasa de Interés compuesta y simple Tasa de interés equivalente: Si se tiene una tasa de interés anual r a, la tasa de interés mensual equivalente r m, puede ser calculada usando las siguientes expresiones: Con interés compuesto: rm r a Con interés simple: r m ra 12 Este ejemplo se hace extensivo a cualquier unidad de tiempo. 13

14 Anualidades Considere un flujo (F 1 ) (anualidad) por montos iguales que se paga al final de todos los años por un período de tiempo n a una tasa r Año: Flujos Actualizados: F 1 (1+r) F 1 (1+r) 2 F 1 (1+r) 3 F 1 (1+r) n n-1 n F 1 F 1 F 1 F 1 F 1 F 1 (1+r) n 14

15 Anualidades El Valor Actual de esa anualidad (F 1 ) que implica la suma de todos esos flujos actualizados al momento 0 se define como: VA F 1 * (1 r) F1 1 * (1 r) F1 * 1 (1 r) n F 1 * (1 r) r *(1 n 1 n r) VA F 1 1 * (1 r r) n 15

16 Anualidades Como contrapartida al valor actual de un flujo se tiene: El Valor Final de una anualidad (F 1 ) que implica la suma de todos esos flujos llevados al periodo n y se define como: VF n n 1 F1 * (1 r) F1 * (1 r)... F1 VF F 1 * (1 r) r n 1 16

17 Anualidades Ejemplo anualidad: Suponga usted pagó cuotas mensuales de S/ por la compra de un auto durante 2 años (24 meses) a una tasa de 1% mensual. Cuál fue el valor del préstamo? VA * (1 0,01) 0,

18 Anualidades Ejemplo anualidad: Suponga usted trabajará durante 30 años, su cotización en la AFP será de S/ mensuales, si la AFP le ofrece una rentabilidad mensual de 0,5% Cuál será el monto que tendrá su fondo al momento de jubilar? VF * (1 0,005) 0,

19 Anualidades Ejemplo anualidad: Suponga usted comprará una casa que vale hoy S/ y solicita al banco un crédito por el total del valor a 15 años plazo (180 meses). La tasa de interés es de 0,5% mensual. Cuál deberá ser el valor del dividendo mensual? VA F 1 1 (1 r) * r n r VA* 1 (1 Si: Entonces: 1 n F r) 0,005 1 (1,005) Así: F *

20 Inflación y Tasas de Interés Nota importante La evaluación de proyectos utiliza tasas de interés reales y por tanto flujos reales, de esta forma se evita trabajar con inflaciones que normalmente tendrían que ser estimadas a futuro con el consiguiente problema de incertidumbre. 20

21 Criterios de Decisión 21

22 De que se trata? Estudiar y comparar los costos y los beneficios de un proyecto o programa para decidir la conveniencia de su ejecución. 22

23 Porque Evaluar? Queremos obtener más de lo que gastamos. - + Debemos jerarquizar, ya que los recursos no son suficientes para todas las necesidades. 23

24 Para quien Evaluamos? Persona o empresa: Evaluación Privada Evaluación financiera Evaluación económica Todos los habitantes del país por igual: Evaluación social Evaluación económica Evaluación socio-económica Todos los habitantes del país, privilegiando algún grupo: Evaluación social 24

25 Para quien Evaluamos? Pasos a seguir: Identificación: cuáles? Cuantificación: cuánto? Valoración: cuánto vale? 25

26 Determinación de Beneficios y Costos Tipo de Evaluación: Evaluación Acción Costos Beneficios Identificar Costo Beneficio Cuantificar Costo eficiencia Valorar Identificar Cuantificar Valorar X 26

27 Categoría de costos Inversión Operación Mantenimiento 27

28 Estudios y diseños Gastos administrativos Terrenos Construcción Permisos, impuestos Supervisión y asesoría Equipamiento Reposiciones Capacitación Abandono Costos de Inversión 28

29 Costos de Operación Sueldos y salarios Servicios básicos Arriendos Materiales e insumos Combustibles Permisos, Publicidad Impuestos 29

30 Mantención mayor de equipos Repuestos Costos de Mantenimiento Reposición equipamiento menor Reparaciones periódicas 30

31 Tipos de Beneficios Ingresos monetarios Aumento de excedentes Ahorro de costos Otros: Revalorización de bienes Reducción de riesgos Mejor imagen 31

32 Flujo de Ingresos y Costos Año Inversión Operación Mantención Beneficios Flujo neto Ordena la información Facilita detectar errores u omisiones Simplifica los cálculos 32

33 Indicadores Costo - Beneficio VAN TIR Otros criterios Razón Beneficio/Costo Período de recuperación del capital 33

34 VAN: Valor Actual de los Flujos Netos Un proyecto es rentable para un inversionista si el VAN es mayor que cero.»van > 0 Proyecto Rentable (realizarlo)»van < 0 Proyecto NO Rentable (archivarlo)»van 0 Proyecto Indiferente Es muy importante el momento en que se perciben los beneficios. A medida que es mayor la tasa de interés, menos importantes son los costos e ingresos que se generan el futuro y mayor importancia tiene los costos cercanos al inicio del proyecto. 34

35 Valor Actual Neto VAN = i=n i=0 B i - C i Io (1 + r) i (r = r% 100 ) Año Costos Beneficios Neto (1+r) i V.A VAN =

36 TIR: Tasa interna de Retorno Corresponde a aquella tasa descuento que hace que el VAN del proyecto sea exactamente igual a cero. F1 F 2 0 I TIR 1 TIR 1 TIR n F n 0 I o n TIR i1 1 F i i Donde: Fj = Flujo Neto en el Período i Io = Inversión en el Período inicial n = Horizonte de Evaluación 36

37 Tasa Interna de Retorno i=n 0 = i=0 B i - C i (1 + TIR) i Io 400 VAN % 15% 20% Tasa VAN 37

38 Indicadores Costo- Eficiencia Valor actual de los costos VAC Costo anual equivalente CAE VAC / VAB CAE por beneficiario CAE/B 38

39 Valor Actual de los Costos i=n VAC = i=0 C i (1 + r) i Io Año Costos (1+r) i V.A VAC =

40 VAC / VAB Permite comparar proyectos: Con diferente Nº de beneficiarios Con diferente vida útil Puede también calcularse por: Número de atenciones entregadas Unidades del bien producido Vehículo Cuando el número de beneficiarios por año es constante podemos utilizar también: 40

41 Dirección General de Inversión Pública - DGIP Dirección de Política y Estrategias de la Inversión 41

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