MEDIDAS ESTADÍSTICAS DERIVADAS DE INDICADORES DE DESIGUALDAD

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1 Departamento de Economía Aplcada I Unversdad de Sevlla MEDIDAS ESTADÍSTICAS DERIVADAS DE INDICADORES DE DESIGUALDAD TESIS DOCTORAL José Enrque Romero García Sevlla, Marzo de 05

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3 Departamento de Economía Aplcada I Unversdad de Sevlla MEDIDAS ESTADÍSTICAS DERIVADAS DE INDICADORES DE DESIGUALDAD Trabajo realzado para optar al Grado de Doctor por la Unversdad de Sevlla Doctorando José Enrque Romero García Drector Dr. Jesús Basulto Santos Sevlla, Marzo de 05

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5 El concepto de desgualdad es, smultáneamente, muy smple y muy complejo. A certo nvel, es el más smple de los conceptos y ha movdo a los pueblos con un atractvo drecto no superado por nngún otro. A otro nvel, sn embargo, es una nocón extremadamente compleja que hace muy problemátcos los jucos sobre la desgualdad y, por tanto, ha sdo objeto de nvestgacón para flósofos, estadístcos, teórcos de la polítca, socólogos y economstas. (Sen, 973, págna. 9) V

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7 Agradecmentos Como todo en esta vda, no hay nngún logro alcanzado por un ndvduo que se deba en exclusva a él msmo. Las personas y el entorno que han formado parte de su vda, actual o pasada, son fundamentales para alcanzar cualquer meta; es justo agradecerles a ellos su contrbucón. En prmer lugar, expreso m grattud al Doctor Jesús Basulto Santos, drector del trabajo, por su búsqueda ncesante de artículos y fuentes hstórcas. Sus ndcacones han sdo claves para la elaboracón del presente trabajo. Quero agradecer al Drector del Departamento de Economía Aplcada I por su mplcacón en la fnalzacón de este trabajo, a los compañeros del Departamento que me han aportado comentaros y sugerencas, como el profesor Lus M. Sánchez-Reyes Fernández, y a los de otros departamentos, de la Unversdad de Sevlla y de otras unversdades, por sus apoyos constantes. Tambén quero mostrar m agradecmento al Dr. Javer Gamero Rojas por su colaboracón nestmable en todo momento. Igualmente quero expresar m agradecmento a m mujer, hjos, hermanos, amgos y a toda m famla, por su carño y apoyo a lo largo del tempo. A ms padres que me han nculcado el valor del esfuerzo, la constanca y los prncpos; en especal a m madre, por sus desvelos contnuos y abnegados, por darlo todo por su famla sn esperar nada a cambo. Su preocupacón por los demás, su fortaleza ante las adversdades, su espírtu de esfuerzo y la búsqueda del ben de todos, sn persegur recompensa alguna, son una muestra de los cmentos que contrbuyen a crear un mundo mejor. Sevlla, Marzo de 05 VII

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9 ÍNDICE CAPÍTULO INTRODUCCIÓN.. Introduccón. Contexto hstórco Objetvos.3. Organzacón del trabajo PARTE I. PARETO Y LA MEDICIÓN DE LA DESIGUALDAD CAPÍTULO EL ORIGEN DE LA MEDICIÓN DE LA DESIGUALDAD. PARETO.. Introduccón La dstrbucón de la renta según Pareto. Modelo de Pareto... El concepto de Pareto sobre la dsmnucón de la desgualdad..4. Medcón alternatva de la dsmnucón de la desgualdad.5. Concepto de desfavorecmento CAPÍTULO 3 RELACIÓN ENTRE MEJORAS EXPUESTAS EN ESCRITOS DE PARETO Y TIPOS DE DOMINANCIAS 3.. Introduccón Funcones de evaluacón socal. Domnanca Domnanca Lorenz Domnanca estocástca de prmer grado Domnanca estocástca de segundo grado CAPÍTULO 4 LA DISTRIBUCIÓN PARETO VS LA DISTRIBUCIÓN PARETO-CUADRÁTICA 4.. Introduccón Algunas propedades de la dstrbucón de Pareto Únca dstrbucón, de soporte nfnto, con funcón de supervvenca de elastcdad constante IX

10 ÍNDICE 4.. Únca dstrbucón, con soporte nfnto, lbre de escala Regla del 80/ Propedad de un solo cruce Justfcacón de la dstrbucón Pareto-cuadrátca Algunas propedades de la dstrbucón Pareto-cuadrátca Funcones de dstrbucón y de densdad. Momentos Elastcdad Propedad de un solo cruce Tasa de cambo de la pequeñez de una empresa Aproxmacón local por la dstrbucón paretana PARTE II GINI Y LA MEDICIÓN DE LA DESIGUALDAD 63 CAPÍTULO 5 EL ÍNDICE δ DE GINI VS. EL ÍNDICE α DE PARETO 5.. Introduccón Índce δ de Gn para medr la concentracón 5.3. El índce δ de Gn versus el índce α de Pareto Dferencas entre los conceptos de la desgualdad de Gn y Pareto CAPÍTULO 6 LA CONSOLIDACIÓN DE LA MEDIDA DE LA DESIGUALDAD. GINI 6.. Introduccón Caso de datos no agregados Caso de agregacón en frecuencas 6.4. Caso de agregacón en ntervalos 6.5. Relacón entre la Razón de concentracón R de Gn y la curva de concentracón de Lorenz 6.6. Relacón entre R y la dferenca de medas Otra formulacón del índce R para datos agregados en frecuencas absolutas X

11 ÍNDICE 6.8. Domnanca de Lassalle e índce de desgualdad Domnanca de Beauleu e índce de benestar CAPÍTULO 7 MEDIDAS DE LOCALIZACIÓN CENTRAL BASADAS EN PONDERACIONES DE GINI 7.. Introduccón El índce de Gn y las medas equvalentes como medas ponderadas Meddas de localzacón basadas en medas equvalentes Smulacones Ejemplos aplcados Famla unparamétrca G λ -medas 7.7. Smulacones con una famla de modelos generadores Modelos generadores 7.7. Smulacón CAPÍTULO 8 CONCLUSIONES 8.. Introduccón. 8.. Conclusones de la parte I Conclusones de la parte II BIBLIOGRAFÍA 99 ANEXOS 307 XI

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13 CAPÍTULO OBJETIVOS Y ESTRUCTURA.. INTRODUCCIÓN. CONTEXTO HISTÓRICO.. OBJETIVOS.3. ESTRUCTURA DEL TRABAJO

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15 Capítulo Objetvos y Estructura.. INTRODUCCIÓN. CONTEXTO HISTÓRICO En el presente trabajo se pretende combnar el análss de textos orgnales de Pareto y Gn sobre desgualdad, con desarrollos estadístcos formales orgnales y aplcacones práctcas realzadas a partr de ellos. Una mrada a los orígenes de las dstntas técncas y coefcentes para medr la desgualdad puede ayudarnos a comprender mejor el funconamento de dchas técncas y a dseñar otras nuevas para medr la propa desgualdad u otras característcas de la dstrbucón analzada. El concepto de desgualdad, tal como ndca Sen (973) es smple y complejo, a la vez; depende como se defna puede ocurrr que la desgualdad aumente o dsmnuya. Nosotros entenderemos por desgualdad la dferenca o varabldad entre los valores. Un avance mportante en el desarrollo de las meddas de dspersón, varabldad o desgualdad entre caracteres surgeron a fnales del sglo XIX y comenzos del sglo XX, favorecdas por los problemas que planteaba contrastar empírcamente la teoría de la evolucón de las especes de Darwn. En concreto, el surgmento de la varabldad como mecansmo de seleccón natural. La prmera condcón necesara para que cualquer proceso de seleccón natural pueda ncarse, en una raza o espece, es la exstenca de dferenca entre sus membros (Bométrka, Nº, pág., 90 Edtoral: The Scope of Bometrka.). Las teorías evoluconstas de Darwn (809-88) tuveron una gran nfluenca en los trabajos de su prmo Galton (8-9), el cual medía la 3

16 Capítulo Objetvos y Estructura varacón entre observacones en funcón de la dstanca entre cuartles y a quen se le atrbuye la ley logarítmco normal. Weldon ( ), fue nombrado en 889 profesor ttular de la Cátedra Jodrell de Zoología en el Unversty College de Londres. A Weldon, que había tendo formacón matemátca, le parecó muy nteresante el enfoque estadístco ncado por Galton en sus estudos sobre la evolucón. Aunque la medda de la varacón usada por Weldon seguía sendo la dstanca entre cuartles, se propuso demostrar la evolucón Darwnana por teorías estadístcas; lo que resultó decsvo para que Karl Pearson ( ) se nteresará por estos temas. Pearson ocupaba la cátedra de Matemátcas Aplcada y Mecánca en el msmo Unversty College que Weldon. Pearson quedó mpresonado por las posbldades que, se percató, se abrían con la aplcacón de la estadístca al estudo de los fenómenos bológcos de la herenca y la evolucón, y que Galton había ncado; más allá de sus aplcacones a los juegos de azar y al estudo de la físca que hasta ese momento habían sdo los campos de aplcacón de esta cenca. Pearson contrbuyó a la solucón de estos problemas durante los años de una manera asombrosa en cuanto a la cantdad y caldad de sus trabajos. Uno de sus objetvos fundamentales en esa época fue el desarrollo de una teoría que arrojase luz sobre la nfluenca de la seleccón natural en la varabldad de los órganos. En 894 Pearson publca un prmer documento de la sere que luego se ttuló Contrbucones Matemátcas a la Teoría de la Evolucón. Introduce el método de los momentos como medo para ajustar una curva teórca a los datos expermentales, da la defncón de desvacón típca, e ntroduce el símbolo σ para notarla. En 895, Pearson publca la memora sobre Varacón Asmétrca 4

17 Capítulo Objetvos y Estructura en Materal Homogéneo, que posterormente desarrolló en dos suplementos, uno publcado en 90 y otro en 96. Por otro lado, la desgualdad económca-socal ha sdo un tema que a lo largo de los tempos ha preocupado a flósofos y economstas (Arstóteles, Platón, Kant, Stuart Mll, ), aunque no se han obtendo expresones matemátcas para medrla hasta fnales del sglo XIX. A fnales del sglo XIX y prncpos del XX en dversos países europeos (y en Estados Undos) se estaban desarrollando rápdamente técncas de análss estadístco. Hasta certo punto, en este desarrollo hubo una especalzacón en dferentes países; así, por ejemplo, en Inglaterra se estaban desarrollando los campos aplcados a la pscología, bología, cencas socales, etc; en Franca y en Rusa, por otra parte, exstían consderables aportacones con un enfoque más teórco, y en Itala hubo una escuela de estadístcos aplcados al campo de la economía y concretamente al campo de las cantdades macro de los Estados. N que decr tene que esta descrpcón esquemátca no tene vocacón de ser exhaustva en absoluto. En este contexto es donde aparecen fguras como las de Pareto, Benn, Gn, Petra, etc. que estudan, entre otras temas, la dstrbucón y concentracón de magntudes relevantes para la macroeconomía (rentas, rqueza de ndvduos, tamaño de famlas, crédtos, ). Nos vamos a centrar en dos autores, Pareto y Gn; en concreto en sus ndcadores más mportantes y obtendremos meddas estadístcas a partr de ellos. Estos dos autores fueron, sn duda, los más sgnfcatvos y los ndcadores que elaboraron han perdurado hasta nuestros días. 5

18 Capítulo Objetvos y Estructura Nuestro nterés por Vlfredo Federco Dámaso Pareto (848-93), radca en que Pareto fue el prmer nvestgador en determnar una expresón analítca explícta del modelo de probabldad para el estudo de la dstrbucón de la renta en una poblacón. Por otro lado, la unversaldad de la ley de Pareto se encuentra en la gran cantdad de fenómenos que sguen una ley paretana. Se analzará la relacón entre la mejora de Pareto y las de Lassalle y Leroy-Beauleu. Para entender los planteamentos de Ferdnand Lassalle (85-864) y Perre Paul Leroy-Beauleu (843-96), es mportante reseñar que Lassalle trabajó y colaboró con Marx, mentras que Leroy-Beauleu (a quén en adelante denomnaremos solamente como Beauleu) fue un férreo defensor del lberalsmo económco. Por su parte, Corrado Gn ( ) es amplamente conocdo en la práctca actual de la Estadístca por el índce de concentracón que lleva su nombre. Sn embargo, aparte de establecer dcha medda, Gn estuvo consderando otras posbldades, algunas de ellas relaconadas con las deas de Pareto y su ley de dstrbucones de rentas. Nuestro estudo, por lo que respecta a Gn, se centra en dos de sus índces más conocdos; en concreto, el coefcente δ, su problemátca y sus mplcacones, que aparece en su artículo Indc d Concentrazone e d dpendenza de 90 y el índce o razón de concentracón de Gn, que aparece en su artículo Sulla msura della concentrazone e della varabltà de caractter de 94. Como ndca Lambert (0), aunque en los últmos años han aparecdo muchas expresones del índce de Gn, parte de las fórmulas orgnales son bastante desconocdas y, en este trabajo, se muestran algunas de ellas. 6

19 Capítulo Objetvos y Estructura.. OBJETIVOS A partr del análss de las dferentes acepcones que Pareto utlza del térmno menor desgualdad, se establecerá el concepto de desfavorecmento de un ndvduo que tene un certo ngreso y el de tasa de cambo de desfavorecmento de ese ndvduo. Segudamente se van a relaconar los dferentes crteros de mejora que aparecen en los escrtos de Pareto con los crteros actuales de Domnanca u ordenacones parcales de dstrbucones, y se mostrará la equvalenca entre ellos. Utlzaremos una extensón cuadrátca a la ley de Pareto para el caso del tamaño de las empresas. Esta extensón cuadrátca, que mejora consderablemente la relacón paretana, la denomnaremos dstrbucón Paretocuadrátca. Daremos algunas propedades de nterés de esta dstrbucón Paretocuadrátca y de su dstrbucón truncada, en especal la posbldad de estudar el nvel de desgualdad de manera local, en lugar de globalmente como se hace con la dstrbucón Pareto. De forma smlar al concepto de desfavorecmento, defnremos el concepto de pequeñez de una empresa y calcularemos la tasa de cambo del nvel de pequeñez de la empresa. Dado que, en térmnos generales, la meda artmétca no es un buen estmador del valor central de una dstrbucón, es de nterés encontrar estmadores muestrales con un mejor comportamento que la meda muestral en certos escenaros. Se construrán, a partr de certas expresones alternatvas para 7

20 Capítulo Objetvos y Estructura el índce de Gn y de las medas equvalentes, algunos de esos estmadores, los cuales presentarán dversos nveles de robustez..3. ORGANIZACIÓN DEL TRABAJO Este trabajo se dvde en dos partes, una dedcada a cada uno de los dos autores anterormente reseñados, Pareto y Gn. La prmera comprende los capítulos al 4, y la segunda los capítulos 5 al 7. En el capítulo se detallan los razonamentos que llevaron a Pareto a postular su modelo de dstrbucón de ngresos, se analza el concepto de lo que Pareto denomna dsmnucón de la desgualdad y la relacón entre esa mejora de Pareto y las de Lassalle y Beauleu, se analza el procedmento alternatvo para comparar desgualdades que usa Pareto y se establecerá el concepto de desfavorecmento. Las cuantfcacones de las defncones de mejora socal, dadas por Lassalle (menor desgualdad, menor dspersón) y Beauleu (mejor efcenca), se realzarán ntroducendo la cuantfcacón monetara en los razonamentos de Pareto. Pareto pasará de una concepcón de mejora basada en la cuantfcacón de las cantdades monetaras asgnadas a los valores de la dstrbucón, dsmnucón de la dspersón de los valores (Lassalle), y poscón de mejora absoluta de los valores (Beauleu), a una concepcón basada exclusvamente en la ordenacón. Pareto usa varos procedmentos para medr la desgualdad; entre ellos uno geométrco y otro basado en las funcones de supervvenca o, equvalentemente, de dstrbucón, pero no son los úncos. Apoyados en uno de 8

21 Capítulo Objetvos y Estructura los procedmentos alternatvos para comparar las desgualdades de dos dstrbucones, defnremos el nvel de desfavorecmento de un ndvduo que tene un certo ngreso y la tasa de cambo de desfavorecmento de ese ndvduo al aumentar su nvel de ngreso. En el capítulo 3, se mostrará la equvalenca de los dferentes crteros de mejora que aparecen en los escrtos de Pareto con los crteros actuales de ordenacones parcales o domnanca estocástca de dstrbucones que se basan en las Funcones de Evaluacón Socal. Se mostrará que la domnanca de Lorenz concde con la mejora de Lassalle. La domnanca estocástca de prmer grado con el crtero orgnal de mejora de Pareto, y la domnanca estocástca de grado dos con el crtero de mejora de Beauleu. Como consecuenca de trabajos de nvestgacón realzados por este doctorando con un equpo de trabajo de la Unversdad de Sevlla, sobre nnovacón y compettvdad de empresas, al analzar la dstrbucón del número de trabajadores de las empresas se ha poddo comprobar que dcha dstrbucón no suele segur una ley paretana, sno que sgue la ley que hemos denomnado Pareto-cuadrátca, y ello ndependentemente del año y del país nvestgado. Esta ley será estudada en el capítulo 4. En el capítulo 5 analzamos el trabajo de Gn denomnado Indc d concentrazone e d dpendenza, en el que Gn señala la dspardad entre la dea de "desgualdad" de Pareto y la suya de concentracón. En el capítulo 6 mostramos otra formulacón del índce de concentracón R de Gn para datos agregados en frecuencas absolutas, una expresón alternatva a la orgnal dada por Gn. Tambén se probará que un ndcador 9

22 Capítulo Objetvos y Estructura natural de la desgualdad global de la dstrbucón, sguendo el crtero de Lassalle, es el índce de Gn. Igualmente, en este capítulo, se ncluye la conexón entre domnanca de Beauleu y Benestar, en general y en los casos partculares de las dstrbucones de Pareto y Pareto-cuadrátca. En el capítulo 7, basándonos en las deas de G-meda y meda equvalente, se consderan un conjunto de meddas estadístcas defndas usando esquemas de ponderacón relaconados con el índce de desgualdad de Gn. Hacendo uso del concepto de meda equvalente, se defne una medda de localzacón central que, en certas dstrbucones smétrcas con alta o baja curtoss, es mejor estmador de la meda poblaconal, medante una funcón de pérdda cuadrátca, que el estmador meda muestral. Para termnar, el capítulo 8 se destnará para un resumen de las conclusones, resultados más mportantes obtendos y futuras líneas de nvestgacón. 0

23 PARTE I PARETO Y LA MEDICIÓN DE LA DESIGUALDAD Pareto era producto de un sector de la cvlzacón francotalana extraordnaramente alejado de las correntes de pensamento nglés y amercano. Dentro de dcho sector, además, su gran fgura se levanta cas aslado. Es mposble encasllarle. No rndó culto a smo alguno, y nngún credo o partdo puede reclamarle como suyo, aun cuando muchas veces unos y otros se hayan apropado fragmentos de ese vasto campo ntelectual que fue su domno. Schumpeter (949, págna 60)

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25 CAPÍTULO EL ORIGEN DE LA MEDICIÓN DE LA DESIGUALDAD. PARETO.. INTRODUCCIÓN.. LA DISTRIBUCIÓN DE LA RENTA SEGÚN PARETO. MODELO DE PARETO.3. EL CONCEPTO DE PARETO SOBRE LA DISMINUCIÓN DE LA DESIGUALDAD.4. INTERPRETACIÓN ALTERNATIVA DE LA DISMINUCIÓN DE LA DESIGUALDAD.5. CONCEPTO DE DESFAVORECIMIENTO

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27 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto.. INTRODUCCIÓN Pareto nvestgó el equvalente a lo que hoy en día denomnamos las declaracones del mpuesto de la renta de los contrbuyentes en varos países, con organzacones económcas dferentes y en dstntos períodos de tempo, y observó que, a partr de determnados ngresos, los puntos del plano cuyas coordenadas eran los logartmos de los ngresos y los logartmos de los números de ndvduos con rentas superores a ellos se dstrbuían sobre una línea recta. Esto le llevó a proponer una ley que explcaba el fenómeno de la dstrbucón de la renta en su cola de la derecha, por dos razones: una, que no se deben usar las rentas pequeñas, porque son fácles de dsmular ante hacenda; dos, porque las estadístcas de su época solo reflejaban los ngresos de los contrbuyentes efectvos; es decr, aquellos que superaban unos nveles mínmos de renta. Pareto, como hemos ndcado anterormente, se preocupó de modelzar la parte alta de dcha de dstrbucón de renta. Posterormente, otros autores han usado otras funcones de probabldad como la Lognormal, la Gamma, la Webull, etc; u otras funcones no de probabldad, como la curva de Lorenz y la curva de Lorenz generalzada para analzar la dstrbucón de la renta en todo su conjunto; e ncluso se han empleado dstntos ndcadores numércos, entre los que destaca el índce de Gn, que analzaremos en capítulos sguentes, para estudar característcas asocadas a la dstrbucón. En el apartado, se detallan los razonamentos que llevaron a Pareto a postular su modelo de dstrbucón de ngresos. 5

28 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto En el apartado 3, se analza el concepto de lo que Pareto denomna dsmnucón de la desgualdad y la relacón entre esa mejora de Pareto y las de Lassalle y Beauleu. En el apartado 4, se analza un procedmento alternatvo para comparar desgualdades que usa Pareto. Por últmo, en el apartado 5, se establecerá el concepto de desfavorecmento, que será amplado posterormente en el capítulo 4... LA DISTRIBUCIÓN DE LA RENTA SEGÚN PARETO. MODELO DE PARETO Pasamos a contnuacón a detallar los razonamentos que llevaron a Pareto a postular su modelo. Las leyes propuestas por Pareto para la dstrbucón de la renta fueron publcadas en dos de sus lbros: Cours d Économe poltque. Tomo II (897), y Manuel d Econome poltque (909). Pareto (897), Fgura., en su Cours D'Econome poltque, Apartado 957, pag 304, expone que el reparto de la rqueza puede depender de la propa naturaleza humana, de la organzacón socal o del azar. Fgura.: Pareto, 897, Apartado 957, pag 304 6

29 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto Contnúa dcendo, Fgura., que va a ntentar averguar cuál es la verdadera causa del reparto de la rqueza; y que, s este reparto de rqueza, varía poco entre cudades, épocas y organzacones socales dferentes, ello quere decr que es debdo a la propa naturaleza humana. Fgura.: Pareto, 897, Apartado 957, pag 304 Pero qué quere decr Pareto con que la naturaleza del hombre es la causa de ese fenómeno?. Se está refrendo a la relacón logarítmca?. Es certo que muchos fenómenos relaconados con la naturaleza, humana y no humana, sguen una ley logarítmca. Nosotros pensamos que la forma del reparto de la rqueza es un caso partcular que surge a partr de las propedades de la funcón logarítmca. Así, hay muchos sucesos que no tenen nada que ver con la naturaleza humana y que sguen una ley paretana, tales como la ntensdad de las llamaradas solares o el dámetro de los cráteres de la luna; otros muchos, aunque humanos, no tenen nada que ver con la dstrbucón de la renta: la frecuenca de 7

30 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto las palabras usadas, el número de ctas recbdas por artículos centífcos, la ntensdad de las guerras, el tamaño de las cudades, etc. Por otra parte, como se ha ndcado anterormente, exsten otras dstrbucones, dferentes a la Pareto, que representan ben a la dstrbucones de la renta; por ejemplo, la Lognormal (Gbrat, 93), la Doble-potencal (Fréchet, 939), la Fsk o Log-logístca (Fsk, 96), la Gamma (Salem y Mount,974) y la Webull (Bartles y Metelel, 975). Análogamente, hay otras dstrbucones, tambén dferentes a la Pareto, que reflejan el comportamento de otros fenómenos humanos, tales como la Exponencal. Por ejemplo, el nº de entradas en las lbretas de dreccones de emal (Newman, Forrest y Balthrop, 00) Todas estas dstrbucones tenen en común que la funcón logarítmca está mplícta en ellas de alguna manera. La explcacón de por qué la ley logarítmca está subyacente en tales fenómenos hay que buscarlas en causas dversas: Ley de Proporconaldad: Muchas varables cuyo valor mínmo es el cero, poseen escalas proporconales (multplcatvas) en lugar de escalas de ntervalos (adtvas). Así, la problemátca de una empresa de 30 trabajadores es más parecda a la de una empresa de 300 que a la de una empresa de trabajador; ello, a pesar de estar más cerca ntervalarmente el valor 30 de que de 300. Es decr, la relacón es proporconal y no es de ntervalo. Dgamos que, en estos casos, 30 es más parecdo a 300 que a. 8

31 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto Estas dstrbucones suelen tener sesgo postvo y dado que la funcón logarítmca comprme las escalas en valores grandes y la expande para los valores pequeños, consgue dotar de certa regulardad a la nueva escala, regulardad que somos capaces de detectar. Certo es que hay otras transformacones que comprmen las escalas en valores grandes y la expanden en valores pequeños, pero lo que verdaderamente caracterza a la funcón logarítmca es que transforma relacones multplcatvas en relacones adtvas, permtendo usar la ley Normal. Modelzacón por ecuacones dferencales: La evolucón de muchos fenómenos pueden modelzarse por ecuacones dferencales en cuyas solucones aparece la funcón logarítmca. En concreto, la ley paretana aparece cuando, dada un valor x de varable X, la varacón de una magntud, f(x), dependente de ella, df(x), es proporconal al valor de la magntud en el momento de producrse el cambo, f(x), y a la varacón expermentada por la varable X, e nversamente proporconal a dcho valor x de la varable: df ( x) dx df ( x) = kf ( x) dx = k x f ( x) x df ( x) = k dx Ln f ( x) = kln( x) + a f ( x) x Igualmente, hay dversos mecansmos que pueden explcar la aparcón de las dstrbucones paretanas (Kleber y Kotz, 003; Newman, 006; Basulto y Arrbas, 0). 9

32 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto Sguendo con los razonamentos de Pareto, sea c N x el número de contrbuyentes de un país, con renta gual o superor a la renta x. Pareto (Cours, apartado 958, pag 304 y 305), Fgura.3 a Fgura.5, observó que, para valores c grandes de la renta, s representamos en el eje de ordenadas los log( N x ), y en el eje de abscsa los log( x ), entonces la gráfca de esos puntos es, práctcamente, una línea recta con pendente negatva, dgamos α. Es decr, que la ecuacón de esta recta puede ser representada por: c x log N = C α log x En efecto, Pareto escrbó: Fgura.3: Pareto, 897, Apartado 958, pag 304 Y contnúa en la págna sguente: 0

33 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto Fgura.4: Pareto, 897, Apartado 958, pag 305

34 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto Fgura.5: Pareto, 897, Apartado 958, pag 305 Ahora, s hacemos C=log(A), entonces nos queda c ( x ) ( ) α ( ) log N = log A log x, de donde podemos expresar: c A α α Nx = = Ax x, A > 0, x h, α >, h > 0 α (.) x Que representa el modelo de la dstrbucón o reparto de la renta llamado Modelo de Pareto, donde h suele tomarse como la renta mínma obtenda empírcamente, a partr de la cual se verfca esa gualdad. Verdaderamente, basta con que el parámetro α cumpla la condcón α > 0 ; el poner α > es para que exsta la meda. En concreto, Fgura.6, Pareto escrbó:

35 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto Fgura.6: Pareto, 897, Apartado 958, pag 306 La dstrbucón de Pareto tambén es llamada dstrbucón potencal o ley de potenca con soporte nfnto. Pareto, Fgura.7, Cours Apartado 959, pag 30, afrmaba, como ya señalábamos anterormente, que no se debían usar las rentas pequeñas, porque son muy fácles de dsmular ante el fsco: Fgura.7: Pareto, 897, Apartado 959, pag 30 Nosotros añadremos que no es aconsejable usar valores pequeños porque en ellos la funcón logarítmca se dstorsona mucho. 3

36 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto Pareto observó que la forma de la curva varaba poco en el tempo; así, Fgura.8, para Bâle obtuvo los sguentes resultados: Fgura.8: Pareto, 897, Apartado 959, pag 30 Ahora, Fgura.9 y Fgura.0, hace comparacones para dversos países: Fgura.9: Pareto, 897, Apartado 959, pag 3 4

37 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto Fgura.0: Pareto, 897, Apartado 959, pag 3 En los casos anterores, analzados por Pareto, los valores de α eran muy estables, varaban entre un mínmo de.3 y un máxmo de.89. Esto ndujo a Pareto (Cours d Économe poltque. Tomo II, 897, Apartado 960, pag 3) a decr, Fgura., que la dstrbucón de la rqueza varaba poco en stuacones económcas o épocas dferentes: Fgura.: Pareto, 897, Apartado 960, pag 3 Es en este momento, Fgura., cuando Pareto, al referrse a lo que contará más adelante en el apartado 965, comete su prmera mprecsón: 5

38 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto Fgura.: Pareto, 897, Apartado 960, pag 3 Como veremos en el sguente apartado, la dsmnucón de α lo que produce es una mejora de la dstrbucón, en el sentdo que se ndcará en un momento posteror de este trabajo, pero no una dsmnucón de la desgualdad como Pareto ndca en su texto. Por el contraro, la dsmnucón de α produce un aumento de la desgualdad en el sentdo de dspersón relatva. Obsérvese que el parámetro α tene que ver con la dspersón. De hecho, al dsmnur α aumenta la dspersón, tal como se muestra en las gráfcas de las funcones de supervvenca de las dstrbucones P P( α = 3, h= ) y P P( α = 9, h= ), Fgura.3: Funcones de Supervvenca de dstrbuc. paretanas, 0,8 0,6 Sup. de P(3,) Sup. De P(9,) 0,4 0, Fgura.3: P P( α = 3, h= ); P P( α = 9, h= ) 6

39 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto A mayor valor de α, se obtene una mayor acumulacón de densdades de frecuenca en las proxmdades del valor mínmo h; es decr, menos dspersón relatva. En concreto, a mayor α, menor es la proporcón de personas que alcanzan nveles altos de renta. La representacón gráfca de la curva dada por Pareto para la dstrbucón de la renta aparece en la pág 33 de su Cours, Tomo II, Fgura.4 y Fgura.5: Fgura.4: Pareto, 897, Apartado 96, pag 33 Fgura.5: Pareto, 897, Apartado 96, pag 33 En la págna 34 ndca el por qué hasta ahora no se había observado, a su parecer, que las curvas de rentas son estables a cambos geográfcos. Así, señala que todavía no se había dado una expresón analítca a ella, lo que ha mpeddo 7

40 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto observar que dcha curva de rentas es poco dferente de unos países a otros. Pareto añade que hay algunos autores que opnan que la curva de rentas no tene un corte tan pronuncado en la parte ncal, Fgura.6 y Fgura.7: Fgura.6: Pareto, 897, Apartado 96, pag 34 Fgura.7: Pareto, 897, Apartado 96, pag 34 Pero nsste, Fgura.8, en que toda persona, por pobre que sea, tene que tener un ngreso mínmo que le permta vvr, ya sea por el fruto de su trabajo, entregado por alguna entdad benéfca o de cualquer otra manera, y opna que la curva que mejor se adapta a las dstrbucones de la renta analzadas era la propuesta por él: 8

41 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto Fgura.8: Pareto, 897, Apartado 96, pag 35 Pareto ndcó, Fgura.9, como hemos señalado anterormente, que su fórmula de la dstrbucón de la renta era válda úncamente para la parte derecha de la dstrbucón de la renta y que, además, era sólo una prmera aproxmacón para toda la dstrbucón. (pag 36, apartado 963): Fgura.9: Pareto, 897, Apartado 963, pag 36 9

42 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto Pareto descubró, como hemos ndcado, que, para rentas sufcentemente altas, la nube de puntos se ajustaba cas perfectamente a una funcón de tpo potencal, concretamente hperbólca. Exsten dversas explcacones sobre la razón de la asmetría a la derecha en el modelo de la dstrbucón de los ngresos: Las habldades propas de las personas, decía Pareto. Aquellos con grandes habldades tenderán a ubcarse en una determnada poscón en la socedad y obstaculzarán la redstrbucón de los ngresos. Dgamos que aquellos que realmente están en dsposcón de cambar las cosas porque tenen el poder y ocupan una poscón elevada en las estructuras organzatvas no tenen nterés en cambar esa stuacón. La rqueza presenta un efecto acumulatvo; de manera que a mayor nvel de ngreso, mayor probabldad de ncrementarlo. Sólo las personas que poseen un certo nvel de ngreso mayor a un ngreso mínmo están en condcones de multplcar los ngresos. Podríamos decr que para que una persona prospere en una socedad basta con darle un pequeño mpulso ncal. (Red, 000) Nosotros aportamos la que hemos denomnamos Ley de Proporconaldad que hemos detallado anterormente. En lo que sgue de este apartado, vamos a formalzar algunas expresones conocdas de la dstrbucón paretana. 30

43 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto S notamos c Nh al nº total de contrbuyentes (ndvduos con renta superor a la renta mínma h), tendremos que la proporcón de ndvduos con rentas nferor a x vene dada por: Es decr: c c c Nx Nh Nx Nx Ax F( x) = = = = N N N N α c c c c h h h h α Ax F( x) = c (.) N h Ah Ahora, dado que F(h) = 0, se tene que F(h) = = 0, luego: c N c h α α h N c α A= = Nh h (.3) h Por tanto, susttuyendo (.3) en (.): c A c Nx = = Nh h x α x α α Por consguente: c Nx α α h S( x) = = h x = c N x h Y susttuyendo (.3) en (.) se tene que, dada la renta mínma, un valor h postvo, la funcón de dstrbucón F( x ) de la varable aleatora X de Pareto, tambén denomnado modelo I de Pareto o ley de Pareto tpo I, vene defnda por: α 3

44 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto ( ) F x α h x h> 0, α > 0 = x 0 en [ 0, h) (.4) Y la funcón de supervvenca S( x) se expresa en la forma: h S( x) = x α (.5) De donde, operando fáclmente, y representando por CV, CA, CC e IG al, coefcente de varacón, coefcente de asmetría de Fsher, coefcente de curtoss de Fsher e índce de desgualad de Gn, respectvamente, se obtenen los sguentes resultados ben conocdos: α α h f ( x) =, x> h α+ x X Me = h α αh α [ ] =, α > E X αh = > E X, α α m m h E α X =, α > m α m [ ] Var X [ ] CV X [ ] CA X [ ] CC X αh =, α > ( α ) ( α ) =, α > α α ( ) ( α ) + α = γ=, α > 3 α 3 α ( α )( α + α+ ) 3 3 = γ =, α > 4 α α ( 3)( α 4) 3

45 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto [ ] IG X =, α > α La Ley formulada por Pareto se asentaba sobre la constatacón empírca de sus observacones, pero tenen que pasar muchos años hasta que Cantell (9, 99), Champernowne (95, 953) y Mandelbrot (960) sentan las bases probablístcas de esa ley de Pareto (Kleber y Kotz, 003) Es nteresante reseñar la denomnada Ley débl de Pareto, enuncada por Maldebrot y reterada posterormente por Dagum (977), que afrma que toda funcón de probabldad que represente una dstrbucón de renta tene que converger asntótcamente a la Ley de Pareto. Es decr, se está asumendo que la ley que mejor representa la cola derecha de la dstrbucón de ngresos, la dstrbucón de altos ngresos, es la ley de Pareto. Es decr, que se ha de cumplr que s X es la varable que representa la dstrbucón de la renta y S(x) es su funcón de supervvenca entonces: S( x) lm =, α > 0 + α x h x (.6) Esta propedad de convergenca a la Ley de Pareto mplca tener una cola pesada; esto es, que las dstrbucones que verfquen dcha ley han de converger lentamente a cero cuando la varable renta tende a nfnto; por lo cual han de tener pocos momentos fntos. Por ello, las dstrbucones Lognormal y Gamma, que poseen momentos fntos de todos los ordenes, convergen rápdamente a cero y no se ajustan ben a la cola de la dstrbucón. 33

46 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto Segudamente, vamos a analzar las reflexones segudas por Pareto sobre cómo mejorar una dstrbucón de ngresos y veremos que, en sus escrtos, aparecen los conceptos actuales de domnanca..3. EL CONCEPTO DE PARETO SOBRE LA DISMINUCIÓN DE LA DESIGUALDAD Como se observará en adelante, Pareto establece su concepto de mejora en base a la proporcón de ndvduos que superan un umbral de renta y no a partr del valor en sí de la renta de cada ndvduo. Es decr, se basa en la ordnaldad más que en la cardnaldad. Esto se debe a que Pareto, aunque comparte la opnón sobre la convenenca de realzar comparacones nterpersonales de utldad en cuestones práctcas, cree que, con rgor centífco, no es posble realzarlas. Pueden hacerse, pero empleando jucos de valor y, por ello, en tal caso, no es posble obtener de tales comparacones premsas postvas. En este sentdo, hay que señalar que el propo Bentham, fundamentador del utltarsmo, en su obra La pscología del hombre económco, pag. 7, ndca que el crtero de la gualdad de las funcones de utldad como base de las comparacones nterpersonales de utldad es vago e nexacto, pero que está más cerca de la verdad que cualquer otro. Esta dea sobre las comparacones nterpersonales la expone Pareto (Cours, Tomo II, pag. 47), Fgura.0, al hablar de la comparacón de las ofelmdades, donde por ofelmdad entende las satsfaccones obtendas de causas económcas: 34

47 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto Fgura.0: Pareto, 897, Apartado 645, pag 47 Pareto (Cours, Tomo II, pag. 48), Fgura., es de la opnón que solo entre ndvduos que no se separan de un tpo medo es posble, en rgor, hacer comparacones de benestar: Fgura.: Pareto, 897, Apartado 645, pag 48 Pareto, en Cours d Économe poltque. Tomo II (897), apartado 964, pag 38, Fgura., hace las sguentes reflexones sobre el estudo del reparto de las rentas, reflexones que, podríamos decr, concden esencalmente con lo actualmente aceptado sobre rqueza, pobreza y desgualdad: 35

48 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto Fgura.: Pareto, 897, Apartado 964, pag 38 Obsérvese que Pareto ha dcho que la curva MNst representa a una poblacón con gran desgualdad de las rentas, mentras que la curva mnst representa a una con muy poca desgualdad. Por consguente, dado que en el prmer caso hay valores muy dferentes entre s, mentras que en el segundo caso los valores tenden a ser parecdos; de momento, la nocón de desgualdad de rentas de Pareto parece ser equvalente a la que tomaremos nosotros, desgualdad o dferenca entre los valores, sn nngún contendo étco con relacón a la equdad. Acepcón adoptada por Gn (9) y Kuznets (953). Concepto que tambén entenderemos por dspersón. De la msma manera, cuando hablemos de gualdad de rentas, nos referremos al caso en el que todos los ndvduos tenen los msmos ngresos, el 36

49 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto ngreso medo, stuacón opuesta a aquella en la que un ndvduo lo tene todo y los demás no tenen nada. No obstante, Pareto ha dstngudo claramente entre pobreza y desgualdad. Para él son dos cosas completamente dferentes. Esto va a ser fundamental para entender más adelante su concepto de dsmnucón de la desgualdad. Así, podemos decr que Pareto establece una relacón de equvalenca entre las dstrbucones paretanas, de manera que dos dstrbucones paretanas son desgualmente equvalentes o equvalentes en desgualdad s tenen el msmo parámetro de forma α, ndependentemente del parámetro de localzacón h. El parámetro de localzacón h afectará a la meda, pero no a la desgualdad, a la dspersón relatva. El únco parámetro que afecta a la forma de la dstrbucón de Pareto es α, como queda reflejado en el hecho que tanto el coefcente de asmetría, como el de curtoss sólo dependan de α. Esta relacón de equvalenca estará ben defnda para el propósto de comparar las desgualdades según Pareto, pues la dstrbucón truncada de una Pareto vuelve a ser, como veremos segudamente, otra dstrbucón de Pareto, con el msmo α, pero con dstnto h. valores En efecto, sea X P( α, h). Sea X* la dstrbucón de X truncada para * x h > h ; entonces, veremos que X * P( α, h*). Como la funcón de supervvenca de X* es: 37

50 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto S X * SX ( x) FX ( x) ( x) = = S ( h*) F ( h*) X X La funcón de dstrbucón de la varable X* será: SX ( x) FX ( x) FX ( x) FX ( h*) FX *( x) = SX *( x) = = = S ( h*) F ( h*) F ( h*) X X X Luego, la funcón de dstrbucón de la varable X*, vene dada por: F X * ( x) FX ( x) FX ( h*) x h * = FX ( h*) (.7) 0 en 0, * [ h ) Pero, α α h h α α h h F ( ) ( *) x h* X x FX h h * x h* = = = α FX ( h*) α h h x h * h* α Luego, X * P( α, h*). A contnuacón, Fgura.3, se muestran las gráfcas de una dstrbucón paretana P( α = 3, h= ) y de la dstrbucón truncada en h=4. 38

51 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto Funcones de Supervvenca de dstrbucones paretana y truncada, Sup. de P(3,) Sup. truncada de P(3,) para h*=4 0,8 0,6 0,4 0, Fgura.3: Dstrbucón P( α = 3, h= ) y truncada en h * =4. Ahora Pareto pretende aclarar el concepto de dsmnucón de la desgualdad, Fgura.4 y Fgura.5: Fgura.4: Pareto, 897, Apartado 964, pag 38 39

52 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto Fgura.5: Pareto, 897, Apartado 964, pag 39 De la frase anteror parece que, de momento, para Pareto menor desgualdad es menor dspersón relatva y que además, tal como comentó anterormente, la desgualdad no depende del prmer valor de la dstrbucón, no depende de h. Sguendo la termnología actual, nosotros entenderemos que el concepto de dsmnucón de la desgualdad representa el de dsmnucón de la dspersón relatva. Es el concepto de dsmnucón de la desgualdad que muestra posterormente Pareto, el que sus coetáneos entenderon que no estaba ben defndo; nosotros pensamos que lo que sucede es que no estaba ben expresado lo que el pretendó decr. Segudamente, lo que quere Pareto es decr qué entende por mejora y, como justfcaremos más adelante, no tene por qué sgnfcar una verdadera dsmnucón de la desgualdad. Es decr, cuando habla de dsmnucón de la desgualdad, está ntentando decr cuándo se produce una stuacón de mejora en la dstrbucón. 40

53 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto En lo que sgue, vamos a suponer que las dos dstrbucones son del msmo tamaño; cosa que se puede hacer por el prncpo de replcacón. Para aclarar su dea de la dsmnucón de la desgualdad, mejor expresado sería decr de mejora, Pareto expone la opnón de otros autores, la de Leroy Beauleu frente a la de Lassalle; aunque, fnalmente, adoptará una poscón dferente a la de ambos. Además, hay que reseñar en este punto, que tanto Lassalle como Beauleu ncorporan la cuestón étca de la desgualdad. Estas opnones son recogdas por Pareto en su Cours, tomo II, pag 39, Fgura.6. Para Lassalle: Fgura.6: Pareto, 897, Apartado 964, pag 39 4

54 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto Es decr, que, para Lassalle, la stuacón de un grupo o clase de un colectvo hay que medrlo con relacón al resto de ese colectvo en ese nstante de tempo concreto y no con relacón a la stuacón del grupo en tempos pasados. No mporta que, por ejemplo, en la actualdad la clase trabajadora tenga cuberta las necesdades báscas de educacón, sandad, haga vajes de vacacones, etc. Por consguente, Lassalle está mantenendo una opnón sobre la stuacón relatva de unos ndvduos con otros en ese nstante de tempo, en esa stuacón concreta; mentras que Leroy Beauleu dce que mporta la stuacón absoluta, la dstanca con respecto al orgen. La mejora de Lassalle es una mejora exclusvamente en gualdad, en dspersón relatva. Exsten muchas formas de cuantfcar la mejora de Lassalle, la mejora en gualdad, en dspersón relatva, que las rentas nferores se aproxmen a las superores. El prmer paso, dadas dos dstrbucones ncales, X e Y, será, tal como decía Lassalle, elmnar el efecto del contexto en que se encuentre y, para ello, consderaremos las dstrbucones con relacón a su meda, X x e Y y. Una vez realzado esto, consderar las subpoblacones formadas por los ndvduos más pobres, al gual que hace Pareto. Ahora, tomaremos el equvalente a lo que hace Pareto pero hacendo uso de la utldad e dentfcando la utldad del ngreso con el propo ngreso. Es x decr, en lugar de consderar el número de ndvduos cuyas rentas x no superan 4

55 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto un ngreso determnado (crtero de Pareto no usando la utldad), consderaremos la utldad total que les reporta esos ngresos x x, o la utldad meda de los msmos (Crtero de Pareto usando la utldad más smple, la funcón dentdad). El camno para determnar cuál de las dos presenta más gualdad, menos desgualdad ( y dremos que X es mejor que Y según Lassalle, X Y ) será el de las medas parcales, las utldades medas, las rentas per capta de cada subpoblacón relatvzada a su propa meda; que sean mayores en X x que en Y y : LAS Es decr, j j x y x y, j=,.., N. j j = = X Y s LAS * x y x y * (.8) El Crtero de Lassalle, cuando las rentas relatvas nferores se aproxman a las rentas relatvas superores, veremos que concdrá con el Crtero de Lorenz. Será el llamado Prncpo de Eleccón Socal. Así, para Lassalle, en el sguente ejemplo (Tabla.), la dstrbucón X sería mejor que la Y; puesto que hay más gualdad aunque vvan peor (lo * * podríamos cuantfcar de la forma ( x ) ( ) y x ): y 43

56 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto y x ( y ) * ( x ) * ( ) * y y ( ) * x x Tabla.: Ilustracón para Lassalle Obsérvese que, con este crtero, las rentas nferores se aproxman a las superores, pero no tenen por qué mejorar. Incluso la nferor puede empeorar. Asmsmo, Leroy Beauleu, pag 30, Fgura.7, según ndca Pareto, tambén dentfca menor desgualdad con menor dspersón: Fgura.7: Pareto, 897, Apartado 964, pag 30 Por tanto, Leroy Beauleu observa que el progreso de las clases nferores ha sdo más rápdo que el de las otras clases, lo que lleva a una aproxmacón (rapprochemet) entre ellas y por consguente a una menor desgualdad (mondre négalté), a una menor dspersón, parece querer ndcar, que la que había anterormente, una menor desgualdad entre las fortunas, dce en el texto. Del razonamento de Leroy Beauleu sobre Lassalle, parece desprenderse que para Beauleu es necesaro mrar la stuacón en la que se encuentra un colectvo con relacón a la stuacón que tena en el pasado (medcón del ncremento absoluto), hay que mrar la dstanca con relacón al orgen, la efcenca de los ndvduos del colectvo. 44

57 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto Por tanto, según el crtero de Beauleu habría prmero que consderar las subpoblacones formadas por los ndvduos más pobres, al gual que hace Pareto. Ahora, al gual que antes, tomaremos el equvalente a lo que hace Pareto pero hacendo uso de la utldad e dentfcando la utldad del ngreso con el propo ngreso. Es decr, en lugar de consderar el número de ndvduos cuyas rentas no superan un ngreso determnado (crtero de Pareto no usando la utldad), consderaremos la utldad total que les reporta sus ngreso, o la utldad meda de esos ngresos (crtero de Pareto usando la utldad). forma: Así pues, el crtero de Beauleu lo podemos cuantfcar en la sguente Dadas dos dstrbucones ncales, X e Y. Consderar las subpoblacones formadas por los ndvduos más pobres. Dremos que X es mejor que Y según Beauleu, X BEA Y, s se cumple que las medas parcales, las utldades medas, las rentas per cápta de cada subpoblacón, son mayores en X que en Y: Es decr, j j x y, j=,.., N. j j = = X Y s BEA * x y *, =,, N. (.9) El crtero de Beauleu es un crtero de Mejora de la efcenca, un Prncpo de Eleccón Económca, que veremos será equvalente al Crtero de la curva de Lorenz generalzada, que a su vez concdrá con la Domnanca estocástca de segundo orden y que, a su vez, concdrá con el crtero de Shorrocks. 45

58 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto Así, para Beauleu, en el sguente ejemplo (Tabla.), la dstrbucón X sería mejor que la Y; puesto que se mejoran las efcencas de los dstntos colectvos acumulados (lo podríamos cuantfcar en la forma: * x y *, =,, N, que será el crtero de Shorrocks): y x * y * x Tabla.: Ilustracón para Beauleu Obsérvese que, con este crtero, las rentas de cada clase no tenen por qué mejorar, que las rentas nferores no tenen por qué aproxmarse a las superores, que el ndvduo más desfavorecdo sempre mejora y que, en cada tramo, las mejoras de las clases nferores superan a las perddas de las clases superores, supuesto que haya habdo perddas en esas clases superores (veremos que esto sgnfcará que las curvas de Lorenz generalzadas no se cortan). Las cuantfcacones de las defncones de mejora, dadas por Lassalle (menor desgualdad, menor dspersón) y Leroy Beauleu (mejor efcenca), las entenderemos en el sentdo que hemos ndcado anterormente. La cuestón surge con la formalzacón que da Pareto de menor desgualdad pues, al formalzarla, se queda con una medcón no basada en la cuantfcacón de los ngresos, en la utldad de los msmos, sólo en la ordenacón de ellos; una poscón dferente a la de Lassalle (crtero relatvo), pero tambén dferente a la de Beauleu (crtero absoluto), que sí se basan en la cuantfcacón de los ngresos y en una medda de la utldad de los msmos. Pareto, Fgura.8, en lugar de tomar esas defncones tal cuales, toma una algo dferente. Pareto afrma: 46

59 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto Fgura.8: Pareto, 897, Apartado 964, pag 30 Y prosgue: Fgura.8 bs: Pareto, 897, Apartado 964, pag 30 Obsérvese que hay un pequeño error en el texto anteror, y que correctamente tendría que decr: En général, lorsque le nombre des personnes ayant un revenu supéreur ( nféreur dce por error) à x augmente par rapport au nombre des personnes ayant un revenu nféreur ( supéreur dce por error) à x, nous drons que l'négalté des revenus dmnue. Por tanto, como se verá en el capítulo sguente, la frase: 47

60 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto lorsque le nombre des personnes ayant un revenu supéreur augmente par rapport au nombre des personnes ayant un revenu nféreur à x à x llevará parejo lo que denomnaremos mejora por rangos, que conllevará que las personas en las nuevas condcones vvan mejor, bajo el prncpo del anonmato, en térmnos absolutos, que las personas con las condcones ncales, pero no necesaramente que haya menos desgualdad, menos dspersón, con las nuevas condcones que con las ncales. Por consguente, a partr del capítulo sguente, cuando se produzca la stuacón comentada por Pareto, dremos que se ha producdo una mejora por rangos y no una dsmnucón de la desgualdad, no una dsmnucón de la dspersón. Por tanto, Pareto ha pasado de una concepcón de mejora basada en la cuantfcacón de las utldades asgnadas a los valores, dsmnucón de la dspersón de los valores (Lassalle), y poscón de mejora absoluta de los valores (Beauleu), a una concepcón basada exclusvamente en la ordenacón. Pareto, al percatarse que su defncón no fue muy ben acogda, la modfcó lgeramente e ntentó aclararla posterormente en 909, en su Manuel, pag 389, Fgura.9: 48

61 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto Fgura.9: Pareto, 909, pag 389 Y pone un ejemplo para entenderlo: Fgura.30: Pareto, 909, pag 389 Dstnguendo entre rcos y pobres, Fgura.3: 49

62 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto Fgura.3: Pareto, 909, pag 390 Ahora ndca, Fgura.3: Fgura.3: Pareto, 909, pag 390 Lo que verdaderamente se produce es una dsmnucón de la proporcón de ndvduos que están en peores condcones, en rentas nferores. De ahí que, entendemos nosotros, Pareto djera que se producía una dsmnucón de la desgualdad de la proporcón de rentas, porque dsmnuían los que se encontraban en condcones más desfavorables, dgamos más desguales, los más pobres, por así decrlo; aquellos que no tenen acceso a determnados nveles de ngreso. Por tanto, Pareto está tomando en este momento una concepcón étca del térmno desgualdad. 50

63 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto Es decr, que, en termnología de Pareto, la desgualdad de la proporcón de las rentas dsmnuye cuando el número de personas que tenen una renta nferor a x dsmnuye en relacón al número de personas que tenen una renta superor a x. Dcho de otra manera: por desgualdad de la proporcón de las rentas o desgualdad de las rentas Pareto entende la relacón que exsta entre las funcones de dstrbucón o, lo que es equvalente, entre las funcones de supervvenca. Esta últma defncón de 897, apartado 965, pag 30, la formalza a partr de la funcón u x, defnda por c Nx ux =, x> h c (.0) N h Donde N c x es el total de ndvduos con rentas superores a la renta x, x h> 0, y N c h es el total de ndvduos con rentas mayores o guales a la renta mínma h. Por tanto u x da, para cada renta x, la proporcón de ndvduos con renta mayor que la renta x. Pareto (897, pag 30) nterpreta su defncón de desgualdad dcendo que la desgualdad dsmnuye cuando el cocente dado por u x aumenta para todo x> h. El ejemplo que puso Pareto puede smplfcarse en la sguente Tabla.3: c c valores A n N S valores B n N S <x< <x< Tabla.3: Ejemplo de Pareto 5

64 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto Cuando se produzca este tpo dsmnucón de desgualdad, en la termnología de Pareto, la dsmnucón de los que se encuentran en peores condcones, será lo que, en el capítulo sguente, denomnaremos como una mejora por rangos de Pareto, tal como justfcaremos en su momento. Obsérvese que la expresón (.0) puede ponerse en la forma u c c Nx Nh Nx Nx = = = = F( x) (.) N N N x c c c h h h donde F( x ) es la funcón de dstrbucón de la varable renta; sendo por tanto u x la funcón de supervvenca de dcha varable renta y que denomnaremos desde ahora en adelante S(x). Es decr, Pareto parte de la funcón de supervvenca de la varable renta: c Nx Nx h S( x) = = = F c c ( x) = N N x h h α (.) Expresón que concde con la obtenda al susttur (.3) en (.). A menor α, pueden obtener nveles altos de renta una mayor proporcón de ndvduos; por ello, podemos decr que a menor α mejor es esa socedad, en el sentdo que más ndvduos alcanzan elevados nveles de renta. Por consguente, podríamos decr que, para Pareto, X es una mejora de Y, s una vez ordenadas las rentas se produce una mejora en cuanto a que aumenta la proporcón de personas que acceden a rentas superores: 5

65 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto c c ( ) ( ),,.., N X N Y = n (.3) N N X Y En cuyo caso, dremos que se ha producdo una mejora de Supervvenca y pondremos X Y. S En esta mejora, que es la mejora que propuso Pareto al decr que se producía una dsmnucón de la desgualdad, lo que verdaderamente se produce es una dsmnucón de la proporcón de ndvduos que no alcanzan determnados nveles de renta: N N I( x j t) I( y j t) (.4) j= j= N X, t> 0 N Y De ahí que Pareto djera, como hemos ndcado varas veces, que se producía una dsmnucón de la desgualdad, porque dsmnuían los que se encontraban en peores condcones, en condcones más desguales; aquellos que no tenen acceso a determnados nveles de ngreso. No obstante, llegados a este punto, es necesaro hacer una precsón. Convene recordar que Pareto trabaja con las dstrbucones que hemos denomnado desgualmente equvalentes o equvalentes en desgualdad ; por tanto, dadas dos dstrbucones X, Y; para comparar la desgualdad presente en cada una de ellas, no las compara drectamente, sno que procede de la sguente manera:. Sean X P( α, h ), Y P( α, h ). Supongamos, sn pérdda de generaldad, que h h.. Ahora consdera la dstrbucón desgualdad a X P( α, h ). * X P( α, h ) equvalente en 53

66 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto. Ahora compara la desgualdad en las dstrbucones * ( α, ), Y P α h X P h comparacón, se reduce a comparar los α. (, ), que ya tenen el msmo h. Esta.4. MEDICIÓN ALTERNATIVA DE LA DISMINUCIÓN DE LA DESIGUALDAD Los dos procedmentos usados hasta ahora para medr la desgualdad paretana, uno geométrco y otro basado en la comparacón de las funcones de supervvenca o, equvalentemente, de dstrbucón, no son los úncos procedmentos para comparar desgualdades que Pareto usa. Argumenta Pareto, que solo tratará casos medos y generales (Course, tomo II, pag 3), Fgura.33: Fgura.33: Pareto, 897, Apartado 965, pag 3 Y, con relacón a los ngresos argumenta, Fgura.34 y Fgura.35: 54

67 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto Fgura.34: Pareto, 897, Apartado 965, pag 3 Fgura.35: Pareto, 897, Apartado 965, pag 3 Para medr ahora la dsmnucón de la desgualdad de las rentas, Pareto (Cours,tomo II, pag. 3) consdera la funcón S ( x), Fgura.36: S( x ) Fgura.36: Pareto, 897, Apartado 965, pag 3 Y medante ella, prueba la proposcón enuncada en la págna 30, Fgura.37: Fgura.37: Pareto, 897, Apartado 965, pag 30 55

68 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto Pero esta proposcón puede dar lugar a dversas nterpretacones. Pueden consultarse los trabajos de Barbut (003), Basulto y Busto (00), Basulto, Busto y Sánchez (0), entre otros. Nosotros daremos aquí una nterpretacón dferente a la dada en los trabajos prevamente ctados. Trabajaremos con la dstrbucón de Pareto tpo I, aunque él lo hacía con la tpo II (más general). Tendremos en cuenta que, según la nterpretacón de Pareto, la desgualdad, varía en el msmo sentdo que lo hace α, pues trabaja con lo que hemos denomnado dstrbucones desgualmente equvalentes. En este sentdo, convene ndcar que s para medr la desgualdad usamos el coefcente de varacón, el índce δ de Gn o el índce de concentracón de Gn (que veremos en los sguentes capítulos) observamos que solo dependen de α, no dependen de h, tal como argumentaba Pareto. Por tanto, y puesto que, además, la meda de la dstrbucón de Pareto E X vene dada por la expresón [ ], ; αh α = = δ hα > δ =, y que esta α α expresón aumenta al dsmnur α, y al aumentar h, es fácl ver que la proposcón formulada por Pareto es certa en los térmnos comentados, con la nterpretacón de Pareto sobre la dsmnucón de la desgualdad. En concreto, se cumple: S la desgualdad de las rentas no camba (es decr s α permanece constante) y la renta mínma h aumenta, entonces la renta meda aumenta. S la desgualdad de las rentas dsmnuye (es decr s α dsmnuye) y la renta mínma h no camba, entonces la renta meda aumenta. 56

69 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto S la desgualdad de las rentas dsmnuye (es decr s α dsmnuye) y la renta mínma h aumenta, entonces la renta meda aumenta. En la págna 3 del Cours, tomo II, Fgura.38, Pareto comenza a enuncar la nversa de esa proposcón: Fgura.38: Pareto, 897, Apartado 965, pag 3 Que termna de enuncar en la págna 33, Fgura.39: Fgura.39: Pareto, 897, Apartado 965, pag 33 E X En concreto, y dado que [ ], ; αh α = = δ hα > δ =, se cumple que: α α 57

70 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto S la renta meda aumenta y la desgualdad de las rentas no camba (es decr s α permanece constante), entonces la renta mínma h aumenta. S la renta meda aumenta y la renta mínma h no camba, entonces la desgualdad de las rentas dsmnuye; es decr α dsmnuye. Aunque Pareto enunca estas proposcones para la denomnada ley de Pareto tpo II, nosotros hemos trabajado con la ley de Pareto tpo I, para segur mejor los razonamentos..5. EL CONCEPTO DE DESFAVORECIMIENTO Basándonos en el procedmento alternatvo para comparar las desgualdades de dos dstrbucones comentado en el apartado anteror, podemos consderar que S( x ) representa el nvel de desfavorecmento de un ndvduo que tene un ngreso x, puesto que es la proporcón entre el nº de ndvduos en mejor stuacón que él y el nº de ndvduos totales. Por tanto, ds( x ) representa el cambo en el desfavorecmento de un ndvduo que tene un ngreso x, y es la tasa de cambo de desfavorecmento de ese ndvduo. ds( x) S( x) Pareto sólo estudó el equvalente al cambo en el desfavorecmento, lo que él denomnó varacón de la desgualdad, cuando camba la socedad; es decr, cuando camba α y/o cuando camba la renta mínma, h. Nosotros ncorporamos además el cambo en el ngreso del ndvduo. Por tanto, el cambo de desfavorecmento será: S( x) S( x) S( x) ds( x) = dx+ dh+ dα x h α (.5) 58

71 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto Y, la tasa de cambo de desfavorecmento sería: h α ds( x) SX ( x) S ( x) S ( x) = dx + dh + d α (.6) S( x) S( x) S( x) S( x) ds( x) Veamos segudamente como nfluye cada uno de los térmnos de en su S( x) evolucón. * Supongamos prmero que la socedad, globalmente consderada no camba (h y α permanecen constante) y el ndvduo modfca su renta. S( x+ ) S( x) Obvamente, representa el decremento relatvo que S( x) expermenta el nvel de desfavorecmento, de un ndvduo cuando pasa de ganar x a ganar x+. Pero, dado que Se tendrá que: α α h S( x) = h x = x α α α S( x+ ) S( x) SX ( x) α h x = = α α α S( x) S( x) h x x Por consguente, la dsmnucón del nvel de desfavorecmento cuando el ndvduo aumenta su renta y pasa al nvel superor, la tasa con la que camba su nvel de desfavorecmento al cambar su renta, se mde por: ( x) = α (.7) S( x) x SX Por tanto, fjado el nvel de renta x, a mayor α mayor decremento de la tasa del nvel de desfavorecmento al pasar de ese nvel de renta al nmedato superor; 59

72 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto luego, se puede decr, en ese sentdo, que a mayor α, mayor nvel relatvo de desfavorecmento, de los ndvduos de la dstrbucón orgnal. Mejor se encuentra el ndvduo después del cambo. Más dfícl le ha resultado al ndvduo pasar del estado ncal al nuevo, más dfícl subr ese escalón salaral, más dfícl crecer. Dcho de otra forma, el nvel de dfcultad para crecer, progresar, de un ndvduo con un ngreso x, será mayor mentras mayor sea α, y menor, mentras menor sea α. Por tanto, α puede nterpretarse como un ndcador para medr el nvel de dfcultad, aversón, contencón, obstaculzacón o freno al crecmento de los ngresos de los ndvduos. En este sentdo, mentras mayor sea α, más dfícl progresar en esa socedad y esto es, quzás, otro argumento para la afrmacón de Pareto de socedad más desgual. Es decr, que el más desgual en la termnología de Pareto, nosotros lo dentfcaremos con más dfcultad para progresar. Esta nterpretacón del parámetro α, en el sentdo anterormente descrto, ya fue mostrada por Sorel (897) y, se podría decr, que recogda posterormente por Basulto y Arrbas (0), aunque con una explcacón matemátca dferente. Además, obsérvese que esa dsmnucón, aumento o nvarabldad del nvel de desfavorecmento, en los térmnos anterormente ndcados, solo depende de α, no depende de h. * Supongamos ahora que la socedad varía su denomnada renta mínma, h; que no camba la desgualdad (α permanecen constante) y tampoco el ngreso del ndvduo. En tal caso, la tasa de desfavorecmento vendrá dada por 60

73 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto ( ) ( ) ( ) α α h+ h h α α α h( ) h( ) x h S x S x S x x h α = = S x S x h Es decr, la tasa de desfavorecmento será: S h( x) α = (.8) S ( x) h h Luego, fjado el nvel de renta mínma, h, a mayor α más aumenta la tasa de desfavorecmento. Peor se encuentra el ndvduo después del cambo. * Supongamos ahora que en la socedad varía la desgualdad (α varía); su denomnada renta mínma, h, no camba y tampoco camba el ngreso del ndvduo. Es decr, por: En tal caso, la tasa de desfavorecmento vendrá dada por x x ( ) Ln dα Sα+ dα ( x) Sα ( x) Sα ( x) dα h h x = = ( ) Ln dα α Sα ( x) Sα ( x) x h h α S α ( x ) d α ( ) Ln x = dα S ( x) h α (.9) Por tanto, s α crece, la tasa de desfavorecmento es negatva, luego el desfavorecmento se hace menor; es decr es menor ahora que antes del cambo, 6

74 Capítulo El Orgen de la Medcón de la Desgualdad. Pareto luego el ndvduo mejora (sn cambar su ngreso x). Y por el contraro, s α decrece, la tasa de desfavorecmento es postva, luego el desfavorecmento se hace mayor y, por tanto, el ndvduo empeora. 6

75 CAPÍTULO 3 RELACIÓN ENTRE MEJORAS EXPUESTAS EN ESCRITOS DE PARETO Y TIPOS DE DOMINANCIAS 3.. INTRODUCCIÓN 3.. FUNCIONES DE EVALUACIÓN SOCIAL. DOMINANCIA 3.3. DOMI NANCIA LORENZ 3.4. DOMINANCIA ESTOCÁSTICA DE PRIMER GRADO 3.5. DOMINANCIA ESTOCÁSTICA DE SEGUNDO GRADO

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77 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas 3.. INTRODUCCIÓN En el presente capítulo, vamos a relaconar los dferentes crteros de mejora que aparecen en los escrtos de Pareto con los crteros actuales de Domnanca u ordenacones parcales de dstrbucones. Llevaremos a cabo un breve resumen de las equvalencas de esos crteros de domnanca y se mostrará la equvalenca con la mejora que aparece en los escrtos de Pareto y que han sdo comentadas en el capítulo. En el apartado se defnrán las Funcones de Evaluacón Socal, que se emplearán para ordenar dstrbucones según el benestar global. En el apartado 3 se demostrará que la domnanca de Lorenz concde, entre otras equvalencas, con la mejora de Lassalle. En el apartado 4 se mostrará gualmente que la domnanca estocástca de prmer grado concde con el crtero orgnal de mejora de Pareto. En el apartado 5 se expondrá la equvalenca, entre otras, de la domnanca estocástca de grado dos y el crtero de mejora de Beauleu. Algunas representacones gráfcas para ejemplfcar las domnancas se realzarán a partr de los tamaños de las empresas españolas y alemandas, otras serán hechas en base a dstrbucones paretanas teórcas. La descrpcón completa de las fuentes de datos se realza en el capítulo 4, que es donde se analzan detalladamente las dstrbucones de los tamaños de las empresas en España, Alemana y Reno Undo. 65

78 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas 3.. FUNCIONES DE EVALUACIÓN SOCIAL. DOMINANCIA Dadas dos dstrbucones X, Y, con la termnología moderna, cuándo se drá que X es una mejora sobre Y? Para decdr cuándo se produce una mejora, o domnanca; es decr, para decdr cuándo una dstrbucón X es mejor que otra dstrbucón Y, en algún sentdo que se precsará más adelante, trabajaremos con funcones de benestar o funcones de evaluacón socal (FES). Se partrá del hecho que se desconoce la FES específca real, pero se asumrá que verfca certas propedades étcas que son generalmente aceptadas. W X = W ( x,, x N ), Una FES, o funcón de benestar socal, será una funcón ( ) que asoca a cada dstrbucón de observacones un valor que supuestamente será el benestar del conjunto de la socedad que esa dstrbucón produce. La pregunta nmedata es cómo defnr una FES. El Teorema General de Imposbldad de Arrow (963, 974) ndca que no se pueden combnar preferencas ordnales ndvduales para obtener una funcón de evaluacón global que nos mda el benestar del conjunto de la poblacón, lo que vene a reforzar el planteamento de que, una vez establecdo dos óptmos de Pareto, es mposble decdr cuál es mejor, a no ser que se ntroduzcan crteros adconales. S se qusera que hubese una relacón de orden total entre las dferentes dstrbucones de ngreso de una socedad dada, habría que ntroducr algunos crteros adconales. Para esta fnaldad, se trabajará con funcones de benestar socal defndas sobre las utldades que asgnan los ndvduos a sus ngresos, que ya tenen un sgnfcado cardnal; aunque como djmos anterormente, Pareto creía que, objetvamente, esto tampoco podía hacerse. La preferenca de la socedad vendrá plasmada por la forma de combnar esas utldades ndvduales cardnales. Es decr, la fnaldad de la FES es precsamente pasar de una ordenacón de cuas-orden a una ordenacón socal total. 66

79 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas En este sentdo, resulta nteresante reseñar que, entre otros muchos autores postvstas como Pareto, el premo Nobel de Economía, Buchanan, pensa que el concepto de benestar socal es nadmsble, solamente hay eleccón ndvdual, pero no socal. Por otro lado, no se pretende en este trabajo hacer dsquscones flosófcas o lngüístcas sobre la acepcón y alcance de los térmnos funcón de benestar socal o funcón de eleccón socal, cuando autores de la talla que hemos reseñado y otros más, como Bergson y Samuelson, ya se han ocupado de ello. Lo que se pretende es mostrar la equvalenca entre los crteros de mejora que aparecen en los trabajos de Pareto y los crteros de domnanca estocástcas que se basan en las FES. Un análss detallado de las dversas teorías normatvas y postvas sobre la redstrbucón de la renta puede verse en Bandrés (993). Veamos cuales son las propedades báscas aceptadas de la desgualdad, de la efcenca y del benestar que, bajo condcones de regulardad, generan la mayor unanmdad entre todos los nvestgadores: Axoma de Smetría (anonmato o mparcaldad) Dos dstrbucones que se dferencen úncamente en una permutacón entre sus ndvduos presentan la msma desgualdad, la msma efcenca y el msmo benestar. Invaranza a réplcas de la poblacón (prncpo de Dalton ) Los valores de esas meddas no dependen del número de ndvduos que presentan cada realzacón de la varable, sno de la proporcón entre ellos. Prncpo de las Transferenca de Pgou-Dalton 67

80 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas Una transferenca de renta de un ndvduo más rco a uno más pobre (transferenca progresva, TP), que no altera sus poscones, dsmnuye la desgualdad, no afecta a la efcenca y aumenta el benestar. La desgualdad en una dstrbucón es cero s y sólo s todos los valores de la dstrbucón son guales. Ya sabemos que una forma de comparar dos dstrbucones es medante sus parámetros de localzacón, dspersón y forma, pero puede ocurrr que no obtengamos sufcente nformacón con esos parámetros. Una forma más completa de hacer esas comparacones entre dstrbucones es medante sus correspondentes funcones de dstrbucón, que será lo que denomnaremos domnancas estocástcas. Es claro que la maxmzacón del valor monetaro esperado no es la alternatva que elegrían la mayoría de las personas en muchas ocasones. Supongamos las dos alternatvas sguentes: A= Obtener un regalo seguro de un mllón de Euros, A= Nada, s al lanzar una moneda sale cara, y 3 mllones de Euros s sale cruz. El valor esperado de A es.5 mllones de Euros, mentras que el de A es mllón de Euros; no obstante, la mayoría de las personas seguramente elegrían la alternatva A. Obvamente, cada ndvduo puede tener sus propas preferencas entre las dstntas consecuencas correspondentes a las posbles eleccones que puede presentarse, más allá del smple valor monetaro que estas tengan. En el sguente gráfco, Fgura 3., se muestra como, para un caso de varable dcotómca como el A anteror (obtener 0 ó 3 mllones), el valor de ( ) U E X µ = =, σ = h =.5. es superor al de E U ( X ), donde E[ X ].5 X 68

81 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas µ = µ + = =, En efecto, P[ X = h] = P(0) = 0.5, P[ X h] P(3) 0.5 [ ] [ ] [ ] P U ( µ h) = P U (0) = P X = 0 = 0.5, [ ( µ + )] = [ (3)] = [ = 3] = 0.5 y la E U ( X ) P U h P U P X es, por consguente, el punto medo de las dos utldades correspondentes a los dos valores que se pueden presentar; es decr, E U ( X ) U ( µ h) + U ( µ + h) U (0) + U (3) = =, que se observa, puesto que suponemos que U es cóncava, es nferor a la utldad del punto medo de los dos valores posbles, a la utldad de.5 en este caso. Esto justfca el que muchas personas se nclnasen por elegr la alternatva de una cantdad fja gual o superor a la meda,.5 en este caso, e ncluso algo nferor a esa cantdad. Fgura 3.: E U ( X ) vs. U E ( X ) El orgen de la Domnanca Estocástca se remonta, según Bawa (98), a Danel Bernoull, pues fue el prmero en nvestgar la toma de decsones en funcón de la utldad asocada a las posbles alternatvas en vez de en funcón del 69

82 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas valor monetaro esperado. Es decr, planteó que las decsones que un ndvduo tomaba eran consecuenca de su objetvo de maxmzar la utldad esperada, y no para maxmzar el valor monetaro esperado. La Domnanca Estocástca, en su forma actual, surge de los trabajos de Qurk y Saposnk (96), Hadar y Russell (969), Hanoch y Levy (969) y Rothschld y Stgltz (970). Segudamente vamos a menconar algunos de los crteros de domnanca más usados para ordenar dstrbucones. Estos crteros de domnanca se emplearán para ordenar dstrbucones según el benestar global. Consderaremos ( ) de ngreso x ; es decr, ( ) U x, la utldad que el ndvduo -ésmo da a su nvel U x nos ndca la ntensdad de la preferenca de cada ndvduo, o lo que es gual, el benestar asocado al ngreso x. Por tanto, al consderar que la utldad puede expresarse como un valor numérco que mde la ntensdad de la preferenca del ndvduo, estamos suponendo que pueden hacerse comparacones nterpersonales de utldad. Supondremos U, la utldad del ndvduo -ésmo, dependendo solamente de su nvel de ngreso x ; es decr, U ( x ) U ( x ) =. La base de que las funcones de utldad ndvduales, U ( x ), pueden consderarse guales, U ( x ), se asenta en las opnones de Hobbes: La naturaleza ha hecho a los hombres tan guales en sus facultades corporales y mentales, cuanto todo se toma en conjunto, la dferenca entre hombre y hombre no es lo bastante consderable (Hobbes, 65, pág. ). 70

83 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas Consderemos la funcón de benestar socal ndvdualsta, es decr, basada en los valores de las utldades de cada ndvduo, de manera que la utldad de cada ndvduo no depende de la de los demás. Representaremos por W dcha funcón de preferenca socal que nos ndca cómo combnar, de alguna manera, esas utldades ndvduales para obtener el benestar, la utldad, global (,.., N ) de la socedad, y que se representa en la forma W ( X ) = W U ( x ) U ( x ) cuando se consdera que es funcón de las utldades ndvduales o en la forma ( ) W X = W ( x,, x N ) s se pensa como funcón de las propas rentas o valores ndvduales, con lo cual no se mpone una forma concreta a las funcones de utldad ndvduales, sendo W smétrca en todo momento. S W ( X ) W ( Y ) para toda funcón W, con las característcas que se consderen en cada momento, se drá que socalmente a Y. X W Y ; es decr, que X domna Trabajaremos con funcones de utldad ndvduales y FES cóncavas; que además sempre serán crecentes en el sentdo vectoral, pues la utldad ndvdual y el benestar global, al tener más renta cada ndvduo, se consdera que será mayor que en el caso de tener menos renta cada uno de ellos. Dcho de otro modo, s aumenta la renta de algún/os ndvduo/s sn empeorar la de los demás, el benestar socal ha de aumentar. Esta propedad se denomna monotonía. Podemos ver analítcamente la relacón entre concavdad de la funcón de utldad y grado de aversón al resgo del ndvduo. En efecto, desarrollando por Taylor la funcón de utldad U, en un entorno de la meda µ = E[ X ], se tendrá: U ( µ ) U ( x) = U ( µ ) + U ( µ ) ( x µ ) + ( x µ ) + 7

84 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas [ ( )] [ ( µ )] + ( µ ) [( µ )] E U X E U U E X U ( µ ) = U ( µ ) + σ X U ( µ ) + E ( X µ ) = U ( µ ) X (3.) [ ( )] U ( µ ) + σ E U X S la funcón es estrctamente cóncava, 0 que es la conocda como desgualdad de Jensen. U <, entonces E[ U X ] U E[ X ] ( ) < ( ), Por tanto, el valor esperado de las utldades es nferor a la utldad del valor medo del ngreso y por ello, un ndvduo con aversón al resgo, elegría quedarse con el valor medo del ngreso en lugar arresgarse a un ngreso ncerto, pues el valor medo de esa decsón es superor al valor medo de los posbles resultados que pueden presentarse. El valor U ( µ ) se denomna coefcente de aversón al resgo, y mde la aversón ntrínseca del ndvduo. El valor resultados, mde la ncertdumbre del entorno. El valor aversón del ndvduo ante la stuacón. σ X, la varanza de los posbles U ( µ ) σ X mde la Por consguente, la aversón al resgo del ndvduo ante una stuacón dada, medda como la pérdda de utldad esperada por causa de la exstenca de ncertdumbre, sería el producto de dos factores, la aversón al resgo del ndvduo, medda como la dervada segunda de su funcón de utldad, y el grado de ncertdumbre de la stuacón, meddo con la varanza de los posbles resultados. 7

85 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas Por ejemplo, un ndvduo ante una stuacón económca de gran ncertdumbre tendría una aversón a emprender decsones de nversón o de consumo en funcón de su nvel de aversón al resgo personal. De gual manera, una socedad con un carácter más emprendedor, con más asuncón de los resgos, con más toleranca al fracaso, tendría una utldad con menos concavdad, una menor perdda de utldad esperada provocada por un escenaro económco con ncertdumbre y, por tanto, estaría más dspuesta, aún en presenca de esa ncertdumbre, a tomar decsones de nversón, consumo, etc. La concavdad está relaconada con la utldad margnal decrecente (la nclnacón de las rectas tangentes va dsmnuyendo, dervada segunda negatva); por lo que a mayor grado de concavdad, mayor aversón al resgo, mayor mpacto tene la varacón de los ngresos más pequeños y, por consguente, es más benefcoso mejorar éstos, aún a costa de ngresos mayores, por lo que convene mejorar la gualdad entre los ndvduos para maxmzar el benestar global. Gráfcamente, Fgura 3., la concavdad de una funcón real de varable real sgnfca que dada una recta secante a la curva entre dos puntos, los valores de la curva sempre están por encma de los valores de la recta secante: ɵ ɵ [ ] ɵ f ( λ x + ( λ) x) λ f ( x) + ( λ) f ( x), λ 0,, x, x (3.) Es decr, el valor de la funcón en la combnacón convexa de los puntos sempre es mayor o gual que el valor medo correspondente de lo que vale la funcón en esos dos puntos ( U 0 ). S elmnamos la posbldad del = en la desgualdad, se drá estrctamente cóncava. 73

86 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas Fgura 3.: Funcón cóncava El concepto de utldad margnal decrecente de la renta se asoca a Danel Bernoull, quen afrmó: La utldad resultante de cualquer pequeño ncremento en la rqueza será nversamente proporconal a la cantdad de benes prevamente poseída (Danel Bernoull, 738, pág.5). Este prncpo es la base de la opnón de que es mejor una dstrbucón más gualtara, pues las rentas de los pobres satsfacen necesdades más vtales que las de los rcos. Entenderemos por funcón de benestar cóncava aquella que verfca que, dadas dos dstrbucones X e Y, el benestar asocado a una meda ponderada de dchas dstrbucones no es nferor a la correspondente meda ponderada de los benestares proporconados por cada una de ellas: [ ] W ( tx + ( t) Y ) tw ( X ) + ( t) W ( Y), t 0, (3.3) Por otro lado, s defnmos matrz bestocástca, o doblemente estocástca, { j;,,.., } PNxN = p j = N como toda matrz P Μ NxN en las que cada una de las 74

87 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas flas y columnas son una dstrbucón de probabldad; es decr que verfca las sguentes condcones: ) 0 p,, j =,.., N j ) ) N = N j= p =, j =,.., N j p =, =,.., N j (3.4) y consderamos que dadas dos dstrbucones X, Y, una matrz P tal que X=PY, con P matrz doblemente estocástca que no es una matrz permutacón, se verfcará (Murhead, 903; Hardy, Lttlewood y Pólya, 95; Dasgupta, Sen y Starrett, 973), que las componentes de X son combnacones lneales convexas de las de Y, lo que equvale a decr que X se obtene de Y por medo de transferencas progresvas, con lo que se dsmnuye la desgualdad, se mantene el valor medo y, por tanto, aumenta el benestar. Lo notaremos por X Y. BIE Obsérvese que las característcas de concavdad de las funcones de utldad ndvduales y de las FES, reflejan la tendenca a preferr una mayor gualdad en el sentdo que, mentras menos ngreso tenga el ndvduo favorecdo por la transferenca progresva, mayor será el aumento del benestar global; lo que se denomna tambén aversón a la desgualdad (para la FES). La concavdad de la utldad ndvdual sgnfcaría la aversón al resgo del ndvduo; mentras que la concavdad de la FES sgnfcaría la aversón de la socedad a la desgualdad. 75

88 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas Hay bastante conexón entre los conceptos de aversón al resgo del ndvduo y de aversón de la socedad a la desgualdad. S las utldades ndvduales, sean déntcas o no, son cóncavas y su agregacón formase la FES, entonces esta FES sería tambén cóncava y por tanto aversón ndvdual al resgo mplca aversón socal a la desgualdad. La mplcacón recíproca tambén es certa cuando la FES sea la agregacón de déntcas utldades ndvduales. En cambo, en general, la concavdad de la FES no mplcaría necesaramente la concavdad de las utldades ndvduales cuando no sean déntcas y la FES no sea la agregacón de dchas utldades ndvduales; es decr la aversón a la desgualdad de la socedad no mplcaría la aversón al resgo de los ndvduos. La Fgura 3.3 muestra varas funcones con dstnto grado de concavdad. Fgura 3.3: Dversos grados de aversón al resgo y a la desgualdad. La curva superor de la Fgura 3.3, que se representa con más detalle en la Fgura 3.4, corresponde a una funcón de utldad en la que el únco cambo de utldad se produce en un punto c. 76

89 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas En la Fgura 3.4, a la derecha y a la zquerda del punto c no hay nngún cambo en la utldad al varar el valor de los ngresos. Por tanto, sería óptmo el recolocar a la mayor cantdad de ndvduos desde el punto c- al punto c+. Es el caso de máxma aversón a la desgualdad, e ndca que úncamente se produce un aumento del benestar cuando se benefca al/los ndvduos con menos recursos que el valor c fjado y pasan a tener más recursos que dcho valor c. La funcón de utldad en este caso es de tpo escalón con salto en el valor c. Fgura 3.4: Funcón de utldad tpo escalón La curva de la parte central del gráfco de la Fgura 3.3, y que se representa detalladamente en la Fgura 3.5, es un caso general de grado de concavdad ntermeda. En esta Fgura 3.5 se observa que la gananca en utldad de un ndvduo cuando ncrementa su ngreso es menor a medda que su nvel de ngreso ncal es mayor y por tanto, s se transfere una cantdad, h, desde un ndvduo con más ngresos, x, a uno con menos ngresos, x, sn alterar sus poscones, x + h < x h, la gananca en utldad del de menos ngresos, U ( x ), es 77

90 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas superor a la pérdda de utldad del de nvel de ngreso superor, U ( x) = U ( x h), U x U x ( ) < ( ). Esta funcón representaría la dea de Bentham al afrmar: Por una partícula de rqueza, s se agrega a la rqueza del que tene menos, se producrá más felcdad, que s se agrega a la rqueza del que tene más ( ). Por la substraccón de una partícula de la matera de rqueza, se producrá una substraccón menor de felcdad, s ésta se hace del que tene la matera de la abundanca más que s se hace de la rqueza del que solamente tene la matera de subsstenca (Bentham, 95, 954, pp ). Fgura 3.5: Funcón de utldad cóncava La curva nferor, la línea recta de la Fgura 3.3, que se representa de forma ndvdualzada en la Fgura 3.6, es el caso en que la utldad de cada undad monetara, la utldad margnal, es constante, ndependentemente de los ngresos de cada ndvduo. 78

91 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas En la Fgura 3.6, se apreca que esta es la stuacón de mínma aversón, de ndferenca, a la desgualdad, pues cualquer redstrbucón de ngresos dejaría nvarante el benestar total, U ( x) = U ( x h) = U ( x ). El benestar total sólo vararía al varar la renta meda. Al comparar dos posbles dstrbucones, la dstrbucón que proporconará el mayor benestar socal es la que tenga mayor renta meda, ndependentemente de la desgualdad exstente entre las rentas de los ndvduos. Fgura 3.6: Funcón de utldad lneal Por otro lado, s a la funcón de benestar socal, como funcón de los valores de las rentas ndvduales, sólo se le mpone la condcón que sea crecente; es decr, que el benestar global de la socedad aumente s se produce ncremento en la renta de algún ndvduo, sempre que no dsmnuya nnguna, y que sea lneal, entonces cualquer redstrbucón de los ngresos dejaría nvarante el benestar socal. 79

92 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas Por tanto, en este últmo caso, en el que sólo se mpone la condcón de crecmento, el benestar socal sólo aumentaría s aumentase la rqueza meda. Es decr, la desgualdad no nfluye para nada y hay preferenca absoluta por la efcenca DOMINANCIA LORENZ Dadas dos dstrbucones X, Y dremos que la dstrbucón X domna por Lorenz a la dstrbucón Y, y lo notaremos por X Y, s L ( p) L ( p), p [ 0,] ; L X Y donde, dado p j x j = = : L( p j ) = N N x j. Es decr, X se dce que domna por Lorenz a Y s la Curva de Lorenz de X (Lorenz, 905) no queda nunca por debajo de la de Y. Pero L ( p) L ( p), p [ 0,] X x y = = Y s y sólo s N x N y j j s y sólo s j j x y x y, j =,.., N, que es el crtero de Lassalle (lo notaremos j j = = X Y ). LAS Es decr, X Y s L X Y (3.5) LAS Shorrocks y Foster (988), relaconan las funcones de benestar socal y los índces de desgualdad, y muestran que todo índce de desgualdad smétrco 80

93 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas que cumpla el prncpo de las transferencas de Pgou-Dalton genera una ordenacón déntca a la proporconada por la curva de Lorenz: X Y s I(X) I(Y), I smétrco que cumpla el prncpo de Pgou-Dalton. L Cuando se cumpla que I(X) I(Y), I de desgualdad, smétrco que cumpla el prncpo de Pgou-Dalton, lo notaremos por X Y. IPD Por tanto, se tenen las sguentes equvalencas X Y s L X LAS Y s X Y (3.6) IPD Así, Fgura 3.7, la dstrbucón del tamaño de las empresas españolas en 006 domna por Lorenz a la dstrbucón del tamaño de las empresas de 0, lo que sgnfca que en 006 las empresas eran de tamaños más parecdos entre sí que en 0. Además, obsérvese que la dferenca entre esos años no se produce en cuanto a las empresas de pequeño tamaño, sno en las empresas stuadas a partr del tamaño medano, lo que sgnfca que son estas precsamente las que han modfcado la estructura de la dstrbucón. Por consguente, queda claro que, según Lassalle, domnanca Lorenz, hay más gualdad entre las empresas españolas, en cuanto al número de empleados por empresa, en 006 que en 0. 8

94 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas Curvas de Lorenz España 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 España 006 España 0 Fgura 3.7: España 006 domna por Lorenz a España 0 Este crtero de domnanca Lorenz, no permte comparar dos dstrbucones cuyas curvas de Lorenz se corten, como es el caso de las dstrbucones del número de empleados por empresa en España y Alemana en 04, Fguras 3.8 y 3.9. Para poder hacer las comparacones en estas stuacones, se necestará establecer el crtero de Lorenz Generalzado o Domnanca Estocástca de grado. Pero antes, defnremos el crtero de Domnanca Estocástca de grado. 8

95 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas Curvas de Lorenz de España y Alemana 04 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, España 04 Alemana 04 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 Fguras 3.8 : España, Alemana 04 Curvas de Lorenz de España y Alemana 04 0,9 0,8 0,7 0,6 España 04 Alemana 04 0,5 0,4 0,96 0,97 0,98 0,99 Fguras 3.8 : Tramo fnal de las dstrbucones España, Alemana 04 83

96 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas 3.4. DOMINANCIA ESTOCÁSTICA DE PRIMER GRADO (DEP) Dadas dos dstrbucones X, Y, dremos que la dstrbucón X domna en prmer grado a la dstrbucón Y s ( ) ( ), 0 F t F t t. Lo notaremos por X Y. X Y Es decr, X domna en prmer grado a Y s la funcón de dstrbucón de X, no está nunca por encma de la de Y; lo que sgnfca que, fjado un nvel de ngresos z, la proporcón de los que no superan esos ngresos (los que tenen défct de ngresos) en X, F ( ) proporcón que hay en Y, FY ( z ). X z, sempre es menor o gual a la correspondente Pareto. Veamos algunas gráfcas para el caso partcular de la dstrbucón de La gráfca sguente, Fgura 3.0, refleja las funcones de dstrbucón para P P( α = 3, h = ); P P( α = 9, h = ), y la domnanca de prmer grado de P sobre P. P(3,) P(9,), 0,8 0,6 0,4 0, Fgura 3.0: P P( α = 3, h = ); P P( α = 9, h = ) 84

97 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas Esta otra de P P( α = 3, h = ); P P( α =, h = 4), Fgura 3., la domnanca de prmer grado de P sobre P., P(3,) P(,4) 0,8 0,6 0,4 0, Fgura 3.: P P( α = 3, h = ); P P( α =, h = 4) En este sentdo, Fgura 3., la dstrbucón del número de trabajadores por empresa en Alemana 04, domna en prmer grado a la de España 04. ESPAÑA 04 ALEMANIA 04 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Fgura 3.: Funcones de dstrbucón España y Alemana

98 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas Obsérvese que s x j z < x j +, entonces la proporcón de ndvduos de la poblacón con défct de ngresos; es decr, con ngresos guales o nferores a z es j F (z)=. N X El valor z se denomna línea de ngresos y j F (z)= se denomna índce N X de recuento de défct de ngresos para la línea de ngresos fjada, que representa la extensón del défct de ngresos y se suele notar por H X (z). En el caso del tamaño de las empresas en España y Alemana en 04, se puede decr que fjado un tamaño de empresa z, la proporcón de empresas que no superan ese umbral, ese número de trabajadores, sempre es mayor en España que en Alemana. Otra forma de ver esa domnanca de prmer grado es que cualquer medda de poscón de X, va a ser superor a la correspondente medda de poscón de Y. En concreto, esa defncón equvale, Qurk y Saposnk (96), a E U E U U funcón real de varable real monótona no decrecente que [ ] [ ], X Y (no necesaramente cóncava), donde [ ] ( ) ( ) y [ ] x( ) E U = U x f x dx en el caso contnuo X { / ( ) = t} Card x EX U = U ( t) f ( t), f ( t) =, X = x(),.., x( N) N { } en el caso dscreto; es decr, equvale a que la utldad esperada de X no sea menor que la utldad esperada de Y, para toda funcón de utldad U no decrecente y, en tal caso, se drá que X domna a Y en utldad ( X Y ). U Obsérvese que, dado que la funcón de supervvenca es la complementara de la funcón de dstrbucón, se tendrá que X domna en prmer 86

99 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas S t S t t, que es el crtero orgnal de mejora de grado a Y s ( ) ( ), 0 X Y Pareto ( dsmnuye la desgualdad, recordemos decía Pareto), y lo notaremos por X Y. OP Como además, la meda de una dstrbucón concde con el área que está encerrada entre el valor y el de la funcón de dstrbucón empírca; se deduce entonces que µ X µ Y. Podemos pensar que esta domnanca en utldad, la mejora en meda para toda funcón de utldad no decrecente, es una de las razones por las que argumentaba Pareto que para consegur que la dstrbucón de la renta sea más favorable a los pobres no hay más que un medo, aumentar la produccón y así que crezca la rqueza más que lo hace la poblacón; es decr, que aumente la renta meda. y Por otro lado, sean X= {x,.,x n } con x x e Y = {y,.,y n } con y, dos dstrbucones de rentas ordenadas, correspondentes a n n ndvduos. Se dce que X es una mejora por rangos de Pareto de Y, y lo notaremos por X Y, s x y, k =,.., n, sendo estrcta para algún k. Es R k k decr, cuando nngún ndvduo de la prmera dstrbucón ordenada tene peor stuacón que el que ocupa su msma poscón en la segunda dstrbucón ordenada (se comparan los ndvduos que están en la msma poscón en las dos dstrbucones). Veremos que esto concde con la Domnanca Estocástca de prmer grado y que concdrá con el concepto de mejora orgnal de Pareto. n Saposnk (98, 983) y Thstle (989) muestan que la condcón de F t F t t, es equvalente a domnanca estocástca de prmer grado, ( ) ( ), 0 X Y 87

100 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas que X es una mejora por rangos, domnanca por rangos de X sobre Y; que tambén se denomna mejora anónma o crtero débl de Pareto ( X Y X Y ). Es decr: R AP X Y s X Y (3.7) R Por otro lado, la nversa de la funcón de dstrbucón, la funcón cuantl, se defne como F ( p) X = nf{x : F(x) p}, p [0,). Dado que X tene domnanca F t F t t >, y que se verfca la estocástca de grado sobre Y s ( ) ( ), 0 sguente equvalenca (Mulere y Scarsne, 989): X Y ( ) ( ) ( ) ( ) F t F t, t F p F p, p (3.8) X Y X Y entonces, según el crtero orgnal de Pareto, la dstrbucón X es menos desgual, en palabras de Pareto, que la dstrbucón Y, es mejor, la domna, s y S t S t t, s y sólo s la dstrbucón X domna en prmer sólo s ( ) ( ), 0 X Y F t F t t >, s y sólo s grado a la dstrbucón Y s y sólo s ( ) ( ), 0 ( ) ( ) X Y F p F p para todo p [0,) (Domnanca estocástca nversa de grado ) s y sólo s W ( X ) W ( Y ), funcón de benestar W defnda por W = U ( x) f ( x) dx, U > 0 ; es decr, para toda funcón de benestar socal smétrca, separable adtvamente como funcón de las rentas ndvduales y con U no decrecente. En resumen, se tenen las sguentes ses equvalencas: X Y 88

101 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas. X Y. X Y. Supervvenca ( X Y ) OP 3. X Y. utldad esperada, U no decrecente 4. X 5. X U R Y AP Y H z H z z 6. ( ) ( ), X Y S (3.9) Nótese que, a veces, se dce que una FES de ese tpo es consstente con el crtero anónmo de Pareto. F t F t t >, no mplca que la socedad con Pero que ( ) ( ), 0 X Y dstrbucón X sea menos desgual que la socedad con dstrbucón Y; lo que mplca es que la socedad X es más efcente, mejor en el sentdo de la efcenca que la socedad Y; es decr µ X µ Y. Es, por tanto, un crtero de benestar absoluto. Además, S X tene Domnanca Estocástca de grado sobre Y, ello sgnfcará adconalmente que Mn{ x} Mn{ y j} y, en caso de gualdad, que ese mínmo común ocurre con menos frecuenca en X que en Y (tambén, se cumple que Max{ x} Max{ y j} ). Esto es, el ndvduo más pobre en X tene mayor o gual renta que el más pobre de Y, y en caso de tener la msma renta, la proporcón de de ndvduos con esa mínma renta es menor en X que en Y. Pero esto, es la aproxmacón no utltarsta de Rawls (97), conocdo lexmn de Rawls (Lambert, 989) o mínmax de Rawls (Sen, 973). Por tanto, la DEP mplca la domnanca Rawlsana. 89

102 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas Como hemos ndcado anterormente, la domnanca estocástca de prmer grado sólo mde aspectos de efcenca, pero no aspectos de gualdad. Esos aspectos de gualdad serán contemplados en la domnanca estocástca de segundo orden que, como veremos más adelante, combnará tanto efcenca como gualdad. Igualmente, este crtero de domnanca estocástca de orden, no permte comparar dos dstrbucones cuyas curvas de las funcones de dstrbucón se corten. Para poder hacer esta comparacón, será necesaro el crtero de la Domnanca Estocástca de grado, que concdrá con el crtero de Lorenz Generalzado. El tamaño de las empresas españolas de 006 no tene domnanca estocástca de prmer grado sobre el tamaño de las empresas españolas de 0, n el de 0 sobre el de 006, Fgura 3.3. Fgura 3.3: Funcones de dstrbucón España 006 y 0. 90

103 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas 3.5. DOMINANCIA ESTOCÁSTICA DE SEGUNDO GRADO Dadas dos dstrbucones X, Y. Dremos que la dstrbucón X domna en segundo grado a la dstrbucón Y s ( ) ( ) X Y. Es decr, s F t dt FY t dt, s 0, lo que notaremos por X 0 0 X Y s F ( t) dt F ( t) dt, s 0 s s s X Y (3.0) 0 0 Así, Fgura 3.4, la P(9,4) tene domnanca estocástca de grado sobre la P(,)., P(9,4) P(,) 0,8 0,6 0,4 0, Fgura 3.4: Funcones de dstrbucón P(9,4) y P(,). Es decr, X domna en segundo grado a Y s el área acumulada por debajo de la funcón de dstrbucón de X no es nunca superor a la acumulada por debajo de la de la funcón de dstrbucón de Y. 9

104 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas Nótese, Fgura 3.5, que la P(9,3) no tene domnanca estocástca de grado sobre la P(.5,). P(9,3) P(.5,), 0,8 0,6 0,4 0, Fgura 3.5: Funcones de dstrbucón P(9,3) y P(.5,) Que X domna en segundo grado a Y, lo que sgnfca es que, fjada una línea de ngresos, la magntud del défct de ngresos en X, sempre será menor o gual a la que hay en Y: X ( ) ( ), MDI z MDI z z (3.) Y donde la magntud del défct de ngresos, para una línea de ngresos z, MDI(z), está defnda como: MDI ( z) = H IDI, donde H representa la extensón del défct de ngresos e IDI es un ndcador, denomnado brecha o ntensdad del défct de ngresos, que mde el nvel de carenca de los que ganan menos que ese nvel de ngresos establecdo con relacón a la línea de ngresos z, x j z x j + : H = j N 9

105 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas IDI ( ) = = = j j z x x j x j = = = = j z j z z z j x (3.) Pues, Fgura 3.6, obsérvese que el área por debajo de la funcón de dstrbucón de X, hasta el valor z, z F( x) dx, vene dada en el caso dscreto, x j z x j +, 0 por el área de rectángulo de base z y altura F(x j ), zf(x j ), menos el área por arrba de F(x) hasta el nvel F(x j ); es decr, ese área es la que aparece sombreada en la fgura nferor: Fgura 3.6: Área bajo la funcón de dstrbucón. 93

106 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas ( j ) ( ) ( j j ) j j z x + x x + x x = N N N N ( z x ) ( z x ) ( z x ) = jz = j = jz x N = = = = N N jz j j = z = H IDI z N j = z j Y, por tanto, la expresón para el área queda: j Área= H IDI z (3.3) En concreto, esa defncón equvale a que [ ] [ ], E U E U U funcón real de varable real monótona crecente y cóncava ( Hadar y Russell (969), Hanoch y Levy (969), Rothschld y Stgltz (970)). Lo que sgnfca que X tene domnanca en utldad meda sobre Y, X Y. UC X Y Ese crtero concde con el de Atknson (970), pues éste defne una funcón de benestar socal W = U ( x) f ( x) dx como una funcón de benestar socal smétrca, separable adtvamente como funcón de las rentas ndvduales y con U estrctamente crecente (U >0) y cóncava ( U 0) y, medante ella, ordena las dstrbucones. El que U sea cóncava ( U 0), sgnfca, como hemos ndcado anterormente, que la utldad margnal del ngreso ha de ser una funcón decrecente de dcho ngreso, lo que sgnfca aversón al resgo. Por tanto, dado que, a su vez, el crtero de domnanca en utldad meda concde con el crtero de domnanca de benestar de Atknson, se tene: 94

107 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas X Y s X Y (3.4) UC Por otro lado, la curva de Lorenz generalzada (Shorrocks, 983), [ ] LG ( p) = µ L ( p), p 0,, además de contemplar el nvel de gualdad X X X meddo medante la curva de Lorenz, tene en cuenta la efcenca de la dstrbucón, medda medante la renta meda. En este sentdo, s [ ] LG ( p) LG ( p), p 0,, con al menos una desgualdad estrcta para algún X Y p, se dce que X tene domnanca Lorenz Generalzada sobre Y, X Y : X Y s LGX ( p) LGY ( p), p [ 0,] (3.5) LG LG Lambert (989, 993 y 00) demuestra la equvalenca de la domnanca en utldad meda cóncava y crecente con la domnanca Lorenz generalzada: X Y s LGX ( p) LGY ( p), p [ 0,] (3.6) UC Luego, de 3.4 y 3.6 se tene que: X Y s LGX ( p) LGY ( p), p [ 0,] (3.7) Obsérvese, Fguras 3.7 y 3.8, que España 006 no tene domnanca Lorenz generalzada sobre España 0, pero sí sobre España 00; y que España 0 tene domnanca Lorenz generalzada sobre 00. Pero que LG ( p) LG ( p), p [ 0,] X, no mplca que la socedad con Y dstrbucón X sea menos desgual que la socedad con dstrbucón Y; lo que 95

108 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas mplca, al gual que en la domnanca de prmer grado, es que la socedad X es más efcente, mejor que la socedad Y, en el sentdo que µ X µ Y. Vuelve a ser, fundamentalmente, un crtero de benestar absoluto Curvas generalzadas de Lorenz. España España 006 España 00 España , 0,4 0,6 0,8 Fgura 3.7: Curvas generalzada de Lorenz. España, Curvas generalzadas de Lorenz. España España 006 España 00 España 0 7 0,86 0,87 0,88 0,89 0,9 Fgura 3.8: Detalle últmo tramo CLG. España,

109 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas S notamos p j j =, entonces N j x = x L p j = L( p j ) = ( ) = N x j N x con lo cual se tendrá que j j j j = = = = [ ] x y x y LGX ( p) LGY ( p), p 0, s s, j =,.., N N N j j que es el crtero de Beauleu. Sguendo a Rothschld y Stgltz (973), podemos defnr una transferenca regresva como aquella en la que un rco obtene lo que perde un pobre, y regresva nefcente como aquella en la que un rco obtene menos que lo que perde un pobre. Notaremos X secuenca fnta de transferencas regresvas, y X TR Y s Y puede ser obtenda de X por una TRI Y s Y puede ser obtenda de X por una secuenca fnta de transferencas regresvas nefcentes. condcones: Rothschld y Stgltz muestran la equvalenca de las sguentes X LG Y s X Y (3.8) TRI En resumen, se tenen las sguentes ses equvalencas: 97

110 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas. X. X 3. X 4. X 5. X Y UC LG TRI BEA Y, utldad esperada, U crecente y cóncava Y Y Y 6. ( ) ( ), MDI z MDI z z X Y (3.9) Reformulando las conclusones de Atknson, basándonos en los resultados de Rothschld y Stgltz (970) y en el prncpo de las transferencas de Pgou- Dalton, llegamos a las sguentes 6 equvalencas:.. 3. X X X X LAS BEA L Y Y Y Y 4. X X Y Y (3.0) 5. X X ATK Y Y 6. X X puede ser obtenda de Y Y medante un número fnto de transferencas progresvas de Pgou-Dalton. El que la domnanca X X Y Y es equvalente a que X X puede ser obtenda de Y Y medante un número fnto de transferencas progresvas de Pgou-Dalton 98

111 Capítulo 3 Relacón entre Mejoras en Escrtos de Pareto y Domnancas puede consderarse un resultado ya obtendo por Murhead (903) y por Hardy, Lttlewood y Pólya (95). Nótese que, por un lado, los comentaros realzados para X X e Y Y, son trasladables al caso X e Y, cuando ambas dstrbucones tengan la msma meda y, por otro lado, que domnanca estocástca de prmer orden mplca domnanca de segundo orden, pero no al revés. Obsérvese que, como se ndcó anterormente, X Y s la funcón s 0 ( ( ) ( )) D( s) = F t F t dt 0, s 0, lo que sgnfca que el área acumulada Y X entre F Y y F X,, hasta cualquer valor s, es sempre postva; dcho de otra manera, que la suma de las áreas postvas, cuando FX FY, sea mayor que la suma de las áreas negatvas, cuando FY FX. Lo que sgnfca que, en térmnos monetaros, en cada tramo acumulado, y sempre que no se alteren las poscones, las mejoras de las clases nferores superan a las pérddas de las clases ntermedas y superores. Esta funcón D(s) es extensamente estudada por Lambert (989, 993 y 00) para el análss de la Domnanca Estocástca de grado 3. Domnanca que es tambén estudada por Shorrocks y Foster (988), pero que, como no tene relacón drecta con los escrtos de Pareto, no es tratada en el presente trabajo. 99

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113 CAPÍTULO 4 LA DISTRIBUCIÓN PARETO VS LA DISTRIBUCIÓN PARETO-CUADRÁTICA 4.. INTRODUCCIÓN 4.. ALGUNAS PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN DE PARETO 4... Únca dstrbucón, de soporte nfnto, con funcón de supervvenca de elastcdad constante Únca dstrbucón, con soporte nfnto, lbre de escala Regla del 80/ Propedad de un solo cruce 4.3. JUSTIFICACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN PARETO- CUADRÁTICA 4.4. ALGUNAS PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN PARETO-CUADRÁTICA Funcón de dstrbucón y de densdad. Momentos Elastcdad Tasa de cambo de la pequeñez de una empresa Propedad de un solo cruce Aproxmacón local por la dstrbucón paretana

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115 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca 4.. INTRODUCCIÓN Contratos realzados por este doctorando con un equpo de trabajo de la Unversdad de Sevlla, con empresas públcas y prvadas, han facltado nteresarse por el tamaño de las empresas. La varable nº de trabajadores es clave en el estudo de muchas característcas relaconadas con la actvdad empresaral; de hecho suele consderarse como una varable de control en gran parte de los estudos. Las manfestacones públcas de responsables polítcos, de entdades bancaras y de organsmos nternaconales sobre la comparacón de los tamaños de las empresas españolas con la de otros países europeos y la dferenca de nveles de compettvdad e nternaconalzacón entre ellas son constantes. En el capítulo hemos vsto que la Dstrbucón de Pareto se aplca a un gran número de stuacones; no obstante, al analzar la dstrbucón del número de trabajadores de las empresas podemos consderar que, s notamos por S( x) la proporcón de empresas con un nº de trabajadores superor a x, se ha poddo comprobar que los puntos (Ln x, Ln S ), no se encuentran sobre una línea recta, sno sobre una línea curva; y ello, ndependentemente del año y del país nvestgado, lo que sugere que el ajuste adecuado no es el paretano. En el apartado se formularán algunas propedades, mportantes para nuestro trabajo, de la dstrbucón de Pareto. En el apartado 3 se procederá a encontrar una relacón cuadrátca que relacona (Ln x, Ln S ), que mejora la relacón paretana en este caso, a la que denomnaremos dstrbucón Pareto-cuadrátca (PC). De los trabajos de Kleber y Kotz (003) y Kleber (03), puede consderarse que este planteamento tene 03

116 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca antecedentes en trabajos de Benn (905, 907), Brescan Turron (94) y Mortara (97, 949). En el apartado 4 se mostrarán algunas propedades de nterés de esta dstrbucón Pareto-cuadrátca, en especal la posbldad de estudar el nvel de desfavorecmento de manera local, en lugar de globalmente como se hace con la dstrbucón Pareto. 4.. ALGUNAS PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN DE PARETO Segudamente vamos a ver algunas propedades relevantes de la dstrbucón de Pareto, adconales a la del cambo de escala que puede verfcarse fáclmente (s X P( α, h), entonces Y = kx P( α, kh) ) Únca dstrbucón, de soporte nfnto, con funcón de supervvenca de elastcdad constante α α h En efecto, s consderamos la funcón de supervvenca S( x) = h x = x, se tendrá que la elastcdad es: α E x ds( x) x αh x = = = α α+ α α dx S( x) x h x α Es decr, que la elastcdad es constante e gual a α : Ex = α Por tanto, el parámetro α puede nterpretarse como la elastcdad de la funcón de supervvenca del ngreso, o lo que es gual, la reduccón porcentual del número de perceptores de ngresos, ante un ncremento del ngreso en %. 04

117 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca El parámetro α tambén puede ser usado, como hemos ndcado anterormente y veremos más adelante, para calcular un ndcador de la desgualdad de la socedad, pues está relaconado con el índce de desgualdad defndo posterormente por Gn. Recíprocamente, supongamos que la elastcdad de la funcón de supervvenca es constante: E x = ds( x) x k dx S( x) = ; entonces: ds( x) dx = k S( x) x ds( x) = k dx S( x) x LnS( x) = kln( x) + c c k k S( x) = e x S( x) = Ax c.q.d Únca dstrbucón, con soporte nfnto, lbre de escala La dstrbucón de Pareto es la únca dstrbucón de escala lbre, o lbre de la escala; es decr, que su funcón de densdad cumple la propedad de que para dos valores cualesquera x, x, s la relacón entre sus densdades es f (x ) = kf (x ), entonces para cualquer cambo de escala Y = bx, al consderar y = bx, y = bx, se verfca que f (y ) = kf (y ) ; es decr, la razón entre los valores de la funcón de densdad en dos puntos cualesquera sólo depende de la propa razón entre f ( x ) f ( bx ) dchos puntos: = ; es decr que exste una funcón g de manera que f ( x ) f ( bx ) f ( x ) x = g. f ( x) x 05

118 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Esto lo que sgnfca es que s, por ejemplo, en una socedad las personas que ganan 000 son /3 de las que ganan 000, entonces las que ganan 0000 son /3 de las que ganan 0000, las que ganan son /3 de las que ganan 00000, y así sucesvamente. Tambén puede verse en el sentdo que, ndependentemente del rango de valores que se analce, la proporcón entre las frecuencas de aparcón de los valores pequeños y grandes es la msma o, equvalentemente, como que la pendente de cualquer rango del gráfco logarítmco (logartmos de valores vs. Logartmo de frecuencas) es la msma. En efecto, sea α α h α α f ( x) = = αh x y sea x α+, x h. Entonces, x α α α α α αh x x f ( x ) h x x = = f ( x ) α f ( x ) x ln = ( α ) ln f ( x ) x ln f ( x ) f ( x ) x ln x = α ( f x ) ( f x ) ln( x ) ln( x ) ln ( ) ln ( ) = α dstrbucón. Por tanto, esa relacón se mantene en cualquer lugar de la cola de la 06

119 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Vamos a ver prmeramente que s la funcón de densdad de una dstrbucón cumple la propedad f ( bx) = g( b) f ( x), entonces dcha dstrbucón es lbre de escala y recíprocamente. Proposcón. Una dstrbucón X es lbre de escala s su funcón de densdad cumple que f ( bx) = g( b) f ( x), b, x / x, bx soporte( X ). Demostracón. Vamos a ver prmeramente que s la funcón de densdad de una dstrbucón cumple la propedad f ( bx) = g( b) f ( x), entonces dcha dstrbucón es lbre de escala. En efecto, sea la varable X, verfcando su funcón de densdad que f ( bx) = g( b) f ( x), y supongamos que f ( x ) = kf ( x). Ahora hacemos un cambo de escala Y = bx. Consderemos y = bx, y = bx. Tenemos que ver que se verfca que f ( y) = kf ( y) : f ( y ) = f ( bx ) = g( b) f ( x ) g( b) = f ( y ) = f ( bx ) = g( b) f ( x ) g( b) = Ahora, gualando esas dos expresones, tendremos: f ( y) f ( x ) f ( y) f ( x ) f y f y f x f y = = = = c.q.d. f x f x f x f y ( ) ( ) ( ) ( ) k ; f ( y ) kf ( y ) ( ) ( ) ( ) ( ) 07

120 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Recíprocamente, sea X una dstrbucón lbre de escala, entonces f ( x ) x = g, por lo que s dado x tomamos x = x, x = bx, tenemos que f ( x) x f ( bx) g( b) f ( x ) =, luego f ( bx) = g( b) f ( x) c.q.d. Lema. S X es una dstrbucón lbre de escala, entonces Y = kx es lbre de escala. Demostracón. Dada X, sea Y=kX, entonces y y FY ( y) = FX ( ) fy ( y) = f X ( ) k k k de donde fy ( by) = f ( by X ) = f X ( b y ) = g( b) f X ( y ) = g( b) fy ( y) k k k k k k luego, f ( by) = g( b) f ( y). Y Y Es decr, Y es lbre de escala. c.q.d. Con este lema se consgue además que, en caso de ser necesaro, el valor x= pueda consderarse que está dentro del soporte de defncón de la funcón de densdad. Obvamente, la dstrbucón de Pareto, verfca la propedad f ( bx) = g( b) f ( x). Veámoslo en la sguente proposcón. Proposcón. S X sgue una dstrbucón de Pareto, entonces verfca la propedad f ( bx) = g( b) f ( x). Demostracón. En efecto, sea X una dstrbucón de Pareto. En ese caso: 08

121 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca α α h α α α α α α α f ( x) = = αh x f ( bx) = αh ( bx) = b αh x α+ x α α f ( bx) = b f ( x) = g( b) f ( x), g( b) = b c.q.d. Además, veamos que la dstrbucón de Pareto es la únca dstrbucón lbre de escala. Proposcón. La únca dstrbucón que es lbre de escala es la dstrbucón de Pareto. Demostracón. En efecto, supongamos que una dstrbucón verfca la propedad de ser lbre de escala; es decr, su funcón de densdad verfca que f ( bx) = g( b) f ( x), b. Entonces, tomando x=, se tene f ( b) f ( b) = g( b) f () g( b) =, f () luego f ( b) f ( x) f ( bx) = g( b) f ( x) = y, por tanto: f () f ( b) f ( x) f ( bx) = f () Dervando ahora respecto de b, llamando t al argumento de f y aplcando la regla de la cadena en el lado zquerdo, nos queda: df ( bx ) ( ) ( ) dt = f x df b dt db f () db df ( bx) f ( x) df ( b) x = dt f () db Ahora, tomando b =, obtenemos: 09

122 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca ( ) ( ) ( ) ( ) () x df x = f x f () xf ( x) = f x f () f x = f dx f () f () f ( x) x f () Integrando esa ecuacón dferencal de prmer orden: f () ln f ( x) = ln x+ C f () Hacemos x = para determnar la constante y obtenemos C = ln f (). Luego la solucón de la ecuacón dferencal queda: f () ln f ( x) = ln x+ ln f () f () Ahora, tomado exponencales, obtenemos: f () f () ln x f () ln f () f () ( ) f () ln f ( x) = ln x+ ln f () f ( x) = e e f ( x) = x f () f () Luego, ponendo f () f () = α, queda: α f ( x) = x f () Es decr, α f () f ( x) = x f (), α = f () Que es la funcón de densdad de una dstrbucón de Pareto; y, por consguente, la dstrbucón paretana es la únca que verfca el crtero de lbre escala Regla del 80/0 Esta conocda regla vene a decr que, aproxmadamente, el 80% de los ndvduos con menos ngresos acumulan solamente un 0% de los ngresos totales o, lo que es gual, que el 0% de los ndvduos más rcos acumulan el 80% de la rqueza total. Lo que pretendemos hacer en este apartado es mostrar la justfcacón matemátca de esta regla. 0

123 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Veremos que la cantdad acumulada de rentas cuyos valores ndvduales son nferores a una certa renta, x, vene dada por la expresón T x c α h N h h = α x α En efecto, dada una renta x, la frecuenca absoluta de los ndvduos con rentas en el ntervalo [x,x+dx] la notaremos ndvduos es x c h n x. La frecuenca relatva de esos n N, y su densdad de frecuenca relatva es ( ) nx f x =. Por c N dx tanto, su frecuenca absoluta vene dada por: h ( ) c α α c x h α h n = f x N dx= h x N dx. La renta total correspondente a los ndvduos con una renta determnada x en el ntervalo [x,x+dx] vene dada por α α c α α c x x α h α h t = x n = x h x N dx= h x N dx tx La densdad de la renta total absoluta de esos ndvduos es h( x) =. Luego, dx c h h( x) dx= t = α h x N dx. x α α La cantdad total de todas las rentas cuyos valores ndvduales son superores a c x + + s x x una renta dada x vene dada por T = t = h( s) ds. La expresón ntegral sería:

124 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca + + α+ c α α c α c x x = ( ) = ( α h) = α h α x x T h s ds h s N ds h N T c x α c α h Nh x = α α+ (4.) Y por tanto, se obtene que el ngreso total es: T c h c h α hn = α La cantdad total de todas las rentas cuyos valores ndvduales son nferores a una renta dada x vene dada por la expresón c c α hnh α h Nh x Tx = Th Tx = α α c α c α+, luego: T x c α h N h h = α x α Veamos ahora qué proporcón del ngreso total, Q x c, está en manos de la poblacón más rca con ngresos superores a un x dado (donde x h ). Puede verse, por (4.), que: Q c x α+ α c x c α h N T h x α x = = + = c α+ Th α c h h α h Nh α+ α+ (4.) Ahora, despejando x h en ( ) h S x = x c Qx α y susttuyendo en (4.), se obtene: ( ) = S x α α (4.3)

125 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Es decr, obtenemos una fórmula que nforma sobre qué proporcón del ngreso total es controlada por la proporcón más rca de la socedad. De aquí, la regla de Pareto del 80/0, para la cual, Q c = 0.8 y S = 0. se obtenen cuando el parámetro toma el valor α =.6. Igualmente, la ordenada de la curva de Lorenz en la dstrbucón de Pareto vene dada por : c x α α ( ) α ( ) α α ( ) ( ( )) Q = Q = S x = F x = F x x ( ( )) Q = F x α (4.4) x Es decr, la relacón entre Q(x) y F(x) sólo depende de α Propedad de un solo cruce Veamos que dos funcones de dstrbucón paretanas se cruzan, a lo más, una vez. En efecto, sean X P( α, h ), X P( α, h ). S sus funcones de dstrbucón se cruzan se ha de verfcar que α α α α h h h α α x x h = = α = x x α h h / ( α α ) α h x= α h / ( α α ) (4.5) Donde, ese valor de x obtendo ha de ser mayor que h y h. 3

126 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Realmente, la únca posbldad para que se crucen una vez en algún punto ntermedo es cuando se da que h > h y α> α, en cualquer otro caso no se cruzan en nngún punto ntermedo. Esta propedad será mportante a la hora de establecer un crtero sufcente de domnanca estocástca de segundo orden, como será vsto en el capítulo JUSTIFICACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN PARETO-CUADRÁTICA Tal como hemos comentado anterormente, la dstrbucón del número de trabajadores de las empresas, los puntos (Ln x, Ln S ), no se encuentran sobre una línea recta sno sobre una línea curva, ndependentemente del año y del país nvestgado. Nos proponemos determnar un modelo que relacone Ln x y Ln S, pues el dsponer, a pror, de una funcón de densdad que modele las dferentes curvas del números de trabajadores, a partr de datos empírcos, permtrá nterpolar dentro de los ntervalos de trabajadores que suelen aparecer en los estudos empírcos y extrapolar para valores dferentes a los obtendos en dchos estudos; permtendo obtener conclusones sgnfcatvas con relacón al número de empresas con un certo rango de trabajadores. Los parámetros de dchas dstrbucones, que se pueden estmar por dversos métodos, pueden usarse para obtener, a partr de ellos, ndcadores de poscón, de dspersón, de forma y de velocdad de cambo de las dstrbucones estudadas. Esto permtrá comparar dstrbucones dferentes de forma smple y efcaz. 4

127 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Han sdo analzados los datos de empresas españolas en los períodos anterores a la crss económca de 007 (006), en plena crss (00), y en una fase fnal de la crss (0). Tambén han sdo estudados los datos de 04 para España, Alemana y Reno Undo (UK). Se han estudado las empresas que tenen como mínmo 0 trabajadores. Los datos del número de trabajadores para España en los años 006, 00 y 0 han sdo tomados de la base de datos sobre nformacón fnancera de empresas denomnada SABI (Sstema de Análss de Balances Ibérco), especalzada en España y Portugal. Los datos para 04, de España, Alemana y Reno Undo han sdo extraídos de la base de datos Lexs-Nexs de cobertura nternaconal. Los datos, una vez obtendos, han sdo tratados convenentemente para ser dspuesto en tablas de dstrbucones de frecuencas, que son las que fnalmente aparecen en el presente trabajo. Con relacón al tamaño de las plantllas, dado un número x de trabajadores, F x representa el número de empresas que tenen, a lo más, ese número de trabajadores y, por tanto, S x representa el número de empresas que tenen más de ese número de trabajadores (unas veces será en térmnos absolutos y otras en térmnos relatvos). En las gráfcas que se muestran a contnuacón aparecen, por un lado, los datos observados, y por otro, la recta de regresón lneal obtenda al consderar el modelo de Pareto, es decr, la regresón lneal de Ln (S ) frente a Ln( x ), Ln( S ) = a+ bln( x ) y, tambén, la curva obtenda al hacer la regresón cuadrátca de Ln (S ) frente a Ln(x ), Ln( S ) = a+ bln( x ) + cln ( x ). 5

128 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca En el caso de España, Tabla 4. (Anexo ), la dstrbucón del nº de trabajadores de las empresas para el año 006 es: [L - L ] F S LnL LnS Tabla 4.: Dstrbucón del nº de trabajadores de las empresas españolas, 006 En la sguente gráfca, Fgura 4., se muestran, para el año 006, los datos observados y, como se ha ndcado antes, la recta y la curva obtendas al hacer la regresón lneal y cuadrátca de Ln (S ) frente a Ln( x ). Fgura 4.: Regresones de Ln (S ) frente a Ln( x ). España

129 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca El resumen de los dos modelos y las estmacones de sus parámetros para este año 006, Tabla 4., son: Resumen del modelo Estmacones de parámetro Ecuacón R F gl gl Sg. Constante b b cuadrado Lneal Cuadrátco Tabla 4.: Coefcentes de regresones de Ln (S ) frente a Ln( x ). España 006 La dstrbucón del nº de trabajadores de las empresas para España en el año 00 (Anexo ), Tabla 4.3, es: [L - L ] F S LnL LnS Tabla 4.3: Dstrbucón del nº de trabajadores de las empresas españolas, 00 En la gráfca, Fgura 4., se muestran, para España en el año 00, la recta y la curva obtendas al hacer la regresón lneal y cuadrátca: 7

130 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Fgura 4.: Regresones de Ln (S ) frente a Ln( x ). España 00. El resumen de los dos modelos y las estmacones de sus parámetros para el año 00, Tabla 4.4, son: Resumen del modelo Estmacones de parámetro Ecuacón R cuadrado F gl gl Sg. Constante b b Lneal Cuadrátco Tabla 4.4: Coefcentes de regresones de Ln (S ) frente a Ln( x ). España 00 8

131 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca La dstrbucón del nº de trabajadores de las empresas para España en el año 0 (Anexo 3), Tabla 4.5, es: [L - L ] F S LnL LnS Tabla 4.5: Dstrbucón del nº de trabajadores de las empresas españolas, 0 En la gráfca, Fgura 4.3, se muestran las regresones lneal y cuadrátca, para España en el año 0: Fgura 4.3: Regresones de Ln (S ) frente a Ln( x ). España 0. 9

132 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca 4.6, son: El resumen de los dos modelos y las estmacones para el año 0, Tabla Resumen del modelo Estmacones de parámetro Ecuacón R cuadrado F gl gl Sg. Constante b b Lneal Cuadrátco Tabla 4.6: Coefcentes de regresones de Ln (S ) frente a Ln( x ). España 0 Segudamente se muestran las gráfcas conjuntas de las funcones de dstrbucón, de densdad y de supervvenca de los 3 años menconados para el caso del nº de trabajadores de las empresas españolas: 0,05 Funcones de densdad. Nº trabajadores ESPAÑA 006 ESPAÑA 00 ESPAÑA 0 0,04 0,03 0,0 0, Fgura 4.4: Funcones de densdad empírcas. España. 0

133 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca LN de Funcones de densdad vs X (escala Log) ESPAÑA 006 ESPAÑA 00 ESPAÑA ,5 - -,5-3 -3,5-4 Fgura 4.5: Funcones de densdad emp.(menos de 00 trabajadores). LN de Funcones de densdad vs X (escala Log) ESPAÑA 006 ESPAÑA 00 ESPAÑA Fgura 4.5 bs: Funcones de densdad emp.( más de 00 trabajadores).

134 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Funcones de densdad. Nº Trabajadores 0 a 9 ESPAÑA 006 ESPAÑA 00 ESPAÑA 0 0,078 0,058 0,038 0, Fgura 4.6: Funcones de dstrbucón empírcas. España. 0 a 9 trabaj. Funcones de densdad. Nº Trabajadores 0 a 55 ESPAÑA 006 ESPAÑA 00 ESPAÑA 0 0,03 0,0 0, Fgura 4.7: Funcones de densdad empírcas. España. 0 a 55 trabaj.

135 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Funcones de densdad. Nº Trabajadores de 56 en adelante ESPAÑA 006 ESPAÑA 00 ESPAÑA 0 0,004 0,003 0,00 0, Fgura 4.8: Funcones de dstrbucón empírcas. España. +55 trabaj. Estos gráfcos permten observar que hay tres zonas claramente dferencadas, y podemos obtener las sguentes conclusones: La proporcón de empresas cuyo número de trabajadores es nferor a 0 en 006 es menor que en 0 (Fguras 4.5 y 4.6). Nótese que a partr del segundo punto de las gráfcas (de valor 3.5) la marca de clase del tercer ntervalo, de 0 a 7 trabajadores, las gráfcas comenzan a cruzarse. Antes de ese punto, permanece España-006 por abajo, y luego por arrba. La proporcón de empresas cuyo número de trabajadores oscla entre 0 y 55 trabajadores ha do descendendo a lo largo de esos años. En 006 es mayor que en 00 y en éste mayor que en 0 (Fguras 4.4, 4.5 y 4.7). Nótese que a partr de la marca de clase del sexto ntervalo de 56 a 79 trabajadores (de valor 67.5), las gráfcas se vuelven a cruzar y se nverte el proceso. 3

136 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca La proporcón de empresas, a partr de 56 trabajadores, ha do aumentando a lo largo de esos años. En 006 es menor que en 0 (Fguras 4.4, 4.5 y 4.8). Para corroborar estadístcamente estas afrmacones vamos a hacer varos contrastes de hpótess. Para el caso de las empresas de hasta 9 trabajadores, s defnmos; X, t s la esma empresa del año t tene9 trabajadores o menos = 0 en otro caso las X,t son dstrbucones de Bernoull: X,06 es de parámetro p 06 = p[x 06 = ], cuya estmacón muestral es p 06 =787/497=0.5 X,0 es de parámetro p 0 = p[x 0 = ], cuya estmacón muestral es p = = X, es de parámetro p = p[x = ], cuya estmacón muestral es p 537 = = Pretendemos hacer los tres contrastes sguentes para cada una de las tres zonas señaladas anterormente: H : p = p H : p = p 0 0 H : p = p

137 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Dado que el ntervalo de confanza para la dferenca de medas de dos dstrbucones normales, µ µ, vene dado por la expresón: σ σ ( µ µ ) ± z α / + n n el ntervalo asntótco para la dferenca de dos proporcones en el caso de la poblacón con dstrbucón de Bernoull (la meda muestral concde con la proporcón observada) es: p q p q ( p p) ± z α / + (4.6) n n El resumen de los nueve contrastes sobre las dferencas de proporcones de empresas para los dstntos años, para cada tamaño de empresa ndcado anterormente, Tabla 4.7, al nvel de sgnfcacón del 5%, es: IC p 06 -p 0 p 0 -p p 06 -p Nº trab. Extr_nf. Extr_sup. Extr_nf. Extr_sup. Extr_nf. Extr_sup. 0 a a más Tabla 4.7: Contrastes sobre las dferencas de proporcones. España Luego, para las empresas de 0 a 9 trabajadores se tene que puede consderarse que p > p06, p0 > p06, pero la hpótess H0 : p0 = p, no se puede rechazar. 5

138 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Resumendo, la proporcón de empresas de 0 a 9 trabajadores ha aumentado de 006 a 00 y de 006 a 0, pero se ha mantendo constante entre 00 y 0 (realmente sgnfca que no se puede rechazar esa hpótess). Para las empresas de 0 a 55 trabajadores se tene que puede consderarse que p < p0 < p06, es decr, la proporcón de empresas de 0 a 55 trabajadores ha dsmnudo de 006 a 00 y de 00 a 0, por tanto ha dsmnudo entre 006 y 0. Para las empresas de más de 55 trabajadores se tene que sólo puede consderarse que p > p06, es decr, la proporcón de empresas de más de 55 trabajadores ha aumentado de 006 a 0. De los resultados anterores, la conclusón que podemos extraer del análss de los datos empírcos es que la crss ha afectado fundamentalmente a las empresas de tamaño ntermedo y, en mucha menor medda, a las empresas pequeñas y grandes. Segudamente, para ver la bondad del ajuste propuesto, en comparacón con otros habtuales en dstrbucones asmétrcas a la derecha haremos la comparacón de la dstrbucón Pareto-cuadrátca con la dstrbucón de Pareto y la Logartmo Normal, medante el cálculo de la dstanca de Kolmogorov, para el caso de España 006, 00 y 0. Para España, 006, 00 y 0 (Anexos 4 al 6) tenemos las tablas que se muestran a contnuacón, Tabla 4.8 a Tabla 4. 3, donde, para cada año aparecen dos tablas, la prmera de ellas corresponde a los errores de la estmacón de la funcón de supervvenca por los tres ajustes, Pareto, Pareto-cuadrátco y 6

139 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Lognormal, y la segunda tabla al máxmo error que se pueden obtener en el cálculo de la probabldad de un ntervalo. [L - L ] S empírcas errorlneal errorcuad. error_logn E E E E E E E Tabla 4.8: Ajuste de Pareto, Pareto-cuadrátco y Lognormal. España.006 lneal cuadrátco Lognormal max(error+) max(error -) E MaxErrInterv Tabla 4.9: Resumen ajustes. España.006 [L - L ] S empírcas errorlneal errorcuad. error_logn E E E E E E E Tabla 4.0: Ajuste de Pareto, Pareto-cuadrátco y Lognormal. España.00 7

140 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca lneal cuadrátco Lognormal max(error+) max(error -) E MaxErrInterv Tabla 4.: Resumen ajustes. España.00 [L - L ] S empírcas errolneal errorcuad. error_logn E E E E E E E Tabla 4.: Ajuste de Pareto, Pareto-cuadrátco y Lognormal. España.0 lneal cuadrátco Lognormal max(error+) max(error -) -3.68E MaxErrInterv Tabla 4.3: Resumen ajustes. España.0 Obtenendo las sguente tablas, Tabla 4.4 y Tabla 4.5, para el caso de España, donde se resume la bondad del ajuste Pareto-cuadrátco. 8

141 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca En la Tabla 4.4 se muestra claramente que el ajuste Pareto-cuadrátco produce menores errores que el de Pareto y el Lognormal. ESPAÑA. Nº TRABAJADORES errolneal errorcuad error_logn 006 Máxmo error Máxmo error E Máxmo error en ntervalo= max(error+)-max(error -) Máxmo error en un ntervalo (%) Máxmo error Máxmo error E Máxmo error en ntervalo= max(error+)-max(error -) Máxmo error en un ntervalo (%) Máxmo error Máxmo error E Máxmo error en ntervalo= max(error+)-max(error -) Máxmo error en un ntervalo (%) Tabla 4.4: Errores lneal, cuadrátco y lognormal. España 006 a 0 En la Tabla 4.5 aparece la relacón que exste entre la proporcón de varanza no explcada por los dos modelos drectamente competdores, el Pareto y el Pareto-cuadrátco, mostrando claramente la sustancal mejora que aporta el Pareto-cuadrátco. -R lneal cuadrátco lneal/cuadrátco % Tabla 4.5: Relacón entre las proporcones de varanza no explcada. España 9

142 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Parecdas tablas y conclusón se obtene para el caso del tamaño de las plantllas de las empresas de España, Alemana y Reno Undo en 04. La dstrbucón del nº de trabajadores de las empresas para España en el año 04 (Anexo 7), Tabla 4.6, es: [L - L ] S relatvo LnL LnS _relat E E Tabla 4.6: Dstrbucón del nº de trabajadores. España, 04 Pero para que la estmacón no salga dstorsonada por las últmas categorías, en las que hay muy pocas empresas, elmnaremos estas últmas categorías, quedando la tabla para España 04, Tabla 4.7, con los sguentes datos: [L - L ] S relatvo LnL LnS _relat Tabla 4.7: Dstrbucón recortada del nº de trabajadores. España, 04 30

143 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca la Fgura 4.9: El resumen de los modelos correspondentes se muestra en la Tabla 4.8 y Estmacones de Resumen del modelo parámetro Ecuacón R cuadrado F gl gl Sg. b b Lneal Cuadrátco Tabla 4.8: Coefcentes de regresones de Ln (S ) frente a Ln( x ). España 04 Fgura 4.9: Regresones de Ln (S ) frente a Ln( x ). España 04. La dstrbucón del nº de trabajadores de las empresas para Alemana en el año 04 (Anexo 8), Tabla 4.9, es: 3

144 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca [L - L ] S relatvo LnL LnS _relat E E Tabla 4.9: Dstrbucón del nº de trabajadores. Alemana 04 Qutando los últmos datos nos queda, Tabla 4.0: [L - L ] S relatvo LnL LnS _relat Tabla 4.0: Dstrbucón recortada del nº de trabajadores. Alemana 04 El resumen de los modelos correspondentes, Tabla 4. y Fgura 4.0, es: Estmacones de Resumen del modelo parámetro Ecuacón R cuadrado F gl gl Sg. b b Lneal Cuadrátco Tabla 4.: Coefcentes de regresones de Ln (S ) frente a Ln( x ). Alemana 04 3

145 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Fgura 4.0: Regresones de Ln (S ) frente a Ln( x ). Alemana 04. La dstrbucón del nº de trabajadores de las empresas para Reno Undo en el año 04 (Anexo 9), Tabla 4., es: [L - L ] S relatvo LnL LnS _relat E E Tabla 4.: Dstrbucón del nº de trabajadores. Reno Undo, 04 Qutando los últmos datos, nos queda para Reno Undo 04, Tabla 4.3: 33

146 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca [L - L ] S relatvo LnL LnS _relat Tabla 4.3: Dstrbucón recortada del nº de trabajadores. Reno Undo, 04 El resumen de los modelos correspondentes, Tabla 4.4 y Fgura 4.0, es: Estmacones de Resumen del modelo parámetro Ecuacón R cuadrado F gl gl Sg. b b Lneal Cuadrátco Tabla 4.4: Coefcentes de regresones de Ln (S ) frente a Ln( x ). R.U, 04 Fgura 4.0: Regresones de Ln (S ) frente a Ln( x ). Reno Undo

147 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca La tabla 4.5 muestra de nuevo la optmaldad del modelo Paretocuadrátco, al dsmnur consderablemente con él la proporcón de varanza no explcada. (-R lneal)/(-r cuadrátco) % España Alemana Reno Undo Tabla 4.5: Relacón entre las proporcones de varanza no explcada.04 Esto nos ha llevado a proponer la denomnada dstrbucón Paretocuadrátca, con el objetvo de mejorar el ajuste a la nube de puntos en estas stuacones. Es decr, proponemos el ajuste: Ln( S ) = a+ bln( x ) + cln ( x ) (4.7) Cuando la dstrbucón sea de ese tpo, dremos que X sgue una dstrbucón Pareto-cuadrátca de parámetros a, b y c, y lo notaremos por X PC( a, b, c). S ben, posterormente se verá que sólo hay dos verdaderos parámetros, pues uno depende de los otros dos. A contnuacón se muestran los gráfcos con las funcones de dstrbucón, de supervvenca y de densdad empírcas de los tamaños de las plantllas de las empresas, para el año 04, de los tres países (España, Alemana y Reno Undo), Fguras 4., 4. y 4.3: 35

148 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Funcones de dstrbucón. Nº Trabajadores. 04 ESPAÑA 04 ALEMANIA 04 REINO UNIDO 04, 0,8 0,6 0,4 0, Fgura 4.: Funcones de dstrbucón empírcas, 04. Funcones de Supervvenca. Nº Trabajadores. 04 ESPAÑA 04 ALEMANIA 04 REINO UNIDO 04, 0,8 0,6 0,4 0, , Fgura 4.: Funcones de supervvenca empírcas,

149 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Funcones de densdad empírcas. 04 ESPAÑA 04 ALEMANIA 04 REINO UNIDO 04 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 0, Fgura 4.3: Funcones de densdad empírcas, 04. 0,045 0,05 0,005 0,0085 0,0065 Funcones de densdad empírcas. 04 (X escala logarítmca) ESPAÑA 04 ALEMANIA 04 REINO UNIDO 04 0, Fgura 4.3 bs: Funcones de densdad empírcas, 04 A contnuacón aparecen las funcones de supervvenca y de densdad paretanas y pareto-cuadrátcas estmadas, Fgura 4.4 a Fgura 4.7: 37

150 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Funcón de Supervvenca Paretana Estmada 04 ESPAÑA 04 ALEMANIA 04 REINO UNIDO 04 0,8 0,6 0,4 0, Fgura 4.4: Funcones de supervvenca paretanas, 04. Funcón de Supervvenca Pareto-cuadrátca Estmada. 04 ESPAÑA 04 ALEMANIA 04 REINO UNIDO 04 0,8 0,6 0,4 0, Fgura 4.5: Funcones de supervvenca paretoecuadrátcas, 04 38

151 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Funcones de densdad Paretanas estmadas. 04 (X escala logarítmca) ESPAÑA 04 ALEMANIA 04 REINO UNIDO 04 0, 0,08 0,06 0,04 0, Fgura 4.6: Funcones de densdad paretanas, 04 Funcones de densdad Pareto-cuadrátcas estmadas. 04 (X escala logarítmca) ESPAÑA 04 ALEMANIA 04 REINO UNIDO 04 0, 0,08 0,06 0,04 0, Fgura 4.7: Funcones de densdad pareto-cuadrátcas, 04 39

152 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Las conclusones que se pueden obtener son: Dado que el punto donde se cortan las funcones de densdad está entre 30 y 40, punto del cuarto ntervalo, eso quere decr que las empresas de, a lo sumo, 8 trabajadores (el extremo superor del ntervalo anteror) son más frecuentes proporconalmente en España que en Alemana y Reno Undo (Fgura 4.3). El resultado anteror queda mejor plasmado con el ajuste Pareto-cuadrátco que con el ajuste Pareto (Fguras 4.3, 4.6 y 4.7), pues en el Pareto-cuadrátco las curvas están más claramente separadas. Fjado un nº de trabajadores, la proporcón de empresas que superan ese nº de trabajadores en Reno Undo es mayor que en Alemana, y en esta mayor que en España, Fgura 4. y Fgura 4., pues se observa que Alemana y Reno Undo domnan en grado I, en funcón de dstrbucón, a España, y que Reno Undo domna a Alemana. El coefcente α en el ajuste de Pareto, Fgura 4.4, para España será más negatvo que en Alemana y en Alemana más negatvo que en Reno Undo, pues la nclnacón en los prmeros valores es más acusada en esa ordenacón de países. Ello sgnfca, por la relacón del coefcente α con el índce de Gn, que los tamaños de las empresas españolas son más parecdos entre sí que los de las alemanas, y los de éstas son más parecdos entre sí que los de las brtáncas. Segudamente se muestran algunas propedades de la dstrbucón Paretocuadrátca. 40

153 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca 4.4. ALGUNAS PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN PC Vamos a mostrar algunas propedades de la dstrbucón Pareto-cuadrátca; es decr, aquella cuya funcón de supervvenca vene dada por el ajuste Ln( S) = a+ bln( x) + cln ( x). En prncpo, tal como hemos comentado anterormente, parece poseer tres parámetros a, b y c; por ello la notaremos X PC( a, b, c); b, c< Funcones de dstrbucón y de densdad. Momentos Dado que se parte del ajuste cuadrátco Ln( S) = a+ bln( x) + cln ( x) Se tendrá que la funcón de supervvenca, vene dada como: b Ln x ( Ln( x) ) ( ) a ( ) Ln( S) = a+ bln( x) + cln ( x) S = e e e Ln( x) c a Ln( x) a b cln( x) a b+ cln( x) b+ cln( x) b S( x) = e ( x ) ( e ) S( x) = e x x = e x = Ax c Es decr, la funcón de supervvenca vene dada por la expresón: ( ) b+ cln( x ), a S x = Ax A= e (4.8) Luego, la funcón de dstrbucón será: ( ) ( ) b+ cln( x) F x = S x = Ax, A= e (4.9) a Y por tanto, dervando, obtenemos que su funcón de densdad, Fgura 4.8, tene la forma: 4

154 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca b+ cln( x) ( ) ( ) ( ) f x = F x = Ax b+ cln( x), A= e (4.0) a Fgura 4.8: Funcón de densdad de la dstrbucón PC Calculemos segudamente el punto ncal del soporte de defncón y el valor modal. El punto ncal del domno de esa dstrbucón es donde la expresón asgnada a la funcón de densdad corta al eje OX; es decr, cuando b c ( ) = 0 = f x x e x= e b c (4.) Obsérvese, que dado que b y c son negatvos, se tene que e c < ; es decr, el valor natural de arranque de la dstrbucón PC es nferor a. b Como la funcón de supervvenca, ( ) valer uno, se tendrá que cumplr: a b cln( x) S x e x + =, en el punto ncal ha de 4

155 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca b ( c ) b b b+ cln e b a c a c 4c b S e = e e = e = a= 4c b a= (4.) 4c Y, por consguente, la dstrbucón PC no es trparamétrca, sno bparamétrca, sus úncos parámetros son b y c. Por tanto, la notaremos X PC( b, c); b, c< 0. Su funcón de supervvenca será: ( ) S x e x x e = x e b b 4c b+ cln( x) c b c (4.3) El valor modal se obtene en el punto en el que la dervada de la funcón de densdad se anula; es decr, dado que: b+ cln( x) ( ) = ( ) f x Ax 4 c Ln ( x) (b ) cln( x) b b c Tenemos que: ( ) f x = 0 M = e o b 8c 4c Es decr, M o = e b 8c 4c (4.4) 43

156 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca En las stuacones práctcas que han sdo analzadas, la moda sempre es nferor al valor x=. Veamos, en general, qué condcón ha de cumplrse para que la moda sea mayor que uno. Dado que c sempre es negatva, la condcón anteror equvale a 8c + 8c M o b 8c 0 b b+ c 0 b Y puesto que b sempre es negatvo, se tendrá que el lado derecho de la desgualdad anteror, por ser postvo, no aporta nada, con lo que se tene que M o 8c b Ahora, como c es próxmo a cero, -0.<c<0, desarrollando en sere de Taylor la expresón anteror en un entorno de c=0, se tene que 8c ( 4 c) = c luego, para que la moda sea superor a uno se tendría que cumplr, de una manera aproxmada, que b c ; es decr, 0. b< 0, que no se ha dado en nnguno de los casos analzados. Con respecto a la meda, dado que: se obtene: ( ) b c + + e b c b 4c b+ cln( x) µ = F( x) dx= S( x) dx= dx + e x dx e 44

157 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca b c µ = e + π e + b 4c + Erf c c (4.5) Donde Erf ( x) es la funcón error, defnda como: x t Erf ( x) = e dt π (4.6) 0 Cuya gráfca aparece en la Fgura 4.9: Fgura 4.9: Gráfca de la funcón Erf(x) Los demás momentos pueden calcularse tenendo en cuenta que se cumple que k + 0 k ( ( )) µ k = E X = k x F x dx (4.7) con lo que: 45

158 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca µ k b e c + b k k 4c k + b+ cln( x) = E X k x dx e x dx = + b 0 e c µ k k kb c = E X = e + π ke k( k+ b) 4c + Erf c k c (4.8) Por otro lado, puede observarse que la dstrbucón Pareto-Cuadrátca no cumple la ley de Mandelbrot-Dagum; esto es, no cumple la propedad de converger asntótcamente a la ley de Pareto: S( x) lm, α > 0 + α x h x Con relacón a los cambos de escala, puede comprobarse que: X PC( b, c) Y = kx PC( B= b cl n k, C= c) (4.9) ( ) Es decr, su funcón de supervvenca verfca la ecuacón: Ln( S ) = A+ BLn( y) + CLn ( y) Y donde ( ) ( ) ( ) A= a bl n k cl n k, B= b cl n k, C= c y donde tambén se verfca que B A=. 4C Y, por tanto, el soporte de la dstrbucón pasaría del ntervalo ( ec, + ) al b B ntervalo ( ke c, + ); es decr al ntervalo ( e C, + ). b 46

159 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Otro caso se presenta cuando queremos que el punto ncal no sea el valor b b natural x= e c, sno que queremos que sea otro valor, dgamos x= h, h> e c. En tal caso estaremos trabajando con una dstrbucón PC truncada (PCT) en el punto h, Fgura 4.0, que será una dstrbucón trparamétrca: Fgura 4.0: Funcón de densdad de la dstrbucón PCT Un caso partcular de este truncamento será cuando tomemos h =. Como la Moda suele ser menor a, sgnfca que, en tales casos, nos estaremos quedando solamente con la parte decrecente de la funcón de densdad de la PC, Fgura 4.. En general, la funcón de supervvenca de la PCT tene la forma explcta que se verá segudamente. Sea X PC(b,c). Sea X * la dstrbucón de X truncada en x = h. La notaremos como X * PCT (h,b,c). Entonces, a b+ cln( x) SX ( x) e x S * ( x) = = = h x X a b+ cln( h) S ( h) e h X [ b+ cln( h)] b+ cln( x) [ b+ cln( h)] b+ cln( x) Es decr, S * ( x) = h x, x h y, tomando logartmos, nos queda : X 47

160 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca * Ln S ( x) = ( b Ln( h) c Ln ( h)) + bln( x) + cln ( x), x h X Fgura 4.: Funcón de densdad de la dstrbucón PCT(,b,c) Por tanto, s X PCT ( h, b, c) ( ) S x [ b+ cln( h)] b+ cln( x) h x x h = x h (4.0) Ln S ( x) = ( b Ln( h) c Ln ( h)) + bln( x) + cln ( x), x h (4.) X b+ cln( x) En el caso h =, X * PCT (h =,b,c), se tene S * ( x) = x, x y LnS ( x) = bln( x) + cln ( x), x. X * Luego: X 48

161 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca b+ cln( x) x x X PCT ( h=, b, c) S( x) = (4.) x X PCT ( h=, b, c) LnS ( x) = bln( x) + cln ( x), x (4.3) X Además, s una PCT expermenta un cambo de escala, la dstrbucón resultante sgue sendo otra PCT. En efecto, supongamos que X PCT ( h=, b, c), con soporte el ntervalo [, + ). Consderemos Y=kX. Calculemos la forma de la funcón de supervvenca de Y. y y FY ( y) = P[ Y y] = P[ kx y] = P X = FX ( ) k, con lo que k Por tanto, Luego, y y y y y SY ( y) = SX ( ) Ln SY ( y) = LnSX ( ) = bln( ) + cln ( ), k k k k k [ ] Ln S ( y) = bln( y) b Ln( k) + c Ln( y) Ln( k) = Y = bln( y) b Ln( k) + cln ( y) + c Ln ( k) cln( y)ln( k) = ( ) = ( b Ln( k) + c Ln ( k)) + b c Ln( k) Ln( y) + cln ( y) ( ) Ln S ( y) = ( b Ln( k) + c Ln ( k)) + b c Ln( k) Ln( y) + cln ( y), y k Y S ahora denomnamos que ( ) consguente A= B Ln( k) + CLn ( k),b= b c Ln( k), C = c, se tene A= b c Ln( k) Ln( k) + cln ( k) = b Ln( k) + cln ( k) y, por Ln S ( y) = ( B Ln( k) + CLn ( y)) + BLn( y) + CLn ( y), y k Y 49

162 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Es decr, Y= k X PCT ( k,b= b c Ln( k), C= c), con soporte el ntervalo [ k, + ). X PCT ( h=, b, c) Y= k X PCT ( k,b= b c Ln( k), C= c) (4.4) En consecuenca, s X PCT ( h=, b, c) como la meda admte la expresón ( ) b+ cln( x) µ = F( x) dx= S( x) dx= dx + x dx puede probarse que + 0 ( ) µ = F( x) dx= + ( + b) π e 4c + Erf c + b c (4.5) Para los demás momentos dado que k + 0 k ( ( )) µ k = E X = k x F x dx (4.6) se tene que + k k k + b+ cln( x) µ k = E X = k x dx+ x dx 0, luego µ k k = E X = + ( k+ b) 4c k+ b π ke + Erf c c (4.7) 50

163 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca En el caso general, cuando X PCT ( h, b, c), se tendrá que su meda vene dada por la expresón + h ( b cln( h) ) b cln( x) µ = S( x) dx= dx + h x dx, con lo que: 0 0 h + µ = S( x) dx= h+ 0 ( + b) 4c ( b+ cln( h) ) + b+ cln( h) π e h + Erf c c (4.8) Segudamente vamos a calcular la elastcdad de la funcón de supervvenca, que será común a las dstrbucones PC(b,c) y a las PCT(h,b,c), donde los parámetros b y c correspondentes a las dos dstrbucones son los msmos Elastcdad Dado que la funcón de supervvenca vene dada por: Se tendrá que: ( ) S x = Ax + b cln( x) ds x b+ cln( x) cln( x) b+ cln( x) x ES = = A[ ( b+ cln( x) ) x + x ] = dx S x S b+ cln( x) x = Ax ( b+ cln( x) + cln( x) ) = b+ cln( x) Ax = b+ cln( x) Y por tanto, la elastcdad vene dada por: S ( ) ( ) E x = b+ cln x (4.9) 5

164 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Es decr, la reduccón porcentual del nº de empresas cuando el tamaño de ellas crece un % sgue la expresón anteror. Por tanto, se deduce que la relacón entre los ncrementos de la elastcdad de la funcón de supervvenca y los ncrementos de los logartmos de los valores es constante: ES ES = c Ln( x) = c Ln( x) E S Ln( x) = c (4.30) Es decr, la tasa de varacón de la elastcdad, con relacón al ncremento logarítmco de los valores, es constante. Igualmente, se obtene que el ncremento de la elastcdad permanece constante ante cambos de escala: (( ) ( )) kx S j E = c Ln( kx) = c Ln( k) + Ln( x ) Ln( k) + Ln( x ) = = c Ln( x) = E X S kx S X S E = E (4.3) Por últmo, vamos a ver que la relacón logarítmca exstente entre los ratos de la funcón de supervvenca y los ratos de los valores de los datos es lneal en los logartmos de esos datos. En concreto, se puede expresar en la forma: 5

165 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca En efecto, como S Ln S j = b + cln( x x j ) x Ln x j b b+ cln( x ) Ln( x ) = b+ cln( x j ) = Ln( x j ) j x x j j x j S x x x S c se tene que: j j j j Ln( x ) Ln( x ) j ( ( ) ( j )) S x Ln = bln + c Ln x Ln x = S x Luego, x = bln + c( Ln ( x) Ln ( x j) ) = x x = bln + c( Ln ( x) + Ln ( x j) )( Ln ( x) Ln ( x j) ) = x x x x = bln + cln x x Ln = Ln b+ cln x x x x x ( ) ( j) ( j) j j j S x Ln = Ln b+ cln x x S x j j ( ( j) ) Por tanto, se obtene que: 53

166 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca S Ln S j = b + cln x x = b + cln x + cln x x Ln x j ( j) ( ) ( j) (4.3) Propedad de un solo cruce Dos funcones de soporte, se cruzan, a lo más, una vez. dstrbucón pareto-cuadrátcas truncadas con el msmo los S las dos dstrbucones tenen el msmo soporte, podemos consderar que ajustes Ln( S ) = bln( x ) + cln ( x ) comenzan en el punto ( Ln( x) = 0, Ln( S) = 0), con lo que, como Ln( x ) = 0, estamos suponendo que el rango común comenza en h=. Así, la funcón de dstrbucón queda en la forma: ( ) ( ) b cln( x) F x = S x = x +. Por tanto, s dos funcones de dstrbucón pareto-cuadrátcas truncadas se b cln( x) cruzan, tendrán la forma F ( x) = x +, ( ) consguente, se tendrá que verfcar que: X d eln( x) F x = x + y, por Y b+ cln( x) d+ eln( x) b+ cln( x) d+ eln( x) x = x x = x b d eln( x) cln( x) b d ( e c) Ln( x) x = x x = x ( ) b d = e c Ln( x) x= e b d e c b d x= e e c (4.33) 54

167 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Para que se crucen, ese valor ha de ser superor a, el valor de nco y, en tal caso, se cruzan en un solo punto. Por tanto, ha de cumplrse que b> d, c< e, o ben que b< d, c> e Al gual que en el caso de la dstrbucón Pareto, esta propedad será mportante a la hora de establecer un crtero sufcente de domnanca estocástca de segundo orden, como se mostrará en el capítulo Tasa de cambo de la pequeñez de una empresa Podemos nterpretar S( x ) como el nvel de pequeñez de una empresa que tene un nº de trabajadores x, pues representa la proporcón entre el nº de empresas con más trabajadores que ella y el nº de empresas totales. Por tanto, ds( x ) mde el cambo en la pequeñez de una empresa que tene un nº de trabajadores x, y ds( x) representa la tasa de cambo de pequeñez de esa empresa. S( x) S( x+ ) S( x) La expresón representa el decremento relatvo que S( x) expermenta el nvel de pequeñez, de una empresa cuando pasa de tener x a tener x+ empleados. Pero, dado que S( x+ ) S( x) S ( x) S( x) S( x) Se tendrá que: S( x+ ) S( x) S ( x) = [ b+ cln( x) ] (4.7) S( x) S( x) x 55

168 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Por consguente, la dsmnucón del nvel de pequeñez cuando la empresa aumenta su plantlla y pasa al nvel superor, la tasa con la que camba su nvel de pequeñez al aumentar su plantlla, se mde por: Llamando α ( x) = [ b+ cln( x) ] S ( x) = [ b+ cln( x) ] S( x) x, se tene que S ( x) S( x) x = α( x), ( x) [ b cln( x) ] α = + (4.8) Por tanto, fjado el tamaño de la plantlla x, a mayor α( x) mayor decremento del nvel de pequeñez al pasar de ese tamaño de plantlla al nmedato superor; luego, se puede decr, en ese sentdo, que a mayor α ( x), mayor nvel relatvo de pequeñez de la empresa en la dstrbucón orgnal. Mayor tasa de cambo del nvel de pequeñez de la empresa. En mejor poscón se encuentra la empresa después del cambo. Más dfícl le ha resultado a la empresa pasar del estado ncal al nuevo, más dfícl subr ese escalón, más dfícl crecer. Dcho de otra forma, el nvel de dfcultad para crecer, de una empresa con una plantlla de x trabajadores, dsmnuye s α ( x) decrece, aumenta s α ( x) crece y se mantene constante s α ( x) no vara. Por tanto, ( x) α puede nterpretarse como un ndcador para medr el nvel de dfcultad, aversón, contencón, obstaculzacón o freno al crecmento; mentras que el térmno -c ndca la velocdad con la que se produce el cambo de ese nvel de dfcultad al crecmento al aumentar el tamaño de la empresa. 56

169 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Por la msma razón, α( x) puede nterpretarse como un ndcador para medr el nvel de facldad, estmulo, apoyo, capacdad, tendenca, dsposcón o preferenca por el crecmento o progreso de la empresa Aproxmacón local por la dstrbucón paretana Toda curva puede ser aproxmada localmente por la recta tangente en el punto en cuestón, cuya pendente es la dervada en ese punto. Por tanto, tenendo en cuenta que la dstrbucón Pareto-cuadrátca tene la forma: = + + Ln( S ) a bln( x ) cln ( x ) Se tendrá que la pendente de la recta tangente es la dervada de esa expresón, respecto a la varable ndependente, que en este caso es Ln( x) y, por tanto, esta pendente será: m( x) = b+ cln( x) (4.9) Que, como puede aprecarse, concde con la elastcdad de la funcón de supervvenca calculada en el apartado anteror. Pero, en un entorno centrado en el punto ( Ln( x), PC( Ln( x ))), la aproxmacón lneal a los puntos ( Ln( x), Ln(S( x ))), una vez reescalados, es la recta de Pareto. Por tanto, la recta local de Pareto es paralela a la recta tangente en la dstrbucón Pareto-cuadrátca y, en consecuenca, tenen la msma pendente. 57

170 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Esto sgnfca que la pendente de la recta local de Pareto, que es la elastcdad de la funcón de supervvenca, α( x), concde con m( x) = b+ cln( x) Por tanto, b+ cln( x) = α ( x) α( x) = b cln( x) α ( x) = b cln( x) (4.0) Y los razonamentos que se hacían para medr el nvel de dfcultad para crecer en funcón de α se pueden aplcar de nuevo, con el añaddo que ahora son váldos localmente; mentras que antes sólo ndcaban un valor global, general, del nvel de dfcultad de crecmento en la dstrbucón. Es decr, se ha obtendo un método para analzar el nvel de dfcultad para crecer o progresar (aumentar los ngresos en el caso de la renta y aumentar el tamaño en el caso de la empresa) presente en una dstrbucón por tramos, y no sólo globalmente. De los modelos anterores, se tene que las pendentes de las tangentes quedan para España, Alemana y Reno Undo, Tabla 4.6: Pendentes de las tangentes(dervada) Ln S( x) = a+ bln( x) ) ( ( ) a b PAISES España Alemana Reno Undo Tabla 4.6: Pendentes de las tangentes

171 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Los gráfcos de esas pendentes, Fgura 4.8, Fgura 4.9 y Fgura 4.9bs, son: Fgura 4.8: Pendentes de las tangentes paretanas, 04 Fgura 4.9: Pendentes de las tangentes pareto/cuadrátcas, 04 59

172 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Fgura 4.9 bs: Pendentes de las tangentes pareto/cuadrátcas, 04 Como puede observarse gráfcamente, las pendentes de Pareto son medas de las pendentes de la dstrbucón Pareto-cuadrátca correspondente. Tenendo en cuenta a su vez la relacón que hay entre pendente, elastcdad y tasa de pequeñez, y dado que las pendentes de Pareto, P P P E AL RU P P P E AL RU α =.054; α = 0.944; α = 0.86, verfcan la relacón: α > α > α ; en general, a las empresas les resulta más dfícl crecer en España que en Alemana, y en Alemana más que en Reno Undo. Eso es certo globalmente, pero no permte hacer un estudo local por tamaños; que es lo que nos permtrá hacer las pendentes de las dstrbucones Pareto-cuadrátcas: 60

173 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca Donde se produce el corte de las gráfcas correspondentes a España y Alemana, Fgura 4.9, es un poco antes del extremo superor del PC PC PC E AL RU ntervalo de 64 a 896 trabajadores. En él que se verfca que α > α > α, luego a las empresas de menos de unos 800 trabajadores les resulta más fácl crecer en Reno Undo que en Alemana y en ésta que en España. En las empresas mayores de 560 trabajadores, que es donde se produce el corte de las gráfcas correspondentes a España y Reno Undo, Fgura 4.9, es un poco antes del extremo superor del ntervalo de 893 a 560 PC PC PC AL RU E trabajadores. A partr de ahí, se cumple α > α > α, luego a las empresas mayores de unos 500 trabajadores les resulta más fácl crecer en España que en Reno Undo y en éste que en Alemana. En las empresas de tamaños ntermedos entre los anterores, entre PC PC PC AL E RU 800 y 500 trabajadores, aunque α > α > α, la dferenca, al ser mínma, carece de valor sgnfcatvo. Luego a esas empresas les resulta aproxmadamente gual de fácl o dfícl crecer en los tres países. Como todas las pendentes de los ajustes PC son negatvas, Fgura 4.9, en todos los países es más dfícl el crecmento del tamaño empresaral a medda que las empresas son mayores; pero la velocdad con la que crece el obstáculo a ese crecmento del tamaño empresaral es mayor en Alemana que en Reno Undo y en ese mucho mayor que en España, pues las pendentes de los ajustes pareto-cuadrátcos sguen esa ordenacón decrecente. S entendemos que la stuacón de Reno Undo y Alemana es mejor que en España, ello conllevaría la dea de que en España habría que realzar una polítca tendente a producr cambos en los tamaños de las empresas, de manera 6

174 Capítulo 4 Dstrbucón Pareto vs. Dstrbucón Pareto-cuadrátca que se favorezca el crecmento de empresas de hasta unos 800 trabajadores y se desncentve el crecmento de empresas mayores de unos 500 trabajadores. 6

175 PARTE II GINI Y LA MEDICIÓN DE LA DESIGUALDAD A pesar de las numerosas formulacones del índce de Gn que han aparecdo en la lteratura en los últmos años, las formulacones orgnales son en gran parte desconocdas (Lambert, 0, págna 49 )

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177 CAPÍTULO 5 EL ÍNDICE δ DE GINI VERSUS EL ÍNDICE α DE PARETO 5.. INTRODUCCIÓN 5.. ÍNDICE δ DE GINI PARA MEDIR LA CONCENTRACIÓN 5.3. EL ÍNDICE δ DE GINI VERSUS EL ÍNDICE α DE PARETO 5.4. DIFERENCIAS ENTRE LOS CONCEPTOS DE LA DESIGUALDAD ENTRE GINI Y PARETO

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179 Capítulo 5 El Índce δ de Gn vs. el Índce α de Pareto 5.. INTRODUCCIÓN Corrado Gn es un ejemplo de nvestgador en el que, en un prmer período, trabajó la estadístca como un nstrumento y una metodología, para pasar, a partr de la prmera guerra mundal, a trabajar la estadístca como Cenca Estadístca. Gn es de nterés por contrbur a las prmeras estmacones de certas magntudes económcas de los países o grupos de países, mucho antes de crearse la Contabldad Naconal. Igualmente, Gn es reconocdo como el nventor, en parte, del método estadístco para medr las pardades del poder de compra que usan los Insttutos de Estadístca Europeos. Gn tambén contrbuyó a las largas dscusones sobre el uso del muestreo de poblacones fntas, que tuveron lugar en las dstntas reunones del Insttuto Internaconal de Estadístca. Como señalamos, en la pequeña bografía que recogemos más abajo, los trabajos de Gn fueron realzados en los campos de la llamada cenca socal y de la estadístca. Corrado Gn ( ) estudó Derecho, Estadístca y Economía en la Unversdad de Bolona, tambén estudó Matemátcas y Bología. Sus trabajos centífcos fueron realzados, prncpalmente, en los campos de las cencas socales y la estadístca. Gn estudó a Bernoull, Lexs y Czuber, así como a Bodo, Messedagla y Benn, maestros talanos de la cenca estadístca. En 90 accedó a la cátedra de estadístca en la Unversdad de Caglar, y el 67

180 Capítulo 5 El Índce δ de Gn vs. el Índce α de Pareto período hasta el fnal de la prmera guerra mundal será el más mportante por la relevanca de sus contrbucones a la metodología estadístca. En 9 fue elegdo membro del Consejo Superor de Estadístca, en 93 Gn tomó posesón de la cátedra de estadístca en Padua y en 99 fue profesor en las Unversdades de Caglar y Padua, dando clases de Economía Polítca, Derecho Consttuconal, Demografía y Estadístca Económca. En 90 fundó METRON, la revsta nternaconal de estadístca, que drgó hasta su muerte. En 93 se trasladó a la Unversdad de Roma, comenzando un período de nueve años dedcado a actvdades públcas; así puso en marcha la Escuela de Estadístca para la formacón de funconaros en estadístca, y en ese msmo año de 93 fundó la Facultad de Estadístca, Demografía y Cencas Actuarales. En 96 fundó la revsta La Vta Economca Italana que fue cerrada en 943. En 99 Gn fundó el Comté Italano para el estudo de los problemas de la poblacón, y fundó la revsta GENUS en 934. Gn fue uno de los más actvos y dstngudos membros del Insttuto Internaconal de Estadístca, llegando a ser membro honoraro en 939. Gn, el msmo año de su muerte (965), recogó en su artículo On the Characterstcs of Italan Statstcs publcado por Journal of the Royal Statstcal Socety, págnas 89 a 09, lo que para él era la Cenca Estadístca. Reseñamos aquí algunas de sus frases, Fguras 5. a 5.4, sn buscar mayor profunddad por no ser ahora nuestro objetvo. Una característca especal de los estadístcos talanazos. es descrbr cuanttatvamente, por medo de seres de constantes, los aspectos de fenómenos colectvos completos : 68

181 Capítulo 5 El Índce δ de Gn vs. el Índce α de Pareto Fgura 5.: Gn, 965, pág. 93 para mí, el prncpo fundamental, al formular métodos estadístcos, es, prmero, tener en cuenta la naturaleza de los fenómenos a los que son aplcados con relacón al objeto de la nvestgacón y sólo, en segundo lugar, consderar sus propedades formales : Fgura 5.: Gn, 965, pág

182 Capítulo 5 El Índce δ de Gn vs. el Índce α de Pareto la mayoría de los índces ntroducdos por la escuela talana, no dependen del tpo de modelos que sgan los datos : Fgura 5.3: Gn, 965, pág. 95 Este artículo venía a completar a otro, The Contrbutons of Italy to Modern Statstcal Methods, de 96, publcado tambén en Journal of the Royal Statstcal Socety, Vol, 89, págnas 703 a 74, en el que mostraba claramente su opnón sobre el uso de las Matemátcas en la Estadístca: Fgura 5.4: Gn, 96, pág. 707 En 909 se publcó su trabajo Il dverso acrecmento delle class socalt e la concentrazone della rcchezza en Gornale degl Economst. Como ndcamos en el capítulo, nuestro estudo se centrará en dos de sus índces: el coefcente δ, que analzaremos en este capítulo, y el índce o razón de concentracón R de Gn, que analzaremos en el capítulo sguente. 70

183 Capítulo 5 El Índce δ de Gn vs. el Índce α de Pareto 5.. ÍNDICE δ DE GINI PARA MEDIR LA CONCENTRACIÓN En su artículo Indc d Concentrazone e d dpendenza, de 90 y publcado en Bbloteca dell Economsta, Gn (90, parte prmera, capítulo II, pág. 5), Fgura 5.5, comenza dcendo qué entende por concentracón, y cómo medrla. Afrma que la rqueza está muy concentrada, cuando gran parte de ella es poseída por pocas personas: Fgura 5.5: Gn,90, parte prmera, capítulo II, pág. 5 En cuanto a cómo medr esa concentracón, Gn consdera que dsponemos de n valores ordenados {a, =,..,n} de una varable estadístca cuanttatva no negatva; es decr, a... a n ; por tanto, la meda de los n valores será menor que la meda de los últmos m valores: a + a + an an m+ + an m+ + an <, m < n n m Y por tanto, m an m+ + an m+ + an < <, m < n n a + a + a n 7

184 Capítulo 5 El Índce δ de Gn vs. el Índce α de Pareto De aquí se defne δm como el valor que satsface la sguente relacón: m m an m+ + an m+ + an =, m < n n a + a + an δ En efecto, Gn ((90, parte prmera, capítulo II, pág. 6), Fgura 5.6, afrma: Fgura 5.6: Gn, 90, parte prmera, capítulo II, pág. 6. Gn, Fgura 5.7, afrma que cuánto más fuertes sean esas desgualdades, mayor dremos que es la concentracón de la varable. S encontramos una constante que relacone esas desgualdades para todo m, se drá que esa constante es el Índce de Concentracón: 7

185 Capítulo 5 El Índce δ de Gn vs. el Índce α de Pareto Fgura 5.7: Gn, 90, parte prmera, capítulo II, pág. 6. Es decr, se trata de obtener la relacón, Fgura 5.8: m an m+ + an m+ + an =, m < n n a + a + an con δ constante, ndependente de m: δ Fgura 5.8: Gn, 90, parte segunda, capítulo IV, pág. 6. Usando la notacón más establecda, llamando P a la frecuenca relatva acumulada en el ndvduo -ésmo y Q a la cantdad relatva acumulada en ese msmo ndvduo -ésmo (supuesto que los ndvduos están ordenados de menor 73

186 Capítulo 5 El Índce δ de Gn vs. el Índce α de Pareto a mayor renta), se trata de encontrar un δ constante, ndependente de, que verfque: -P =(-Q ) δ (5.) S esta relacón se mantuvese certa para todo con un msmo δ, naturalmente, como hemos ndcado, este valor podría ser un ndcatvo de concentracón de rentas en ndvduos. Con esta suposcón, Gn calcula su coefcente de concentracón δ como un valor medo entre todos los deltas δ que se rán obtenendo para los dferentes ndvduos o clases. Gn, volvendo a la págna 6 de su texto, obtene, ncalmente, el valor de δ por medo de ejemplos. Así, para Austra, 904, Fgura 5.9, obtene los sguentes datos: Fgura 5.9: Gn, 90, parte segunda, capítulo IV, pág. 6 74

187 Capítulo 5 El Índce δ de Gn vs. el Índce α de Pareto Y de ahí encuentra los valores δ m, Fguras 5.0: Fgura 5.0: Gn, 90, parte segunda, capítulo IV, pág. 7. Ahora, obtene δ como meda de los δ m, Fgura 5.: 75

188 Capítulo 5 El Índce δ de Gn vs. el Índce α de Pareto Fgura 5.: Gn, 90, parte segunda, capítulo IV, pág. 7. Entendemos que este hallar el "valor medo" es un "ajuste" de la dstrbucón observada al modelo (5.); y así, en la pág. 8, Gn ndca, Fgura 5.: Fgura 5.: Gn, 90, parte segunda, capítulo IV, pág. 8. Es decr, que tomando logartmos se obtene la tabla, Fgura 5.3: 76

189 Capítulo 5 El Índce δ de Gn vs. el Índce α de Pareto Fgura 5.3: Gn, 90, parte segunda, capítulo IV, pág : Pudendo obtenerse δ de la relacón logarítmca que lga N y A, Fgura Fgura 5.4: Gn, 90, parte segunda, capítulo IV, pág. 9. A contnuacón, Gn va a relaconar su índce de concentracón δ con el índce, α, de la dstrbucón de la renta de Pareto. Sguendo las deas de Pareto y consderando las relacones empírcas que observó con los datos dsponbles de reparto de rentas en dferentes terrtoros y perodos de tempo, Gn (pág. 40) ndca, Fgura 5.5: 77

190 Capítulo 5 El Índce δ de Gn vs. el Índce α de Pareto Fguras 5.5: Gn, 90, parte segunda, capítulo IV, pág. 40. Y contnúa en la pág. 4, Fgura 5.6: Fgura 5.6: Gn, 90, parte segunda, capítulo IV, pág. 4. Gn, pág. 4, parte de la relacón de Pareto log N = log H α log x, Fgura 5.7: Fgura 5.7: Gn, 90, parte segunda, capítulo IV, pág

191 Capítulo 5 El Índce δ de Gn vs. el Índce α de Pareto Y obtene, hacendo operacones artmétcas y alguna aproxmacón, que se verfca la relacón: α log A = logt ( α ) log x, T = H α Combnando esas dos relacones anterores, ya obtene su fórmula aproxmada que lga N, A y δ : log N = δ log A log K Así, en la pág 4, Fgura 5.8, ndca: Fgura 5.8: Gn, 90, parte segunda, capítulo IV, pág. 4. Este enfoque presenta el lógco problema de que no es adecuado cuando la relacón () no es correcta, en el sentdo de que para cada hubese valores delta claramente dstntos, y peor aún, cuando los valores delta camban según un patrón al crecer. En realdad, sólo s la dstrbucón de las rentas es de tpo Pareto, los valores delta serían teórcamente guales. Con dstrbucones tpo LogNormal o Gamma, por ejemplo, los delta dsmnuyen sstemátcamente según crece. En otros casos, como el propo Gn observará en la dstrbucón del número de hjos por famla, los deltas crecen sstemátcamente. A contnuacón, 79

192 Capítulo 5 El Índce δ de Gn vs. el Índce α de Pareto Fguras 5.9 y 5.0, nclumos unos gráfcos con los valores δ para dferentes supuestos dstrbuconales y ejemplos. Fgura 5.9: Dstrbucón LN(0'5,) Fgura 5.0: Dstrbucón g(4,) Fgura 5.: Gráfca asocada al ejemplo de Gn de pág..6 80

193 Capítulo 5 El Índce δ de Gn vs. el Índce α de Pareto Fgura 5.: Gráfca asocada al ejemplo de Gn de pág.. 8 Los dos últmos gráfcos, Fguras 5. y 5., corresponden a los ejemplos analzados por Gn en su tratado Indc d concentrazone e d dependenza en las págnas 6 y 8. Puede observarse que sólo en el tercer gráfco de los cuatro anterores, Fgura 5., el valor δ es estable y, por tanto, en nnguno de los otros casos puede hablarse de un únco δ que represente a la dstrbucón. En el caso de una dstrbucón tpo Pareto el gráfco de la Fgura 5. hubese sdo aproxmadamente horzontal (con las posbles fluctuacones muestrales, en su caso), por tanto la no horzontaldad vene a reflejar la dferenca de la dstrbucón analzada con la Pareto. Así, veríamos que el prmer ejemplo de Gn es el más próxmo a un caso paretano. Por tanto, en un amplo abanco de posbldades realstas, no se puede hablar de un valor de δ que lgue P y Q, y por consguente el propósto de este índce queda desvrtuado, excepto en dstrbucones paretanas. 8

194 Capítulo 5 El Índce δ de Gn vs. el Índce α de Pareto 5.3. EL ÍNDICE δ DE GINI VERSUS EL ÍNDICE α DE PARETO Aunque apoyado en la dstrbucón de Pareto, este índce δ tene, sn embargo, a ojos de Gn, varas ventajas sobre el índce α de Pareto. En lo que sgue exponemos las supuestas ventajas ndcadas por Gn, en las págnas 48 y 49 de su trabajo y, posterormente, un comentaro nuestro. Fgura 5.3: Gn, 90, parte segunda, capítulo IV, pág. 48. Es decr, que para Gn,, Fgura 5.3, el índce α sólo se puede aplcar a rentas por encma de certo punto (debdo a las característcas de la dstrbucón de Pareto), mentras que δ puede aplcarse a la dstrbucón completa de la renta. Este comentaro es crtcable en el sentdo de lo que hemos señalado anterormente: δ es plenamente satsfactoro s la dstrbucón es paretana, pero s lo es, aparece el msmo problema de límte nferor de rentas que caracterza a esta dstrbucón. Es decr, la justfcacón plena de δ resde en la propa dstrbucón de tpo Pareto. Otra de las ventajas, Fgura 5.4, que dce Gn tener su índce δ es que el índce α se aplca en un caso más restrngdo que el índce δ: 8

195 Capítulo 5 El Índce δ de Gn vs. el Índce α de Pareto Fgura 5.4: Gn, 90, parte segunda, capítulo IV, pág. 48. Pero, en realdad, Gn aplca δ a casos donde no es del todo satsfactoro (cuando los deltas no son constantes para todo ) y eso sería equvalente a aplcar α a dstrbucones que no son exactamente paretanas. Como hemos apuntado anterormente, en el fondo el procedmento de cálculo promedo de Gn para δ es smlar a "ajustar" α a dstrbucones que no sean tpo Pareto. Ahora, Fgura 5.5, ndca que el índce δ es más sensble que α en la medcón de la concentracón: Fgura 5.5: Gn, 90, parte segunda, capítulo IV, pág. 49. Es decr, se afrma que δ'(α) >. Es nteresante observar que α y δ son "autonversos", Fgura 5.6, o sea que δ(α) es funconalmente gual a α(δ) (o, lo que es lo msmo, que esas funcones son smétrcas respectos a la prmera bsectrz). Por tanto, en sí, α y δ, globalmente, son gualmente sensbles pero, y en esto Gn está en lo certo, en el tramo habtualmente observado (δ > ), δ es más sensble que α. 83

196 Capítulo 5 El Índce δ de Gn vs. el Índce α de Pareto Fgura 5.6: Gráfco de d(a) y a(d) Sobre este msmo punto, convene señalar que Gn encuentra una refutacón de la "ley" que Pareto creyó encontrar sobre la dstrbucón de la rqueza. Pareto observó que la dstrbucón de la rqueza en dferentes terrtoros y épocas tendía a segur una dstrbucón paretana con un parámetro α smlar; a ese tal valor α le quso dar un sgnfcado de "ley" unversal. Gn refuta eso señalando que los valores "smlares" de α corresponden a valores bastante dstntos de δ debdo a las relacón funconal antes señalada entre ambos parámetros. A su vez, valores algo dstntos de δ mplcan concentracones muy dstntas. Ctamos dos párrafos del estadístco talano al respecto: En la pág. 39, Gn ndca cómo a una pequeña varacón de δ le corresponde una gran varacón de la dstrbucón de la rqueza, Fgura 5.7: 84

197 Capítulo 5 El Índce δ de Gn vs. el Índce α de Pareto Fgura 5.7: Gn, 90, parte segunda, capítulo IV, pág. 39. Expresamos segudamente en la Tabla 5., el porcentaje de ndvduos que tenen un porcentaje de rqueza dada, según dversos valores de δ, para observar mejor la varacón en la concentracón : \ c Q λ / /3 /4. /m. /4 /9 /6. /m. 3 /8 /7 /64. /m 3. c P Tabla 5.: Porcentaje de ndvduos vs. porcentaje de rqueza, según δ Prosegumos con la exposcón del resto de puntos sobre la comparatva de Gn entre su coefcente y el de Pareto, Fgura 5.8: Fgura 5.8: Gn, 90, parte segunda, capítulo IV, pág

198 Capítulo 5 El Índce δ de Gn vs. el Índce α de Pareto Por tanto, Gn dce que el índce δ tene una nterpretacón senclla e ntutva. Pero α, añadmos nosotros, por supuesto tambén la tene: nos da precsamente la dstrbucón y los cuantles de la renta en forma senclla. A través de estos breves comentaros a las aprecacones de Gn sobre su propuesta de índce en comparacón con la medda de concentracón de Pareto, podemos observar que no está fundamentada una sgnfcatva ventaja de δ sobre α. Aquí convene traer a colacón lo señalado en la seccón sobre la relatva desconfanza del estadístco venecano respecto a la matemátca teórca. Posblemente s Gn hubese profundzado en el análss matemátco de su coefcente δ, se hubese convencdo de que no aportaba ventajas sgnfcatvas y quzás, entrando ahora en lo hpotétco, hubese acelerado su adhesón defntva al coefcente que lleva su nombre, y que analzamos en el capítulo sguente 5.4. DIFERENCIAS ENTRE LOS CONCEPTOS DE LA DESIGUALDAD DE GINI Y PARETO Pareto, aunque nacdo en París y de madre francesa, cursó sus estudos y se formó en Itala y puede consderarse pertenecente culturalmente a este país. Pareto fue de una generacón anteror a Gn (36 años mayor) y es natural que éste tuvese como referenca relatva el trabajo de aquél. En Indc d concentrazone e d dependenza Gn señala la dspardad entre la dea de "desgualdad" de Pareto y la suya de concentracón. Prmero ndca, pág. 49, que el concepto de desgualdad de Pareto es el contraro al de Benn, Fgura 5.9: 86

199 Capítulo 5 El Índce δ de Gn vs. el Índce α de Pareto Fgura 5.9: Gn, 90, parte segunda, capítulo IV, pág. 49. Y, a contnuacón, Gn ndca que su sgnfcado de concentracón es el correcto, Fgura 5.30 y 5.3: Fgura 5.30: Gn, 90, parte segunda, capítulo IV, pág

200 Capítulo 5 El Índce δ de Gn vs. el Índce α de Pareto Fgura 5.3: Gn, 90, parte segunda, capítulo IV, pág. 50. Es nteresante señalar que en la vsón de Pareto hay mucha concentracón (en rentas) cuando una gran cantdad de personas tenen rentas pequeñas y un reducdo número de personas tenen rentas mucho mayores. Aquí, Pareto nterpreta la concentracón como "concentracón de rentas parecdas" (dspersón relatva pequeña). En térmnos "modernos", sguendo a Gn, esa stuacón se consderaría como "concentracón pequeña" (dspersón relatva pequeña). Es decr, en térmnos de Gn "concentracón" y dspersón (relatva) son conceptos paralelos, no opuestos. 88

201 CAPÍTULO 6 LA CONSOLIDACIÓN DE LA MEDIDA DE LA DESIGUALDAD. GINI 6.. INTRODUCCIÓN 6.. CASO DE DATOS NO AGREGADOS CASO DE AGREGACIÓN EN FRECUENCIAS 6.4. CASO DE AGREGACIÓN EN INTERVALOS 6.5. RELACIÓN ENTRE LA RAZÓN DE CONCENTRACIÓN R DE GINI Y LA CURVA DE CONCENTRACIÓN DE LORENZ 6.6. RELACIÓN ENTRE R Y LA DIFERENCIA DE MEDIAS 6.7. OTRA FORMULACIÓN DEL ÍNDICE R PARA DATOS AGREGADOS EN FRECUENCIAS ABSOLUTAS 6.8. DOMINANCIA DE LASSALLE E ÍNDICE DE DESIGUALDAD DOMINANCIA DE BEAULIEU E ÍNDICE DE BIENESTAR

202

203 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn 6.. INTRODUCCIÓN El famoso índce denomnado Razón de Concentracón de Gn, R, aparece desarrollado en su artículo de 94 ttulado Sulla msura della concentrazone e della varabltà de caractter, que surgó fruto del artículo Indc d Concentrazone e d dpendenza de 90 y la memora Varabltà e Mutabltà de 9, publcada por Facoltá d Gursprudenza della R. Unverstá de Caglar. El análss de este trabajo de 94 consttuye los apartados del 6. al 6.6 de este capítulo. El artículo Sulla msura della concentrazone e della varabltà de caractter, publcado por Att del R. Isttuto Veneto d Scenze, Lettere ed Art (94), no fue traducdo nunca al nglés n al castellano, n comentadas sus seccones, hasta que aparecó en castellano el trabajo ttulado Acerca de Sulla msura della concentrazone e della varabltà de Corrado Gn (Basulto y Romero, 003), que es una versón comentada de varas seccones del trabajo de Gn, en el que además de comentaros y aclaracones, se hacen demostracones alternatvas a las del trabajo orgnal. Posterormente, en 005, aparecó una traduccón lteral en lengua nglesa, On the measurement of concentraton and varablty of characters, en METRON - Internatonal Journal of Statstcs. Más tarde aparecó el artículo Gn s concentraton rato (908 94) en Journ@l électronque d Hstore des Probabltés et de la Statstque (Basulto y Busto, 00), donde se analzan algunos de los trabajos publcados por Gn entre 908 y 94 y, que en lo concernente a Sulla msura della concentrazone e della varabltà de caractter, es complementaro del trabajo de Basulto y Romero (003). Un resumen de las fórmulas de este capítulo son las que se muestran segudamente: 9

204 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn Para datos sn agregar: R= n ( P Q ) = n = P () R= ( n ) A n n = A () n = ( ) R= A ( n ) n a (bs) Para datos agregados en frecuencas: s ( Nl + Nl ) xl nl (3) l= R= A ( n ) n Datos agregados en ntervalos: R r k Sk( Nk + Nk ) + εkδk (4) k= k= = N + k = ( n ) A n r N 9

205 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn R = r Sk( Nk + Nk) na n (5) k= ( n ) A n R r ( + ) S N N k k k k = = nan (5bs) r R ( n ) A S N N n k 6 n l l = + + = k( k k ) ( k )( k k ) (7) r R = S N N n l l na + + n k= 6 k( k k) k ( k k ) (7bs) R r ( N + N ) n ( l + l ) + ( n )( l l ) k k k k k k k k k= 3 = r ( ) ( + ) k= n l l n k k k (8) R r ( N + N ) n ( l + l ) + ( n )( l l ) k k k k k k k k k= 3 = r k= ( + ) n l l n k k k (8bs) Datos con valores nulos: n (9) Rt = Rp m+ ( m), m= n+ v 93

206 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn Relaconándolo con la curva de Lorenz para datos desagregados: ACA= IGG= r k= r k= S ( N + N ) na na k k k n S ( N + N ) na na n k k k n n (0) Relaconándolo con la dferenca meda para datos desagregados: R= M n n ( ) n+ ( n+ )( a a ) a a j = = = n n n n ( ) n+ () R= n+ = ( n+ )( a a ) ( ) n n n+ A n Relaconándolo con la dferenca meda para datos agrupados en ntervalos: = r nk( nk ) k (3) k= n ( n ) 94

207 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn R = M R ' = R r k= n ( n ) k k k ( n ) M n (4) Gn, en la seccón de su trabajo, defne su coefcente de concentracón como una meda artmétca ponderada de las denomnadas desgualdades relatvas. La formula que propone Gn la lmta a datos desagregados y, posterormente, la modfca tanto para datos agregados en frecuencas como para datos agregados en ntervalos. En la seccón 6 de su trabajo, Gn estuda la relacón de su fórmula con la curva de concentracón de Lorenz (905), señalando la aproxmacón entre su fórmula y el doble del área de Lorenz a medda que el número de observacones, n, crece; y en la seccón 8 relacona el doble del área de Lorenz con su formula, observando que se dferencan en el factor n. En la seccón 9, Gn prueba la relacón entre la medda denomnada n meda de las dferencas sn reposcón con su coefcente de concentracón. De las trece seccones que consttuyen el trabajo orgnal de Gn, en este capítulo se analzan las dez prmeras. A partr de aquí, recogemos en el apartado la razón de concentracón para datos desagregados en frecuencas untaras, generalzando dcha razón a datos agregados en frecuencas no untaras, apartado 3, y a datos agregados en ntervalos, apartado 4. En el apartado 5, relaconamos la razón de concentracón con la curva de Lorenz. En el apartado 6, relaconamos la razón de concentracón con la dferencas de meda. 95

208 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn En el apartado 7 mostramos otra formulacón del índce R para datos agregados en frecuencas absolutas, una expresón alternatva a la orgnal dada por Gn, numerada como (3). En el apartado 8 mostramos la conexón entre domnanca de Lassalle e Índce de Gn. Cabe señalar que, de acuerdo con el crtero de Lassalle, un ndcador natural de la desgualdad global de la dstrbucón, podría consderarse que es el índce de Gn. En el apartado 9 se ncluye tambén la conexón entre domnanca de Beauleu y Benestar, en general y en los casos partculares de las dstrbucones de Pareto y Pareto-cuadrátca. Hemos usando, para representar el tamaño, la notacón n de Gn y la nuestra N, smultáneamente. Termnamos esta ntroduccón ndcando que hemos usado dos tpos de numeracón de las fórmulas, una la ordnal, (), (),..., que se corresponde con la dada por Gn, y otra que va precedda del número del capítulo, (6.), (6.),..., que es la usada por nosotros. 6.. CASO DE DATOS NO AGREGADOS En la seccón de su artículo de 94, Págna 43 de la reproduccón de su artículo orgnal, Gn, Fgura 6., comenza dcendo que va a retomar los conceptos de concentracón e índce de concentracón, de forma algo dferente a como lo había realzado en su trabajo prevo Indc d concentrazone e d dpendenza, de 90. Fgura 6.: Gn, 94, Págna 43 96

209 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn Gn, consdera que dsponemos de n valores ordenados {a, =,..,n} de una varable estadístca cuanttatva no negatva; es decr, a... a n. Defne las varables A = a, cantdad acumulada del carácter hasta el k= k a A k= lugar -ésmo. Con lo cual, la varable Q = = A n n a k= k k consttuye la proporcón que representa la cantdad acumulada del carácter hasta el lugar, A, respecto a la cantdad total presente del carácter. Mentras que la varable P = denota la n proporcón de observacones hasta el lugar respecto al número de observacones totales. Tomando dos rangos,l, tal que <l, se tene que a a l, y evdentemente, por las propedades de la meda artmétca, con lo que a l k ak, k= l k= y, tomando l=n, se verfca que es decr, k= l k= k= n k= a a a a k k k k l n, ; 97

210 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn Q P Gn afrma, págna 43, Fgura 6., la concentracón del carácter será tanto más fuerte cuanto más fuerte sean las n- desgualdades Q < P, =,..,n- (4) Fgura 6.: Gn, 94, Págna 43 La concentracón del carácter será perfecta s sus ntensdades son todas nulas, salvo una: a =0, =,..,n- y a n =A n. Dcho de otra forma, cuando Q =0, =,..,n-; o tambén, cuando P -Q = P, =,..,n-. La concentracón será nula cuando Q = P, =,..,n-; en tal caso se drá que hay equdstrbucón del carácter. A contnuacón, Gn se plantea buscar una medda o índce de concentracón del carácter, a partr de las n- desgualdades (4). En el trabajo de 90, Fgura 6.3: Fgura 6.3: Gn, 94, Págna 4 98

211 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn Gn defne la medda de concentracón basándose en la suposcón de que la dstrbucón del carácter sgue un modelo paramétrco determnado; en concreto supone la exstenca de certas relacones entre los pares {(P, Q ), =,..,n}, como por ejemplo -P =(-Q ) δ. Por el contraro, en este trabajo de 94, págna 45, Fgura 6.4, que es del que nos ocupamos en este capítulo, Gn afrma que el objetvo es proponer una medda de concentracón que sea ndependente de la curva de dstrbucón del carácter. Fgura 6.4: Gn, 94, Págna 45 Las dferencas de (4), P -Q,representan la proporcón, respecto a la ntensdad total de todo el colectvo, que ha de transferrse al colectvo de los P casos con ntensdad más baja, para elmnar la desgualdad presente en los msmos respecto al conjunto del colectvo. En efecto, s notamos por Q * la proporcón de rqueza que acumula el colectvo de los P casos con ntensdad más baja después de la transferenca, se tendrá que: Q * T = T * * n = Q + = ( P Q ) ( P Q ) = P. t k k= + n t k k= n t k k= = 99

212 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn La desgualdad (4) es tanto más fuerte, en valor absoluto, cuanto mayor sea la dferenca P -Q ; y, dado que el valor máxmo de Q es P, tanto más fuerte en valor relatvo cuanto más alta es la razón R P Q =. P R representa, en térmnos de proporcón respecto a la ntensdad meda de todo el colectvo, la ntensdad constante en que hay que aumentar la ntensdad del carácter de cada uno de los P casos con ntensdad más baja, para elmnar la desgualdad presente en los msmos respecto al conjunto del colectvo. En efecto, s en lugar de consderar los valores a,..,a, que consttuyen la proporcón P de observacones, se consderan los valores transformados b,..,b, donde b = a + R M, j=,..,, y donde M es la meda de todas las j j ntensdades orgnales del carácter, se verfca que la meda de esos nuevos valores transformados concde con M, pues M b bj ( a j + R M) j= j= = = = a j j= MR j= = + = + MR, a j de donde 00

213 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn j j b j= P Q j= Q j j= N N j j j j= j= j= a M = + M = + M M = P P j j= j= = + M = M. a a a = + M = N N a a j a a En el caso de equdstrbucón, la proporcón acumulada del carácter, Q, sería P Q gual a la proporcón acumulada de ndvduos, P ; luego el cocente R = P tendría que ser cero. Por el contraro, en el caso de máxma desgualdad, la proporcón acumulada del carácter, Q, sería gual a cero, luego P Q = P y el P Q cocente R = tendría que ser uno. Así pues, el valor de R varía entre 0, P en caso de equdstrbucón, y uno, en caso de concentracón perfecta y, por ello, puede consderarse un ndcador de la concentracón del carácter que se presenta entre los P casos que poseen ntensdad más baja en el carácter en estudo. Dado que ese ndcador de la concentracón del carácter afecta a la proporcón P de casos, es por lo que Gn señala que como medda de la concentracón del carácter podremos asumr la meda ponderada de los n- valores de R, donde cada uno de los R entra con un peso proporconal al valor P, Fgura 6.4, págna 46. 0

214 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn Fgura 6.4: Gn, 94, Págna 46 Tal medda será es decr, n n n P Q R P P P Q = = P = n n n R= = = ( ) P P P = = = ; R= n ( P Q ) = n = P () Esa medda es la que Gn denomna Razón de Concentracón. Tambén, para concentracón perfecta, Q =0, =,..,n-, con lo que n n ( P Q) = P, = = luego R=, y para equdstrbucón, P =Q, con lo que R=0. 0

215 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn Igualmente, a medda que las desgualdades Q < P son más fuertes, entonces R aumenta. La razón de concentracón es por lo tanto, ndca Gn, un índce de concentracón que verfca las condcones sguentes: a) Crece al crecer la concentracón b) Toma como valor más alto uno en el caso de máxma concentracón c) Toma su valor más pequeño, 0, en el caso de mínma concentracón. A contnuacón, veremos cómo se calcula en la práctca el valor de R. La formula que presentamos, equvalente a la mostrada en (), es la que propone Gn al comenzo de su seccón 3, Fgura 6.5. Fgura 6.5: Gn, 94, Págna 4 Dado que n n n = = = ( n ) n ( n ) P = = = = n n n, 03

216 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn se tene que n n n n n A ( ) P Q P Q Q A n = = = = = n n n n ( n ) ( n ) An = P P P = = = R= = = = = A y obtenemos la sguente formulacón para R: R= ( n ) n A. () A n = Pero Gn, segudamente, propone una formulacón alternatva, Fgura 6.6. Fgura 6.6: Gn, 94, Págna En efecto, s tenemos en cuenta que n n A = ak, = = k= y que esa expresón, observando la tabla sguente, Tabla 6., 04

217 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn 3 A A A A 3 = k= k= a k = a a k= 3 k = a a + a k= k = a a + a + a 3 k n- A n = a a + a + a a n- n k= k Tabla 6.: Sumas parcales concde con n n n A = ak =(n-) a + (n-) a +..+(n-(n-))a n- = ( n ) a, = = k= = se cumplrá que con lo que ( ) ( ) ( ) ( ) ( n ) n = = ( ) n n A n A n = R= A = = n A n A = n n = n a n a A n, n n n n n n a a na + a = = = = R= = A = ( n ) n n n n n n n a a + a na + a = = = = = ( n ) A n ; 05

218 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn y de ahí, n n n n n n a + a na + a a = = = = = R= = A = ( n ) n n n n n n a + a na + a nan a = = = = = = = A n ( n ) n n n n n n a + a n a nan+ a a = = = = = = = A = n n a + a ( n ) ( n ) n a + a a A n n n n = = = = n n n. Por tanto, n n n ( ) + + ( ) n n a a a = = = R= = A ( n ) n ( + ) + ( ) n n a a ( n ) ( ) ( ) n ( n ) = = = = A = n A + a n = A n n n n, de donde, n = ( ) R=. ( bs) A ( n ) n a 06

219 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn 6.3. CASO DE AGREGACIÓN EN FRECUENCIAS. Gn, contnuando con su seccón 3, Fgura 6.7, págna 48, se plantea obtener una expresón de su razón de concentracón, R, para el caso que los n valores estén agrupados en frecuencas absolutas; es decr, que de los n datos solo haya s valores dferentes x l, l=,..,s, y cada valor x l se repte n l veces ( él los llama f l ). Fgura 6.7: Gn, 94, Págna 48 Para obtener la fórmula, Gn defne los valores N l, como el número total de ndvduos con valores menores o guales a x l, y N l-, como el número de ndvduos con valores menores a x l, es decr menores o guales a x l- ( él los llama l e l- ); y por tanto, es claro que N l- = N l - n l. Observando la sguente tabla de correspondencas, Tabla 6.: a,.., a a n n+,.., an + n a n+,.., an + n... a 3 a,.., an an +,.., an a N+,.., an... a 3 x x x 3. x s T,.., a,.., a n + n + n s s s N s + abla 6.: Correspondenca con valores dferentes N s se tene que la expresón de (6.) 07

220 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn n N s N ( ) = ( ) + ( ) + + ( ) a a a a = = = N + = N + N s (6.) se podrá poner en este caso como: Luego, n N s ( ) ( ) ( ) ( ) = = = N + = N + N ( ) ( ) ( ) ( ) s s s = = N + = N + s N l = x. l l= = N + l N a = a + a + + a = N = x + x + + x = N N s n l ( ) a = xl ( ) ; = l= = N + s N l y, en consecuenca, la expresón ( bs), n = ( ) R=, se reduce a: A ( n ) n a Pero como, s N l l l= = N + l ( ) n ( ) x R=. A n es decr, se tene que: N l = N + l ( ) ( N ) ( N ) ( N n ) = = l l l l ( N + ) + ( N + n ) ( N + N ) l l l l l nl = = Nl ( Nl + Nl ) ( ) = nl, (6.) = N + l n ; l 08

221 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn s l= ( + ) N N x n l l l l R=. (3) A ( n ) Para el caso de frecuencas untaras, n l =, esta últma fórmula concde con la expresón ( bs), ya que se tene que s=n, x l =a l y N l- +N l -= (N l -n l )+ N l -= (N l -)+ N l -= (N l -). Para casos de frecuencas no untaras, es claro que la fórmula (3) no concde con la ( bs). n En muchos manuales de estadístca, se utlza la fórmula () de Gn con datos agregados en frecuencas; y es claro que () es gual a ( bs) y que esta no concde con (3) en estos casos de datos agregados en frecuencas no untaras. Una explcacón de este error puede deberse, de alguna manera, al hecho que en el lbro de Gn Curso de Estadístca, de 935, traducdo por el estadístco y economsta J.A. Vandellos, sólo se recogía la formula (). En efecto, consderemos el sguente ejemplo numérco en el que se apreca claramente los dferentes resultados que aportan ambas expresones, Tabla 6.3. Calculemos en prmer lugar R medante (3): x n N S =x n N - +N - (N - +N -)x n R= Tabla 6.3: Ejemplo de cálculo de R medante (3) 09

222 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn Se obtene un valor para R de 0.3, ndcando que hay poca concentracón, cosa lógca pues hay pocos ndvduos con ngresos pequeños y muchos ndvduos con elevados ngresos. S ahora calculamos R usando la fórmula (6.), Tabla 6.4, se obtene: x n N S =x n A P Q R*= Tabla 6.4: calculamos R usando la fórmula (6.) Que ndca concentracón muy elevada, cosa que, obvamente, no ocurre CASO DE AGREGACIÓN EN INTERVALOS. Contnuando con la seccón 3 del artículo de Gn, Fgura 6.8, págna 40, este afronta la extensón de la fórmula ( bs) a stuacones donde los datos han sdo agregados en r clases, con límtes I k =[l k-, l k ], k=,..,r. Fgura 6.8: Gn, 94, págna 40 0

223 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn n a que = Para ver en qué se traduce, en este caso, la expresón ( ) aparece en la fórmula ( bs), Gn defne las frecuencas acumuladas N k y N k-, donde N k es el número total de datos con valores menores o guales que l k, y N k- el total de datos con valores nferores o guales a l k-. Igualmente defne S k como la cantdad total del carácter que está presente en la clase k-ésma. Para cada uno de los ntervalo I k, k=,..,r se consdera: Para cada uno de los n k valores a, =N k- +,..N k- +n k, que caen dentro del ntervalo I k, las dferencas entre ellos y su valor medo en dcho ntervalo, con lo que Sk n : k Sk δ k = a, =N k- +,..N k- +n k, n k a S = δk + n k k (6.3) Igualmente, para cada uno de los n k rangos, =N k- +,..N k- +n k, que caen dentro del ntervalo I k, se consderan las dferencas entre los valores - y el valor medo de estas expresones en dcho ntervalo, N k k ( ) ( Nk + Nk ) ( + ) n N N = = nk = N + k k k n es decr, las dferencas con lo que k ε k ( N N ) k k = ( ) +, ;

224 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn ( ) = ε + k ( N N ) k k + (6.4) Como la suma de las desvacones de los valores de una magntud respecto a su meda es cero, se tendrá que para cada uno de los ntervalo I k, k=,..,r, se verfca: Nk δk = 0 = N + k Por otro lado, Nk εk = 0 = Nk + n N N N r N r r ( ) = ( ) + ( ) + + ( ) = ( ) a a a a a = = = N + = N + k= = N + r r luego: n r ( ) = ( ) a a = k= = N + r N r (6.5) y, s susttumos en la expresón anteror el valor obtendo en (6.3): N N k k Sk ( ) a = ( ) δk + = = N + = N + nk k k N k k S = + k ( ) δ ( ) k = N + nk = N + k k N (6.6)

225 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn Pero, por (6.): y, por otro lado, por (6.4): N k = N + k ( ) = ( N + N ) k k n k k k ( N + N ) Nk Nk l l ( ) δk εk δk = N + = N + = + = ( N + N ) Nk Nk l l εkδk δk = N + = N + = + = = k k N k = N + k ε δ, k k luego, N k k ( ) = k k k = N + = N + N δ ε δ k k Y, susttuyendo en (6.6), se tene: N N k k ( ) a = ε δ + S ( N + N ) k k k k k = N + = N + k k Por consguente, la expresón (6.5), queda: n r Nr r Nk ( ) a = ( ) a = εkδk+ Sk( Nk + Nk ) = = k= = Nr + k= = Nk + r r Nk = Sk( Nk + Nk ) + ε kδk ; k= k= = Nk + es decr, 3

226 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn n r r Nk ( ) a = Sk( Nk + Nk ) + ε kδk = k= k= = Nk + Con esto, la fórmula ( bs) se expresa en la forma: n r r Nk ( ) a Sk( Nk k ) N + + εkδk = k= k= = N + R= = n A n A ( ) n k ( ) n En conclusón, para el caso de valores agrupados en ntervalos: R r r Nk S ( N + N ) + ε δ A k k k k k k= k= = N + k = ( n ) n (4) Como el térmno r N εkδk k ( n ) A n k k= = N + esta otra fórmula aproxmada: es pequeño, la formula anteror conduce a R r r S ( N + N ) S ( N + N ) na k= n A n A k k k k= = = ( ) n k k k n ( ) Y, s además n es grande, esa formula (5) puede aproxmarse por n (5) verfcándose que R r ( + ) S N N k k k k = = nan ' n R = R. n, (5 bs) 4

227 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn Como tanto los δ k, como los ε k crecen dentro de cada clase I k, se tene que Nk εkδk > 0 = N + k, y por tanto r Nk εkδk > 0 ; de donde se obtene que: k k= = N + R <R. (6) A contnuacón, Gn busca aproxmar el térmno r N k εkδk (6.7) k ( n ) A n k= = N + y para ello, la prmera hpótess que consdera es que los n k valores de la ntensdad del carácter en la clase I k sguen una progresón artmétca; lo cual es un caso partcular del generalmente asumdo en que los valores del carácter se dstrbuyen, dentro de cada clase, de forma unforme. S llamamos b, aunque en realdad habría que llamarle b k, a la dferenca entre los térmnos de esa progresón artmétca, podemos consderar varas posbldades:. Que nnguno de los dos extremos de cada ntervalo sea un valor lk lk observado, con lo que se tendrá que b= n + k. Que los dos extremos de cada ntervalo sean un valor observado, con lk lk lo que se tendrá que b= n k 5

228 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn 3. Que sólo uno de los dos extremos de cada ntervalo sea un valor lk lk observado, por ejemplo el superor, con lo que se tendrá que b= n k Por smplfcar los cálculos, nos ceñremos a este caso (que es compatble con la forma I k =(l k-, l k ] para los ntervalos), con lo cual el prmer valor que aparece en el ntervalo I k será l k- +b, y el últmo será l k- + n k b, que concdrá con l k. Calcularemos los valores tanto de posterormente sustturlos en la expresón δ k, como de los ε k, para r N k k= = N + k εkδk (6.8) que forma parte de (6.7). Por (6.3), Sk δ k = a. Pero, a su vez, de la tabla sguente, Tabla 6.5: n k I k =(l k-, l k ], =N k- + a =l k- +b a + =l k- +b a + ( ) =l k- + n k b n k Tabla 6.5: Valores dentro del ntervalo I k y, por tanto, se deduce que S k = l k- n k +(++..+n k )b= l k- n k + b n k ( n k +)/, 6

229 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn luego δ y, en consecuenca, δ S n k k a a lk nk k k ( + ) b nk = lk +, ( + ) S b nk = =, =N k- +,..N k- +n k, k, N + l N + l k k k ( + ) b nk = a l = b( nk + ) nk + = ( lk + lb) lk = b l, l=,.., nk. Es decr, δ nk + k, Nk l b l, l,.., n + = = k (6.9) Análogamente, por (6.4): con lo que y, por tanto, ε k ε ( ) ( ) Nk + Nk Nk + Nk + nk = ( ) = ( ) = nk = ( ) Nk, ε k nk = ( ) Nk, =N k- +,..N k- +n k ; = N + l N = l, l=,.., n. ( ) n k nk + + k, N l k k k k Es decr, 7

230 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn ε nk + k, Nk l l, l,.., n + = = k (6.0) Por (6.9) y (6.0), se verfca que: εk, N l = bε k, N l, l=,.., nk. + + k k Luego, es decr, r Nk r nk ε δ = ε δ = k k k k k k, N + l k, N + l k= = N + k= l= r nk r nk = εk, N,, ; k l bε k Nk l b ε + + = k Nk + l k= l= k= l= k k r Nk r nk εkδk = b ε k, N + l k= = N + k= l= (6.) Pero, como por (6.0): se tene que luego, ε k, N ε k = = + = nk = ( l ), l=,.., nk, nk + nk + ( ) l l l + k k, N l l, l,.., nk k + n = ( ) = ; 8

231 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn n k nk nk nk nk nk ε k, N ( ) ( ) ( ) k l l l l + l= l= l= = = + = n n n k k k nk = ( l ) + ( n ) ( l ). k l= l= l= Y, como sabemos que N = = ( + )( N+ ) N N 6, se tendrá que: n k nk nk nk n ε k, Nk l + k l= l= l= l= k ( l ) ( n ) ( l ) = + = ( ) ( ) k k k + nk k k nk k n n n n n = + = 6 ( n ) ( ) ( n ) n [ 4n + 3n 3 6n + 6] ( n ) n [ n + ] k k k k k k k k = = = n = k ( nk ) Es decr, ( nk ) nk k ε k, Nk + l =. l= n Susttuyendo esa expresón en (6.), se tene que: r Nk r nk r εkδk = b ε k, N + l = k= = N + k= l= k= k k n k ( nk ) b (6.) Por tanto, ( ) nk( nk ) b r k( k ) ( ) ( ) r Nk r εkδk k= = Nk + = k= = n n b. n A n A 6 n A n n n k= 9

232 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn lk lk Así pues, s tomamos b bajo el supuesto que djmos, b=,se tendrá que n k Es decr, r N ε δ = = n A n A n k k k k= = N + lk lk r k nk( nk ) ( ) 6( ) n n k= k r =. 6 ( nk )( lk lk ) ( n ) A n k= r N ε δ = k k k r k= = + Nk ( nk )( lk lk ) ( n ) A 6( n ) A n n k= (6.3) Susttuyendo esa expresón en (4), se tene que, en el caso de agrupacón en ntervalos, y bajo el supuesto establecdo de progresón artmétca, la expresón aproxmada de R es: R r r Nk S ( N + N ) + ε δ A k k k k k k= k= = N + k = = ( n ) n r = Sk( Nk Nk ) ( nk )( lk lk ). ( n ) + + A n k= 6 Es decr, r R ( n ) A S N N n k 6 n l l = + + = k( k k ) ( k )( k k ) (7) Igualmente, s n es sufcentemente elevado, esa formula puede aproxmarse por: r R = Sk( Nk Nk) nk ( lk lk ) na + + n k= 6, (7 bs) 0

233 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn exstendo la sguente relacón entre ambas: n l l R = R + n 6 n A r ( ) 0 n. Obsérvese, que las fórmulas (5), (5 bs), (7) y (7 bs) suponen que conocemos los totales, S k, las frecuencas absolutas, n k, y los extremos de cada una de las clases I k. Pero, no sempre es así: a) En algunas aplcacones, no se conoce el extremo nferor de la prmera clase y tampoco el extremo superor de la últma clase. En estos casos, una hpótess que podemos usar es: Sk lk lk = +. n k b) En otras ocasones, sucede que, para cada clase, solamente conocemos sus frecuencas absolutas y desconocemos los valores de S k. En tal caso podemos usar tambén la hpótess dada en a), con lo que c) r S k = lk + lk A = S = l + l n ( ). n k k k k k= k= r n k Para tales stuacones, Gn, susttuyendo en (7) las expresones anterores, halla su últma aproxmacón a R: R r ( N + N ) n ( l + l ) + ( n )( l l ) k k k k k k k k k= 3 = r ( ) ( + ) k= n l l n k k k que a su vez, cuando n es muy elevado, puede aproxmarse por:, (8)

234 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn R r ( N + N ) n ( l + l ) + ( n )( l l ) k k k k k k k k k= 3 = r k= ( + ) n l l n k k k. (8 bs) A partr de este momento, Gn dedca su seccón 4 a recoger varas aplcacones de R en dferentes cencas. En su seccón 5, Gn plantea la stuacón en la que el carácter cuanttatvo tene un número v de valores nulos y un número n de valores postvos, establecendo que n Rt = Rp m+ ( m), m=, (9) n+ v donde R p es la razón de concentracón calculada en los valores exclusvamente postvos del carácter, y donde R t es la razón de concentracón para el conjunto de todos los valores del carácter RELACIÓN ENTRE LA RAZÓN DE CONCENTRACIÓN R DE GINI Y LA CURVA DE CONCENTRACIÓN DE LORENZ. En la seccón 6 del artículo, Gn, trabajando con datos desagregados con frecuencas absolutas untaras, prueba que n = ( P Q ) n se aproxma al área de concentracón, área entre la recta de equdstrbucón y la curva de concentracón de Lorenz, cuando n es sufcentemente elevado.

235 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn Igualmente, demuestra que n = n P se aproxma, para n sufcentemente grande, al área del trangulo formado por la recta de equdstrbucón, la base y el lado derecho del cuadrado que delmta la curva de concentracón. Así pues, Gn prueba que, para n sufcentemente grande, la razón de concentracón, R= n ctadas anterormente. ( P Q ) = n = P, se aproxma al cocente entre las dos áreas En sus seccones 7 y 8, Gn propone usar métodos aproxmados para calcular el área de concentracón. Pero recalca, que para al cálculo artmétco la fórmula de R que aparece en (7) es una buena aproxmacón al valor de R. En la seccón 8, construye una curva de concentracón con datos agregados en ntervalos de clase. A contnuacón une los puntos de cambo de la curva de concentracón por segmentos. Así aproxma la curva de concentracón por una polgonal y luego calcula la aproxmacón al área de concentracón como el área exstente entre la recta de equdstrbucón y la polgonal. Veamos segudamente la fórmula que obtene. Puede comprobarse fáclmente que el área de concentracón aproxmada, ACA, para el caso en que la curva de concentracón se aproxme por una polgonal, tene la sguente expresón: r r Sk( Nk + Nk) S ( N + N ) na k= k= ACA= = na na n k k k n n. (0) 3

236 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn Ahora, para calcular una meda aproxmada de la concentracón, Gn dvde ese área entre el área del trangulo nferor que determna la gráfca de la curva de concentracón, que como sabemos es ½. Luego la medda aproxmada de la concentracón que obtene Gn a partr de este método gráfco, que llamaremos índce de Gn Geométrco y notaremos por IG G, es: r r Sk( Nk Nk) S ( N N ) na ACA + + k= k= IGG= = ACA= = na n nan k k k n expresón que se relacona con la fórmula de R, hallada en (5) ( a R le llamaremos IG T, índce de Gn Teórco) que aproxmaba a la razón de n concentracón R, pues concde con el valor R. n Obvamente, s Gn hubese dvddo el área de concentracón aproxmada, ACA, por el área correspondente a la stuacón de máxma concentracón ( que está determnada por el trángulo de vértces (0,0), ((nn )/n,0) y (,)), que es, se hubese obtendo, según (0): n r r S ( N + N ) na S ( N + N ) na ACA ACA n = = = ACM n n na n ( n ) An n, expresón que concde con el valor de R dado en (5). k k k n k k k n k= k= En consecuenca, la aproxmacón R de R, que llevamos a cabo en (5) procede de haber realzado la aproxmacón de la verdadera curva de concentracón, que es la polgonal dada para datos desagregados en frecuencas 4

237 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn untaras ( o no untaras, pues concden en ambos casos) por la polgonal obtenda al agregar los datos en ntervalos. Por tanto, la aproxmacón R de R será peor a medda que la verdadera curva de concentracón polgonal se aleje de la nueva forma polgonal que le hemos asgnado; y por consguente, mentras más acentuados sean los cambos de pendente de la curva de concentracón verdadera, mentras menor sea el número de clases que hemos establecdo y mentras mayor dspersón haya en el nteror de cada clase. El propo Gn, recoge un ejemplo, orgnal de Petra, de la propedad de la terra en manos prvadas en el estado de Vctora, sobre la nfluenca del número de clases en los valores de R y R. Exponemos segudamente los resultados obtendos, Tabla 6.6: Número de clases Valor de R Valor de R % 69. % % 69. % % 69. % % 69. % % 69. % % 69. % % 69.6 % % 69.3 % % 7. % Tabla 6.6: Gn, 94, ejemplo de Petra Como se observa, la formula R es una muy buena aproxmacón al valor verdadero de R, y es la que permanece más estable, ndependentemente del número de clases que se consderen. 5

238 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn Han sdo realzadas pruebas adconales, Tabla 6.7, para verfcar la establdad de R. A contnuacón mostramos algunos resultados. datos n N (N - +N -)x n datos n N (N - +N -)x n R= Tabla 6.7: Datos desagregados 6

239 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn Hemos obtendo que el verdadero valor de R es R=0.3 S ahora agrupamos en 5 ntervalos, obtenemos, Tablas 6.8 y 6.9: Intervalos N k S k N k-+ N k - S k (N k- +N k -) P k Q k x<= <x<= <x<= <x<= <x<= R' = R*= Tabla 6.8: Agrupando en 5 ntervalos l k l k- N k A k S k (N k- +N k -)+(n k -)*(l k -l k- )/ R''= Tabla 6.9: Agrupando en 5 ntervalos Por lo que hemos obtendo los resultados: R =0.04, R =0.3, R*=0.57. S agrupamos en 0 ntervalos, obtenemos, Tablas 6.0 y 6.: 7

240 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn N k S k N k-+ N k - S k (N k- +N k -) P k Q k I<= R'= R*= Tabla 6.0: Agrupando en 0 ntervalos l k l k- N k A k S k (N k- +N k -)+(n k -)*(l k -l k- )/ R = Tabla 6.: Agrupando en 0 ntervalos Así pues, hemos obtendos, sendo R=0.3 el verdadero, los sguentes resultados, Tabla 6.: 8

241 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn Nº ntervalos R R R* 5 ntervalos ntervalos Tabla 6.: Dferentes valores aproxmados de R Que confrman la establdad de R, la falta de precsón de R* y el alejamento de R del verdadero R al dsmnur el número de clases que hemos establecdo. En resumen, hemos obtendo las sguentes conclusones sobre la aplcabldad de las dversas fórmulas:. Para datos desagregados con frecuencas untaras: R= n ( P Q ) = n = P () n = ( ) R= ( bs) n A ( ) Tanto las fórmulas () como la ( bs) son fórmulas exactas. La ( bs) es más operatva. n a. Para datos agregados en frecuencas absolutas: s l= ( + ) N N x n l l l l R= (3) n A ( ) n 9

242 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn R s * = = ( P Q ) s = P (6.4) La fórmula (3) es exacta. La fórmula (6.4) es una aproxmacón que aparece en muchos lbros de textos, pero que en ocasones tene un comportamento bastante defcente. 3. Para datos agregados en ntervalos: Aproxmando la verdadera curva de concentracón, que es la polgonal dada para datos desagregados en frecuencas untaras (o no untaras, pues concden en ambos casos) por la polgonal obtenda al agregar los datos en ntervalos. r ( ) Sk Nk + Nk k= ACA R = = n A ACM ( ) n (5) IG G r ( + ) Sk Nk Nk ACA k= = = ACA= na n (6.5) r R k( k k ) ( k )( k k ) ( ) S N n A N n k 6 n l l = + + (7) = R r * = = ( P Q ) r = P. (6.6) 30

243 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn Igual que en el caso de agrupacón de frecuencas, la aproxmacón R* que aparece en algunos lbros de texto puede comportarse bastante mal. La fórmula R es una muy buena aproxmacón al valor verdadero de R, y es la que permanece más estable ndependentemente del número de clases que se consderen. La aproxmacón R de R será peor a medda que la verdadera curva de concentracón polgonal se aleje de la nueva forma polgonal que le hemos asgnado; y por consguente, mentras más acentuados sean los cambos de pendente de la curva de concentracón verdadera, mentras menor sea el número de clases que hemos establecdo y mentras mayor dspersón haya en el nteror de cada clase RELACIÓN ENTRE R Y LA DIFERENCIA DE MEDIAS En su seccón 9, Gn prueba, partendo de la fórmula (), para datos desagregados en frecuencas absolutas untaras, que la dferenca meda relatva sn reemplazamento concde con la razón de concentracón. Es decr, donde M es la meda artmétca, y donde, n n ( ) R = M, n+ ( n+ )( a a ) a a j = = = n n n n ( ) n+ y donde el valor (n+)/ hay que cambarlo por n/ en caso que n sea par, obtenendo:, 3

244 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn En su seccón 0, Gn relacona, para el caso de datos agregados en ntervalos de clase, la dferenca de medas con la aproxmacón de R que notamos por R, y que aparecía en la formula (5). S los n valores del carácter cuanttatvo se agrupan en r clases, denotamos por k la dferenca meda para los n k valores del carácter dentro de la clase I k, y por la dferenca meda de la agrupacón que se obtene en el colectvo en conjunto al susttur los n k valores de cada una de las clase I k por su correspondente meda artmétca. Se verfca que: = r k= n ( n ) k k k n ( n ) (3) Ahora, Gn ndca, aunque no lo demuestra, que de forma análoga a como demostró que R = M, se prueba que Veámoslo por otro camno. R =. M Para datos agregados en frecuentas absolutas, es conocdo que tambén se verfca la relacón R = M ; luego, al susttur los n k valores de cada una de las clase I k por su correspondente meda artmétca, denomnémosla x k, se verfca que la razón de concentracón de estos nuevos datos, llamémosla R *, vendrá dada por R * = M (6.7) Pero, s agregamos en frecuencas absolutas, por (3), el valor de R * será 3

245 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn que concde con R r R r * k= ( + ) N N x n k k k k = A ( n ) ( + ) S N N k k k k= = ( n ) An n, la expresón aproxmada de R para el caso de agrupacón de ntervalos, establecda en (5), pues x k n k = S k, al ser x k la meda artmétca de la clase I k, luego, R =R *, y, por (6.7), se verfca: Es decr, que es lo que queríamos probar. * R = R = M R = M S ahora volvemos a (3), = r k= membros de la gualdad entre M, se tene que: n ( n ) k k k n ( n ), y dvdmos los dos r n ( n ) k k k r r k= k( k ) k k( k ) k ( ) n n n n n n k= k= = R' = = R M M M Mn n Mn n ( ) ( ) luego, R ' = R r k= n ( n ) k k k ( n ) M n (4) 33

246 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn R= R + r nk( nk ) k k= (6.8) M n ( n ) Por (4) y (5), se tenía que: R= R + r N k k= = N + k ( n ) εkδk, A n por tanto, tenendo en cuenta (6.8), se verfca que: r N r k= = Nk + = k= n A Mn n k εkδk nk( nk ) k (6.9) ( ) n ( ) Calculemos segudamente una aproxmacón al térmno r k= n ( n ) k k k ( n ) M n S ahora suponemos que los valores del carácter cuanttatvo, dentro de cada lk lk clase, sguen una progresón artmétca de dferenca bk =, Gn obtene n que y, por tanto, nk + k = b 3 k k 34

247 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn r r r nk + lk lk nk nk k nk nk bk nk( nk )( nk + ) k= k= 3 k= nk ( ) ( ) = = = M n ( n ) An n 6 ( n A ) n( n ) n = r k= ( nk )( lk lk ) ( n ) 6A n es decr, r r nk( nk ) k ( nk )( lk lk ) k= k= (6.0) = M n ( n ) 6A ( n ) n y susttuyendo en (6.8), se obtene que, en el caso de agrupacón en ntervalos, y bajo el supuesto de progresón artmétca, la expresón aproxmada para R es: que concde con la dada en (7). R = R + r k= ( nk )( lk lk ) ( n ) 6A n Además, en esta stuacón, se verfca, por (6.9) y (6.0), que y por tanto, r N r r k= = Nk + = k= = k= n A Mn n 6A n k εkδk nk( nk ) k ( nk )( lk lk ) ( ) n ( ) n ( ) r Nk r ε δ k= = Nk + = k= n A 6A n ( ) n ( n )( l l ) k k k k k n ( ) valor que tambén habíamos obtendo anterormente en (6.3) 35

248 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn 6.7. OTRA FORMULACIÓN DEL ÍNDICE R PARA DATOS AGREGADOS EN FRECUENCIAS ABSOLUTAS En este apartado se va a hallar una expresón alternatva a la dada por Gn en (3). Para ello, partremos de su fórmula orgnal, n = = n ( P Q ) R. P = S tenemos en cuenta que sólo hay s valores dferentes, podemos expresar n ( P Q) en la forma = n n n n ( ) ( ) P Q = P Q = P Q = = = = = s N s N s s s ( ) = P Q = L M = L M = j= N + = j= N + = = = donde hemos consderado las sumas parcales L N + n = j= N + P j M N + n = j= N + Q j Calculemos segudamente la expresón smplfcada de cada L a partr de su correspondente P : 36

249 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn N + n N + n N + n j L = P = = j= j j= N + j= N + N N j= N + ( n) = ( N + ) + ( N + ) + + ( N + n) = N n ( n + ) = ( n N + ( n) ) = n N + = N N ( n + ) n ( n + ) n = N + = N + n n + = N N n n + = ( ) + n n N n n N N N N N Luego, N n = N = n = n P ( n ) N + n = j = j= N N + L P n P (6.) Igualmente, calculemos la expresón smplfcada de cada M a partr de su correspondente Q : M N + n N + n j j= N + j= N + n j= ( n x + n x + + n x + jx ) ( nx + nx+ + n x + ( j N ) x) = Q = = T = = T n x = ( nx + nx+ + n x ) + = T T j= ( n + ) n x n = ( nx + nx+ + n x ) + = T T n n x + x = ( n x + nx+ + n x + n x) n x T + = ( ) ( ) T n x n x = n = n Q T T T n 37

250 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn Es decr, Además, ( n ) N + n x = j = j= N T + (6.) M Q n Q n n n s n = P = P + Pn Pn = P = L = = = =, con lo que n ( P Q ) ( L M ) = = n s R= = = s P = = L = = s s = = = s s M L L L Por tanto, s L = = s s s L L L = = = M = = + = ( n ) ( n ) n+ s = n s s M R= + = = M 38

251 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn 39 Es decr, s n M R n = + =, ( ) n x M n Q T = (6.3) Igualmente, hemos obtendo que una expresón de R a partr exclusvamente de los P y Q de los s valores dferentes presentes en los n datos orgnales vene dada por: ( ) ( ) ( ) ( ) + = = = = = s s s p q n Q P n N N Q P n R ˆ ˆ, donde, = = = = = s j j j n x n x q q Q Q N n p p P P, ˆ, ˆ. S ahora calculamos la razón de concentracón medante (6.3), Tabla 6.3: x n N t =x n A Q M R= Tabla 6.3: Razón de concentracón medante (6.) Es decr, hemos obtendo el msmo valor que el calculado usando la fórmula (3). Otra formulacón dferente puede verse tambén en Montero (00).

252 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn 6.8. DOMINANCIA DE LASSALLE E ÍNDICE DE DESIGUALDAD En el capítulo y 3 mostramos que dadas dos dstrbucones X e Y, se decía que X Y s LAS * x y x y * (.8) Por consguente, una dstrbucón será mejor, tendrá más gualdad, mentras mayores sean las medas parcales ( x )*, ; es decr cuanto más se aproxmen a x ; que es el valor máxmo, mentras que la dstrbucón será peor, tendrá más ( ) * desgualdad, cuanto mayores sea las dferencas,. x x Por tanto, una medda de la desgualdad global de la dstrbucón, obtenda a partr del crtero de Lassalle, podría consderarse que es la meda ponderada de esas dferencas, con ponderacones la proporcón de ndvduos a la que le afecta cada dferenca: ( ) * x x (6.4) Veamos ahora pues, que el IG se puede expresar en la forma ( ) * x x. Para ello, partremos de la expresón R n = = n ( P Q ) = P, y veamos qué sgnfcado tenen 40

253 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn las dferencas P - Q, es decr, las dferencas entre la curva de Lorenz y la línea de equdstrbucón.. que Obsérvese que Q puede expresarse en la forma Q * x =, pues se tene N x x j x j j= * * * * j= j x x x x = = = = = = k k k k k Q N x x x x x j j j j j j= j= j= j= N j= j j Q * x = N x N x Luego, * * * x P -Q = P - N x = x x = ; es decr, N N x N x P -Q = N * x x (6.5) Donde * x es la cantdad meda de la magntud (rqueza) que poseen todos los ndvduos que se encuentran en la categoría o en las nferores. Pero obsérvese que, como hemos ndcado cuando nos referíamos a la domnanca estocástca de grado dos, N representa la proporcón de ndvduos a 4

254 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn los que se les está mdendo la desgualdad y * x representa la ntensdad de x desgualdad con respecto a la meda de ese colectvo consderado. Luego, P -Q = N * x proporcona nformacón tanto de la ntensdad x de la desgualdad del colectvo formado por todos los ndvduos hasta la categoría, como de la extensón de esa desgualdad. Además, por ser n n P =, puede consderarse que una medda natural n = = de la desgualdad global que se obtendría usando el crtero de Lassalle concde con el índce de Gn DOMINANCIA DE BEAULIEU E ÍNDICE DE BIENESTAR. En los capítulos y 3, hemos establecdo que: X Y s BEA * x y *, =,, N (.9) Por tanto, una dstrbucón será mejor, según el crtero de Beauleu (que realmente podría denomnarse de Beauleu-Pareto), cuanto mayores sean sus medas parcales x *, =,, N. Por consguente, una medda de la bondad global de esa dstrbucón podría cuantfcarse como la meda ponderada de esas medas parcales * x ; es decr, como ( * ) x. Desde el punto de vsta socal, un aumento en una magntud de renta, como por ejemplo la renta naconal, no mplca necesaramente un aumento del 4

255 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn benestar del conjunto de la comundad, por cuanto ese aumento de renta puede haberse debdo sólo al aumento de la renta de muy pocos ndvduos. Igualmente, una dsmnucón de la desgualdad tampoco lleva aparejada necesaramente un aumento en el benestar, pues puede ocurrr que aunque las desgualdades hayan dsmnudo, la renta de cada ndvduo tambén lo haya hecho. Por tanto, el concepto de desgualdad es dferente al concepto de benestar. Una medda del benestar global de un colectvo, W, se obtendrá combnando, de algún modo, el aspecto de efcenca (meddo por el nvel, dgamos de renta meda) con el aspecto de equdad (meddo como lo contraro a la desgualdad, la gualdad), de manera que sea crecente en el nvel de renta y decrecente en el nvel de desgualdad; y, por tanto, s crece la efcenca y la equdad, lógcamente ha de crecer el benestar, y s los dos aspectos decrecen tambén decrece el benestar, W W( µ, I) =. Por tanto, estamos suponendo que en caso de dos dstrbucones con gual renta se prefere la dstrbucón menos desgual y en caso de dos dstrbucones con la msma desgualdad se prefere la de mayor renta. Blackorby y Donalson (978), entre otros, sugeren que s I es un índce relatvo de desgualdad, la expresón que relacona benestar socal con efcaca y equdad, vene dada por: W= x (-I) (6.6) No obstante, a la hora de medr la desgualdad en la dstrbucón de rentas, es mportante analzar el equvalente en renta de la pérdda de benestar socal debda a la dspersón de dchas rentas. El cocente entre la cantdad de renta que dstrbuda gualtaramente nos proporcona el msmo benestar que la renta 43

256 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn orgnal, y el número de ndvduos, es lo que se denomna renta equvalente, x e, y desempañará un papel mportante en el capítulo 7. benestar es Con esto, s I puede expresarse en la forma I=- xe x, se tendrá que el x e W = x( I) = x = x x e (6.7) x e es la renta gualtara que tendrían que tener todos los ndvduos para que se produzca el msmo benestar socal que con la dstrbucón de rentas orgnal. Por tanto, x - x e nos mde la renta per cápta que se perdería para consegur la gualdad, la cantdad de renta per cápta a la que estaríamos dspuestos a renuncar para consegur la gualdad en la dstrbucón de la renta. Es decr, la x cantdad de renta socalmente mal utlzada debdo a la dspersón; e I=- e x mde lo msmo, pero en térmnos relatvos en lugar de absolutos. Veamos segudamente otra forma de expresar el IG, n = = n ( P Q ) R. P = Los sumandos P Q, que vmos era la proporcón de ntensdad total que ha de transferrse al colectvo de los P casos con ntensdad más baja para elmnar la desgualdad presente en los msmos, pueden expresarse en la forma: En efecto, como P Q = k ( x x ) k x N 44

257 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn j j x jn j j= j= k k j j j j j= j= x n N Q = = = x n x n N x x Q x = (6.8) x se verfca que P Q puede ponerse como ( ) x j x x j x x j N N N j j N j j P Q = = = N x x x j P Q = j ( x x ) j x N (6.9) De donde se obtene: ( x xk) N P Q = = x x = N N N N k ( ) k = = x N x = k = k ( ) ( ) N N N N x N N = x xk = xk( N k+ ) = N x = k=, k N x k= x N N N N xn N x = x( N ) = x( N ) N x = N x = 45

258 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn Por consguente, = + = N N N ( P Q) xn N x N x x = N x = = N = xn N x xn + x = N x = N = N x xn + x = N x = N N = N( N+ ) x+ x = x( N ) N x = xn = Por tanto, se tene que N ( P Q) = x( N ) (6.30) xn = = N Y como como: n n P = = n = = ( n ), se tendrá que el índce de Gn puede ponerse N ( P Q ) N = N xn( N ) = = ( ) R= = x N P (6.3) Por consguente, N IGG= IG puede expresarse en la forma: N 46

259 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn N N N x N x = N = N IGG= x ( N ) = = xn = xn x N (6.3) Y, operando, se tene que N w x x N e = IGG=, donde x e =, w N = x N w = (6.33) Cada peso w representa la proporcón ajustada de ndvduos por encma de la observacón -ésma; es decr, la meda equvalente es la meda artmétca ponderada de los valores, cuyas ponderacones se corresponden con la proporcón de personas, tramos, que se encuentran en mejor stuacón que el consderado. Además, puede probarse que x = N N = e = = N = N w x M e N = x N x x x N N w x e N M w = w s N par s N mpar (6.34) 47

260 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn N Con w =, que representa el valor absoluto de la dferenca N entre la proporcón de ndvduos por debajo y la proporcón de ndvduos por encma; es decr, s llamamos d al nº de tramos que separan el valor x de la medana: w d N = + N ( d ) s N mpar s N par penalzacón. Es decr, la meda equvalente es la meda artmétca menos una Con ello, se tene que, en caso de trabajar con el índce de Gn geométrco, el benestar socal se mde por la expresón: N w x N = WIGG = xe =, w N = N w = (6.35) Vamos a ver segudamente que la medda de la bondad global de la dstrbucón, que fue cuantfcada como la meda ponderada de las medas parcales * x, ( * x ) equvalente de Gn., concde, para N sufcentemente grande, con la meda En efecto, 48

261 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn ( ) N N N * * * x j x = N x = N x = = = N = N( N+ ) = j= N = = N = x j = x+ ( x+ x) + ( x+ + xn) = N( N+ ) N( N+ ) = j= = Nx+ ( N ) x+ + xn + xn = N( N ) + N = ( N + ) x N( N+ ) = Y, por otro lado, N N + x = N + + x = ( ) N = = N N N = N + x + x = N + x + N x = = = Con lo que se obtene: N * ( ) ( ) N x = N + x = N + x + N x = N( N+ ) = N( N+ ) = N N N + x = = + N x = N( N+ ) N N N + x N = N = + x = x e+ x N( N+ ) N N N+ N 49

262 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn Por tanto, * ( ) N x = xe+ x = N xe + x = N+ N N+ N N = x+ N x x = N+ = N N N = ( N+ ) x N x = N+ = N N N N N = x x x x = x N+ N N e = = N Es decr, que tal como queríamos probar: * ( x ) x (6.36) e Veamos segudamente la nterpretacón geométrca de ese coefcente de benestar. Lorenz, IGG= A L = A BL D = D, sendo D el área que hay bajo la curva de ; de donde un ndcador de la Igualdad será-igg=d. Es decr, la gualdad, - IGG, se mde por dos veces el área que hay bajo la curva de Lorenz, A BL. Fgura 6.9: 50

263 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn Fgura 6.9: Área de Lorez y bajo la curva de Lorenz IGG= A L = D = D (6.37) -IGG=D (6.38) Luego, el benestar, entenddo como el producto de la efcenca por la gualdad, queda W = x (- IGG)= x D= (D x )= A BLG, donde A BLG es el área por debajo de la curva de Lorenz generalzada, 0 W x. Fgura 6.0. Es decr, una medda del benestar concde con dos veces el área por debajo de la curva de Lorenz generalzada. 5

264 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn Fgura 6.0: Área de Lorez generalzada y bajo la curva de Lorenz generalzada Benestar = x (- IGG)= x D= (D x )= A BLG (6.39) Fgura 6.: Curva de Lorez generalzada y meda equvalente 5

265 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn Por otro lado, la dferenca de nveles de benestar que proporcona la dstrbucón estudada respecto a la resultante tras un reparto gualtaro, resulta ser: W = x (-0) W = x (-IGG) Luego W W = x IGG= x =, la mtad de la dferenca meda, que es x una medda de dspersón absoluta, que se denomna Índce absoluto de Gn, IGA. W W = x IGG= x = (6.40) x Geométrcamente, Fgura 6.0, esa expresón W -W, se corresponde con el doble del área por debajo de la línea generalzada de equdstrbucón generalzada menos el doble del área por debajo de la curva de Lorenz generalzada ; es decr, el doble del área de Lorenz generalzada. Es decr, un ndcador de la pérdda de benestar socal como consecuenca de la desgualdad vene dado por: IGA= = ALG = xal = ALG (6.4) S se defne el Índce Geométrco Absoluto de Gn como IGGA= x IGG, es decr, se verfca que N N N IGGA= c x M e, c =, c = = N = (6.4) 53

266 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn Ytzhak (98) prueba que una condcón necesara para que X domne en prmer grado a Y es: + n + n ( FX ( t) ) dt ( FY ( t) ) dt, n=,,.. (6.43) 0 0 y para que la domnanca sea en segundo grado: + n + n ( FX ( t) ) dt ( FY ( t) ) dt, n=,3,.. (6.44) 0 0 Pero, = j N x x j puede expresarse en el caso contnuo como x y f X( x) fy( y) dxdy F( x) ( F( x) ), con lo que = = = ( ) F( x) F( x) y por tanto, dado que µ = ( ) ( ) F x dx, se tene que µ = + 0 ( F( x) ) dx (6.45) Por lo tanto, la condcón necesara para n= se traduce en que X Y µ X µ Y ; es decr, xe ye (pues µ X X = x ), la meda e equvalente de X es mayor o gual a la de Y. x e y (6.46) e 54

267 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn Veamos segudamente la expresón de las medas equvalentes para el caso de las dstrbucones Pareto, PC y PCT. [ ] IG X En el caso de X P( α, h) E X αh α α, se tene que [ ] =, > µ = =, α >, de donde = y, por tanto: µ α α y que µ x e = µ = µ = µ = α α αh α h = = α α α X P( α, h), x e α h = µ = α (6.47) En el caso de X PC( b, c), se tendrá que: e b c 0 b c ( ) x = + F( x) dx e e + x e b c = e + ( + b) π 8c e Erf + c c (6.48) S X PCT ( h, b, c), se tene: 0 ( ) x = + F( x) dx e + 55

268 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn x e = h+ ( + b) 8c ( b+ cln( h)) + b+ 4 cln( h) π e h + Erf c c (6.49) En el caso concreto de X PCT ( h=, b, c), se tendrá: x e = + ( + b) 8c + b π e + Erf c c (6.50) S las funcones de dstrbucón se cruzan a lo sumo una vez, como es el caso de las dstrbucones de Pareto y la PCT, entonces las condcones anterores son sufcentes para la domnanca estocástca de segundo grado, DES (Ytzhak,98). Hanoch y Levy (969) prueban otra condcón sufcente de DES para el caso de que las funcones de dstrbucón se crucen a lo sumo una vez: s µ µ y F X cruza, a lo sumo, una vez a F Y, y la cruza por abajo, entonces X X LG Y Y. Nótese el sgnfcado de que F X cruza, a lo sumo, una vez a F Y, y la cruza, por abajo es el sguente: soporte( X ) soporte( Y ) [ a, b] [, ]/ ( ) ( ), [, ]; ( ) ( ), [, ] k a b F s F s s a k F s F s s k b. X Y X Y Veamos en qué se traduce esta últma condcón sufcente en el caso de dos dstrbucones paretanas: Sean X P( α, h ), Y P( α, h ). 56

269 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn Supongamos h fjo y consderemos que α< α, entonces, X DEP Y y, por tanto, X LG Y, Fgura 6.. αh = α > α Obsérvese que dado que E[ X],. que E[ X] E[ Y] es decrecente en α se tene, Funcones de dstrbucón P(3,) P(9,) 0,8 0,6 0,4 0, Fgura 6.: h fjo y α< α. DEP. DLG Supongamos α fjo y consderemos que h < h, entonces, X DEP Y y, por tanto, X LG Y, Fgura 6.3. E X αh = α > α Obsérvese que dado que [ ], [ ] E[ Y] E X. es crecente en h se tene que 57

270 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn, Funcones de dstrbucón P(3,4) P(3,) 0,8 0,6 0,4 0, Fgura 6.3: α fjo y h < h. DEP. DLG Consderemos ahora el caso general y, consderemos que h < h ; es decr que soporte( X ) soporte( Y ) y, por tanto, es seguro que [ ] ( ) ( ) s h, h : FX s FY s. α α E X αh = α > α Dado que [ ],, entonces E[ X] E[ Y] condcones, se tendrá que X Y. Fgura 6.4. es decrecente en α, se tendrá que s. Además, X DEP Y y, por tanto, en esas LG 58

271 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn, Funcones de dstrbucón. S DLG. P(,4) P(3,) 0,8 0,6 0,4 0, Fgura 6.4: α α y h < h. DEP. DLG Obsérvese que en el caso que h < h y α> α, unas veces hay DLG, Fgura 6.5, y otras veces no la hay, Fgura 6.6: Funcones de dstrbucón. Sí DLG, P(9,4) P(,) 0,8 0,6 0,4 0, Fgura 6.5: h < h y α> α. Sí DLG. 59

272 Capítulo 6 La Consoldacón de la Medda de la Desgualdad, Gn Funcones de dstrbucón. No DLG., P(9,3) P(.5,) 0,8 0,6 0,4 0, Fgura 6.6: h < h y α> α. No DLG. 60

273 CAPÍTULO 7 MEDIDAS DE LOCALIZACIÓN CENTRAL BASADAS EN PONDERACIONES DE GINI 7.. INTRODUCCIÓN 7.. EL ÍNDICE DE GINI Y LAS MEDIAS EQUIVALENTES COMO MEDIAS PONDERADAS 7.3. MEDIDAS DE LOCALIZACIÓN BASADAS EN MEDIAS EQUIVALENTES 7.4. SIMULACIONES 7.5. EJEMPLOS APLICADOS 7.6. FAMILIA UNIPARAMÉTRICA G λ -MEDIAS 7.7. SIMULACIONES CON UNA FAMILIA DE MODELOS GENERADORES

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275 Capítulo 7 Meddas de Localzacón Central basadas en ponderacones del Índce de Gn 7.. INTRODUCCIÓN En este capítulo, basándose en las conocdas deas de G-meda y meda equvalente, se consderan un conjunto de meddas estadístcas defndas usando esquemas de ponderacón relaconados con el Índce de desgualdad de Gn. Empleando el concepto de meda equvalente, se defne una medda de localzacón central que, en certas dstrbucones smétrcas con alta curtoss, es mejor estmador de la meda poblaconal, medante una funcón de pérdda cuadrátca, que el estmador meda muestral. Tambén se mostrará que la G- meda de Berreb y Slber, la cual puede tambén expresarse a partr de medas equvalentes, es un mejor estmador de la meda poblaconal que el estmador meda muestral en certas dstrbucones smétrcas con baja curtoss. Como hemos ndcado en el capítulo, en térmnos generales, la meda artmétca no es un buen estmador del valor central de una dstrbucón en el caso de dstrbucones smétrcas con curtoss alta o con baja curtoss. Por lo tanto, sería de nterés encontrar estmadores muestrales con un mejor comportamento que la meda muestral en estas stuacones. En este capítulo se desarrollarán algunos de esos estmadores. Estas meddas pueden organzarse en una famla unparamétrca de las msmas, denomnada famla G-medas. Se defnrá esta famla unparamétrca de tal forma que algunos de los estadístcos usuales sean casos partculares de ella, y donde el valor del parámetro ndque en qué grado se sobrepondera/nfrapondera las zonas centrales y extremas de la dstrbucón de valores observados. En este capítulo, utlzaremos los térmnos robusto o ant-robusto para referrnos a medas ponderadas que nfraponderen o sobreponderen (respectvamente) los valores extremos de la dstrbucón observada. El motvo 63

276 Capítulo 7 Meddas de Localzacón Central basadas en ponderacones del Índce de Gn de ello es que, ncorporando algunos valores outlers a una dstrbucones de curtoss moderada se obtene, en general, una dstrbucón con alta curtoss. En estas dstrbucones de alta curtoss, una meda ponderada que nfrapondere los valores extremos es, usualmente, un estmador robusto en termnología clásca. Empleamos el térmno ad hoc ant-robusta para expresar la stuacón contrara: meddas de localzacón central que sobreponderen los valores extremos. Como hemos ndcado, veremos que, en curtoss elevada, es favorable para la estmacón del parámetro central la nfraponderacón de los valores extremos; mentras que, en curtoss pequeña, resulta más adecuado la sobreponderacón de dchos valores extremos. Igualmente, se verá que, en certas famlas de dstrbucones, para cada valor de curtoss, exste una meda óptma de la famla para estmar el valor central de la dstrbucón. N Consderaremos unos valores { x } = ordenados de menor a mayor, posblemente con elementos repetdos y por tanto, consderado cada x con frecuenca untara. Supondremos sempre que N es par, en caso que fuera mpar se duplcaría cada observacón, con lo cual el número total de observacones sería N, par. Como las meddas estadístcas que calcularemos dependen solamente de las frecuencas relatvas, nuestros resultados no se verán alterados por esta suposcón. Representaremos por x la meda y por M e la medana de la varable analzada. En el contexto habtual de los estudos de desgualdad/concentracón, los valores x son ngresos o rentas o quzás rqueza de cada membro de una 64

277 Capítulo 7 Meddas de Localzacón Central basadas en ponderacones del Índce de Gn poblacón humana. El análss que planteamos es, sn embargo, generalzable a cualquer varable no negatva. En el apartado, consderamos el Índce geométrco de Gn (Gn, 94) como el doble del área de Lorenz y establecemos una expresón de la meda equvalente, x e, como una meda ponderada de las observacones. A contnuacón, se ntroduce el concepto de meda equvalente complementara. En el apartado 3, se construyen meddas de localzacón central usando las medas equvalentes y las medas equvalentes complementaras, analzando las propedades de robustez. En el apartado 4 presentamos algunas stuacones smuladas para lustrar que las meddas que han sdo propuestas tenen ventajas con respecto a la meda muestral (y otros estmadores usuales) para estmar la meda poblaconal. aplcados. En el apartado 5, se muestran, con la msma fnaldad, algunos ejemplos En el apartado 6, se defne la famla de estadístcos de localzacón, de manera que G-meda, la Gc-meda, la meda, la medana y el punto medo sean casos partculares de ella. En el apartado 7, se muestran algunas stuacones smuladas para lustrar que las meddas propuestas en este capítulo tenen ventajas sobre la meda muestral ( y otros estmadores usuales), cuando estmamos la meda poblaconal. 65

278 Capítulo 7 Meddas de Localzacón Central basadas en ponderacones del Índce de Gn 7.. EL ÍNDICE DE GINI Y LAS MEDIAS EQUIVALENTES COMO MEDIAS PONDERADAS En este apartado se mostrará que el Índce de Gn y las medas equvalentes pueden ser expresadas como medas ponderadas, y que el Índce de Gn tambén puede ser escrto a partr de las medas equvalentes. Esta expresón de las medas equvalentes como medas pesadas será fundamental para defnr las meddas de localzacón en este capítulo. S consderamos el Índce Geométrco de Gn (IGG) como el doble del área de Lorenz, este puede expresarse (Gn,94) como / IGG =, x = x x j (7.) j N A partr de la relacón x x j = ( x x j ) + ( x j x ), se sgue que x x = x ( N ) reescrbrse en la forma: j j j j, j j, j>, y usando (7.), el IGG puede N ( N ) x dx (7.) = = N IGG = =, d = xn x N N Y entonces, como hemos ndcado en el capítulo 6, puede probarse fáclmente que el IGG puede tambén expresarse como sgue: 66

279 Capítulo 7 Meddas de Localzacón Central basadas en ponderacones del Índce de Gn N w x x N e = IGG =, donde x e =, w N = x N w = (7.3) La meda equvalente (Atknson, 970; Kolm, 969; Sen, 973; Sen, 997) o ngreso equvalente gualmente dstrbudo (EDE), x e, es la renta gualtara que tendrían que tener todos los ndvduos para que se produzca el msmo nvel de benestar socal agregado que con la dstrbucón de rentas orgnal. El valor de x e expresado en (7.3) es para el caso que la desgualdad se mda por el índce de Gn. Es decr, como tambén ndcamos en el capítulo 6, la meda equvalente es la meda artmétca ponderada de los valores, cuyas ponderacones se corresponden con la proporcón ajustada de personas, tramos, que se encuentran en mejor stuacón, que tenen mayor ngreso, que el consderado. Así, los pesos van decrecendo desde N, para el ndvduo más pobre, hasta N N, para el ndvduo más rco. Este esquema de ponderacón, junto con otros esquemas smlares que se mostrarán más adelante, serán un factor clave en este capítulo. Hay muchas representacones alternatvas de los Índces de Desgualdad y del Índce de Gn en partcular. Expresones de ese tpo pueden verse en Kolm (969), Atknson (970), Sen (973, 997), Blackorby y Donaldson (978), Dodalson y Weymark (980), Kakwan (980), Weymark (98), Chakravarty (990), Chakravarty y Mulere (003), entre otros muchos; pero para el propósto de este capítulo, la expresón (7.3) es la más apropada. 67

280 Capítulo 7 Meddas de Localzacón Central basadas en ponderacones del Índce de Gn Defncón. Meda Equvalente Complementara. La meda equvalente complementara, x ec, se defne como: w x = x =, w ec N N = w = N (7.4) Esto sgnfca que la meda equvalente complementara es la meda artmétca ponderada de los valores, cuyas ponderacones se corresponden con la proporcón ajustada de personas, o tramos, que se encuentran en peor stuacón, con menor nvel de ngresos, que el consderado; es decr, que la observacón de referenca en el sumatoro. Así, los pesos van ncrementándose desde N, para el ndvduo más pobre, hasta N, para el ndvduo más rco. N Proposcón. Exste la sguente relacón entre meda, meda equvalente y meda equvalente complementara: x e + x ec = x (7.5) Esto sgnfca que, la meda equvalente, respecto a la meda, es complementara a la meda equvalente complementara. Demostracón. Observando que meda equvalente y meda equvalente complementara pueden expresarse en la forma: 68

281 Capítulo 7 Meddas de Localzacón Central basadas en ponderacones del Índce de Gn x N N = b x, b = (7.6) N e = N x ec = bc, x, bc, = (7.7) = N Y observando que b + b c, = /N, se tene lo que pretendíamos. Consderando que la medana dvde el conjunto de valores {x } en dos partes guales: N N X = { x / }, X = { x / + } y usando las medas equvalente y equvalente complementara, se pueden construr las sguentes cuatro meddas. Defncon. Meda Equvalente Parcal y Meda Equvalente Complementara Parcal. Se defnen las medas equvalentes de cada una de las dos partes en que la medana dvde a la dstrbucón como: ; N / w x = xe, N / w = = w = N w x N = + xe, N w N = + = w = N N N N (7.8) 69

282 Capítulo 7 Meddas de Localzacón Central basadas en ponderacones del Índce de Gn Igualmente, defnmos las medas equvalentes complementaras en ambas partes como: N / c, = xec, N / wc, = w x = w c, = N N wc, x N N = + xec =, w N c, = N wc, N = + (7.9) Donde las ponderacones representan la proporcón de tramos u observacones que, en cada una de las dos partes, se encuentran en mejor stuacón (en peor stuacón, en caso que sean las medas equvalentes complementaras) que el consderado; es decr, que la observacón de referenca en el sumatoro. Así, la meda equvalente de la prmera y la segunda parte de la dstrbucón tenen esquemas de ponderacón decrecentes, mentras que las medas equvalentes complementaras de la prmera y la segunda parte de la dstrbucón tenen esquemas de ponderacón crecentes. Combnando estos cuatro esquemas de ponderacón de dferentes maneras, podemos construr los esquemas de ponderacón necesaros para el propósto de este capítulo. 70

283 Capítulo 7 Meddas de Localzacón Central basadas en ponderacones del Índce de Gn 7.3. MEDIDAS DE LOCALIZACIÓN BASADAS EN MEDIAS EQUIVALENTES A partr de la sguente expresón del Índce Geométrco de Gn IGG = N = c x x Me c N =, N, N c = (7.0) = Berreb y Slber (987) defnen la G-meda de las observacones {x } como: x N N = c x, c =, N G = N c = (7.) = Esos coefcentes c pueden expresarse en la forma N N c = w = w = 4 N w,, N j= w j j j= donde los w representan el nº de tramos, o ndvduos, en stuacón menos extrema que el consderado; es decr, el nº de tramos que separan la observacón consderada de la Medana. Veremos ahora otra defncón alternatva de G-meda, usando la meda equvalente y la meda equvalente complementara. Defncón 3. G- meda. La G- meda defnda por Berreb y Slber (987) puede ser redefnda como la meda artmétca entre la meda equvalente de la prmera parte y la meda equvalente complementara de la segunda parte en que la dstrbucón es dvdda por la medana. 7

284 Capítulo 7 Meddas de Localzacón Central basadas en ponderacones del Índce de Gn x G xe + xec = (7.) Lo que esta defncón mplca es que el esquema de ponderacón de la G-Meda tene forma de V, Fgura 7., con lo que la máxma ponderacón ocurre en los ndvduos extremos, aquellos más favorecdos o aquellos más desfavorecdos, y que las mínmas ponderacones corresponden a los ndvduos medanos. En este esquema de ponderacón, el punto de cambo de decrecente a crecente es la Medana de la dstrbucón. Es decr, que la G-Meda es una medda que sobrepondera los valores extremos. Ponderacones de la G-meda Ordenacón Fgura 7.: Ponderacones de G-Meda Ahora, demostraremos la equvalenca entre nuestra defncón de G- meda y la dada por Berreb y Slber (987). Proposcón. La anteror defncón 3 de G-meda es equvalente a la defncón de Berreb y Slber (987). 7

285 Capítulo 7 Meddas de Localzacón Central basadas en ponderacones del Índce de Gn Demostracón. Puede mostrarse que cuando consderamos observacones x en la prmera parte X, X ={x / N }, se verfca que N <, y entonces N = N + = N ( ) ; y cuando N consderamos observacones x en la segunda parte X, X ={x / + }, se verfca que N >, y entonces N = N = ( ) N. Tenendo en cuenta tambén que la equvalenca de las dos defncones. N / N w wc, = N = + N = = 4, ya se obtene Puede observarse que la G-meda es la meda ponderada de los valores observados usando los pesos c. Estos pesos tenen la propedad de ser mayores en las poscones más alejadas de la medana y menores en las poscones cercanas a la medana. Estos pesos ndcan que la x G será una meda que sobreponderará los valores extremos y que nfraponderará los valores medos. Este comportamento es el opuesto a las usualmente consderadas medas ponderadas robustas en las cuales se nfraponderan los valores extremos para evtar un exceso de sensbldad con valores outlers. Berreb y Slber sugeren que la G-meda es una espece de combnacón de meda artmétca y medana, y que estaría entre ellas. En realdad la G -meda 73

286 Capítulo 7 Meddas de Localzacón Central basadas en ponderacones del Índce de Gn es, como meda ponderada, no un ntermedo entre medana y meda artmétca sno que estaría fuera del ntervalo, por así decrlo, determnado por ellas. Es decr, tomando la meda artmétca como referenca equponderada, la medana estaría en una dreccón (nfraponderar los extremos) y la G -meda en otra dreccón opuesta (sobreponderar los extremos). De manera smlar podemos construr la G-meda Complementara usando las otras dos meddas vstas anterormente en la Defncón. Esto sgnfca que tendríamos pesos complementaros u opuestos a los de la G-meda. Esto nfraponderaría en los dos extremos. En conclusón, podemos establecer la sguente defncón. Defncón 4 G-meda Complementara. La G-meda complementara, o x Gc, de las observacones {x } se defne como: x Gc xec + xe = (7.3) Lo que esta defncón mplca es que el esquema de ponderacón de la G-Meda Complementara tene forma de Λ, Fgura 7., con lo que la mínma ponderacón corresponde a los ndvduos extremos, aquellos más favorecdos o aquellos más desfavorecdos, y que las máxmas ponderacones corresponden a los ndvduos medanos. En este esquema de ponderacón, el punto de cambo en el esquema de ponderacón de crecente a decrecente es la Medana de la dstrbucón. Es decr, que la G-Meda Complementara es una medda que nfrapondera los valores extremos y sobrepondera los valores centrales. 74

287 Capítulo 7 Meddas de Localzacón Central basadas en ponderacones del Índce de Gn Ponderacones G c -meda Ordenacón Fgura 7.: Ponderacón de la G C -Meda El papel de x Gc and G x como meddas robustas o antrobustas es el sguente: en general, una meda robusta (es decr, que nfrapondere los extremos) es mejor estmador del valor central de una dstrbucón smétrca que la meda artmétca s la dstrbucón tene curtoss elevada (hablando en térmnos generales) y una meda antrobusta (que sobrepondera los valores extremos) es mejor que la meda artmétca en dstrbucones con escasa curtoss. Puede verse que la G-meda complementara, o x Gc {x } admte la expresón:, de las observacones x N = d x, Gc = N = d = Y donde, N s d w w * N w * * N =, =, N j = * N j 4 w = j N s > j= Es decr, que los w * representan el nº de tramos, o ndvduos, en stuacón más extrema que el consderado; es decr, el nº de tramos que separan la observacón 75

288 Capítulo 7 Meddas de Localzacón Central basadas en ponderacones del Índce de Gn consderada del extremo en que se encuentre, en los dos tramos en que la Medana dvde a la dstrbucón. Proposcón 3. Entre meda, G-meda y G-meda Complementara exste la sguente relacón: x G + x Gc = x (7.4) Es decr, la G-meda Complementara, respecto a la meda, es la complementara de la G-meda. Demostracón. Es sufcente con mostrar que la G c -meda puede expresarse en la forma: x N = d x, Gc = d = c, N N d = (7.5) = Veremos segudamente que al gual que la meda es el resultado óptmo de un problema de mnmzacón de una funcón de pérdda cuadrátca, la G-meda y la Gc-meda son tambén resultados óptmos de problemas smlares. Proposcón 5. La G-meda y la Gc-meda mnmzan las expresones N cuadrátcas c ( ) x a y d ( ) x a = N, respectvamente. = artmétca. Demostracón. La demostracón es smlar a la conocda para la meda 76

289 Capítulo 7 Meddas de Localzacón Central basadas en ponderacones del Índce de Gn 7.4. SIMULACIONES Para lustrar los puntos vstos en los apartados anterores, consderaremos smulacones para dos tpos de dstrbucones teórcas. El prmer caso, Tabla 7., es una dstrbucón smétrca platcúrtca, representada por una β ( 3,3) ; el segundo caso, Tabla 7., es una dstrbucón smétrca leptocúrtca, representada por una t-student con 4 grados de lbertad. En cada caso mostraremos que los estadístcos consderados en los apartados anterores tenen un menor Error Cuadrátco Medo (ECM) respecto a la meda poblaconal en comparacón con los usuales estadístcos muestrales de meddas de localzacón, tales como la meda muestral, la medana o el punto medo. En cada caso, el procedmento ha consstdo en la extraccón de 000 muestras de tamaño 00 en cada una de las dstrbucones teórcas. En cada muestra, se ha calculado el estadístco y el ECM. El procedmento es repetdo para cada estadístco. Segudamente se muestran los ratos comparatvos entre los dferentes ECM y los valores de los ECM para la G-meda y la Gc-meda para una mejor aprecacón de sus rendmentos comparatvos. Estadístco ECM Incremento (%) Meda Muestral % Punto Medo % G-meda Tabla 7.: β(3,3) meda poblaconal µ=0.5 Por tanto, el uso de la Meda muestral produce un ncremento del 4. % en el valor del ECM en comparacón con el uso de la G-meda. 77

290 Capítulo 7 Meddas de Localzacón Central basadas en ponderacones del Índce de Gn Estadístco ECM Incremento (%) Meda Muestral % Punto Medo % Gc-meda Tabla 7.: t-student t 4 meda poblaconal µ=0 Es decr, el uso de la Meda muestral y la Medana produce, respectvamente, un ncremento de un 45.8% y un 0.8% en el valor del ECM, en comparacón con el uso de la Gc-meda EJEMPLOS APLICADOS Dos ejemplos empírcos específcos, para dos tpos de dstrbucones smétrcas, una leptocúrtca y otra platcúrtca, se muestran a contnuacón para lustrar algunos de los resultados prevos. El prmer caso, Fgura 7.3, está basado en datos de empresas. En ellas, se analza el Retorno sobre el Captal Empleado. La fuente estudada es SABI (009) Iberan database. Fgura 7.3: Retorno sobre el Captal Empleado 78

291 Capítulo 7 Meddas de Localzacón Central basadas en ponderacones del Índce de Gn Este conjunto de datos tene unos valores de asmetría y curtoss de -0.4 y 30.9, respectvamente, y esos datos serán consderados la poblacón en este ejemplo. De esta poblacón, extraeremos 800 muestras de tamaño 00. Tomaremos como meda poblaconal, la meda del conjunto de las empresas, y esta meda será el objetvo para las 800 estmacones de las muestras de tamaño 00. El ECM de esos 800 valores con relacón a la meda poblaconal será la medda de la bondad como estmador. Este procedmento será repetdo con algunos estmadores usuales para construr una tabla comparatva. La segunda aplcacón, Fgura 7.4, consste en las temperaturas (ºF) durante 330 días en la cudad de Los Ángeles en 976. Fgura 7.4: Temperaturas (ºF) durante 330 días en Los Angeles en 976 Este conjunto de 330 datos tene unos valores de asmetría y curtoss de y , respectvamente. En este caso, los 330 datos serán remuestreados hasta obtener un conjunto de valores (para obtener un conjunto de muestras como en el caso anteror). Entonces, un procedmento smlar será usado para obtener los valores de los ECM para un conjunto adecuado de estmadores. 79