Tema 7 (I). FUNCIONES DE UNA VARIABLE. LÍMITES Y CONTINUIDAD.

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1 Tem 7 I FUNCIONES DE UNA VARIABLE LÍMITES Y CONTINUIDAD Concepto de función Un función entre dos conjuntos X e Y es un relción definid de tl mner que cd elemento X le corresponde ectmente otro elemento uno y sólo uno de Y Cundo X e Y son el conjunto de los reles, R, l función se llm de vrible rel En un función intervienen dos vribles, un independiente y otr dependiente L independiente suele designrse por ; suele llmrse y Si el pr, y pertenece l función f, se dice que y f Esquemáticmente se indicn sí: f: R R, esto es: y f Dominio de f, Domf Es el conjunto de los pr los cules eiste el vlor de f L imgen o recorrido de un función f, Imf, es el conjunto de vlores que tom f cundo pertenece l dominio; es, por tnto, el conjunto de resultdos Ls funciones reles suelen drse medinte un fórmul o epresión lgebric or ejemplo: f ; g Tmbién se escribe: y ; y f, si < Funciones definids trozos: f Se indic sí que l función que f, si ctú pr los vlores de < es f, y pr los vlores de es f Ide gráfic de un función Ls funciones de vrible rel suelen representrse por un líne Todos los puntos de es líne corresponden pres de números relciondos entre sí por l función; pr cd punto, y de l gráfic, y es l imgen de ; esto es, y f Composición de funciones Cundo sobre f ctú otr función g se puede hblr de composición de funciones Es frecuente l notción go f, cuyo significdo es g f ; se lee f compuest con g Esquemáticmente es: Análogmente, f o g f g L composición de funciones no es conmuttiv; esto, en generl g f f g Funciones inverss Dos funciones f y g son inverss cundo se cumple que: g f y f g L función invers de f se design por f Tmbién se dice que f y g son recíprocs Imgen invers de un número r todo y del recorrido de l función f, su imgen invers, f y, es el conjunto de los números, del dominio, que se trnsformn en y Esto es, f y { R f y } y r hllr f se resuelve l ecución f y En prticulr, f d los puntos de corte de l función con el eje de bsciss José Mrí Mrtínez Medino

2 Límite de un función en un punto Vmos estudir el comportmiento de ls funciones f g ENT[ ] h i 4 en el punto r ello, dmos vlores próimos y clculmos los vlores que tom l respectiv función r f :,9,99,999,,, f,6,96,996,4,4,4 Tnto pr vlores menores que como pr myores que en mbos csos próimos, l función tom vlores muy próimos Vése l fig En este cso, Observ que l función está definid en y que el ite en ese punto coincide con su vlor de definición r g ENT[ ] :,9,99,999,,, g? r vlores cercnos y menores que, l función tom el vlor ; pr vlores cercnos y myores que, siempre vle Vése l fig En este cso, ENT[ ] no eiste Observ que l función está definid en y sin embrgo no tiene ite en ese punto r h :,9,99,999,,, h? r vlores cercnos y menores que, l función tom vlores grndes y negtivos; pr vlores cercnos y myores que, l función tom vlores cd vez más grndes Vése l fig En este cso, no eiste Observ que l función no está definid en y que tmpoco tiene ite en ese punto José Mrí Mrtínez Medino

3 r i 4 :,9,99,999,,, i,564,56,56,5,4994,494,49 r vlores próimos y menores que, l función se cerc cd vez,5; y lo mismo hce pr vlores próimos y myores que Vése l fig En este cso,, 5 4 Observ que l función no está definid en y sin embrgo tiene ite en ese punto Definición de ite de un función en un punto A l vist de los ejemplos nteriores, concluimos: r l eistenci del ite de un función en un punto no import que l función esté o no definid en ese punto Lo que import son los vlores que tom l función en un entorno de ese punto Eistirá el ite, y su vlor será l, cundo todos los puntos próimos se trnsformn, medinte, l función en puntos próimos l Esto es, si está cerc de, entonces f está cerc de l Vése l fig Con más precisión: 4 Eistirá el ite de f, cundo, y su vlor será l, si pr culquier entorno de l, E ε l, puede encontrrse otro entorno de, E δ, de mner que todos los vlores de E se trnsformn, medinte f, en puntos de E ε l δ O con símbolos: f l ε >, δ >, < < δ f l < ε Est epresión se lee sí: ite de f cundo tiende es igul l, equivle decir que pr todo número épsilon myor que cero, eiste un número delt, tmbién myor que, tl que pr todo que cumpl que su diferenci con, en vlor bsoluto, se myor que y menor que delt, se cumple que l diferenci entre f y l, tmbién en vlor bsoluto, es menor que el número épsilon elegido L condición, <, indic que no tom el vlor, pues entonces L condición, L conclusión, < δ, indic que E f l < ε, signific que f E l δ ε José Mrí Mrtínez Medino

4 4 Límites lterles En l definición de ite no se distingue entre ls posibiliddes < o >, pues l escribir < < δ result indiferente: lo único que se pide es que este próimo No obstnte, lguns veces conviene distinguir si por l izquierd, siendo <, que se escribe ; o si por l derech, siendo >, denotdo por Est distinción d lugr l estudio de los ites lterles A f se le llm ite lterl por l izquierd A f se le llm ite lterl por l derech Observción: Este estudio tiene interés cundo: L función está definid trozos y se quiere clculr el ite en lguno de los puntos de división de los diferentes trozos L función tiene síntots verticles y se quiere clculr l posición de l curv respecto ells ues bien, pr que eist el ite de un función en un punto es necesrio que eistn los limites lterles y que sen igules Esto es, pr que eist f l es necesrio que f f l Ejemplo:, si < r estudir el ite de l función f en, si el punto es necesrio considerr los ites lterles or l izquierd: f or l derech: f Como mbos ites coinciden, eiste el ite y vle Alguns propieddes de ls operciones con ites En relción con ls operciones elementles, los ites cumplen ls siguientes propieddes Si f A y g B, con A y B finitos, entonces: f ± g f ± g A ± B ; f f A, B g g B f g f g A B 4 Si > g B f, f f A 5 Si > g f, log f log f log A b b ; b El ite de un sum es igul l sum de los ites El ite de un producto es igul l producto de los ites El ite de un cociente es igul l cociente de los ites 4 El ite de un potenci es igul l potenci de los ites 5 El ite de un logritmo es igul l logritmo del ite Ests propieddes se plicn en mbos sentidos de izquierd derech o de derech izquierd, según conveng José Mrí Mrtínez Medino

5 5 José Mrí Mrtínez Medino Cálculo práctico de ites En l práctic, l myorí de los ites se hcen plicndo ls propieddes nteriores Cundo ess propieddes no funcionen recurriremos otrs regls lgebrics o del cálculo infinitesiml, que se irán especificndo Csos inmeditos Como sbes, si f es un función usul polinómics, rcionles, logrítmics, etc y está definid en el punto, suele cumplirse que: f f Esto es: pr clculr el ite se sustituye en l función el vlor l que tiende l Así, Igulmente: ; b ; c ; d 7 ln ln ln Esto no es sí en el cso, pues l función f no está definid en Observción: Ls funciones que cumplen que f f, se llmn continus Límites de funciones rcionles cundo Indeterminción Como sbemos, ls funciones rcionles son de l form f, siendo y polinomios El único cso no inmedito es cundo d lugr l indeterminción Esto es, cundo y, pues Como recordrás, este cso se resuelve simplificndo l función inicil, pues si y, se verific que y, de donde el cociente Luego: Si el último ite no result inmedito plicmos nuevmente l regl nterior Observción: r un polinomio, si es un fctor de El polinomio se obtiene dividiendo por Ruffini Ejemplo: El 4, que no result inmedito, puede resolverse sí: 4 4

6 6 L indeterminción en funciones con ríces En ls funciones con rdicles cundo se present l indeterminción puede resolverse de dos forms: Descomponiendo en fctores y simplificndo, como pr ls funciones rcionles Multiplicndo y dividiendo l función dd por l epresión conjugd de lguno de sus términos A continución se oper y simplific Observciones: Como ls funciones con rdicles cudráticos no está definids pr vlores negtivos del rdicndo hbrá que tenerlo en cuent l hor de plnter los ites Así, por ejemplo: no tiene sentido, pues l función entorno de b sólo puede plnterse por l derech de, pues f no está definid en un definid cundo or tnto, este ite hbrí que plnterlo sí: b r l mism función, el ite cundo 4 f no está sólo puede clculrse por l derech, 4 c 4 El cso k k k Cundo l hcer culquier ite prezc l epresión esto es, f, se pondrá que el vlor de ese ite es infinito Esto signific que unque el ite no eiste, el vlor de l función se hce tn grnde como se quier, infinitmente grnde En estos csos es conveniente estudir los ites lterles en el punto, pues con frecuenci se obtienen signos distintos pr el infinito Observción: Recuerd que cundo f, entonces l función f tiene un síntot verticl en José Mrí Mrtínez Medino

7 7 5 7 Tmbién 4 4 b Igulmente, pr h, que no está definid en, cundo se tiene que Si en este cso se estudin los ites lterles se tiene: por l izquierd: por l derech: El signo o se decide por los signos del numerdor y denomindor Geométricmente, estos resultdos indicn que l curv socid l función se v hci por l izquierd de ; y hci por l derech de Límite de un función cundo Recordmos lgunos resultdos de ls operciones relcionds con el infinito ; ; [ ] es indetermindo ± k ; ± k ; k ; k ; ; ; / ± k ± ; ±k / ; k ; k ; [ / ] es indetermindo En todos los csos k indic un número positivo k, negtivo Aquí, cundo escribimos sin signo, se supone positivo Límite finito de un función cundo L función f tiende cundo 8 Efectivmente, si, f,98; si, f,9995 Escribimos, 8 L definición precis es l siguiente: f l ε >, k grnde > k f l < ε Si l definición es nálog: f l ε >, k grnde y negtivo < k f l < ε Observción: Recuerd: Si f l se deduce que l rect y l es un síntot horizontl de l curv y f 8 b José Mrí Mrtínez Medino

8 8 Límite infinito de un función cundo L función f tom vlores cd vez myores cundo Efectivmente, si, f,; si, f, Escribimos, L definición precis es l siguiente: f p grnde, q grnde > q f > p El resultdo de estos ites muchs veces result inmedito, pues pr clculrlos bst con sustituir 5 7 b 5 c ln 8 d Límites de funciones rcionles cundo Indeterminción Si y son dos polinomios, l clculr se obtendrí l epresión indetermind ; no obstnte se resuelve muy fácilmente, pues su vlor depende de los grdos de y : Si grdo de > grdo de, ± ± n Si grdo de grdo de,, siendo n y b n los coeficientes ± bn principles de y, respectivmente Si grdo de < grdo de, ± Un procedimiento pr justificr estos resultdos consiste en dividir el numerdor y el denomindor de l función dd por l myor potenci de presente en l epresión b 7 5 ± 4 4 c José Mrí Mrtínez Medino

9 9 L indeterminción en funciones con ríces En ls funciones con rdicles cundo se present l indeterminción puede resolverse plicndo l comprción de grdos, teniendo en cuent que l precer ríces los eponentes pueden ser frccionrios b L indeterminción El número e El número e se define como el ite, cundo, de l función es: e f Esto Aplicndo est definición y ls propieddes lgebrics de los ites, pueden drse otros resultdos relciones con el número e or ejemplo: k k k e e k p e p e b / / e Comportmiento de otrs funciones en el infinito El ite cundo de ls funciones eponenciles, logrítmics y trigonométrics se clcul como sigue Funciones eponenciles Además de de ls propieddes usules se emple l siguiente: Si g f, con >, entonces: g g à e e c e e b d e e ± José Mrí Mrtínez Medino

10 Funciones logrítmics En generl, log f log f log log log 5 5 b ln ln ln Funciones trigonométrics En ningún cso eisten los ites en el infinito Esto es: ± sen, cos ± no eisten r funciones compuests hy que determinrlo en cd cso sen, pues sen ± b cos no eiste, pues cos ± L indeterminción de l form y ± tg r terminr este prtdo de ites vmos resolver l indeterminción [ ] tnto cundo como cundo El procedimiento generl consiste en operr l epresión inicil hst trnsfórml en otr form indetermind del tipo o Ests otrs forms se resolverín por culquier de los métodos vistos nteriormente 9 es un form indetermind del tipo [ ] r trnsformrl opermos restmos ued: b [ ] 4 6 dividiendo por José Mrí Mrtínez Medino

11 Aplicción del cálculo de ites l determinción de ls síntots de un función rcionl Ls síntots son rects hci ls cules tiende pegrse l gráfic de un función ueden ser verticles, horizontles u oblicus f f b f f Asíntots verticles Asíntot horizontl Asíntot oblicu L rect es un síntot verticl de l curv y f si f L rect y b es un síntot horizontl de l curv y f si f b L rect y m n es un síntot oblicu de l curv y f si: f m m y m ; f m n n Asíntots de funciones rcionles Ls funciones rcionles, f : pueden tener síntots verticles en ls ríces del denomindor: ls soluciones de tienen síntots horizontles si el grdo de es menor o igul que el grdo de tienen síntots oblicus si el grdo de grdo Se determinn plicndo los procedimientos indicdos más rrib L función f tiene un síntot verticl l rect y otr horizontl l rect y En efecto: es un AV y es un síntot horizontl b L función f tiene dos síntots, un verticl l rect y otr oblicu, l rect y m n, siendo: f m ; n f m L síntot es l rect y José Mrí Mrtínez Medino

12 Continuidd de un función en un punto L ide de continuidd de un función en un punto está ligd l de ite de l función, pues por definición: f es continu en el punto f f Esto implic que: L función f está definid en el punto Esto es, se sbe cuánto vle f Eiste el ite en : eiste f l El vlor del ite coincide con f Esto es, f l f De ls cutro funciones siguientes, sólo l primer es continu en el punto Discontinuidd evitble Cundo un función no es continu de dice que es discontinu L cus más común de l discontinuidd está en que l función no esté definid en un punto Así, por ejemplo, l función f es discontinu en y en Hy csos en los que l discontinuidd es evitble Así sucede pr ls funciones dds en ls gráfics y Un función f tiene un discontinuidd evitble en el punto cundo tiene ite en ese punto En el cso l discontinuidd se evit definiendo f l En el cso l discontinuidd de evit imponiendo redefiniendo f f En el cso 4 l discontinuidd no puede evitrse, pues l gráfic d un slto en el punto Continuidd lterl L función representd en l grfic 4 puede considerrse continu por l derech del punto En cmbio, no es continu su izquierd Un función f es continu por l derech en el punto en si está definid se sbe el vlor de f y el ite coincide con ese vlor Esto es, cundo f f Un función sbe el vlor de f es continu por l izquierd en el punto en si está definid se f y el ite coincide con ese vlor Esto es, cundo f f José Mrí Mrtínez Medino

13 L función f no es continu en, pues en ese punto no está definid En consecuenci, tmpoco es continu por ninguno de los ldos del punto b L función f ENT[ ] es discontinu pr todo Z, pues l función no tiene ite pr ningún vlor entero de No obstnte, l función es continu por l derech de todo or ejemplo, por l derech de, se cumple que ENT[ ] ENT[] En cmbio, no es continu por l izquierd de culquier entero or ejemplo, pr el mismo, por su izquierd se cumple que ENT[ ] ENT[] c L función f es discontinu en y en, pues en esos dos puntos no está definid Si hcemos los ites en esos puntos, se tiene: ; ; En el primer cso, en, no eiste ite; por tnto, l discontinuidd no puede evitrse En cmbio, en sí puede evitrse Se evit definiendo f ropieddes de ls funciones continus Aunque se de mner escuet conviene indicr lguns propieddes relcionds con ls operciones de ls funciones Ests propieddes son: Si f y g con continus en, entonces: f ± g es continu en f g es continu en / f es continu en si f f / g es continu en cundo g Ests propieddes nos permiten concluir que l myorí de ls funciones usules son continus en todos los puntos de su dominio Así, sin pretender ser ehustivo: n Ls funciones polinómics, f n, son continus siempre, pr todo número rel n n Ls funciones rcionles, f son continus en todos los puntos m b b b m b m b m de su dominio; esto es, siempre que b Ls funciones con rdicles, trigonométrics, logrítmics y eponenciles son continus en todos los puntos de su dominio 4 Ls funciones definids trozos serán continus si cd función lo es en su intervlo de definición, y si lo son en los puntos de división de los intervlos; pr esto último es necesrio que coincidn los ites lterles José Mrí Mrtínez Medino

14 4 Ejemplo: r qué vlores de ls funciones, f, si si > son continus? El único punto que present dificultdes es L función será continu en ese punto que pueden ser vrios, lo que eplic el plurl funciones del enuncido, cundo los ites lterles coincidn con f, que vle or l izquierd:: f or l derech; f Como deben ser igules: o, si Si, l función es: f, si >, si Si, l función es: f 4, si > Ls gráfics de ests funciones son ls dibujds l mrgen José Mrí Mrtínez Medino

15 5 Continuidd en un intervlo El concepto de continuidd en un punto puede etenderse un intervlo finito o infinito, bierto o cerrdo Esto nos permitirá plicr lgunos teorems importntes, propios de ls funciones continus Un función f es continu en un intervlo bierto, b cundo es continu pr todo punto c, b or ejemplo: L función f cosec es continu en el sen intervlo, π Figur djunt Not: L función cosec es discontinu en todos los puntos que nuln sen ; esto es, en kπ Un función f es continu en un intervlo cerrdo [, b] cundo es continu pr todo punto c, b y demás es continu en por l derech y en b por l izquierd L función f sen es continu en el intervlo [, π] Figur djunt Not: L función sen es continu en todo R Teorem de Bolzno Asegur que si un función continu en un intervlo cerrdo tom signos distintos en sus etremos, entonces cort l eje en lgún punto de ese intervlo Dice lo siguiente: Si f es un función continu en el intervlo cerrdo [, b] y tom vlores de distinto signo en sus etremos f < < f b o f > > f b, entonces eiste lgún punto c, b tl que f c Esto es, si l función es negtiv en f < y positiv en b f b >, entonces se nul en lgún punto c entre y b f c Geométricmente, esto signific que si f < y f b >, entonces l gráfic de f cort l eje OX en un punto, l menos Análogmente si f > y fb < Desde el punto de vist lgebrico, este teorem segur que si f < y f b >, entonces l ecución f tiene un solución entre y b Es solución será el punto c cuy eistenci firm el teorem L función f es continu en todo R, y en prticulr en el intervlo [, ] Como f < y f 8 6 >, puede segurse que és función tom el vlor pr lgún número comprendido entre y Esto es, eiste un número c, myor que y menor que, tl que f c José Mrí Mrtínez Medino

16 6 O se, eiste un número que cumple l iguldd c c ; o, lo que es lo mismo, l ecución tiene un solución y está entre y Otr cos es encontrr el vlor ecto de es solución, pues slvo csos concretos no puede encontrrse; unque, como veremos en ls plicciones de estos teorems siempre se puede hllr un buen proimción b L función f cos cort l eje OX en el intervlo [, ] pues: es continu en todo R, y en prticulr en el intervlo ddo; f cos < y f cos >, pues cos < or tnto, l función verific ls hipótesis del teorem de Bolzno y, en consecuenci, eiste un punto c, tl que f c En ese punto l función f cos cort l eje OX Teorem de Weierstrss Asegur que tod función continu en un cerrdo tiene un máimo y un mínimo bsolutos en ese intervlo Dice lo siguiente: Si f es un función continu en el intervlo cerrdo [, b], entonces eiste un punto c [, b] tl que f c M f, pr todo perteneciente [, b] El significdo geométrico de este teorem es que l gráfic de f lcnz el máimo en c y ese máimo vle M Análogmente, eiste un punto d [, b] tl que f d m f pr todo [, b]; que equivle decir en d l función tom el vlor mínimo L función f es continu en el intervlo [, ] y en todo R or tnto eiste un punto de ese intervlo en el cul f lcnz su vlor máimo; y otro punto en el que tom el vlor mínimo En este cso, l trtrse de un prábol es fácil encontrr esos puntos El máimo lo tom en y vle ; el mínimo, en y vle b L función f cos e es continu en el intervlo [, ] or tnto, eiste un punto de ese intervlo en el cul es función lcnz su vlor máimo En este cso result más difícil encontrr dicho vlor No obstnte, se sbe que si e kπ, con k Z, l función vle : el máimo pr el coseno; y cundo e k π, l función vle, el mínimo pr el coseno En el primer cso, pr k se tiene: e π,84 máimo En el segundo cso, pr k : e π,4 mínimo José Mrí Mrtínez Medino

17 7 Alguns consecuencis de estos teorems Vmos considerr solmente dos de ells: el teorem de los vlores intermedios y el cálculo de l ríz proimd de un polinomio Teorem de los vlores intermedios Drbou Si f es un función continu en [, b] y f f b, entonces l función tom cd vlor comprendido entre f y f b Esto es, pr culquier número k comprendido entre f y f b, f < k < f b, eiste un c [, b], tl que f c k L demostrción de est consecuenci es fácil Bst con definir otr función g f k y plicrle el teorem de Bolzno En efecto: L función g f k es continu en [, b], por ser diferenci de dos funciones continus en [, b] Además, g > y g b <, pues g k f > y g b k f b < Luego, g cumple ls hipótesis del teorem de Bolzno En consecuenci, eiste entonces eiste lgún punto c, b tl que g c ero esto signific que g c k f c f c k Observción Este resultdo puede mplirse un poco más, firmndo que Si f es un función continu en [, b], entonces l función tom cd vlor comprendido entre el mínimo y el máimo de f en ese intervlo Esto es, pr culquier número k comprendido entre m y M, m < k < M, eiste un c [, b], tl que f c k Definición Si f es continu, l imgen de [, b] será el intervlo [m, M], siendo m y M el mínimo y el máimo de f en [, b] Clculo proimdo de soluciones de un ecución polinómic L ecución no tiene soluciones enters or tnto, l ser de tercer grdo no sbemos cómo encontrr ess soluciones No obstnte, plicndo el teorem de Bolzno podemos hllr un vlor tn próimo l solución como deseemos Observ Asocid l ecución puede considerrse l función f, que es continu en todo R robndo, podemos encontrr dos vlores de en los que l función tome distinto signo En este cso vlen, y, pues f y f En consecuenci, por Bolzno, eiste un vlor c entre y tl que f c Ese vlor es un solución de l ecución r hllrlo hy que hcerlo por tnteo, siendo norml que no encontremos el vlor c ecto, pero siempre podemos encontrr un vlor tn próimo c como se desee Un buen procedimiento hllr ese vlor consiste en estrechr el intervlo inicil r ello se evlú l función en culquier punto intermedio, José Mrí Mrtínez Medino

18 8 por ejemplo en,5, y se reiterr el procedimiento en el intervlo,,5 o en el,5,, según conveng Como f,5,5,5,5 <, l solución estrá entre,5 y robmos con,75: f,75,75,75,8965 < Como f,75 < y f >, l solución está entre esos dos vlores robmos con,9: f,9,9,9,59 > L solución está entre,75 y,9 robmos con,85: f,85,85,85, 875 < L solución está entre,85 y,9 robmos,88: f,88,88,88,467 > L solución está entre,85 y,88, y muy cerc de,88 robmos,87: f,87,87,87,7797 < L solución está entre,87 y,88 Con esto, y tenemos cotd l solución con un proimción de milésims: es un vlor entre,87 y,88 Si est proimción es suficiente, podemos signrle c un vlor intermedio y decir: c,878 ; o quedrnos con,88 cuy proimción es bstnte buen José Mrí Mrtínez Medino