Medidas estadísticas

Transcripción

1 Medidas estadísticas Medidas de Tedecia Cetral: Se llama así debido a que ua vez bie calculadas, sus valores tiede a estar ubicadas e el cetro de la distribució ordeada. Esta característica la posee la Media Aritmética y la Mediaa. Media Aritmética o Promedio Aritmético: Dada ua serie o distribució de valores para la variable aleatoria cuatitativa Xi, matemáticamete se deomia media aritmética al cociete de la sumatoria de los valores dividida etre úmero de casos. Si los datos correspode a ua població. Xi: X 1, X, X 3,...,X N, etoces la media aritmética viee expresada así: Xi μ = N Ejemplo: Sea ua població formada por los pesos e Kg de cico iños (Xi: ), calcular e iterpretar la media aritmética y mostrar su tedecia cetral. ( ) Xi 100 μ = = Kg = Kg = 0 Kg. Al colocar la serie de N 5 5 datos ordeada: , puede otarse que la media aritmética está ubicada e el cetro de la serie ordeada, e este caso, la media aritmética coicide co el dato cetral. Por ese motivo se le llama de tedecia cetral. Cuado los datos correspoda a ua muestra. Xi: X 1, X, X 3,...,X, etoces la media aritmética viee expresada así: Xi X = La media aritmética e muy afectada por los valores extremos de la serie de datos, es decir, al variar sustacialmete uo de los valores extremos, el promedio aritmético varía y se traslada hacia ellos e fució de la magitud de la variació. Por ejemplo, si e la serie aterior supoemos que el quito iño pesa 3 Kg, etoces la ueva serie es: y la ueva media aritmética es: ( ) Xi 110 μ = = Kg = Kg = Kg. N 5 5 E este caso la media aritmética de la ueva serie se ha trasladado del cetro hacia el extremo superior, lo cual hace que la media aritmética deje de ser represetativa de la serie de datos. Si por el cotrario e la serie origial se sustituye el primer iño por otro cuyo peso es 8 Kg, etoces la ueva media aritmética es:

2 ( ) Xi Kg 90Kg μ = = = N 5 5 = 18 Kg. Ahora la media aritmética se ha trasladado hacia el extremo iferior, quedado demostrado que u cambio e los valores extremos de ua serie hace que la media aritmética se vea afectada. El ivel de afectació depede de la magitud de los cambios de los valores extremos. Mediaa: Dada ua serie de valores uméricos (variable cuatitativa: Xi) ordeados, se llama mediaa al valor que está ubicado e el cetro y por tato, divide a la serie e dos partes exactamete iguales. Lo aterior implica que para hablar de mediaa, ecesariamete, los valores debe estar ordeados, de o ser así, o hay posibilidad de defiirla y mucho meos calcularla. La mediaa por defiició siempre estará ubicada e el cetro de la distribució ordeada. Por ejemplo e la serie origial (Xi: ), la mediaa es igual al tercer valor, es decir, Xd = 19 Kg. Véase que la mediaa coicide co el dato cetral, por lo que, ates que ella existe la mitad de N-1 y después, igualmete la mitad de N-1. E este caso, la mitad de (N-1)/ = (5-1)/= 4/ =. De allí se deduce que a ambos extremos de la mediaa existe igual catidad de casos. Ejemplo de cálculo maual de la mediaa por datos directos si tabular. Sea Xi, las edades (e años al etero más próximo) de u grupo de jóvees: Ordear las edades de meor a mayor: Señalar los lugares para cada dato: Calcular el lugar ocupado por la mediaa a través de la siguiete expresió: LuXd = + = = = 6,5. Este implica que la mediaa está ubicada e el lugar 6,5, es decir, está e el cetro de los datos (edades) que ocupa los lugares 6 y 7, e otras palabras, etre el último 13 y el primer 14 de la serie ordeada. 4.- E este caso, el valor de la mediaa se obtiee de la semisuma de los dos datos referidos, (13 y 14), por lo tato: Xd = = = 13,5 años 5.- Iterpretació: A ambos extremos del valor (Xd = 13,5 años) se ubica el 50 por cieto de los jóvees. Observació: Cuado el úmero de datos es u úmero par, puede hacerse la iterpretació asegudo que a ambos extremos de la mediaa se cocetra el 50 por cieto de los casos. Si el úmero de valores es impar, o se cumple la ubicació del 50 por cieto a ambos lados de la mediaa. E esta seguda situació, siempre será cierto que

3 teóricamete el dato cetral coicide co la mediaa y la mitad del resto ((-1)/) se cocetrará a ambos extremos de esta medida. Tato la media aritmética como la mediaa se calcula exclusivamete e Variables cuatitativas (discretas y cotiuas) y para cada distribució de variables cuatitativas, estas medidas so úicas, e otras palabras, para cualquier serie de datos uméricos, existe ua sola media aritmética y ua sola mediaa. Moda. La moda de ua serie o distribució se defie como el valor que más se repite, el más frecuete o el valor alrededor del cual se cocetra la mayor catidad de casos posibles. La moda tiee la particularidad de ser la úica medida estadística que se puede obteer e variables cualitativas. Por otra parte, la moda tambié se costituye e la úica medida estadística que e ua distribució pudiera o existir. Ejemplo 1 de cálculo de la moda e ua serie directa si tabular. Sea Xi la variable formada por los pesos e Kg (aproximado al etero más cercao) de ua muestra de iños: Dado que existe u peso que se repite dos veces (el 15), ese costituye la moda: Xo = 15 años. Cuado ua distribució posee ua sola moda, se deomia uimodal. Ejemplo : Ubicar la(s) moda(s) de la serie formada por los putajes de ua muestra de 7 estudiates que presetaro ua prueba objetiva de Castellao de séptimo grado: Debido a que hay dos putajes que se repite igual catidad de veces (14 y 16), etoces existe dos modas. Xo 1 = 14putos y Xo = 16 putos. E casos como estos, la distribució se llama bimodal por existe dos modas. Si la distribució posee más de dos modas, se deomia polimodal. Cuado la distribució carezca de moda, se le llama amodal. Cálculo maual de las medidas de tedecia cetral y la moda por datos directos tabulados Calcular e iterpretar las medidas de tedecia cetral y la moda e la distribució del úmero de hermaos k Xi fk Xi*fk Fk kk Xi*hk ,0893 0, ,150 0, ,3036 1, ,1964 0, ,0714 0, ,149 0, ,0536 0, , ,0000 4,33 Cálculo maual (forma directa y por itervalos de clase), iterpretació.

4 Media Aritmética: Para calcular esta medida estadística e ua tabla de frecuecias por datos directos, se utiliza la siguiete fórmula: fk * Xi X =. El procedimieto de cálculo segú esta expresió es el siguiete: 1.- Multiplicar cada valor de la variable por la correspodiete frecuecia ordiaria absoluta: fk.xi. Ver resultados e la cuarta columa de la tabla aterior..- Sumar los productos precedetes para obteer: fk * Xi = Sustituir e la fórmula para coseguir el valor de la media aritmética: fk * Xi 37 X = = = 4,3 hermaos Iterpretació: El promedio aritmético de hermaos e las familias ecuestadas es de aproximadamete 4, Otra forma de calcular la media aritmética e este tipo de distribucioes de frecuecias es a través de la siguiete fórmula basada e las frecuecias ordiarias relativas (hk): X = hk * Xi = 4,3 hermaos. Ver resultados e la tabla correspodiete. Mediaa: Para calcular la mediaa por datos o agrupados tabulados, el procedimieto es el siguiete: 1.- Obteer el lugar de ubicació de la mediaa mediate la siguiete expresió: LuXd = + = = 8,5.- Segú este resultado, la mediaa está cetrada etre los valores ubicados e las posicioes 8 y 9, por lo que, de acuerdo co la tabla de frecuecias estos dos valores está situados e la casilla úmero 6, dode existe ua acumulado de 44 valores y e ella 17 datos iguales a 5, lo que implica que e esa clase o categoría, está las posicioes desde la 8 hasta la 44. Véase que hasta la casilla precedete (la úmero 5) hay 7 valores acumulados. Siedo etoces los dos valores de iterés iguales a 5, la mediaa es igual a la semisuma de ellos dos Xd = = 10 = Iterpretació: El 50 por cieto de los valores so iguales o meores 5 y el resto, es mayor o igual que 5. Tómese e cueta que existe varios valores iguales (el 5 se repite 17 veces), por tal motivo, coviee que e la Iterpretació se iserte los térmios meores o iguales y mayores o iguales, para o correr el riesgo de cometer error. Moda: Siedo la moda el valor que más se repite, etoces su valor se cosigue al observar la frecuecia ordiaria absoluta mayor (fk mayor, tambié coocida como frecuecia modal =

5 fo) y localizar el valor que correspode a esa frecuecia y de esta maera se obtiee el valor de la moda. Por ejemplo, e la distribució de frecuecias aterior la moda es el valor al cual le correspode la frecuecia ordiaria absoluta mayor (fk = 17 de la categoría úmero ). Lo aterior implica que el valor que más se repite es el 5 (17 veces) Cálculo de las Medidas de Tedecia Cetral y la Moda mediate el Procesador Statgraphics Plus. Ejemplo: Del archivo Lisadro Ramírez del Procesador Estadístico Statgraphics Plus calcule las medidas de tedecia cetral y la moda del úmero de hermaos. 1.- Active Describe, Numeric Data, Oe-Variable Aálisis..- Seleccioe y etre la variable Número de hermaos, pulse Ok. 3.- Elegir el icoo amarillo (Opcioes Tabulares), deseleccioe Resume Aalítico (Summary Aalysis). 4.- Seleccioar Resume de Estadísticos (Summary Statistics) y pulse Ok. 5.- E la salida, de las tres medidas (media aritmética = Average, mediaa = media y moda = mode) solo aparece la primera de ellas. Para obteer las otras dos, siga este Estado el Aputador del Mouse sobre la salida, haga clic co el botó Derecho y elija Pael de Opcioes Seleccioe Average, Media y Mode, deseleccioe lo demás y haga clic e OK. Los valores de la tres medidas so: X = 4,3 Xd = 5 Xo = 5 Cálculo de las Medidas de Tedecia Cetral y la Moda mediate el Procesador SPSS 10. Del archivo Lisadro Ramírez del Procesador Estadístico SPSS 10, calcule las medidas de tedecia cetral y la moda del úmero de hermaos. 1.- Activar el meú Aalizar, la opció Estadísticos descriptivos y la subopció frecuecias..- Seleccioar y etrar la variable e Variables. 3.- Pulsar e Estadísticos, seleccioar Media aritmética, Mediaa y Moda, activar Cotiuar y Aceptar. X = 4,3 Xd = 5 Xo = 5 Cálculo Maual de las Medidas de Tedecia Cetral y la Moda por itervalos de clase Ejemplo: Calcular las medidas de tedecia cetral y la moda para los putajes logrados por los alumos de la secció B de oveo grado de la Escuela Básica Valeria

6 Alexadra e ua prueba objetiva de Biología de 3 ítemes co cuatro alterativas cada uo. Nk Xi Xs Xm fk Fk fk.xm hk hk*xm 10 30,45 31,73 31, ,54 0,15 4, ,17 30,45 9, ,9 0,5 6, ,89 9,17 8, ,59 0,075, ,61 7,89 7,5 1 7,5 0,05 0, ,33 6,61 5, ,05 5,33 4, ,76 0,1,469 4,77 4,05 3, ,3 0,075 1, ,49,77, ,65 0,15,7665 0,1 1,49 0, ,4 0,1, ,93 0,1 19, ,85 0,15, ,56 1 5,714 Cálculo de la Media Aritmética. Para obteer la media aritmética por datos agrupados e itervalos de clase se utiliza la siguiete fórmula: fk * Xm X = 1.- Costruida la tabla de frecuecias por datos agrupados e itervalos de clase, calcule los putos medios o marcas de clase..- Multiplique e cada itervalo, la frecuecia ordiaria absoluta (fk) y el puto medio (Xm) 3.- Haga la sumatoria de los productos ateriores 4.- Sustituir e la fórmula: fk * Xm 108,56 X = = = 5,71 putos Iterpretació: Los alumos de octavo grado que presetaro la prueba objetiva de Biología lograro u promedio aritmético de aproximadamete 5,71 putos. Existe otra fórmula para calcular la media aritmética e ua distribució agrupada e itervalos de clase. Su expresió está e fució de las frecuecias ordiarias relativas y los putos medios o marcas de clase. X = hk * Xm = 5,71 putos. Puede otarse que el resultado obteido es exactamete igual ecotrado co la primera fórmula.

7 Cálculo de la Mediaa. Para coseguir el valor de la mediaa e ua distribució por datos agrupados e itervalo de clase se emplea la siguiete expresió: Xd F( k 1) = Xi + * ic, dode: fk Xi = Es el límite aparete iferior del itervalo que cotiee a la mediaa = Es el tamaño de la muestra F (k-1) = Es la frecuecia acumulada absoluta del itervalo aterior al itervalo que cotiee a la mediaa. ic = Es la amplitud de los itervalo de la distribució de frecuecias. fk = Es la frecuecia absoluta ordiaria del itervalo que cotiee a la mediaa. 1.- Se calcula el lugar de ubicació de la mediaa a través de la expresió: 40 LuXd = = = 0.- Se ubica el lugar e la columa de las frecuecias acumuladas absolutas e u valor que sea igual al lugar o imediatamete mayor. El lugar 0 está coteido e el itervalo úmero 5 (k = 5) dado que e éste está los lugares desde el 19 hasta el 1. Esta ubicació es clave, debe hacerse de forma correcta, porque de o ser así, los demás valores de la fórmula será errados. E este ejemplo los demás valores so los siguietes: Xi = 4,05; f 5 = 4; F (k-1) = F (5-1) = F 4 = 17; ic = 7,89 6,61 = 1, Sustituir e la fórmula: F( k 1) 0 17 Xd = Xi + * ic = 4,05 + *1,8 = 4,05 + 1,8 = 5,33 putos fk Iterpretació: Dado que el úmero de casos es par ( = 40) se puede decir que el 50 por cieto de los alumos lograro putajes meores o iguales que 5,33 putos y el otro 50 por cieto tiee putajes mayores o iguales que 5,33 putos. Cálculo de la Moda: E el caso de distribucioes agrupadas e itervalos de clase, osotros vamos a supoer como moda el valor del puto medio del itervalo modal, es decir, aquel e el que exista la mayor frecuecia absoluta ordiaria. El itervalo modal es el úmero 9 al cual le correspode ua frecuecia ordiaria absoluta (fo = 9). El puto medio es igual a 9,81, por lo tato, la moda es: Xo = 9,81 putos. Iterpretació: El putaje que se repite mayor catidad de veces (9) está próximo a 9,81 putos. Cálculo de las Medidas de Tedecia Cetral y la Moda mediate los Procesadores Estadísticos Statgraphics Plus y SPSS 10. El procedimieto e cada caso es el mismo explicado co aterioridad.

8 Relació etre las medidas de tedecia cetral y la moda (Asimetría). Cuado se compara las medidas de tedecia cetral y la moda, siempre que la distribució sea uimodal, se puede obteer las siguietes relacioes: 1.- Las tres medidas so iguales etre sí: X = Xd = Xo. Etoces la distribució es Simétrica..- Las tres medidas so diferetes etre sí: X Xd Xo. Siedo así, la distribució es Asimétrica. La relació etre las dos medidas tedecia cetral (media aritmética y mediaa) y la moda, permite determiar de qué maera se da la cocetració de valores e ambos extremos de la media aritmética. El que la distribució sea simétrica implica que a ambos extremos de la media aritmética se ubica el 50 por cieto de los valores de la serie; e otras palabras, si las tres medidas estadísticas referidas so iguales etre sí, sigifica que existe u perfecto equilibrio etre la catidad de datos situados a los dos lados de la media aritmética. Por otra parte, si las tres medidas so diferetes, etoces la distribució es asimétrica, lo cual quiere decir a uo de los extremos de la media aritmética se cocetra más del 50 por cieto de los casos. Cuado se da la diferecia etre las tres medidas e referecia, se puede presetar dos casos:.1.- Si X > Xd > Xo, la distribució es asimétrica positiva, lo cual sigifica que más del 50 por cieto de los datos so meores que la media aritmética...- Cuado X < Xd < Xo, etoces la distribució es asimétrica egativa, lo cual idica que más del 50 por cieto de los casos so mayores que la media aritmética. Observacioes: 1.- Si la distribució posee más de ua moda, hágase la comparació etre la media aritmética y la mediaa..- Si la mediaa y la moda so iguales etre si, procédase igual que e el caso aterior. Ejemplo: compare las medidas de tedecia cetral y la moda. Diga cómo es la cocetració de datos a ambos extremos de la media aritmética e la distribució de la variable úmero de hermaos. Comparació: X = 4,3 < Xd = 5. La distribució es asimétrica egativa, por lo tato, más del 50 por cieto de los valores so mayores que la media aritmética. Ejemplo: compare las medidas de tedecia cetral y la moda. Diga cómo es la cocetració de alumos a ambos extremos de la media aritmética e la distribució de la putajes obteidos e la prueba objetiva de Biología de oveo grado. Media aritmética = 5,71, Mediaa = 5,33, Moda = 9,81. Tal como se dijo previamete, para determiar la

9 asimetría de ua distribució, si la hubiere, es suficiete co comparar la media aritmética y la mediaa. Ver observació precedete. X = 5,71 > Xd = 5,33. De acuerdo co esta relació, la distribució de la prueba de Biología es asimétrica positiva, lo cual implica que más del 50 por cieto de los alumos lograro putajes iferiores a la media aritmética. Observació: Al obteer las medidas de tedecia cetral y la moda utilizado alguo de los paquetes estadísticos, se tiee los siguietes resultados: media aritmética = 5,73, mediaa = 4,63 y e el caso de la moda, existe cico valores que se repite igual catidad de veces (3): 19,35; 4,56; 8,75; 9,46 y 30,09 putos. Es importate recordar que cuado las medidas estadísticas se calcula e distribucioes de frecuecias agrupadas e itervalos de clase, estás preseta diferecias co las obteidas para la misma distribució al emplear los paquetes estadísticos dado que e la medida e que aumete la amplitud de los itervalos, tambié aumeta el error de cálculo por agrupamieto. Medidas de Orde. Estas medidas se llama así dado que permite ubicar la posició de u valor de la variable siempre que la distribució esté ordeada. Por ejemplo, e ua serie ordeada es posible defiir los percetiles (Xpi) al dividirla e 100 partes iguales E la gráfica atecedete, se idica alguos de los percetiles (Xpi) de la distribució de ua variable Xi cualesquiera. El percetil 5 (Xp 5 ) idica que por debajo de ese valor se ecuetra el 5 por cieto de los demás datos y por lógica por ecima de él, se ubica el 75 por cieto de los demás valores. De igual maera sucede co los percetiles 50 y 75. El percetil cero (Xp0) correspode al dato meor de la Variable e implica que por debajo de él o existe igú valor y por ecima está el cie por cieto. El dato mayor correspode al percetil 100, por debajo de él se ubica el cie por cieto. Lo aterior sigifica que para efecto de cálculo de los percetiles, se hace co todos los ubicados etre 0 y 100 debido que éstos al coocer los valores extremos, automáticamete so coocidos y por lógica o es ecesario calcularlos, al meos que se tega deficiecias coceptuales. Deciles (Di): Se obtiee cuado la distribució ordeada es dividida e 10 partes iguales. Los deciles tiee sus correspodietes e los percetiles, es decir, D 1 = Xp 10, D = Xp 0, D 3 = Xp 30, D 4 = Xp 40, D 5 = Xp 50, D 6 = Xp 60, D 7 = Xp 70, D 8 = Xp 80, D 9 = Xp 90, D 10 = Xp 100. Para efecto de cálculos, se realiza desde el 1 hasta el 9, dado que el decil 10 equivale al percetil 100 y éste correspode al dato mayor de la distribució. Cuartiles (Qi): Estas medidas de orde se obtiee cuado la distribució ordeada es dividida e cuatro partes iguales. Igual que los deciles, los cuartiles tiee sus equivaletes

10 e los percetiles. Q 1 = Xp 5, Q = Xp 50, Q 3 = Xp 75. Las medidas de orde (Percetiles, Deciles y Cuartiles y otras), e cojuto se deomia Cuatiles. Cálculo Maual de Percetiles, Deciles y Cuartiles (Datos Directos). Iterpretació Cuado los datos está si agrupar, para calcular las tres medidas de orde ya defiidas, se utiliza la siguiete fórmula: Xpi = Xi + ( Xs Xi) * R, dode: Xpi = Es el percetil que se desea hallar Xi = Es el dato iferior al percetil deseado Xs = Es el dato superior o imediatamete posterior al percetil buscado. R = Es la diferecia etre el lugar del dato mayor meos el lugar del percetil a coseguir R = LugXs LugXpi. Ejemplo. Sea la variable Xi formada por los putajes logrados por u grupo de alumos de séptimo grado e ua prueba objetiva de Castellao: Calcular: a) el percetil 6, b) Decil 4, c) Cuartil 3. Procedimieto Parte a: 1.- Es ecesario ordear los ( = 1) putajes de meor a mayor y colocarles las posicioes o lugares. Xi: Lugar: Calcular el lugar del percetil icógita (Xp 6 ) mediate la expresió: p * LugXpi = 100 Siedo el úmero de datos de la serie o distribució (e este caso, = 1) y p el valor del porcetaje correspodiete al percetil (p = 6). p * 6 *1 LugXp 6 = = = 3, Este resulta idica que el percetil buscado está ubicado etre el dato que ocupa la posició 3 y el que ocupa la posició 4, es decir, las putuacioes (Xi = 11 y Xs = 11). 4.- Se halla el valor de R (diferecia etre los lugares del dato superior al percetil icógita y el del percetil a calcular): R = 4 3,1 = = 0, Sustituir e la fórmula correspodiete:

11 Xp 6 = Xi + ( Xs Xi) * R = 11+ (11 11) *0,88 = 11 putos 6.- Iterpretació: El putaje por debajo del cual se ecuetra el 6 por cieto de los alumos que presetaro la prueba objetiva de Castellao de séptimo grado es igual a 11. E otras palabras, el 6 por cieto de los alumos obtuvo putajes meores o iguales a 11 putos. Procedimieto Parte b: Decil 4 Xi: Lugar: Recuerde que el D 4 = Xp 40. p * 40 *1 1.- Hallar el lugar que ocupa el decil 4: LugXp 40 = = = 4, Ubicar los datos imediatos iferior y superior al percetil 40: Xi = 11 y Xs = Hallar el valor de R = 5 4,8 = 0, 4.- Sustituir e la fórmula para calcular el decil 4 o percetil 40 Xp 6 = Xi + ( Xs Xi) * R = 11+ (1 11) *0, = 11, putos 5.- Iterpretació: El 40 por cieto de los alumos obtuvo putajes meores o iguales que 11, putos. Procedimieto Parte c: Q 3 = Xp 75. Xi: Lugar: p * 75*1 1.- Coseguir el lugar del cuartil 3: LugXp 75 = = = Localizar los datos imediatos al percetil a determiar, coseguir el valor de R y sustituir e la fórmula correspodiete: Como e este caso el lugar del percetil a calcular es u úmero etero exacto, implica que el percetil icógita es el dato que ocupa ese lugar, por lo tato, el Q 3 = 16 putos 3.- Iterpretació: El 75 por cieto de los alumos obtuvo calificacioes iguales o meores que 16 putos. Cálculo Maual de Percetiles, Deciles y Cuartiles (Datos Agrupados). Iterpretació Calcular e iterpretar los siguietes cuatiles e la distribució de la prueba objetiva de Biología de oveo grado: a) Percetil 60, b) Decil 5 y c) Cuartil 1. Nk Xi Xs Xm fk Fk 10 30,45 31,73 31, ,17 30,45 9, ,89 9,17 8, ,61 7,89 7, ,33 6,61 5,97 0 1

12 5 4,05 5,33 4, ,77 4,05 3, ,49,77, ,1 1,49 0, ,93 0,1 19, Cuado los datos está agrupados e itervalos de clase, se utiliza la siguiete fórmula para calcular percetiles. Esta expresió es la misma empleada e el cálculo de la media por datos agrupados. Véase que si e esta fórmula se sustituye p por el valor 50 (Xp 50 ), se obtiee la fórmula de la mediaa. Esto implica etoces que aplicarla es seguir los mismos pasos utilizados para obteer la mediaa por datos agrupados e itervalos de clase. Xpi = Xi + p * F 100 fk ( k 1) * ic Procedimieto parte a: Percetil 60 p * 60 * Hallar el lugar de ubicació del percetil 60: LugXp 60 = = = De acuerdo co el resultado aterior, ubicar e la tabla de frecuecias los demás valores ecesarios para el cálculo: k = 8, Xi = 7,89; F (8-1) = F 7 =, fk = f 8 = 3, ic = 1, Sustituir e la fórmula: p * F( k 1) Xp60 = Xi + * ic = 7,89 + *1,8 = 7,89 + 0,85 = 8,74 putos fk Iterpretació: El 60 por cieto de los alumos que presetaro la prueba objetiva de Biología de oveo grado lograro putajes meores o iguales que 8,74 putos. Procedimieto parte a: Decil 5 p * 50 * Hallar el lugar de ubicació del percetil 50: LugXp 50 = = = Ubicar los demás valores que aparece e la fórmula correspodiete: k = 5, Xi = 4,05; F (5-1) = F 4 = 17, fk = f 5 = 4, ic = 1, Sustituir e la fórmula: p * F( k 1) Xp50 = Xi + * ic = 4,05 + *1,8 = 4,05 + 1,8 = 5,33 putos fk 3

13 4.- Iterpretació: El 50 por cieto de los alumos obtuvo otas meores o iguales a 5,33 putos y el otro 50 por cieto se ubicó e putajes mayores o iguales que 5,33 putos. Procedimieto parte a: Cuartil 1 p * 5* Hallar el lugar de ubicació del percetil 5: LugXp 5 = = = Ubicar los demás valores que aparece e la fórmula correspodiete: k = 3, Xi = 1,49; F (3-1) = F = 9, fk = f 3 = 5, ic = 1, Sustituir e la fórmula: p * F( k 1) Xp5 = Xi + * ic = 1,49 + *1,8 = 1,49 + 0,6 = 1,75 putos fk Iterpretació: El 5 por cieto de los alumos que presetaro la prueba objetiva de Biología lograro putajes meores o iguales que 1,75 putos. Cálculo de Percetiles, Deciles y cuartiles a través del Procesador Statgraphics Plus. Ejemplo: Calcule e iterprete los percetiles 5, 50 y 75, los deciles 1 y 6 y los cuarrtiles 1 y mediate el Procesador Statgraphics Plus, e la prueba de Biología de oveo grado. 1.- Active el meú Describe, Numeric Data y Aálisis de ua Variable..- Seleccioe e itroduzca la variable Biología y pulse OK. 3.- Active Opcioes Tabulares y pulse OK. 4.- Realice las iterpretacioes para cada resultado Cálculo de Percetiles, Deciles y cuartiles a través del Procesador SPSS 10. Ejemplo: Calcule e iterprete los percetiles 5, 50 y 75, los deciles 1 y 6 y los cuarrtiles 1 y mediate el Procesador SPSS 10, e la prueba de Biología de oveo grado. 1.- Activar Aalizar, Estadísticos descriptivos, Frecuecias..- Itroducir la variable, activar Estadísticos, seleccioar Percetiles. 3.- Aotar cada percetil, pulsar Añadir e cada caso, Cotiuar al fializar la etrada de éstos y Aceptar. 4.- Realizar las iterpretacioes: Rago Percetil (Defiició y cálculo: Procedimieto Maual, iterpretació). El rago percetil es ua medida estadística que implica lo cotrario de los percetiles. E el caso de los percetiles, se cooce u porcetaje o requiere buscar el valor de la variable por debajo del cual se ecuetra el porcetaje dado; mietras que, e el rago percetil, se

14 cooce el valor de la variable y se pide calcular el porcetaje de casos ubicados por debajo del valor. La fórmula para calcular el rago percetil se puede deducir u obteer al despejar de la fórmula para determiar los percetiles. Veamos cómo coseguir la expresió del Rago Percetil cuado la distribució es por Datos Directos Tabulados o o. 100 Xi X if Pxi = + lxif, dode: X sup X if Pxi= Es el rago percetil buscado Xif = Es el valor iferior imediato a Xi Xsup = Es el valor superior imediato a Xi lxif = Es el lugar que ocupa Xi = Es la catidad de valores de la serie Ejemplo 1: Sea la variable Xi formada por los putajes logrados por u grupo de alumos de séptimo grado e ua prueba objetiva de Castellao: Calcular el porcetaje de alumos cuyos putajes sea meores o iguales Ordear los putajes de meor a mayor y colocar las posicioes Xi: Lugar: Se extrae los valores de los térmios que cotiee la fórmula para calcular el rago percetil por datos directos. = 1, Xi = 15, P (x=15) =?, Xif = 14, Xsup = 16, lxif = 8 P Xi 100 Xi X if X sup X if ( = 15 ) = + lxif = + 6 = 8,33[ 0,5 + 6] = 54,15% Iterpretació: El 54,15 por cieto de los alumos lograro putajes meores o iguales que 15 putos. Expresió para obteer el Rago Percetil cuado la distribució es por Datos Agrupados e itervalos de clase. ( Xco Xi) 100 * fk Pxi = + F( k 1), e la que: ic Pxi = es el rago percetil buscado

15 = Es el úmero de datos de la distribució Xco = Represeta el dato coocido Xi = Es el límite iferior del itervalo de clase que cotiee a Xco fk = Es la frecuecia absoluta ordiaria del itervalo que cotiee al dato coocido (Xco) F (k-1) = Es la frecuecia acumulada del itervalo aterior al que cotiee el valor coocido ic = Es la amplitud de los itervalos de clase Ejemplo: Calcular e iterpretar el porcetaje de alumos que e la prueba objetiva de Biología de oveo grado obtuvo calificacioes iferiores o iguales a 6,79 putos. 1.- Se ubica el valor coocido e el itervalo dode esté coteido. El putaje Xi = 6,79 está ubicado e el itervalo úmero 7: 6,61 7,89..- Extraer los demás valores correspodietes segú la fórmula aterior: Xco = 6,79, Xi = 6,61; = 40, ic = 1,8, fk = f 7 = 1, F (k-1) = F (7-1) = F 6 = Sustituir los valores e la fórmula y realizar las operacioes correspodietes. ( Xco Xi) 100 * fk Pxi = + F( k 1 ic ) ( 6,79 6,61) 100 *1 P ( Xi= 6,79) = 1 =,5[ 0,14 + 1] = 5,85% ,8 4.- Iterpretació: El 5,85 por cieto de los alumos que presetaro la prueba objetiva de Biología lograro otas meores o iguales que 6,79 putos. Nk Xi Xs Xm fk Fk 7 6,61 7,89 7, ,33 6,61 5, ,05 5,33 4, Medidas de Variabilidad y de Forma: El coocimieto de las medidas de tedecia cetral (media aritmética y mediaa) y la moda, o es suficiete para obteer iformacioes que permita describir totalmete las características de los valores de ua distribució de frecuecias. Por ejemplo, esas tres medidas estadísticas o so suficietes para sumiistrar iformació referida a la variabilidad o dispersió de los datos. Por tal motivo, es ecesario valerse de otras medidas que de iformacioes e ese setido.

16 E estadística existe medidas que ayuda a describir la dispersió o variabilidad de u cojuto de datos estadísticos. Estas medidas se caracteriza porque permite detectar el grado de dispersió del grupo de valores, e relació a algua de las tres medidas previamete citadas y detalladas. La dispersió de la serie de valores, por lo geeral, está referida a la media aritmética. E otras palabras, la dispersió de u cojuto de casos se refiere al grado e que las observacioes, datos, valores o casos, se diferecia, distacia de la media aritmética. Por ejemplo, las series: Xi: co media aritmética = 13 Yi: , cuya media aritmética = 13 No so iguales etre sí. Etre los valores de la serie Xi y su media aritmética o existe diferecias, es decir, o hay dispersió, por lo que, la distribució es totalmete homogéea. E cambio, e la serie Yi existe diferecias etre los valores y la media aritmética, por lo tato, e la seguda hay variabilidad o dispersió. E la seguda serie vamos a coseguir los desvíos etre cada valor y la media aritmética. Se etiede por desvío a la diferecia etre cada valor de la variable y la media aritmética. yi = Yi Y. Se aprovechará la oportuidad para obteer la sumatoria de los desvíos cuadráticos que será utilizados para obteer la defiició matemática de ua de las medidas de dispersió. Yi: Yi Y : ( Yi Y ) : ( Yi Y ) = = 10 Las medidas de dispersió de mayor uso y precisió e Estadística, so la Variaza y la Desviació Típica. Cada ua de ellas tiee su símbolo especial a ivel de la població (σ, σ) y muestral (s, s). La defiició matemática de la variaza es la siguiete: ( Xi ) μ ( ) Xi X σ = : Població s = : Muestral N Observació: Cuado se calcula la variaza muestral hay que tomar e cueta el tamaño de la muestra. Si éste es meor de treita ( < 30), la variaza muestral se obtiee mediate la siguiete expresió: ( Xi X ) s = : variaza muestral cuado < 30 1 De acuerdo co cualesquiera de las dos fórmulas ateriores, matemáticamete se etiede que la variaza es el promedio de los desvíos cuadráticos de ua serie co respecto a la

17 media aritmética. Puede otarse e fució de la fórmula que la uidad de la variaza es el cuadrado de la uidad e que se exprese los valores de la variable. Si se extrae la raíz cuadrada de la variaza se obtiee la desviació típica o estádar de la distribució. Lo aterior implica que e cualquier distribució, al coocer la variaza se puede calcular la desviació típica al extraer la raíz cuadrada de la variaza y si se cooce la desviació estádar, se puede obteer la variaza, elevado al cuadrado el valor de la desviació típica. ( Xi μ) ( ) Xi X σ = : Població s = : Muestra N Para lograr la iterpretació de la dispersió de ua serie o distribució se utiliza el Coeficiete de Variació (Cv) que costituye ua medida de dispersió relativa dado que se obtiee del coeficiete etre la desviació típica y la media aritmética correspodiete. Se estila multiplicar 100 el cociete aterior para expresarlo e porcetaje. El coeficiete de variació permite determiar etre otras características: el grado de dispersió de la serie, el poder de discrimiabilidad de ua prueba y el grado de represetatividad de la media aritmética. El poder o la capacidad de discrimiabilidad de ua prueba se refiere al echo de ésta puede difereciar a los alumos e fució de los iveles de redimieto alcazado e ésta. Si las putuacioes so todas iguales etre sí, la prueba o discrimia, por lo tato, e la medida e que exista mayor dispersió, mayor será el poder discrimiativo. La represetatividad de la media aritmética tiee que ver co que ésta represete al grupo de valores de la distribució. Cosidérese que la media aritmética alcaza su mayor represetatividad cuado la serie es cie por cieto homogéea, es decir, cuado todos los valores so iguales etre y por lo tato, iguales a la media aritmética (o existe dispersió). Si embargo, e la medida e que va aumetado la dispersió, etoces la media aritmética va perdiedo represetatividad. Escala utilizada para ubicar el grado de dispersió, discrimiabilidad de la prueba y represetatividad de la media aritmética e fució del Coeficiete de Variació Cv Dispersió Discrimiabilidad Represetatividad de la X Muy alta Muy elevada Muy baja Alta Elevada Baja Moderad o Normal Normal Normal 1 40 Baja Baja Alta 01 0 Muy baja Muy baja Muy alta 0 Nula Nula Perfecta Fuete: Autor s Cv = *100 X

18 Observació: Motivado a que el coeficiete de variació de cualquier distribució de frecuecias ormalmete oscila e el itervalo cerrado cero y 100, es posible establecer ua escala que facilita determiar el grado de dispersió de la distribució referida. Estas escalas so arbitrarias y varía de u autor a otro. Cálculo Maual de las Medidas de Dispersió e ua Distribució por Datos Directos: Iterpretar la dispersió de los pesos expresados e Kg de cico iños (11,1,13,14,15). 1.- Para iterpretar la dispersió de ua serie, tal como se explicó previamete, es ecesario teer el valor del coeficiete de variació. Por lo tato, se calcula la variaza, la desviació estádar y por último la medida de dispersió relativa..- Se halla el valor de la media aritmética (13 Kg) 3.- Se obtiee los desvíos de cada valor Xi respecto a la media aritmética 4.- Se eleva al cuadrado los desvíos precedetes y se suma éstos. 5.- Sustituir e la fórmula de la variaza muestral tomado e cuata la observació referida la tamaño de la muestra. Yi: Yi Y : ( Yi Y ) : ( Yi Y ) = = 10 ( Xi X ) 10 Kg 10 Kg s = = = Calcular la desviació estádar ( Xi X ) =,5 Kg s = =,5 Kg = 1,58 Kg. 1 s 1, Hallar el coeficiete de variació: Cv = *100 = * 100 = 1,15% X Ubicar e la tabla, el valor del coeficiete de variació para determiar los grados de dispersió de la serie, de discrimiabilidad y represetatividad de la media aritmética. 9.- Iterpretació: Los valores preseta ua dispersió muy baja co respecto a la media aritmética. Existe ua capacidad muy baja para separar a los iños e grupos segú los pesos. La media aritmética posee u altísimo grado de represetatividad de los valores de la serie.

19 Cálculo Maual de las Medidas de Dispersió e ua Distribució por Datos Directos Tabulados: Para calcular la variaza e ua distribució de frecuecias por datos directos tabulados, se emplea la siguiete fórmula: ( Xi X ) ( Xi X ) fk * fk * s = Cuado 30 s = Cuado 1 < 30 Ejemplo: Calcular las medidas de dispersió y hacer la iterpretació para la distribució del úmero de hermaos por familia. k Xi fk fk*xi ( ) fk * Xi X , , , , , , , , De acuerdo co la fórmula, se requiere obteer el valor de la media aritmética fk * Xi 37 X = = = 4, Obteer los productos de las frecuecias ordiarias absolutas y los desvíos cuadráticos y luego sumarlos: fk * ( Xi X ) = 100, Sustituir e la fórmula correspodiete: 4.- Hallar la desviació típica: s = 1,7965 = 1, 34 s fk * = ( Xi X ) 100,601 = = 1, s 1, Calcular el coeficiete de variació: Cv = * 100 = *100 = 31,68% X 4,3 6.- Ubicar el resultado e la tabla para iterpretar el coeficiete de variació: El valor 31,68% está situado e el itervalo 1 40 que correspode a ua dispersió Baja. 7.- Iterpretació: Los valores del úmero de hermaos preseta ua baja dispersió co respecto a la media aritmética. Cálculo Maual de las Medidas de Dispersió e ua Distribució por Datos Agrupados:

20 La expresió para calcular la variaza e ua distribució por datos agrupados e itervalos de clase, es la siguiete: ( Xm X ) fk * s = Ejemplo: Calcular las medidas de dispersió y realizar la iterpretació para la distribució de los putajes de la prueba objetiva de Biología de oveo grado. Nk Xi Xs Xm fk Fk fk*xm ( ) fk * Xm X 10 30,45 31,73 31, ,54 173, ,17 30,45 9, ,9 151,9 8 7,89 9,17 8, ,59 3, ,61 7,89 7,5 1 7,5, ,33 6,61 5, ,05 5,33 4, ,76 4,1616 4,77 4,05 3, ,3 15,87 3 1,49,77, ,65 64,08 0,1 1,49 0, ,4 94, ,93 0,1 19, ,85 188, ,56 718,75 fk * Xm 1.- Hallar el valor de la media aritmética de la distribució: X = = 5,71 putos.- Calcular los productos de las frecuecias absolutas ordiarias y los desvíos cuadráticos, y luego obteer la suma: fk * ( Xm X ) = 718, Sustituir e la fórmula para obteer el valor de la variaza: ( Xm X ) 718,75 fk * s = = = 17,9569 putos Hallar la desviació estádar: s = 17,9569 = 4,4 putos 5.- Calcular el coeficiete de variació: s 4,4 Cv = * 100 = *100 = 16,49% X 5, Ubicar el resultado del coeficiete de variació e la escala para iterpretar la dispersió: El valor está coteido e el itervalo 01 0, para el cual correspode ua dispersió Muy baja. 7.- Iterpretació: Los putajes observados e la prueba objetiva de Biología por los alumos de oveo grado, presetaro ua dispersió muy baja co respecto a la media aritmética.

21 Cálculo de las Medidas de Dispersió mediate el Procesador Statgraphics Plus 1.- Activar el meú Describe, opció Numeric Data, Aálisis de ua variable..- Seleccioar, Etrar la variable de iterés y pulsar OK. 3.- Pulsar el icoo de Opcioes Tabulares, deseleccioar Resume Aalítico y elegir Resume de Estadísticos y OK. 4.- Estado el aputador ecima de la salida, pulse el botó Derecho del Mouse, active Pael de Opcioes y OK. 5.- Elija Average (Media aritmética), Variace (Variaza), Stadard desviatio (Desviació estádar) y Coff of Variatio (Coeficiete de Variació) y OK. Media aritmética = 5,73, variaza = 19,9, desviació típica = 4,44 Cv = 17,6% Cálculo de las Medidas de Dispersió mediate el Procesador SPSS Activar el meú Aalizar, Estadísticos descriptivos, Frecuecias, etrar la(s) Variable(s)..- Pulsar Estadísticos, seleccioar: Desviació típica, Variaza, Media (Media aritmética). 3.- Hacer clic e Cotiuar y Aceptar. Observació: Dado que el Paquete Estadístico SPSS o calcula el Coeficiete de Variació, usted debe calcularlo. Media aritmética = 5,73 Variaza = 19,7, desviació típica = 4,44, Cv = 17,6%. Medidas de Forma: So medidas que sumiistra iformació relacioada co cocetració de los valores e todo el recorrido de la variable. De esta maera, se puede determiar la forma de la distribució co respecto a la cocetració de datos a ambos extremos de la media aritmética y la mediaa. Las dos medidas estadísticas de forma, so: Asimetría y Curtosis. Asimetría: Idica cuado existe, hacia qué extremo de la media aritmética se ubica el mayor porcetaje de valores de ua distribució. Esta medida se expresa uméricamete mediate el coeficiete de asimetría que señala la magitud o cuatía de la acetuació del desequilibrio etre los porcetajes de datos cocetrados e los dos extremos de la media aritmética. Tal como se mostró al comparar la media aritmética y la mediaa, la asimetría puede ser: positiva o egativa. Si es positiva implica que más del 50 por cieto de los valores so meores que la media aritmética y si es egativa, etoces más del 50 por cieto de los valores so mayores que la media aritmética. Existe varias fórmulas para calcular el coeficiete de asimetría, e fució de diversos procedimietos. E la siguiete tabla se preseta varias expresioes a través de las cuales

22 se puede obteer este coeficiete. De igual maera, se idica el porcetaje de recorrido de la iformació que ésta sumiistra, lo cual se puede asumir como el porcetaje de la precisió alcazada al utilizarla. Fórmula e Fució de MTC y la Moda Bowley Percetiles Coef de Asimetría: As X Xo 3 ( X Xd ) Q Q1 Xp90 Xp50 + = s s Q + Q1 Xp90 Xp Porcetaje de Precisió 50% 80% Observació: Si el coeficiete de asimetría se calcula co algua de las fórmulas ateriores, etoces su valor oscila etre 1 y +1. Esto permite costruir ua escala que facilita la ubicació del grado de la asimetría y la correspodiete iterpretació. Coeficiete de Asimetría Grado de la Asimetría: Distribució As = 0 Simétrica - 0,10 As + 0,10 Ligera ± 0,11 As ± 0,30 Moderada ± 0,31 As ± 1,00 Marcada Observació: Etiédase que si la asimetría es ligera, implica que la diferecia etre los porcetajes de valores situados a ambos lados de la media aritmética, es pequeña. Esta diferecia va aumetado e la medida e que crece el grado de la asimetría. Ejemplo: Determie si existe diferecia etre el porcetaje de valores ubicados a ambos extremos de la media aritmética e la distribució de la prueba de Biología de oveo grado. Iterprete. Tal como está elaborado el plateamieto, se debe calcular el coeficiete de asimetría co el cual se puede determiar la existecia o o de asimetría, lo que permite coocer si existe diferecia etre los porcetajes de valores que se ubica e ambos lados de la media aritmética. 1.- De acuerdo co la tabla de fórmula para calcular el coeficiete de asimetría, coviee utilizar la que señala u 80% de precisió. Xp90 Xp50 + Xp10 As = Xp90 Xp10.- Esta fórmula idica que para aplicarla, hay que coocer los percetiles 10, 50 y 90. Utilizado el paquete estadístico Statgraphics Plus.1, se obtiee que: Xp 10 =19,35, Xp 50 = 4,63 y Xp 90 = 31, Al sustituir se obtiee que: ( 4,63) Xp90 Xp50 + Xp10 31, ,35 1,45 As = = = = 0,11 Xp90 Xp10 31,36 19,35 1, Ubicar el grado de la asimetría utilizado la escala presetada previamete: Asimetría Moderada. 10 Xp 10

23 5.- Iterpretació: Dado que la asimetría es positiva, implica que existe más del 50 por cieto de alumos co otas meores que la media aritmética. El que la asimetría sea moderada, sigifica que la diferecia etre los porcetajes de putajes ubicados e ambos extremos de la media aritmética, es moderado. Curtosis: Esta medida estadística permite determiar la magitud de la dispersió e el cetro de la distribució, es decir, alrededor de la mediaa. Ua distribució puede teer alguo de los tres siguietes tipos de curtosis: Mesocúrtica, Leptocúrtica y Platicúrtica. La dispersió cetral de las distribucioes se compara co la que correspodería ua distribució Normal o Mesocúrtica dode se cosidera moderada o mediaa. Si la distribució es Leptocúrtica sigifica que la dispersió cetral es meor que e ua Normal, y cuado sea Platicúrtica, etoces la dispersió alrededor de la mediaa es mayor que e ua distribució Normal. La curtosis se mide a través del coeficiete de curtosis. Para calcular el coeficiete de curtosis se emplea la siguiete fórmula e fució de percetiles: Xp75 Xp5 Cu = Xp Xp ( ) Ua vez calculado el coeficiete co la fórmula aterior, para determiar el tipo de curtosis de la distribució se cosidera lo siguiete: Si Cu = 0,63, la distribució es mesocúrtica o ormal Para u Cu < 0,63, es Leptocúrtica Cuado Cu > 0,63, etoces es Platicúrtica. Ejemplo: Calcular e iterpretar la curtosis de la distribució de la prueba objetiva de Biología presetada por el grupo de alumos de oveo grado. 1.- Obteer los percetiles 10, 5, 75 y 90. Se utilizó el paquete estadístico SPSS 10. Xp 10 = 19,35, Xp 5 = 1,5, Xp 75 = 30,06 y Xp 90 = 31,5..- Sustituir los valores e la fórmula correspodiete Xp75 Xp5 30,06 1,5 8,54 Cu = = = = 0,351 Xp Xp 31,5 19,35 4,34 ( ) ( ) Comparar co el valor patró para determiar el tipo de curtosis: Como Cu = 0,351 > 0,63, etoces, la distribució de la prueba de Biología es Platicúrtica. 4.- Iterpretació: La distribució de la prueba de Biología preseta e el cetro ua dispersió mayor que e ua distribució ormal. Atrás