Propiedades de las funciones en un intervalo

Transcripción

1 Propiedades de las funciones en un intervalo Teorema de Rolle: si una función es continua y derivable en un intervalo y toma valores iguales en sus etremos, eiste un punto donde la derivada primera se anula. Página web con ideas, conceptos y ejercicios de análisis. Teorema de Rolle Sea f una función que verifica las siguientes hipótesis: - Es continua en el intervalo cerrado [a, b] - Es derivable en el intervalo abierto (a, b) - Toma el mismo valor en los etremos del intervalo, es decir f(a) = f(b) Entonces, eiste un punto c que pertenece (a, b) tal que f (c) = 0, es decir, con tangente horizontal. Ejemplos y ejercicios resueltos Comprobar que la función f() = 4 + verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [, ] - Es continua en [, ] por ser polinómica. - Es derivable en (, ) por ser polinómica. - f() = 8; f() = 8 Entonces eiste un punto c en el intervalo abierto (a, b) con derivada nula en dicho punto. Veamos: f () = 4; f (c) = 0; c 4 = 0; c = 4; c = El punto c = esta en el interior del intervalo [, ]

2

3 TEOREMA DE ROLLE Si una función f() es. continua en un intervalo cerrado [a, b] entonces eiste al menos un punto c tal que. derivable en el intervalo abierto (a, b) f (c) = 0. f(a) = f(b) Geométricamente, este teorema epresa la eistencia de un punto c de (a, b) tal que la recta tangente en (c, f(c)) es paralela al eje OX Por ser f() continua en el intervalo cerrado [a, b], la función alcanza un máimo y mínimo (teorema de Weierstrass). De este hecho se obtienen tres posibilidades, tal como se indica en las siguientes figuras: Y f (c)=0 f(a)=f(b) O a c b X Y f(a)=f(b) f (c)=0 O a c b X Y f (c)=0 f(a)=f(b) O a b c Si el valor máimo o mínimo se presenta en un punto c de (a, b), entonces por el teorema de la derivada en un punto máimo, f (c) = 0 Si los valores máimo y mínimo se presentan ambos en los etremos, entonces son iguales, ya que f(a) = f(b), luego la función f() es constante. Por tanto, para todo punto c de (a, b), f (c) = 0 TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL O TEOREMA DE LAGRANGE Si una función f() es Continua en un intervalo cerrado [a, b] Derivable en el intervalo abierto (a, b) Entonces eiste al menos un punto interior c de (a, b) tal que Lo cual equivale a Nenina Martín Ossorio

4 Epresión que recibe el nombre de fórmula de incrementos finitos. La interpretación geométrica del teorema de Lagrange nos dice que si la gráfica de una función continua tiene tangente en todo punto del arco AB, entonces hay por lo menos un punto C en el que la tangente es paralela a la secante AB. Y C B f(b)-f(a) A O a c b X b a Ejercicios resueltos.- Dada la función f() = 4 +, verifica las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [, ]? En caso afirmativo, encontrar el valor de c de (, ) donde se anula la derivada. Solución: Teorema de Rolle Si una función f() es. Continua en un intervalo cerrado [a, b] entonces eiste al menos un punto c tal que. Derivable en el intervalo abierto (a, b) f (c)= 0. f(a) = f(b).- es continua por ser un polinomio.- es derivable por ser un polinomio f () = 4 se cumple el Tma. Rolle. Luego eiste.- f() = f() = - un punto f (c) = c 4 = 0, se tiene que c = Nenina Martín Ossorio

5 .- Dada la función Comprueba que f() verifica las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0,4] y halla el número c cuya eistencia asegura dicho teorema. Solución: Si una función f() es. Continua en un intervalo cerrado [a, b] entonces eiste un punto tal que. Derivable en el intervalo abierto (a, b). Continua en [0,4] La función f() es continua en [0,4] pues está definida por polinomios y en los puntos de salto se cumple En = es continua. Derivable en (0,4) es derivable en = es derivable en = Por tanto, habrá al menos un valor tal que Estudiamos los tres trozos: En (0,) 8 c + 4 = 9 En (,) En (,4) Hay tres soluciones que son los valores de c que pertenecen a (0,4) que verifican el teorema Nenina Martín Ossorio

6 Matemáticas II Teoremas del valor medio y regla de L Hôpital TEOREMAS DEL VALOR MEDIO Teorema de Rolle Si f () es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y si f ( a) f ( b), entonces eiste algún punto c (a, b) tal que f ( c) 0. Interpretación geométrica: eiste un punto al menos de ese intervalo, en el que la tangente a la curva es horizontal. a c b a c b a c b En ese punto c (en alguno de ellos si hay varios) se da el máimo o el mínimo de f () en ese intervalo. Ejemplos: La función f ( ) verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [, ], pues: es continua y derivable en todo R; en particular en el intervalo [, ]. f ( ) 4 y f ( ) 4. Esto es, toma el mismo valor en los etremos del intervalo. En consecuencia, eiste un punto c (, ) en el que su derivada vale 0: f ( ) 0 /. Este es el valor c que asegura el teorema. La función f ( ) no satisface las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [, ], pues no es derivable en el punto = 0 de ese intervalo. Teorema del valor medio (Lagrange) Si f () es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces eiste algún punto c (a, b) tal f ( b) f ( a) que f ( c). b a Interpretación geométrica: eiste un punto perteneciente al intervalo en el que la tangente a f () es paralela a la secante que pasa por los puntos de abscisa a y b. De otro modo: eiste un punto del intervalo en el que la tasa de variación instantánea coincide con la tasa de variación media de todo el intervalo. Interpretación física: si se realiza un trayecto a velocidad media v, en algún instante de ese trayecto se ha llevado esa velocidad v. José María Martínez Mediano

7 Matemáticas II Teoremas del valor medio y regla de L Hôpital Ejemplo: La función f ( ) 6 es continua y derivable en el intervalo [, ] c, < c < f () f ( ) tal que f ( c). ( ) En efecto: ( ) 6 =, =. El valor que cumple el teorema es =, el número que pertenece a (, ) Diversas formas de epresión del teorema f ( b) f ( a) De f ( c) f ( b) f ( a) f ( c)( b a) b a Si se toma (a, b) puede escribirse: f ( ) f ( a) f ( c)( a), con c (a, ) Si se hace b = a + h, se tendrá: f ( a h) f ( a) h f ( c), c (a, a + h) Si se toma = a + h, se tendrá: f ( ) f ( a) h f ( a h), 0 < <, c (a, ) Ejemplo: Aplicamos el teorema de los incrementos finitos al cálculo aproimado de 0. Si se toma f ( ), para = 0, a = 00 y h =, se tiene: f ( 0) f (00) f (00 ) 0 00, pues f ( ) 00 Como f ( 00 ) 0, 05, el valor aproimado pedido será: ,05 = 0, 00 NOTAS:. El valor obtenido con la calculadora es: 0 0, La aproimación es muy buena.. Puede observarse que aplicando la diferencial (véase) se llega al mismo resultado. Algunas consecuencias más A partir de cualquiera de estas epresiones pueden demostrarse fácilmente algunas propiedades de uso frecuente. Entre ellas:. Si una función f () es tal que f ( ) 0 para todo de un intervalo, entonces f () es constante en el intervalo. Si f ( ) 0, de f ( ) f ( a) f ( c)( a) f ( ) f ( a) = cte.. Si f () y g () verifican que f ( ) g ( ) para todo de un intervalo, entonces f () y g () se diferencian en una constante. (Pues f g cumple que f g = 0). Si una función f () es tal que f ( ) 0 para todo de un intervalo, entonces f () es creciente en el intervalo. Si f ( ) 0, de f ( a h) f ( a) h f ( c) f ( a h) f ( a) Análogamente, si f ( ) 0 para todo de un intervalo, entonces f () es decreciente en el intervalo. José María Martínez Mediano

8 Matemáticas II Teoremas del valor medio y regla de L Hôpital Teorema de Cauchy Si f () y g () son continuas en [a, b] y derivables en (a, b), y si g( b) g( a) y f () y g () no son ceros a la vez, entonces, eiste un punto c (a, b) tal que f ( b) f ( a) g( b) g( a) Otra forma del teorema: Con las mismas hipótesis, si tomamos a < < b, eiste un punto c (a, ) tal que f ( ) f ( a) f ( c) f ( ) f ( a) g ( c) f ( ) g( a) f ( c) g( ) g( a) g ( c) APLICACIÓN AL CÁLCULO DE LÍMITES. REGLA DE L HÔPITAL Indeterminaciones: En el cálculo de límites pueden aparecer siete epresiones (formas) indeterminadas. Son: 0 0 [0 ] [ ] [ ] [0 0 ] [ 0 ] Las dos primeras pueden resolverse aplicando la regla de L Hôpital; las otras cinco formas habrá que transformarlas previamente para poder aplicar dicha regla. f ( c) g ( c) 0 Regla de L Hôpital para resolver la indeterminación 0 Supongamos que lím f ( ) 0 y lím g( ) 0, siendo g() 0 en un entorno de a, entonces, a a f ( ) f ( ) f ( ) si eiste lím, se cumple que lím = lím a g ( ) a g( ) a g ( ) (Esto es válido si a se sustituye por a +, a, +, o.) NOTA: La regla dice que el límite de un cociente es igual al límite del cociente de las derivadas ; y NO al límite de la derivada del cociente. Ejemplos: sen 0 lím 0 0 aplicando la regla de L Hôpital (L H) se tiene: sen 0 cos lím 0 0 lím. 0 sen 0 cos sen ERROR: lím (?) 0 0 lím OJO: no se hace la derivada del 0 cociente. tag tag 0 lím / 4 tag 5 tag (recuerda que tag(/4) = ) 0 Aplicando L H se tiene: lím / 4 tag tag tag 0 5tag 0 lím / 4 6tag ( tag 4tag ( tag ) tag ) 5( tag 0 5 ) José María Martínez Mediano

9 Matemáticas II Teoremas del valor medio y regla de L Hôpital 4 Regla de L Hôpital para resolver la indeterminación f ( ) Si lím f () y lím g(), entonces, si eiste lím, se cumple que a a a g ( ) f ( ) f ( ) lím = lím a g( ) a g ( ) (Esto es válido si a se sustituye por a +, a, +, o.) Ejemplos: lím ln lím / 0 e e lím lím lím 0 e Resolución de las formas [0 ] y [ ] Para resolverlas se reducen, operando previamente, a alguna de las formas 0 0 o Ejemplos: lím( cos )cot ag 0 0. (Recuerda que cotag 0 = /tag 0 = /0 = ) Sustituyendo cotag por /tag se tiene: cos 0 sen lím( cos )cot ag 0 lím ( ) L H lím tag 0 tag 0 lím e = [ ]. 0 Haciendo la resta indicada se tiene: e 0 e 0 lím 0 e = lím 0 ( e ) = 0 = (L H) = lím = 0 e e 0 = (L H) = = lím 0 e e e 0 José María Martínez Mediano

10 Matemáticas II Teoremas del valor medio y regla de L Hôpital 5 Resolución de las formas [ ], [0 0 ] y [ 0 ] Si al intentar calcular lím f () a lím f ( ) 0 0 aparece alguna de estas formas (esto es: lím f () a a 0, o lím f ( ) ) se calculará, si se puede, el límite lím ln( f ( )) a a, o. Con esto, la indeterminación inicial se transforma en otra del tipo [0 ], que se resolverá como se ha indicado antes. Una vez resuelto, si lím ln( f ( )) L, se tiene que el límite buscado vale a lím a L f ( ) e. NOTAS:. Los límites cumplen la siguiente propiedad: lím ln f ( ) ln lím f ( ) a a. Recuérdese la definición de logaritmo, ln A = L A = e L ; y la propiedad: ln(b p ) = p ln B. (Aunque resulte matemáticamente chirriante, esta propiedad justifica el paso de las formas [ ], [0 0 ] y [ 0 ] a la forma [0 ]. Véase un caso: ln[ ] L [ 0]) Ejemplos: lím Aplicando logaritmos: lím ln lím ln 0 ln = (transformando) = 0 lím = (L H) = lím lím. 0 Por tanto, lím e e NOTA: Este resultado se toma como definición de e. 0 0 lím Aplicando logaritmos: lím ln lím ln 0 ( ) ln / = (transformando) = lím ( ) ( ) 0 0 / L H lím lím 0 / 0 0 Por tanto, lím e. 0 / ln 0 4 lím Aplicando logaritmos: / ln ln 4 4 lím ln 4 lím lím ln ln ln = (L H) = /( 4) 4 = lím lím / 4 = (L H) = lím lím / ln Por tanto, 4 e =. = José María Martínez Mediano

11 TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE PROBLEMAS RESUELTOS + Dada F() =, escriba la ecuación de la secante a F que une los puntos (, F( )) y 4 (, F()). Eiste un punto c en el intervalo [, ] verificando que la tangente a la gráfica de F en (c, F(c)) es paralela a la secante que ha hallado? En caso afirmativo razone su respuesta y calcule c, en caso negativo razone por qué no eiste. 0 5 F ( ) = = ; F () = 6 = 5 La ecuación de la recta secante que pasa por los puntos, y (, ) es: Punto : (, ) y + = 6y 8 = 0 Vector director : 4, (, ) ( 6, ) 6 Por otra parte, la función F () es continua en el intervalo [, ], puesto que su dominio es Dom F() = {4}. Además es derivable en el intervalo (, ). Por tanto podemos aplicar el teorema del valor medio y afirmar que eiste un punto c (, ) tal que: F() F( ) F () = ( ) es decir, eiste al menos un punto en (, ) tal que la tangente es paralela a la secante. Esto es: m secante= 6 Deben coincidir por ser paralelas. m tangente= F'( c) c 8c + 6 F () = F (c) = = ( 4) 6 ( c 4) 6 Desarrollando la ecuación anterior y simplificando queda: c 8c + 4 = 0 cuyas raíces son: c = 4 ±. Eiste sólo un punto que cumple la condición buscada, c = 4, ya que c = 4 + (, ). Demuestra que la función f () = + e corta al eje OX en el intervalo (, ) y tiene un máimo relativo en ese mismo intervalo. La función es continua en el intervalo de estudio y, además, tiene distinto signo en los etremos del intervalo. Por tanto, por el teorema de Bolzano, cortará al eje OX entre y. En efecto: f ( ) = e < 0 y f () = + e < 0 En consecuencia, eistirá un punto c (, ) tal que f (c) = 0. En ese punto, la corta al eje OX. Para ver que tiene un máimo hallamos las derivadas primera y segunda: f () = e = 0 = Ln 0,69 < f () = e f (Ln ) = e Ln = < 0 Como la derivada segunda es negativa en = Ln, para ese valor se tendrá, efectivamente un máimo.

12 Se considera la función f () = ( a) ( b) ( c), con 0 < a < b < c. Demostrar que la ecuación f () = 0 tiene eactamente tres raíces reales. La función f () = ( a) ( b) ( c) es polinómica. Por tanto, es continua y derivable en todo. Además corta al eje OX eactamente en cuatro puntos: = 0, = a, = b y = c. Un esbozo de su gráfica es: Como puede apreciarse visualmente, la curva tiene un máimo y dos mínimos. En las abscisas de esos puntos la derivada se anula, pues son puntos con tangente horizontal (*). Por tanto, la ecuación f () = 0 tiene eactamente tres raíces reales:, y. (*) Esto es consecuencia del teorema de Rolle, que dice: Si f () es una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo (a, b) que verifica f (a) = f (b), entonces eiste, al menos, un punto c (a, b) tal que f (c) = 0. Aquí los intervalos son: [0, a], [a, b] y [b, c]. Demostrar que la ecuación + + = 0 tiene una única solución real. Consideramos la función f () = + +, que es continua y derivable por ser un polinomio. Como f (0) = y f () =, por el teorema de Bolzano se deduce que la función corta al eje OX en el intervalo (0, ). Luego la ecuación + + = 0 tiene una raíz entre 0 y. Como f () = + + > 0 para todo, la función será siempre creciente. En consecuencia, sólo corta una vez al eje OX. Luego la ecuación + + = 0 sólo tiene una raíz real. Enunciar el teorema de Rolle. Demostrar que la función f () = + a cumple la hipótesis de este teorema en el intervalo [0, ] cualquiera que sea el valor de a. Encontrar el punto en el cual se cumple la tesis. Teorema de Rolle: Sea f () una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo (a, b) que verifica f (a) = f (b). Entonces eiste, al menos, un punto c (a, b) tal que f (c) = 0. Por tratarse de un polinomio, la función f () = + a es continua para todo número real; en particular en el intervalo [0, ]. Como además f (0) = a y f () = a, también se verifica la segunda hipótesis. En consecuencia, eiste un punto c (0, ) tal que f (c) = 0. Derivando: f () = = ± El valor buscado es =, que es el que cae dentro del intervalo.

13 se sen( + ) Dada la función f () = en el intervalo 0 < < π, calcula su derivada, cos cos( + ) simplificándola en lo posible. Es constante esta función f ()? Derivando como un cociente se tiene: (cos + cos( + ))(cos cos( + )) (se sen( + ))( se sen( + )) f () = = (cos-cos(+)) = (cos cos ( + )) (sen ( + ) sen ) (cos cos( + )) = (cos + sen (sen ( + ) + cos ( + )) = = (cos cos( + )) (cos cos( + )) Como su derivada vale 0, la función es constante. = 0 Nota: Si utilizamos las fórmulas de sumas de senos y cosenos se tiene que: + sen cos se sen( + ) f () = = = cotg cos cos( + ) + sen sen Esta función es constante, y por tanto, su derivada valdrá 0. Enunciar el Teorema del Valor Medio del cálculo diferencial. Usarlo para demostrar que para cualesquiera números reales < y se verifica que cos y cos = y. El teorema del valor medio dice: Si f () es continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo (a, b), entonces eiste un punto c (a, b) tal que: f ( b) f( a) = f (c) b a Consideramos la función f () = cos. Esta función es continua y derivable en todo, y en particular en cualquier intervalo [, y]. Por tanto, aplicando el teorema: f ( y) f( ) = f (c), siendo < c < y y Luego: cos y cos = sen c cos y cos = (y ) ( sen c) y Como sen c para cualquier valor de c, se tendrá que: (y ) ( sen c) y Por tanto, cos y cos y. Demuestra que la función y = sen π tiene un máimo relativo en el intervalo (, 0) y un mínimo relativo en el intervalo (0, ). Menciona los resultados teóricos que utilices. La función dada es continua y derivable (con derivada continua) en todo, y en particular en los intervalos [, 0] y [0, ]. Por tanto cumple el teorema de Rolle, el de Bolzano y todos los relativos a continuidad y derivabilidad. Como y () = 0, y (0) = 0 e y () = 0, por el teorema de Rolle, eistirá un valor c (, 0) en donde y (c) = 0; y por lo mismo, otro punto c (0, ) en el que y (c ) = 0. Lo que no sabemos, de momento, es si esos puntos son máimos o mínimos. Haciendo la derivada se tiene: y = cos π.

14 Como y ( ) = + π > 0 e y (0) = π < 0, la función es creciente en un entorno de = y decreciente en un entorno de = 0. Por tanto, algún valor c (, 0) tal que y (c) = 0 es un máimo. Como y (0) = π < 0 e y () = + π > 0, la función es decreciente en un entorno de = 0 y creciente en un entorno de =. Por tanto, algún valor c (0, ) tal que y (c ) = 0 es un mínimo. Comprobar que se verifican las hipótesis del teorema de Rolle para la función f () = cos, en el intervalo [π/, π/]. Calcular también el valor al que se refiere la tesis del teorema. La función es continua y derivable en todo ; en particular, en el intervalo [π/, π/]. Además: f (π/) = 0 = f (π/) Por tanto cumple las hipótesis del teorema de Rolle. Luego, eiste un punto c (π/, π/) tal que f (c) = 0. Calculémoslo: kπ f () = 6 cos sen = sen = 0 = kπ = con k El punto buscado es c = π, ya que es el punto que pertenece al intervalo [π/, π/]. Puede aplicarse el teorema de Bolzano a la función f () = sen + cos en el intervalo [0, π]? Encontrar, si eiste, un punto de [0, π] en el cual se anule esta función. Teorema de Bolzano. Si una función es continua en un intervalo [a, b] y toma valores de signo opuesto en los etremos (por ejemplo, f (a) > 0 y f (b) < 0), entonces eiste al menos un punto c [a, b] tal que f (c) = 0. La función f () = sen + cos es continua en todo, en particular en [0, π]. Además: f (0) = sen 0 + cos 0 = y f (π) = sen π + cos π = Luego verifica las hipótesis del teorema de Bolzano. Por tanto, eiste un punto tal que f () = sen + cos = 0. A ojo, se ve que una solución de esa ecuación trigonométrica es = π/. Nota: Hacemos un intento de resolución de la ecuación sen + cos = 0: sen + cos = 0 sen cos + cos cos sen sen = 0 sen cos + cos (cos sen ) sen sen cos = 0 cos (cos sen sen ) = 0 = π/ + kπ Aunque hay más soluciones, a nosotros nos vale con encontrar una: = π/, que, como hemos dicho, puede verse a ojo. Se considera la función f () = arctg. Demostrar que eiste algún número real (0, ) tal que f () =. f () = arctg f () = + Consideramos la función F () = f () = + Esta función es continua en [0, ]. Además, F (0) = y F () =. Luego, por el teorema de Bolzano, eiste un punto c (0, ) tal que F (c) = 0. Por tanto: F (c) = 0 F (c) = c = 0 = c f (c) = c + c + c

15 Podemos aplicar el teorema de Rolle a la función f () = en el intervalo es [, ]? Para qué valor α es f (α) = 0? Teorema de Rolle: Si f () es una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo (a, b) y además f (a) = f (b), entonces eiste, al menos, un punto c (a, b) tal que f (c) = 0. La función f () = e cumple las hipótesis anteriores en el intervalo [, ], ya que es continua y derivable en él y además: f ( ) = e 0 = y f () = e 0 = Por tanto: El valor pedido es α = 0. e f () = e = 0 = 0 Demostrar que, para cualquier valor de m, la ecuación + m = 0 no tiene dos raíces diferentes que pertenecen al intervalo [0, ]. Consideramos la función f () = + m que es continua y derivable en todo. Su derivada, f () =, vale 0 en = y en =. Como f es negativa para todo (, ), la función es decreciente en todo el intervalo. En consecuencia, f () = + m sólo puede cortar una vez, como máimo, al eje OX en el intervalo (, ). Por tanto, la ecuación + m = 0 sólo puede tener una raíz en ese intervalo. Aplicar, si es posible, a la función f () = sen cos en si el intervalo es [0, π], el teorema de Rolle, dando c (0, π) para el cual f (c) = 0. La función f () = sen cos es continua y derivable en toda la recta. En particular en el intervalo [0, π]. Además: f (0) = sen 0 cos 0 = 0 y f (π) = sen π cos π = 0 Por tanto, puede aplicarse el teorema. En consecuencia, eiste un punto c (0, π) tal que f (c) = 0 f () = cos cos sen sen = cos = 0 = π/ = π/4 El valor buscado es c = π/4 Nota: Hay otra solución: c = π/4 Aplicar el teorema de Bolzano para demostrar que la ecuación = cos tiene al menos una solución dentro del intervalo [0, π/]. Consideramos la función f () = cos. Esa función es continua en todo, en particular en [0, π/]. Además: f (0) = 0 cos 0 = < 0 y f (π) = π cos π = π + > 0 Luego verifica las hipótesis del teorema de Bolzano. Por tanto, eiste un punto c (0, π/) tal que f (c) = 0: f (c) = 0 f (c) = c cos c = 0 c = cos c Esto es, la ecuación = cos tiene una solución que es c. Calcula un punto el intervalo [, ] en el que la recta tangente a la curva y = + es paralela a la cuerda que une los puntos A = (, ) y B = (, 8). El teorema del valor medio dice: Si f () es continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo (a, b), entonces eiste un punto c (a, b) tal que: f ( b) f( a) f (c) = b a

16 Como la función y = f () = + cumple las condiciones del teorema se tendrá: f () f () = c (ya que f () = f (c) = c ) 8 = = c c = El punto pedido es =. Considera la función: + si 0 f () = si 0 < cos( ) si > a) Estudia si es derivable en = 0 y en =. b) Razona si se puede asegurar que eiste un punto c en el intervalo [, ] en el cual f (c) = 0. a) Veamos primero la continuidad. La función es continua en todo, salvo quizás en los puntos = 0 y =, que es los que se cambia de un trozo a otro. Si 0 f () 0 Si 0 + f () 0 La función es continua en = 0. Si f () Si + f () cos 0 = La función es continua en =. Salvo en = 0 y =, su derivada es: + si < 0 f () = si 0< < sen( ) si > Para = 0: Si 0 f () Si 0 + f () La función es derivable en = 0. Para = : Si f () Si + f () sen 0 = 0 La función no es derivable en =. La derivada es pues: + si 0 f () = si 0< < sen( ) si > b) En el intervalo [, ] la función es continua y derivable; en consecuencia cumple el teorema de Rolle, y eiste un punto c (, ) tal que f (c) = 0. Ese punto es la solución de: + = 0 =

17 Prueba que la función f () = + cos tiene al menos un mínimo relativo en el intervalo (0, π). La función f () = + cos es continua y derivable para todo. Lo mismo le sucede a su derivada, f () = sen. Como: f (0) = < 0 y f (π) = π > 0 por el teorema de Bolzano, eiste algún punto c entre 0 y π tal que f (c) = 0. Este punto c será el punto singular de la función f. La segunda derivada vale f () = cos. Entonces: f (c) = cos c > 0 (por ser cos α, para todo α) Por tanto, c cumple las condiciones de mínimo relativo: f (c) = 0 y f (c) > 0.

18 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección. Funciones y derivada. 5. Aproimación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor. Algunas veces podemos aproimar funciones complicadas mediante otras funciones más simples (con las que es más simple trabajar) que dan la eactitud adecuada en ciertas aplicaciones. Comenzaremos estudiando el proceso de linealización que ofrece la derivada y continuaremos estudiando polinomios de Taylor. Como sabemos, la tangente a y = f( ) en un punto = a, donde la función f es derivable, pasa a f a con pendiente f ( a) y tiene por ecuación y = f( a) + f ( a)( a). por el punto (, ( )) Entonces, la recta tangente es la gráfica de la función lineal L ( ) : = f( a) + f ( a)( a). Observa que, donde esta recta permanezca cerca de la gráfica de f, L ( ) ofrecerá una buena aproimación de f ( ). A la función L ( ) se le llama linealización de la función f en el punto a. La aproimación f ( ) L( ) se llama aproimación lineal de f en el punto a. Observa que La ( ) = f( a) y que L ( a) = f ( a). EJEMPLO. Un cálculo sencillo muestra que la aproimación lineal de la función f ( ) = + en el punto a = 0 viene dada por y = +. De forma similar se puede obtener que la aproimación lineal de la función f ( ) = + en el punto a = viene dada por y =

19 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección. Funciones y derivada. Entonces + + si está cerca de a = 0. Por ejemplo, si usamos esta aproimación obte- nemos que..0. Observa que. = , con lo cual el error es menor que 0. Sin embargo, si nos alejamos de a = 0 esta aproimación pierde precisión y no es esperable que produzca buenos resultados, por ejemplo, cerca de a =. Aquí debemos usar la otra linealización es 5 decir, + +. Observa que si usamos la primera obtenemos..0, mientras que con la segunda aproimación obtenemos. + =.8. Recuerda que. = Este proceso de aproimación se puede generalizar, siempre que la función f tenga suficientes derivadas, usando polinomios en lugar de la aproimación lineal L ( ) : = f( a) + f ( a)( a). EJEMPLO. Consideremos la función eponencial f ( ) = e y el punto a = 0. Entonces la aproimación lineal en a = 0 es, L ( ) = +, puesto que f (0) = y f (0) =. Por comodidad denotaremos, en adelante a la función L ( ) por P ( ), puesto que se trata de un polinomio de grado. Observa que P (0) = y P (0) =. Buscamos ahora un polinomio de grado dos P ( ), de forma que P (0) =, P (0) = y P (0) = f (0) =. No es difícil comprobar que ( ) P. = + + Continuando este proceso, buscamos ahora un polinomio de grado tres P ( ), de forma que P (0) =, P (0) =, P (0) = y P (0) = f (0) =. No es difícil comprobar que ( ) P. =

20 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección. Funciones y derivada. Cada una de estas funciones: y = P( ), y = P( ), e y ( ) = P mejora la aproimación de la función eponencial f ( ) = e. De hecho, si aproimamos el valor de e.788, que se obtiene para =, obtenemos los siguientes resultados: e P() =, e P() =.5, e P() = Los polinomios P( ), P( ) y P ( ) se llaman polinomios de Taylor de la función eponencial de ordenes, y, respectivamente. En general tenemos la siguiente definición. DEFINICIÓN. Sea f una función con derivadas de orden k, para k = 0,, N, en un intervalo que contiene al punto a en su interior. Para cada n= 0,, N, el polinomio n) f ( a) f ( a) f ( a) Pn ( ): = f( a) + f ( a)( a) + ( a) + ( a) + + ( a)!! n! se llama polinomio de Taylor de f de orden n alrededor de a. n OBSERVACIÓN. El polinomio de Taylor Pn ( ) y todas sus derivadas hasta el orden n coinciden con las de la función f ( ) en el punto = a, es decir, ( ) ( ), n) n) Pn a = f a P n( a) = f ( a), P n( a) = f ( a), P n( a) = f ( a),, Pn ( a) = f ( a). EJEMPLO. Vamos a calcular los diferentes polinomios de Taylor de la función coseno f ( ): = cos, centrados en a = 0. Las sucesivas derivadas de la función coseno son f( ) = cos, f ( ) = sen, f ( ) = cos, f ( ) = sen, n) n ) n f ( ) = ( ) cos, f ( ) = ( ) sen. Como cos 0 = y sen 0 = 0, tenemos que n) n f (0) = ( ) y f ) (0) = 0. Puesto que los polinomios de órdenes n y n + son idénticos, es decir, 4 6 n n P ( ) = Pn( ) = ( ).! 4! 6! ( n)! A continuación dibujamos algunos de estos polinomios y cómo aproiman la función coseno. f ) (0) = 0

21 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección. Funciones y derivada. Ahora responderemos a la siguiente pregunta: Cómo de buena es la aproimación de una función f ( ) por el polinomio de Taylor Pn ( ) en un intervalo dado? La respuesta a esta cuestión está en el teorema de Taylor que enunciamos a continuación. TEOREMA (TAYLOR). Supongamos que la función f : [ a, b] f( ) tiene derivadas f, n) n) f,, f que son continuas en [ ab, ] y que f es derivable en ( ab, ). Entonces eiste c ( a, b) tal que n) ) f ( a) f ( a) n f ( c) f( b) = f( a) + f ( a)( b a) + ( b a) + + ( b a) + ( b a).! n! ( )! OBSERVACIÓN. El teorema de Taylor es una generalización del teorema del valor medio de Lagrange. Cuando aplicamos el teorema de Taylor usualmente dejamos fijo el punto a y tratamos b como variable. La fórmula de Taylor es más fácil de escribir en esta situación si cambiamos la variable b por la variable que usamos normalmente. Con este cambio de notación el teorema de Taylor afirma que si la función f tiene suficientes derivadas en un intervalo I que contiene al punto a en su interior y I, entonces eiste c I( a, ) tal que n) f ( a) f ( a) n f ( ) = f( a) + f ( a)( a) + ( a) + + ( a) + Rn ( ),! n! ) f () c donde Rn ( ): = ( a). Es importante recalcar que el punto c que aparece en la epresión de Rn ( ) depende del punto. Es decir, para cada I, eiste c I( a, ) que verifica la ( n + )! igualdad anterior, que se le llama fórmula de Taylor de la función f de orden n alrededor de a. La epresión Rn ( ) se le llama resto de Taylor de orden n. EJEMPLO. Vamos a calcular e con un error menor que a = 0 ) de la función eponencial n c e, (0, ) e = c I!! 4! n! ( )! De la fórmula de Taylor (centrada en c e obtenemos, para =, que e= R n (), con Rn () = y c ( 0, ).!! 4! n! ( n + )! c e Entonces tenemos que e = Rn () = <.!! 4! n! ( )! ( )! Suponemos c que nosotros conocemos que e <, con lo cual e < porque c <. Ahora es fácil comprobar que 6 < 0. Entonces, basta tomar n = 9 en la fórmula anterior para obtener 0! Con un error menor que e = =.788!! 4! 5! 6! 7! 8! 9!

22 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección. Funciones y derivada. EJEMPLO. Para la función seno f ( ): = sen, tenemos que las sucesivas derivadas son f( ) = sen, f ( ) = cos, f ( ) = sen, f ( ) = cos, n) n f ( ) = ( ) sen, ) n f ( ) = ( ) cos. n Como cos 0 = y sen 0 = 0 tenemos que ) f (0) = 0 y ) n f (0) = ( ). Puesto que los polinomios de órdenes n + y n + son idénticos, es decir, 5 7 n P ( ) = P ( ) = ( ).! 5! 7! (n + )! A continuación dibujamos algunos de estos polinomios y cómo aproiman la función seno. n f ) (0) = 0 Entonces, la fórmula de Taylor para la función seno es 5 7 n n cos c sen = ( ) ( ), c I(0, ).! 5! 7! ( )! ( )! cos c 5 En particular tenemos que sen = +, con c I(0, ). El error que se comete al aproimar sen por está acotado por sen = puesto que cos c! 5! 5 cos c 5!! 5! 5! para cualquier valor de c. Entonces, el error será menor que lo que significa que 5 4 < si se verifica que 5 5! < 4 0, OBSERVACIÓN. En las condiciones del teorema de Taylor, para una función f que tiene suficientes derivadas en un intervalo I que contiene al punto a en su interior y I, sabemos que eiste 5

23 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección. Funciones y derivada. n) f ( a) f ( a) n c I( a, ) tal que f ( ) = f( a) + f ( a)( a) + ( a) + + ( a) + Rn ( ), donde! n! ) f () c Rn ( ): = ( a). Como antes, si escribimos ( n + )! n) f ( a) f ( a) n Pn ( ): = f( a) + f ( a)( a) + ( a) + + ( a),! n! ) f () c tenemos la igualdad f ( ) = Pn( ) + Rn( ), donde Rn ( ): = ( a). Nos preguntamos ahora qué ocurre en la igualdad f ( ) = Pn( ) + Rn( ), cuando a, es decir, cuando está próimo ( n + )! al valor a (y dejamos fijo el grado n del polinomio). O bien, cuando n, es decir, cuando aumentamos el grado del polinomio de Taylor, pero dejamos fijo el valor de. Observa que, de la ) ) Rn ( ) f () c continuidad de la derivada f se verifica que lim = lim ( a) = 0. Entonces a n ( a) a ( )! f( ) Pn( ) Rn( ) lim = lim = 0. a n n ( a) a ( a) Es decir, cuando a, la diferencia entre el polinomio de Taylor Pn ( ) y f ( ) converge a cero más rápidamente que la potencia ( a) n tiende a 0. Esto significa que Pn ( ) está muy próimo a f ( ) cuando está cerca de a. Si eiste una constante positiva M tal que Taylor está acotado por f ) ( z) M para todo z [ a ] ) f () c a n ( ) = ( ). R a M ( )! ( )! a lim = 0, n ( n + )!,, entonces el resto de Se puede probar que independientemente del valor a. Con estas hipótesis de acotación para las derivadas de la función f se verifica que lim P ( ) = f( ), esto es, n k = 0 n n) f ( a) f ( a) n f ( ) = lim f( a) + f ( a)( a) + ( a) + + ( a) n! n! n) f ( a) f ( a) n : = f( a) + f ( a)( a) + ( a) + + ( a) +! n! k ) f ( a) k : = ( a ). k! 6

24 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección. Funciones y derivada. k ) f ( a) En este caso decimos que la serie de potencias ( ) k a, que se llama serie de Taylor de k = 0 k! la función f alrededor del punto a, es convergente a la función o que la función f coincide con la suma de su serie de Taylor. EJEMPLO. Eisten funciones para las que su serie de Taylor no converge a la función. Por ejemplo, consideremos la función de Cauchy f( ): = e, 0, 0, = 0 Es posible comprobar que f centrada en a = 0 es f n) (0) = 0, para todo n = 0,,... Esto significa que su serie de Taylor de n) f (0) f (0) n n f(0) + f (0) = = 0.! n! Esta serie converge para todo, (su suma vale siempre 0) pero converge a f ( ) sólo para = 0. EJERCICIO. Calcula los polinomios de Taylor de orden, y alrededor del punto a para las siguientes funciones f.. f( ) = log( + ), a= 0.. f( ) =, a= 0.. f( ) =, a=. + π 4. f( ) = sen, a=. 5. f( ) = +, a= f( ) =, a= 4. 4 EJERCICIO. Calcula los polinomios de Taylor de grado 4 de las funciones que se indican a continuación alrededor del punto dado. () f( ) = alrededor de a = 0. () f( ) = alrededor de a =. + () f ( ) = log alrededor de a =. (4) f ( ) = + 5 alrededor de a =. EJERCICIO. Para qué valores de se puede remplazar sen por 50 4? con un error menor que 6 7

25 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección. Funciones y derivada. EJERCICIO 4. El polinomio de Taylor de orden de una función f ( ) dos veces derivable en = a se llama aproimación cuadrática de f en el punto a. Para las siguientes funciones calcula la linealización (el polinomio de Taylor de orden ) y la aproimación cuadrática en el punto a = 0. sen. f ( ) = log(cos ).. f( ) = e.. f( ) =. 4. f ( ) = cosh. 5. f ( ) = sen. 6. f ( ) = tan. EJERCICIO 5. Si remplazamos cos por y < 0.5, qué estimación se puede dar del error? EJERCICIO 6. Cuando 0 0.0, demuestra que e se puede remplazar por + con un error 0.0 menor que el 0.6 % de. Usa que e =.0. EJERCICIO 7. Para qué valores de > 0 se puede remplazar log( + ) por con un error menor que el % de? EJERCICIO 8. Usa un desarrollo de Taylor de la función log( + ) para calcular log(.) con un error menor que ε = 0.0. e t EJERCICIO 9. Considera la función f ( ) = dt, definida para > 0. t a) Halla los polinomios de Taylor de grados y de f alrededor de a =. b) Aproima el valor de f (.) usando el polinomio de Taylor anterior de grado y estima el error cometido. 8