PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 3 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejrcicio, Opción A Junio, Ejrcicio, Opción B Rsrva, Ejrcicio, Opción A Rsrva, Ejrcicio, Opción B Rsrva, Ejrcicio, Opción A Rsrva, Ejrcicio, Opción B Rsrva 3, Ejrcicio, Opción A Rsrva 3, Ejrcicio, Opción B Rsrva, Ejrcicio, Opción A Rsrva, Ejrcicio, Opción B Sptimbr, Ejrcicio, Opción A Sptimbr, Ejrcicio, Opción B

2 San f : y g : las funcions dfinidas mdiant f ( ) ( ) y g( ) a) Esboza las gráficas d f y g sobr los mismos js. Calcula los puntos d cort ntr ambas gráficas. b) Calcula l ára dl rcinto limitado por gráficas d f y g. MATEMÁTICAS II. 3. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Lo primro qu hacmos s abrir la función f(), para qu nos rsult más sncillo dibujarla y dspués calcular l ára qu nos pidn. si f si si ( ) ( ) La función f() son trs ramas d parábola fácils d dibujar y la función g() s una rcta. Calculamos los puntos d cort igualando las dos funcions: 3 ; Lugo, los puntos d cort son: (,3) y (,8) b) Calculamos l ára. A ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( 3 ) d ( ) d ( 3 ) d u

3 Sa g : la función dfinida por g( ) ln( ) (dond ln dnota l logaritmo npriano). Calcula la primitiva d g cuya gráfica pasa por l orign d coordnadas. MATEMÁTICAS II. 3. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B Calculamos la intgral d g(), por parts: Ln( ) d Ln( ) d dv d; v u Ln( ); du d La intgral qu nos quda s una intgral racional, hacmos la división y nos quda: Ln( ) d Ln( ) d Ln( ) d d Ln( ) arc tg C D todas las primitivas d g() G( ) Ln( ) arctg C nos pidn la qu pasa por l punto (,), lugo: G Ln arc tg C C () ( ) Por lo tanto, la primitiva qu nos pidn s: G( ) Ln( ) arctg

4 D la función f : dfinida por 3 f ( ) a b c d s sab qu tin un máimo rlativo n, un punto d inflión n (,) y qu 5 f ( ) d.calcula a, b, c y d. MATEMÁTICAS II. 3. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. Calculamos la primra y sgunda drivada d la función. f '( ) 3a b c ; f ''( ) 6a b Vamos aplicando las condicions dl problma. - Máimo n f '() 3a b c - Punto d inflión n Pasa por (, ) d (,) f ''() b a c a c 5 f ( ) d ( a c) d Rsolvindo l sistma formado por stas cuacions sal: a ; b ; c 3 ; d

5 Calcula 65 d MATEMÁTICAS II. 3. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Vamos a calcular primro la intgral indfinida, qu s una intgral racional y, como l numrador y l dnominador tinn igual grado, lo qu hacmos s la división d los dos polinomios y la dscomponmos n: d d d d Calculamos las raícs dl dnominador: 6 5 ; 5 Dscomponmos n fraccions simpls: 6 5 A B A( 5) B( ) ( )( 5) Como los dnominadors son iguals, los numradors también tinn qu srlo. Para calcular A y B sustituimos los valors d las raícs n los dos numradors. A A B B Con lo cual: d d d d ln ln Por lo tanto, la intgral qu nos pidn valdrá: d ln ln 5 ln 3 ln ln ln 3 ln

6 Halla d. Sugrncia: s pud hacr l cambio d variabl t MATEMÁTICAS II. 3. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A Hacmos l cambio d variabl: t t d t dt Con lo cual: 3 t t t I d tdt dt t t Es una intgral racional, hacmos la división y dscomponmos t t t ( ) I dt t t dt t t ln t ln C t t 3 3

7 Sa g : (, ) la función dfinida por g( ) ln (dond ln dnota l logaritmo npriano). a) Esboza l rcinto limitado por la gráfica d g y la rcta y. Calcula los puntos d cort ntr llas. b) Calcula l ára dl rcinto antrior. MATEMÁTICAS II. 3. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B a) Dibujamos las dos funcions: b) Calculamos los puntos d cort d las dos funcions ln ln ln Calculamos l ára qu nos pidn A ( ln ) d (ln ) d ln ln u Rcurda qu la intgral d ln s por parts: ln d ln d ln C u ln ; du dv d; v d

8 Sa g : (, ) la función dfinida por g ( ) Dtrmina la primitiva d g cuya gráfica pasa por l punto P (,). Sugrncia: s pud hacr l cambio d variabl t MATEMÁTICAS II. 3. RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN A Hacmos l cambio d variabl: t t d t dt Con lo cual: t I d dt dt ln t ln C t t t Calculamos la qu pasa por l punto P (,) ln C C ln Lugo, la primitiva qu nos pidn s: ln ln

9 Calcula sn( ) d MATEMÁTICAS II. 3. RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN B Vamos a calcular la intgral F( ) sn ( ) d, qu s una intgral por parts. cos cos sn F( ) sn ( ) d cos d u ; du d cos dv sn d; v

10 San f y g las funcions dfinidas por f ( ) y g ( ) para. a) Calcula los puntos d cort ntr las gráficas d f y g. b) Esboza las gráficas d f y g sobr los mismos js. c) Halla l ára dl rcinto limitado por las gráficas d f y g. MATEMÁTICAS II. 3. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Igualamos las dos funcions para calcular los puntos d cort b) Hacmos l dibujo d las dos funcions: ; c) Calculamos l ára qu nos pidn 3 A ( ) d ln ln ln u

11 Calcula d. Sugrncia: s pud hacr l cambio d variabl MATEMÁTICAS II. 3. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B t. Hacmos l cambio d variabl: t t d t dt Calculamos los nuvos límits d intgración: t t Con lo cual: t t I d dt dt t ln t t ln 7'7

12 a) Dtrmina la función f : tal qu f '( ) ( ) y su gráfica pasa por l orign d coordnadas. b) Calcula la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa. MATEMÁTICAS II. 3. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Calculamos f ( ) ( ) d, qu s una intgral por parts. u ; du d dv d; v f ( ) ( ) d ( ) d ( ) C Como su gráfica pasa por l orign d coordnadas, s cumpl qu: f C C () ( ) 3 Lugo, la función qu nos pidn s: ( ) ( ) f 3 b) Calculamos la cuación d la rcta tangnt n. - f() - f '() ( ) Lugo, la cuación d la rcta tangnt s: y ( ) y.

13 Sa g : la función dfinida por g( ) 6 5. a) Halla la cuación d la rcta normal a la gráfica d g n l punto d abscisa. b) Esboza l rcinto limitado por la gráfica d g, la rcta y. Calcula l ára d st rcinto. MATEMÁTICAS II. 3. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B a) La cuación d la rcta normal n l punto d abscisa s: y g() ( ) g '() Calculamos: g() g '( ) 6 g '() Sustituyndo, tnmos: y g() ( ) y 3 ( ) y g '() b) Esbozamos l rcinto qu nos dicn Calculamos los puntos d cort d las dos funcions: Calculamos l ára dl rcinto 3 A ( 6 5) d 6 d u

( ) 2. 1. Calcula las siguientes integrales. Soluciones. 1 x. arctan. x 4x + 13. sen x dx. x 2. 11arctan. x dx + 2. e x. e arctan e. e dx.

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