Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables

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1 Tema 5 Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables 5 Existencia y unicidad Partimos de una ecuación de la forma a 0 (x y (n + a (x y (n + + a n (x y + a n (x y = b(x (5 con a 0 (x 0 donde a (x, a n (x están definidas en un cierto intervalo I R 5 Ecuación homogénea Proposición Sean a (x, a 2 (x,, a n (x funciones contínuas en un intervalo I R que contiene a x 0 Si α, α 2,, α n son constantes cualesquiera, entonces existe una única solución ϕ(x de la ecuación diferencial L(y = a 0 (x y (n + a (x y (n + + a n (x y + a n (x y = 0 (52 que satisface ϕ(x 0 = α, ϕ (x 0 = α 2,, ϕ (n (x 0 = α n La unicidad de la solución se demuestra rápidamente suponiendo que existen dos soluciones ϕ(x, ψ(x con las mismas condiciones iniciales, pues entonces ξ(x = ϕ(x ψ(x sólo puede ser idénticamente cero La demostración de la existencia es más complicada Además, es fácil ver que la ecuación diferencial lineal L(y = 0 tiene n soluciones linealmente independientes Sean ϕ (x,, ϕ n (x soluciones con las condiciones iniciales ϕ (x 0 = ϕ (x 0 = 0 ϕ (x 0 = 0 ϕ (n (x 0 = 0 ϕ 2 (x 0 = 0 ϕ 2(x 0 = ϕ 2(x 0 = 0 ϕ (n 2 (x 0 = 0 ϕ n (x 0 = 0 ϕ n(x 0 = 0 ϕ n(x 0 = 0 ϕ (n n (x 0 =

2 Si igualamos a cero las combinaciones lineales de las n soluciones, sus derivadas primera, sus derivadas segunda, etc evaluadas en x 0, obtenemos c ϕ (x 0 + c 2 ϕ 2 (x c n ϕ n (x 0 = 0 c = 0 c ϕ (x 0 + c 2 ϕ 2(x c n ϕ n(x 0 = 0 c 2 = 0 c ϕ (n (x 0 + c 2 ϕ (n 2 (x c n ϕ (n n (x 0 = 0 c n = 0 Por lo tanto, las n soluciones ϕ (x,, ϕ n (x son linealmente independientes Proposición 2 Sean ϕ (x,, ϕ n (x soluciones de la ecuación diferencial L(y = 0 que satisfacen las condiciones ϕ (x 0 = ϕ (x 0 = 0 ϕ (x 0 = 0 ϕ (n (x 0 = 0 ϕ 2 (x 0 = 0 ϕ 2(x 0 = ϕ 2(x 0 = 0 ϕ (n 2 (x 0 = 0 ϕ n (x 0 = 0 ϕ n(x 0 = 0 ϕ n(x 0 = 0 ϕ (n n (x 0 = entonces, si ϕ(x es una solución de L(y = 0, existen n constantes c,, c n ϕ(x = c ϕ (x + + c n ϕ n (x tales que Teorema Las funciones ϕ (x,, ϕ n (x son linealmente independientes si y solamente si W (ϕ,, ϕ n (x 0 Teorema 2 (Fórmula de?????? W (ϕ,, ϕ n (x = W (ϕ,, ϕ n (x 0 e R x x 0 a (t dt (53 Proposición 3 Dada una ecuación diferencial lineal de orden n, desde que se conozca una solución particular se puede rebajar el orden de la ecuación a n mediante un cambio de variable Supongamos ϕ (x 0 solución en I, realizamos el cambio ϕ(x = u(xϕ (x y subsituimos en la ecuación L(y = 0 (uϕ (n + a (x(uϕ (n + + a n (xuϕ = 0 (54 Desarrollamos las derivadas de u(xϕ(x mediante el binomio de Newton? (uϕ (n = ( n 0 u (n ϕ + ( n u (n ϕ + + ( n (uϕ (n = ( n 0 u (n ϕ + ( n n u (n 2 ϕ + + ( n n 2 2 u ϕ (n + ( n (n n uϕ u ϕ (n 2 + ( n (n n uϕ

3 Substituyendo las derivadas de u(xϕ(x por estos desarrollos en la ecuación L(y = 0 obtenemos L(y = ( n 0 u (n ϕ + ( n u (n ϕ ( n 2 u (n 2 ϕ + + ( n n u ϕ (n + ( n (n n uϕ + ( n 0 a u (n ϕ + ( n + + a n u ϕ + a n uϕ + a n uϕ a u (n 2 ϕ + + ( n n 2 = u (n ϕ + nu (n ϕ + + nu ϕ (n + uϕ (n a u ϕ (n 2 + ( n a uϕ (n n +a u (n ϕ + (n a u (n 2 ϕ + + (n a u ϕ (n 2 + a uϕ (n + + a n u ϕ + a n uϕ + a n uϕ = u (n ϕ + nu (n ϕ + + nu ϕ (n +a u (n ϕ + (n a u (n 2 ϕ + + (n a u ϕ (n 2 ( + + a n u ϕ + ϕ (n + a ϕ (n + a n ϕ + a n ϕ u = 0 Pero como ϕ (x es solución de L(y = 0, se tiene que ϕ (n +a ϕ (n +a n ϕ +a n ϕ = 0 y por tanto ϕ u (n + + ( nϕ (n + + a n ϕ u = 0 (55 Llamando v = u se obtiene una ecuación diferencial lineal de orden n Además, dada una ecuación diferencial lineal de orden n y una solución particular ϕ, las n soluciones linealmente independientes serán ϕ, u 2 ϕ,, u n, ϕ donde u k = x x 0 v k (t dt para k = 2,, n 52 Ecuación no homogénea Para resolver una ecuación diferencial lineal completa (no homogénea se necesita conocer una solución particular de la completa, la solución general de la homogénea y utilizar el método de variación de las constantes El método de los coeficientes indeterminados no funcionaría porque los coeficientes no son constantes 3

4 52 Coeficientes analíticos En el caso particular de que los coeficientes sean analíticos hay otro método Los coeficientes a (x,, a n (x (y b(x si es no homogénea deben ser desarrollables en series c k(x x 0 k en un entorno del punto x 0 de radio r (el radio de convergencia Entonces pueden encontrarse soluciones del mismo tipo (desarrollables en series con el mismo radio de convergencia Teorema 3 Sea x 0 R y sean a (x,, a n (x funciones desarrollables en series de radio de convergencia x x 0 < r, los coeficientes de la ecuación L(y = y (n +a y (n + +a n y = 0 Si α,, α n son constantes cualesquiera, entonces existe una solución ϕ(x que satisface a la L(y = 0, ϕ(x 0 = α, ϕ (x 0 = α 2,, ϕ (n (x 0 = α n desarrollable en series de la forma ϕ(x = c k (x x 0 k (56 con radio de convergencia x x 0 < r donde para k < n los coeficientes son c k = a k+ k! y para k n los coeficientes se calcula a partir de c 0, c,, c n ( PERO CÓMO!? c 0 = α c = α 2 k! c k = α k+ 52 Ecuación diferencial de Legendre La ecuación diferencial de Legendre tiene la forma equivalente a y + ( x 2 y 2xy + α(α + y = 0 (57 2x ( x 2 y + α(α + y = 0 x {, } (58 ( x 2 donde a (x = 2x y a ( x 2 2(x = α(α+ son analíticas (desarrollables en series con campo de ( x 2 convergencia x < Dentro de este campo de convergencia se verifica que x 2 = + x2 + x 4 + = En virtud de lo cual se obtiene los desarrollos en series de a (x, a 2 (x x 2n (59 Nótese que no estamos trabajando en variable compleja, sino real, por lo que diremos que una función f : R R es analítica si es desarrollable en series 4 n=0

5 a (x = 2x x = 2x 2 a 2 (x = n=0 x 2n α(α + x 2 = α(α + Calculamos su campo de convergencia mediante el criterio del cociente? lím a n+ (x n a n (x = lím n 2x 2n+3 2x 2n+ n n=0 x 2n = lím x 2 < x < Como x 0 = 0 no es un punto singular, vamos a suponer que existe una solución y = y = y = c k x k kc k x k k(k c k x k 2 (50 y substituimos en la ecuación ( x 2 k(k c k x k 2 2x kc k x k + α(α + c k x k = 0 k(k c k x k + Trasladamos el índice k: k(k c k x k 2 2 kc k x k + α(α + c k x k = 0 0 = = = = (k + 2(k + c k+2 x k k(k c k x k 2kc k x k + ((k + 2(k + c k+2 k(k c k 2kc k + α(α + c k x k ((k + 2(k + c k+2 + ( k(k 2k + α(α + c k x k ((k + 2(k + c k+2 + (k α(k + + αc k x k α(α + c k x k 5

6 Dado que las funciones, x, x 2,, x n, son linealmente independientes, la equación anterior implica que c k+2 = ( + α + k(α k c k (5 (k + 2(k + Dado valores a k y observando los c k resultantes se concluye que m (α + 2m (α + 2m 3 (α + α(α 2 (α 2m + 2 c 2m = ( c 0 (2m! = ( m 2m (2m! 2m 2 (α + k (α k c 0 (52 k= m (α + 2m(α + 2m 2 (α + 2(α (α 2m c 2m+ = ( c (2m +! ( m 2m 2m+ = (2m +! (α + k (α k c (53 k=2 k= Se tiene entonces que la solución general de la ecuación diferencial de Legendre es ϕ(x = c k x k = c 0 ( + m= c 2m c 0 x 2m + c ( donde las dos soluciones linealmente independientes son x + m= c 2m+ c x 2m+ (54 ϕ (x = + ϕ 2 (x = x + m= m= c 2m c 0 x 2m c 2m+ c x 2m+ Para el caso particular α = n entero se tiene que si n es par entonces ϕ (x se reduce a un polinomio pero ϕ 2 (x no, mientras que si n es impar entonces ϕ 2 (x se reduce a un polinomio pero ϕ (x no Definición Decimos que P (x es un polinomio de Legendre si y sólo si es solución de la ecuación diferencial de Legendre y además P ( = Proposición 4 Si α = n entero, la solución de la ecuación diferencial de Legendre se puede expresar y = ϕ(x = 2 n n! d n [ (x 2 n] = P dx n n (x (55 Además, P n (x es el único polinomio que satisface la ecuación diferencial de Legendre tal que P n ( = La igualdad 55 se denomina Fórmula de Olin-Rodriguez 6

7 522 Puntos singulares Dada la ecuación diferencial a 0 (xy (n + a (xy (n + + a n (xy = 0, hasta ahora hemos estudiado el caso particular en el que a 0 (x 0 0, ie los puntos ordinarios Los puntos singulares son aquellos tales que a 0 (x 0 = 0 Éstos se dividen en puntos singulares regulares y puntos singulares irregulares, de los cuales sólo estudiaremos los primeros Definición 2 Dada la ecuación diferencial a 0 (xy (n + a (xy (n + + a n (xy = 0 (56 con coeficientes a 0, a,, a n definidos en un cierto intervalo I R, diremos que x 0 I es un punto singular si a 0 (x 0 = 0 En caso contrario diremos que x 0 es un punto ordinario La ecuación 56 puede escribirse como y (n + a (x a 0 (x y(n + + a n(x a 0 (x y = 0 (57 Multiplicando esta ecuación por (x x 0 n obtenemos (x x 0 n y (n + ( ( a (x a 0 (x (x x 0 (x x 0 n y (n an (x + + a 0 (x (x x 0 n y = 0 (58 Llamando b k (x = a k(x a 0 (x (x x 0 k para k =,, n esta ecuación se transforma en (x x 0 n y (n + b (x(x x 0 n y (n + + b n (xy = 0 (59 Definición 3 Dada la ecuación diferencial a 0 (xy (n + a (xy (n + + a n (xy = 0, con coeficientes a 0, a,, a n definidos en un cierto intervalo I R, diremos que x 0 I un punto singular es un punto singular regular si la ecuación 58 se puede transformar en 59 con b (x,, b n (x analíticas (desarrollables en series en el punto x 0 En caso contrario diremos que x 0 es un punto singular irregular Si los coeficientes fueran polinomios, bastaría con calcular un límite y ver que es finito, ya que al desarrollar un polinomio en serie de potencias se obiene el mismo polinomio Por ejemplo, si n = 2 se tiene (x x 0 2 y + a 0 (xy + a (xy + a 2 (xy = 0 y + a (x a 0 (x y + a 2(x a 0 (x y = 0 ( ( a (x a2 (x a 0 (x y (x x 0 (x x 0 + a 0 (x (x x 0 2 y = 0 a En este caso, x 0 es un punto singular regular si los límites lím (x (x x x x0 a 0 (x 0 y a lím 2 (x (x x x x0 a 0 (x 0 2 son finitos 7

8 Ecuaciones de Euler Unas aplicaciones particulares en las que aparecen los puntos singulares son las ecuaciones de Euler Una ecuación de Euler de orden n es de la forma x n y (n + x n y (n + + x 2 y + axy + by = 0 (520 Estas ecuaciones tienen soluciones de la forma y = x r Realizando el cambio de variable x = e t se reduce la Ecuación de Euler de segundo orden a una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes: dy dx = dy dt de dt = dy dt d 2 y dx 2 = d dx ( dy dx dx dt = d dt Substituyendo en 520 se obtiene t dy = e dt ( dy dx dt dx = d dt ( e t dy dt 2t dy = e dt + d2 y e 2t dt t d 2 y + (a dy + by = 0 (52 dt2 dt Proposición 5 Dada la ecuación diferencial x 2 y +axy +by = 0, x 0, con a, b constantes y sea q(r = r(r + ar + b su polinomio indicial, que admite dos raíces r, r 2 Entonces (a Si r y r 2 son reales, r r 2, entonces ϕ (x = x r, ϕ 2 (x = x r 2 linealmente independientes de la ecuación diferencial son dos soluciones (b Si r y r 2 son reales, r = r 2, entonces ϕ (x = x r, ϕ 2 (x = x r ln x son dos soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial (c Si r y r 2 son complejas, r = α + iβ, r 2 = α iβ, entonces ϕ (x = x α cos(β ln x, ϕ 2 (x = x α sen(β ln x son dos soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial La proposición anterior se puede generalizar para la ecuación de Euler de orden n Proposición 6 Si r,, r s son las raíces del polinomio indicial q(r de la ecuación de Euler de orden n, x 0, y sea m i la multiplicidad de la raíz r i, i =,, s Entonces x r, x r ln x, x r ln 2 x,, x r (ln x m x r 2, x r 2 ln x, x r 2 ln 2 x,, x r 2 (ln x m 2 x rs, x rs ln x, x rs ln 2 x,, x rs (ln x ms Forman una base del espacio vectorial de las soluciones de la ecuación de Euler 8

9 Ecuaciones diferenciales con coeficientes variables por desarrollos en serie en un punto singular regular Sea la ecuación diferencial x 2 y +b (xxy +b 2 (xy = 0 donde b, b 2 son analíticas y x 0 es un punto singular regular En este caso particular podemos asumir x 0 = 0, ya que de lo contrario se aplica el cambio de variable x x 0 = t y la ecuación queda t 2 y + b (tty + b 2 (ty = 0, donde b (t = b (x(x x 0, b 2 (t = b 2 (x Estudiaremos entonces la ecuación x 2 y + a(xxy + b(xy = 0, donde a(x, b(x son desarrollables en series con campo de convergencia x < r 0 (r 0 es el radio de convergencia Proposición 7 (Método de Frobenius Sea la ecuación x 2 y +a(xxy +b(xy = 0, x 0 donde a(x, b(x son desarrollables en series con campo de convergencia x < r 0 y sea q(r = r(r + ar + b su polinomio indicial, que admite dos raíces r, r 2 reales Entonces (a Si r r 2 no es entero, entonces las dos soluciones linealmente independientes son ϕ (x = x r ϕ 2 (x = x r 2 c k (r x k c k (r 2 x k (b Si r = r 2, entonces las dos soluciones linealmente independientes son ϕ (x = x r donde b k (r = c k (r = r c k(r c k (r x k ϕ 2 (x = ϕ (x ln x + x r b k (r x k (c Si r r 2 es entero, r > r 2 y r r 2 = m, entonces las dos soluciones linealmente independientes son ϕ (x = x r c k (r x k ϕ 2 (x = Cϕ (x ln x + x r 2 donde C es una constante y b k (r = c k (r = r c k(r k= b k (r 2 x k Un caso muy particular de (c consiste en que el factor r r 2 se encuentre en D m (r, donde D k (r = j=0 [(j + rc jα k j + c j β k j ] y los coeficientes α j, β j provienen de los desarrollos en serie de a(x, b(x, de modo que a(x = α kx k y b(x = β kx k En este caso particular, las soluciones de la ecuación diferencial son las dadas por (a 9

10 Función diferencial de Bessel La ecuación diferencial de Bessel tiene la forma x 2 y + xy + (x 2 ν 2 y = 0 donde x 0 = 0 es un punto singular regular, ν R Proposición 8 Sea la ecuación x 2 y + xy + (x 2 ν 2 y = 0, ν R y sea q(r = r 2 ν 2 su polinomio indicial, que admite dos raíces reales r = ν, r 2 = ν Entonces (a Si r r 2 no es entero, entonces las dos soluciones linealmente independientes son ϕ (x = J ν (x = ϕ 2 (x = J ν (x = m=0 m=0 ( m x 2m+ν 2 2m+ν m! Γ(m + ν + ( m x 2m ν 2 2m ν m! Γ(m ν + La función J ν (x se denomina función de Bessel de primera especie (b Si r = r 2, ie ν = 0, entonces las dos soluciones linealmente independientes son ϕ (x = ( m x 2m+ν J ν (x = 2 2m+ν m! Γ(m + ν + m=0 ϕ 2 (x = J 0 (x ln x + H m c 2m (0x 2m donde H m = m, c 2m(r = m= ( m c 0 2 2m m! (r+m (r+ En el caso (b, la segunda solución que se suele tomar es ( Y 0 (x = 2 J 0 (x ln x + (γ ln 2 H m C 2m (0x 2m π m= (522 donde γ = lím n (H n ln n = 5,772, conocida como constante de Euler-Mascheroni Esta solución es una función de Bessel modificada 0