Jueves 17 de noviembre, Clase #11 y Tarea UTN ISOA. UTN Cálculo I Prof. Milagro Tencio. Clase 11

Transcripción

1 UTN ISOA Cálculo I Prof. Milagro Tencio Clase 11 Problemas de Optimización Introducción a Integrales 1

2 Clase #11 y Tarea UTN Cálculo I Prof. Milagro Tencio Problemas de Optimización Máximos y mínimos 2

3 3

4 Problemas de Optimización Máximos y mínimos Pasos para la resolución de problemas: 1 Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar. 2 Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable. 3 Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que nos quede una sola variable. 4 Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales. 5 Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido. 4

5 Recordar! 5

6 Ejemplos: Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja. Calcular x para que volumen de dicha caja sea máximo. 6

7 El beneficio neto mensual, en millones de euros, de una empresa que fabrica autobuses viene dado por la función: B(x)= 1.2x (0.1x) 3 donde x es el número de autobuses fabricados en un mes. 1 Calcula la producción mensual que hacen máximo el beneficio. 2 El beneficio máximo correspondiente a dicha producción. 7

8 Una empresa está realizando una construcción por contrato y necesita hacer una bodega para colocar los materiales de construcción, pero el jefe de la obra solo autorizó la compra de 100 metros lineales de pared. Cuáles tendrían que ser las dimensiones de la bodega para que tenga una área máxima y así guardar la mayor cantidad de material? 8

9 Práctica 1) Un jardinero dispone de 160 metros de alambre que va a utilizar para cercar una zona rectangular y dividirla en tres partes. En una parte va a sembrar girasoles, en otra Dalias y en la otra sección Rosas. Las alambradas de las divisiones deben quedar paralelas a uno de los lados del rectángulo. Qué dimensiones debe tener la zona cercada para que su área sea la mayor posible? 2) Un terreno de forma rectangular tiene 400 m2 y va a ser vallado. El precio del metro lineal de valla es de 4 dólares. Cuáles serán las dimensiones del solar que hacen que el costo de la valla sea mínimo? 3) Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de 32 cm de larga por 24 de ancha. Para ello se recortará un cuadradito en cada esquina y se doblará. Cuál debe ser el lado del cuadradito cortado para que el volumen de la caja resultante sea máximo? 4) Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los márgenes superior e inferior han de tener 2 cm. cada uno, y los laterales 1 cm. Halla las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo 5) Para la fabricación de un determinado producto, se necesita invertir dinero en contratar empleados y comprar máquinas. El dueño de la fábrica ha estimado que si compra x máquinas y contrata y empleados, el número de unidades de producto que podía fabricar vendría dado por la función: 2 f (x, y) = 90x Ŋ y Cada máquina le supone una inversión de 2500 y cada contrato de un nuevo empleado otro de 1500 Si el empresario sólo dispone de un presupuesto de para este fin, determine el número de obreros que debe contratar y el número de máquinas que debe comprar para maximizar la producción. 9

10 Ejercicios del folleto página 61 o 62: 1) Calcule la longitud necesaria del cuadrado por cortar si se desea obtener de cada pieza de caja sin tapa el máximo volumen posible 10

11 Página 62 2) Un campo rectangular va a tener como límite un río. Halle las dimensiones del terreno rectangular mas grande que pueda cercarse usando 240 m de valla para los otros 3 lados 11

12 Página 63 4) Un rectángulo tiene 120 m de perímetro. Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo que dan el área máxima? 12

13 Integrales Una integral es operar de manera inversa que la derivación, es decir, es la Antiderivada de dicha función. Integrar es Sinónimo de hallar el área en una gráfica de una función, específicamente debajo de una curva. 13

14 Integral indefinida Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función. Se representa por f(x) dx. Se lee : integral de f de x diferencial de x. es el signo de integración. f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra. C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real. 14

15 Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que: f(x) dx = F(x) + C Para comprobar que la primitiva de una función es correcta, basta con derivar. 15

16 Antiderivadas e integración indefinda 16

17 Propiedades Integral indefinida 1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones. [f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx 2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. k f(x) dx = k f(x) dx 17

18 Tabla de integrales 18

19 Ejemplos 1) 2) 3) 19

20 Ejemplos: 20

21 4) 21

22 Ejemplos: 22

23 Ejemplos: 23

24 Práctica EJERCICIO RESPUESTA 1) 2) 3) 4) 5) 24

25 f (x) dx = F(x) + c Ahora si: f [g(x)] g (x) dx = F [g(x)] + c Ejemplo: 1) (x+3) 3 dx Respuesta 25

26 2) (5x+7) 4 dx 26

27 3) (x 2 +1) 4 x dx 27

28 4) (x 2 +3x-7) 5 (2x+3) dx 28

29 5) (In x) 2 dx x 29

30 III Examen Corto 20% Grafique las siguientes funciones, deben realizar portada y deben aparecer todos los procedimientos que justifiquen la respuesta. 1) 2) 30

31 Indicaciones Encontrar: 1) Dominio 2) Intersecciones con los ejes 3) Primera derivada (Cuadro de Monotonía) 4) Segunda derivada (Cuadro de Concavidad) 5) Extremos e imágenes 6) Asíntotas 7) Cuadro de variación 8) Gráfica 31

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