La sucesión de Fibonacci y el número Φ Si dividimos cada dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, obtenemos:

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1 SUCESIONES Págia 50 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE Cuátas parejas de coejos? Cuátas parejas de coejos se producirá e u año, comezado co ua pareja úica, si cada mes cualquier pareja egedra otra pareja, que se reproduce a su vez desde el segudo mes? Razoado del modo que se propoe, llegamos a que el úmero de parejas, mes a mes, es:,,, 3, 5, 8, 3,, 3, 55, 89, Así, el úmero total de parejas al fial del año es de (la que había al pricipio y otras 3 uevas). La sucesió de Fiboacci y el úmero Φ Si dividimos cada dos térmios cosecutivos de la sucesió de Fiboacci, obteemos: ,5,66,6,65,69 Comprueba, calculado uevos cocietes, que el úmero al que se aproxima es el úmero áureo ,676 ;,688 ;, Se aproxima al úmero áureo φ,6803 Págia Ua represetació gráfica Cuál es el lado del 8-º? Y del 9-º? Observa tambié los rectágulos que se forma sucesivamete: Compruébalo para los cuatro siguietes rectágulos: 3 : 8, : 3, 3 :, 55 : 3 : 3 : 5 : 3 8 : 5 Uidad. Sucesioes

2 El lado del 8º cuadrado es y el lado del 9º cuadrado es ,65;,65;,69 ;, Se aproxima al úmero áureo φ + 5,6803 Págia 5. Di el criterio por el que se forma las sucesioes siguietes y añade dos térmios a cada ua: a) 3, 8, 3, 8, 3, b), 8, 7, 6, 5, c), 0, 00, 000, 0 000, d) 8; ; ; ; 0,5; e), 3,, 7,, 8, f) 8, 3, 5,, 7, 9, g),, 3,, 5, 6, h) 0, 3, 6,, 8, a) Cada térmio, a partir del segudo, se obtiee sumádole 5 al aterior: a 6 8, a b) Cada térmio es el cubo del lugar que ocupa: b 6 6, b c) Cada térmio, a partir del segudo, se obtiee multiplicado por 0 el aterior: c , c d) Cada térmio, a partir del segudo, se obtiee multiplicado por (dividiedo etre ) el aterior: d 6 0,5, d 7 0,5. e) Cada térmio, a partir del tercero, se obtiee sumado los dos ateriores: e 7 9, e 8 7. f) Cada térmio, a partir del tercero, se obtiee restado los dos ateriores: f 7 6, f 8 5. g) Cada térmio es el úmero del lugar que ocupa, co sigo positivo si es impar, y egativo si es par: g 7 7, g 8 8. h) Cada térmio, a partir del segudo, se obtiee restádole 7 al aterior: h 6 5, h 7. Págia 53. Forma ua sucesió recurrete, a, co estos datos: a, a 3, a a + a., 3, 5, 8, 3,, 3, 55, 3. Escribe los cuatro primeros térmios de las sucesioes que tiee como térmio geeral: a 3 + 5( ) b 3 ( ) c ( ) d ( )( ) e + ( ) Uidad. Sucesioes

3 a 3, a 8, a 3 3, a b 3, b, b 3, b 8 c, c, c 3 8, c 6 d 0, d 0, d 3, d 6 e 0, e 8, e 3 0, e 3. Costruye ua sucesió cuya ley de recurrecia sea a a +. Si tomamos, por ejemplo, a, etoces quedaría: a + 3, a , a 6 + 0, a , a , a , 5. Da el térmio geeral de las sucesioes siguietes que o sea recurretes: a) 3, 8, 3, 8, 3, b), 8, 7, 6, 5, c), 0, 00, 000, 0 000, d) 8,,,, e), 3,, 7,, 8, f) 8, 3, 5,, 7, 9, g),, 3,, 5, 6, h) 0, 3, 6,, 8, a) a 3 + ( ) 5 b) b 3 c) c 0 d) d 8 ( ) e) Es recurrete f) Es recurrete g) g ( ) h) h 0 7 ( ) Págia 5. Cuáles de las siguietes sucesioes so progresioes aritméticas? E cada ua de ellas di su diferecia y añade dos térmios más: a) 3, 7,, 5, 9, b) 3,, 6, 9, 3, 8, c) 3, 6,,, 8, 96, d) 0, 7,,,, e) 7,; 5,8;,;,6; ; f) 8; 3,;,8; 6,7;,6; a) Es ua progresió aritmética co d ; a 6 3, a 7 7. b) No es ua progresió aritmética. c) No es ua progresió aritmética. d) Es ua progresió aritmética co d 3; d 6 5, d 7 8. e) Es ua progresió aritmética co d,6; e 6 9,; e 7 7,8. f) Es ua progresió aritmética co d,9; f 6 56,5; f 7 7,. Uidad. Sucesioes 3

4 . E la sucesió a), halla el térmio a 0 y la suma de los 0 primeros térmios. a 0 a + 9 d (a S 0 + a 0 ) 0 (3 + 79) E la sucesió d), halla el térmio d 0 y la suma de los 0 primeros térmios. d 0 d + 39 ( 3) (d S 0 + d 0 ) 0 (0 07) E la sucesió e), halla el térmio e 00 y la suma de los 00 primeros térmios. e 00 e + 99 (,6) 7, 58, (e S 00 + e 00 ) 00 (7, ) E la sucesió f), halla los térmios f 8, f 7 y la suma f 8 + f f 6 + f 7. f 8 f + 7, ,3 86,3 f 7 f + 6, , 0, E la suma pedida hay 0 sumados. (f S + f 7 ) 0 (86,3 + 0,) 0 533,5 Págia Cuáles de las siguietes sucesioes so progresioes geométricas? E cada ua de ellas di su razó y añade dos térmios más: a), 3, 9, 7, 8, b) 00; 50; 5;,5; c),,,,, d) 5, 5, 5, 5, 5, 5, e) 90, 30, 0, 0/3, 0/9, a) Es ua progresió geométrica co r 3; a 6 3, a b) Es ua progresió geométrica co r ; b 5 6,5, b 6 3,5. c) Es ua progresió geométrica co r ; c 6, c 7. d) Es ua progresió geométrica co r ; d 7 5, d e) Es ua progresió geométrica co r ; e 6, e Uidad. Sucesioes

5 7. Calcula la suma de los 0 primeros térmios de cada ua de las progresioes geométricas del ejercicio aterior. a) a 0 a r a S 0 0 r a r 3 b) b 0 b r 9 00 ( ) 9 5 b 00 S 0 0 r b 8 99,805 r c) c 0 ; S d) d 0 5 S 0 0 e) e 0 e r 9 90 ( ) e S 0 0 r e ,99 r 3 8. E cuáles de las progresioes geométricas del ejercicio aterior puedes calcular la suma de sus ifiitos térmios? Hállala. Podemos calcular la suma de sus ifiitos térmios e las progresioes geométricas co r < : b b) S r e e) S ,5 r ( ) Págia Calcula: (30 + ) (60 + ) Uidad. Sucesioes 5

6 0. Calcula: ( ) ( ) Calcula: Calcula: Págia ( ) 3 + ( ) 3 + ( 3) ( 0) ( ) Represeta la sucesió a y asígale u valor a su límite a, a 6, a 3,; a 3,7; a 5 3,33,, a 0,63, ; a 00,06; ; a 000,006, lím a Represeta la sucesió b + 3 y asiga u valor a su límite. 8 6 b,5; b 0; b 3 0,75; b ; b 5 0,75; b 6 0; b 7,5; b 8 3; b 9 5,5; b 0 8,, b , 5 0 lím b + Uidad. Sucesioes 6

7 Págia Estudia el comportamieto de estas sucesioes para térmios muy avazados e idica sus límites: 3 3 a) a b) b c) c 3 d) d a) a 0,83; a 00 3,83; a ,83, lím a + b) b 0,33; b 00,876; b 000,987, lím b c) c 0 0; c 00,7 0 3, lím c d) d 0,999; d 00,999999, lím d 5. Di, razoadamete, cuáles de las siguietes sucesioes tiee límite: a) a b) b ( ) c) c ( ) d) d ( ) + a) a 0 0,0; a 00 0,000; a 000 0,00000, lím a 0. b) b 0 0,7; b 0,733; b 00 0,96; b 0 0,96, Los térmios pares so positivos y tiede a ; los térmios impares so egativos y tiede a. La sucesió o tiee límite. c) c, c, c 3 3, c , c 00 00, Los térmios impares so egativos y tiede a ; los térmios pares so positivos y tiede a +. La sucesió o tiee límite. d) d ; d 0,5; ; d 00 0,000; d 0 0,00096, lím d 0. Págia 6. Obté los ocho primeros valores de a (térmios de la sucesió) y de S (sumas parciales) e cada ua de las progresioes siguietes. Calcula e cada ua el lím S : a) 5, 50, 0, b) 5, 50, 0, c) 7, 7, 7, d) 7, 7, 7, e) 0; ;,; f) 0; ;,; a) a 5, a 50, a 3 0, a 8, a 5 3,; a 6,8; a 7 0,5; a 8 0, S 5; S 75; S 3 95; S 03; S 5 06,; S 6 07,8; S 7 07,99; S 8 08,968. a 65 Como r 0, < ; lím S 5 08, 3 5 r 3 5 Uidad. Sucesioes 7

8 b) b 5; b 50; b 3 0; b 8; b 5 3,; b 6,8; b 7 0,5; b 8 0,08. S 5; S 75; S 3 95; S 87; S 5 90,; S 6 88,9; S 7 89,3; S 8 89,7. Como r 0, < ; lím S ,86 5 r c) c 7; c 7; c 3 7; c 7; c 5 7; c 6 7; c 7 7; c 8 7. S 7; S 0; S 3 7; S 0; S 5 7; S 6 0; S 7 7; S 8 0. b S o tiee límite. d) d 7; d 7; d 3 7; d 7; d 5 7; d 6 7; d 7 7; d 8 7. S 7; S 3; S 3 5; S 68; S 5 85; S 6 0; S 7 9; S lím S +. e) e 0; e ; e 3,; e 7,8; e 5 0,736; e 6,883; e 7 9,8598; e 8 35, S 0; S ; S 3 36,; S 53,68; S 5 7,6; S 6 99,99; S 7 9,590; S 8 6,9908. Como r, > ; lím S +. f) f 0; f ; f 3,; f 7,8; f 5 0,736; f 6,883; f 7 9,8598; f 8 35, S 0; S ; S 3,; S,88; S 5 5,856; S 6 9,07; S 7 0,836; S 8, S o tiee límite. Págia 6 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Describe el criterio co el que se forma estas sucesioes y añade tres térmios a cada ua: a),,,,, b),, 3,, 5, 3 5 c), 5, 0, 7, 6, d) 0, 3, 8, 5,, e), 3, 6, 0, 5, Uidad. Sucesioes 8

9 a) Cada térmio lo obteemos dividiedo etre el lugar que ocupa el térmio: a 6, a 7, a b) Cada térmio es la raíz cuadrada del lugar que ocupa: a 6 6, a 7 7, a 8 8 c) Cada térmio es el cuadrado del lugar que ocupa más uidad: a 6 37, a 7 50, a 8 65 d) Cada térmio es el cuadrado del lugar que ocupa meos uidad: a 6 35, a 7 8, a 8 63 e) Cada térmio, a partir del segudo, se obtiee sumádole al lugar que ocupa el térmio aterior: a 6, a 7 8, a 8 36 Escribe los cico primeros térmios de las sucesioes cuyos térmios geerales so estos: a) a 3 + b) b c) c 0 d) d e) e 3 f) f a) a 3,; a 3,0; a 3 3,00; a 3,000; a 5 3, b) b 0; b ; b 3 ; b ; b c) c ; c ; c 3 ; c ; c d) d ; d ; d 3 ; d ; d e) e ; e ; e 3 6; e ; e 5 0 f) f ; f 0; f 3 3; f 0; f Escribe el térmio geeral de estas sucesioes: 3 a),,,, b),,,, c) 0,,,,, d) 5,; 5,0; 5,00; 5,000; ( ) a) a b) b ( ) c) c d) d Costruye dos sucesioes cuyas leyes de recurrecias sea las siguietes: a) a 0 a a a + a b) a a a a a Uidad. Sucesioes 9

10 3 5 3 a) 0,,,,,,,, b),,,,,,,, Busca ua ley de recurrecia para defiir las siguietes sucesioes: 3 a), 7, 3,, 7, b), 3,,,, 3 a) a, a 7, a a a para > b b) b, b 3, b para > b 6 De las siguietes sucesioes, di cuáles so progresioes aritméticas y escribe su térmio geeral: a),;,; 3,6;,8; 6; b) 5;,6;,; 3,8; 3,; c),,, 7,, d), 3,, 8,, a) Es ua progresió aritmética co a, y d,. a, + ( ),,. b) Es ua progresió aritmética co b 5 y d 0,. b 5 + ( ) ( 0,) 0, + 5,. c) y d) o so progresioes aritméticas. 7 De las sucesioes siguietes, idica cuáles so progresioes aritméticas: a) a 3 b) b 5 c) c d) d 8 3 e) e 5 + f) f a) a a 3 3( ) Es ua progresió aritmética co d 3. b) b b 5 [5( ) )] Es ua progresió aritmética co d 5. c) c, c, c 3, c, 3 c c c 3 c. No es ua progresió aritmética. 6 Uidad. Sucesioes 0

11 ( ) d) d d 3 Es ua progresió aritmética co d. Es ua progresió aritmética co d. f) f 0, f 3, f 3 8, f 5, e) e e 5 + ( 5 + ) f f 3 f 3 f 5. No es ua progresió aritmética. 8 Calcula los térmios a 0 y a 00 de las siguietes progresioes aritméticas: a),, 0,,, b), 3, 8, 3, 8, c),,,,, a) a 0 a + 9d a 00 a + 99d b) a 0 a + 9d a 00 a + 99d c) a 0 a +9d a 00 a + 99d Calcula la suma de los 5 primeros térmios de las siguietes progresioes aritméticas: a) 3, 6, 9,, 5, b) 5;,9;,8;,7;,6; c) c d) d a) a 3; a 5 a + d (a S 5 + a 5 ) 5 (3 + 75) b) b 5; b 5 b + d 5 0,,6 (b S 5 + b 5 ) 5 (5 +,6) 5 95 c) c ; c 5 98 (c ( + 98) 5 S 5 + c 5 ) 5 50 Uidad. Sucesioes

12 9 d) d ; d 5 ( 9 (d 65 S 5 ) 5 + d 5 ) 5 3,5 0 De las siguietes sucesioes, cuáles so progresioes geométricas? Escribe tres térmios más e cada ua y tambié su térmio geeral. a) 3, 6, 8,,, b) ; 0,; 0,0; 0,00; c),, 9, 6, 5, d),,,,, a) Es ua progresió geométrica co a 3 y r. a 6, a 7, a 8 ; a 3 ( ) 6 b) No es ua progresió geométrica; b 6 36, b 7 9, b 8 6, b. c) Es ua progresió geométrica co c y r 0,. c 6 0,0000; c 7 0,00000; c 8 0,000000; c 0, 0, d) Es ua progresió geométrica co d y r. d 6 8; d 7 8 ; d 8 6; d ( ) ( ). Calcula la suma de los 5 primeros térmios de las siguietes progresioes geométricas y halla la suma de los ifiitos térmios e los casos que sea posible: a) a 3, r b) a 0, r c) a 0, r 0 5 a S 5 5 r a r a r 5 a r 3 ( ) 5 3 a) S 5 63, S r 0 ( ) b) S 5, S 0 00, 9 r c) S , S + a a Uidad. Sucesioes

13 Calcula los térmios a 0, a 00 y a 000, e cada sucesió e idica cuál es su límite: a) a b) a c) a d) a 0 5 e) a f) a 3 7 a) a 0 0, ) ; a 00 0, ) 0; a 000 0, ) 00 lím a 0 b) a 0,; a 00,00; a 000,0000 lím a c) a 0,5; a 00,05; a 000,005 lím a d) a 0 5; a ; a lím a + e) a 0 0,5; a 00 0,95; a 000 0,995 lím a f) a 0 6,7; a ; a lím a Págia 65 3 Halla alguos térmios muy avazados de las siguietes sucesioes e idica cuál es su límite: a) a 5 0 b) b 00 3 c) c d) d + + a) a 0 0; a 00 90; a lím a + b) b 0 90; b 00 0; b lím b c) c 0 0,63; c 00 0,9603; c 000 0,996 lím c d) d 0 0,76; d 00 0,98; d 000 0,998 lím d 0,5 Uidad. Sucesioes 3

14 PARA RESOLVER Calcula el 5-º térmio e la siguiete progresió: 3;,7;,;,; Es ua progresió aritmética co a 3 y d 0,3. Por tato, a 5 a + d 3 0,3 3,,. 5 Halla el cuarto térmio de ua progresió aritmética e la que d 3 y a a 0 a + 6d a a 0 6d Calcula la suma de todos los úmeros impares de tres cifras. Es la suma de los térmios de ua progresió aritmética e la que el primer térmio es 0, el último es 999, y hay 50 sumados: ( ) 50 S Cuáto vale la suma de los 00 primeros múltiplos de 7? Queremos calcular la suma de los 00 primeros térmios de ua progresió aritmética e la que a 7 y d 7. (a S 00 + a 00 ) 00 ( ) E ua progresió aritmética sabemos que d 3,a 3 y S 33. Calcula y a. a a +( ) d 3 a +( ) 3 (a + a ) (a + 3) S 33 3 a a 37 3 ( ) (7 3) ± ± ± 3 6 /3 (o vale) 9 a a 0 9 Los lados de u hexágoo está e progresió aritmética. Calcúlalos sabiedo que el mayor mide 3 cm y que el perímetro vale 8 cm. Llamamos a los lados a, a, a 3, a, a 5 y a 6. Uidad. Sucesioes

15 Sabemos que a 6 3 cm y que S 6 8. Por tato: a 6 a +5d 3 a +5d a 3 5d (a + a 6 ) 6 S 6 8 (3 5d + 3) 3 8 (6 5d) d 5d 30 d d 5 a a 3 Los lados del hexágoo mide 3 cm, 5 cm, 7 cm, 9 cm, cm y 3 cm. 0 E u cie, la seguda fila de butacas está a 0 m de la patalla y la séptima fila está a 6 m. E qué fila debe setarse ua persoa que le guste ver la patalla a ua distacia de 8 m? a 7 6 a 7 a + 5d 0 + 5d 6 d, (La distacia etre las dos filas cosecutivas es de, metros). Buscamos para que a 8 m: a a +( ) d 8,8 + ( ), 8 8,8 +,, 8, 0, 7 La fila 7 está a 8 metros. Escribe los térmios itermedios de ua progresió aritmética de la que coocemos a 3 y a a 0 a + 9d 3 + 9d 8 d Los térmios so: a 3, a, a 3, a, a 5, a 6, a 7, a 8, a 9, a Halla los dos térmios cetrales de ua progresió aritmética de 8 térmios sabiedo que S 8 00 y que a + a 8 8. Teemos que calcular a y a 5. Sabemos que: (a + a 8 ) 8 S 8 (a + a 8 ) 00 a + a 8 5 a + a 8 8 Restado a la - a ecuació la - a, queda: a 8 3 a 5 a a a 8 a + 7d + 7d 3 d 3 Por tato: a a + 3d + 9 a a 5 a + d + 3 a 5 Uidad. Sucesioes 5

16 3 E ua progresió geométrica, a 8 y a 3 0,5. Calcula a 5 y la expresió de a. a 3 a r 8r 0,5 r 0,065 r ± 0,5 ± er caso: r 0,5 3 o caso: r 0,5 a 5 a r 0,035 3 a 5 a r 8 ( ) 0,035 a a r 8 ( ) a 8 ( ) E ua progresió geométrica de razó r 3 coocemos S Calcula a y a. a a S 6 r 6 6 r a a a 78a 79 a r r 36a 56 a a a r La suma de los ifiitos térmios de ua progresió geométrica es igual a y a. Calcula a y la razó. a a r a r a /r S r r r r r r r ± 6 6 r + 0 r r a La maquiaria de ua fábrica pierde cada año u 0% de su valor. Si costó milloes de euros, e cuáto se valorará después de 0 años de fucioamieto? Al cabo de año valdrá ( 0 6 ) 0,8 Al cabo de años valdrá ( 0 6 ) 0,8 Al cabo de 0 años valdrá ( 0 6 ) 0, ,73 Uidad. Sucesioes 6

17 7 El de eero depositamos e ua cueta bacaria a u iterés aual del 6% co pago mesual de itereses. Cuál será el valor de uestro diero u año después? U 6% aual correspode a, mesual. Cada mes el diero se multiplica por Al cabo de mes tedremos 5 000,005 Al cabo de meses tedremos 5 000,005 Al cabo de meses tedremos 5 000, ,39 8 Durate 5 años depositamos e u baco 000 al % co pago aual de itereses. a) E cuáto se covierte cada depósito al fial del quito año? b) Qué catidad de diero hemos acumulado durate esos 5 años? a) Al fial del 5º año: Los primeros 000 se covierte e 000,0 5 33,3 Los segudos 000 se covierte e 000,0 339,7 Los terceros 000 se covierte e 000,0 3 9,73 Los cuartos 000 se covierte e 000,0 63, Los quitos 000 se covierte e 000,0 080 b) Sumamos las catidades ateriores: 000, , , , ,0 000(,0 5 +,0 +,0 3 +,0 +,0) (*) 000,0 6,0 65,95,0 (*) Suma de ua progresió geométrica co a,0 y r,0. 9 Estudia el comportamieto de las siguietes sucesioes para térmios muy avazados e idica cuál es el límite de cada ua de ellas: a) a 3 0 b) b 3 c) c d) d ( ) e) e ( ) 3 f) f ( + ) a) a 0 90; a ; a lím a + b) b 0 70; b ; b lím b Uidad. Sucesioes 7

18 c) c 0 60; c ; c lím c + d) d 0 36; d ; d lím d + e) e 0 6; e ; e lím e f) f 0 3; f ; f lím f 30 Represeta gráficamete los 0 primeros térmios de las siguietes sucesioes, comprueba que tiede a u úmero y di cuál es: ( ) a) a b) b 3 + c) c d) d + a) a,5,6 ),75,8,83 ),86,875,8 ),9 a lím a b) b 3,5,6 ) 3,5,8 3,6 ),86 3,5,8 ) 3, b lím b Uidad. Sucesioes 8

19 c) c,75,8 ),9,96,97,98,98,99,99 c lím c d) d 0,5 0, 0,6 0, 0,0 0,08 0,07 0,06 0,06 d lím d Estudia el comportamieto de las siguietes sucesioes para térmios muy avazados e idica cuál es el límite de cada ua de ellas: 5 a) a b) b 3 c) c 00 d) d a) a 0 0,565; a 00 0,0656; a 000 0,0067 lím a 0 b) b 0 0,97; b 00 0,09997; b 000 0, lím b 0 c) c 0 ; c 00 0,0; c 000 0,000 lím c 0 d) d 0 0,0909; d 00 0,0099; d 000 0,000999; d 00 0, lím d 0 ( ) + Uidad. Sucesioes 9

20 Págia 66 3 Comprueba, dado a valores grades, que las siguietes sucesioes tiede a u úmero y di cuál es ese úmero: 5 3 a) a + b) b c) c + d) d a) a 0,38; a 00,73; a 000,97 5 lím a,5 b) b 0,970; b 00,9997; b 000, lím b c) c 0,000977; c 0, lím c d) d 0 0,95; d 00 0,09995; d 000 0, lím d Calcula el límite de las siguietes sucesioes: a) a ( ) b) b + c) c d) d e) e ( + ) 3 f ) f + ( ) a) a 0 0,786; a 00 0,9798; a 000 0,9980 lím a b) b 0 0,505; b 00 0,50005; b 000 0, lím b 0,5 c) c 0 9,80; c 00 30,; c 000 9,90 lím c + d) d 0,756; d 00,973; d 000,997 lím d e) e 0 0,797; e 00 07,78; e ,07 lím e + f) f 0 0,760; f 00 0,909; f 000 0,969 lím f Uidad. Sucesioes 0

21 3 Comprueba si tiee límite las siguietes sucesioes: a) a ( ) + b) b + ( ) + ( ) + ( ) c) c d) d a) a 00,0; a 0,0099; a 000,00; a 00, Los térmios pares tiede a y los impares a. o tiee límite. a b) b 0; b ; b 3 0; b, Los térmios impares so 0 y los pares so. o tiee límite. b c) c 0; c ; c 3 0; c 0,5; ; c 00 0,0 Los térmios impares so cero y los pares tiede a cero. lím c 0. d) d 0; d,5; d 3 0,67; d,5; ; d 00,0; d 0 0,99 lím d. 35 Dadas las sucesioes a y b, estudia el límite de: + a) a + b b) a b c) a b a) A a + b + + A 0 00,0099; A ,000 lím (a + b ) + b) B a b + B 0 0,990; B 00 0,9999 lím (a b ) a c) C ( + ) + ( + ) b C ; C a lím ( b ) + + Uidad. Sucesioes

22 36 Estudia el comportamieto de las siguietes sucesioes para térmios muy avazados e idica cuál es el límite de cada ua de ellas: a) a ( ) + b) b ( ) + +3 c) c ( ) + ( ) d) d + 3 a) a 0,6533; a 00,75; a 000,776; a ,788; ; lím a e b) b 0,606; b 00,705; b 000,769; b ,788; ; lím b e c) c 0,708; c 00,78; c 000,788; ; lím c e d) d 0,8680; d 00,730; d 000,796; d ,788; ; lím d e 37 Determia, dado valores grades a, cuál es el límite de las siguietes sucesioes: a) a ( ) + + b) b ( ) c) c ( ) + ( ) d) d + a) a 0 667,988; a 00, lím a + b) b 0 0,00605; b 00 5, lím b 0 c) c ,6; c 00,6 0 3 lím c + d) d 0,06; d 00,0005; d 000, lím d 38 Halla el térmio geeral de la sucesió:,,,,, y estudia su límite. a / a ; a,; a 3,599; a,89; ; a 0,078 a 00,00696; lím a 39 Dadas las sucesioes a + 3 y b, calcula los siguietes límites: a a) lím (a + b ) b) lím (a b ) c) lím (a b ) d) lím a) A a + b lím (a + b ) 5 b) B a b + 3 ( ) B 0 ; B 00 0; B lím (a b ) b Uidad. Sucesioes

23 c) C a b ( + 3) ( ) C 0 0; C ; C lím (a b ) a + 3 d) D b D 0,65; D 00,05; D 000,005 a b lím CUESTIONES TEÓRICAS 0 Sea a ua progresió aritmética co d > 0. Cuál es su límite? Si d > 0, la sucesió se va haciedo cada vez mayor. Por tato, lím a +. La sucesió 3, 3, 3, 3,, es ua progresió aritmética? Y geométrica? Es ua progresió aritmética co d 0. Tambié es ua progresió geométrica co r. Si a es ua progresió geométrica co r, cuál es su límite? 3 Al ir multiplicado por Es decir, lím a 0. 3 sucesivamete, los térmios se va aproximado a cero. 3 E ua progresió geométrica cualquiera, a, ar, ar, ar 3,, comprueba que: a a 6 a a 5 a 3 a. Se verifica tambié a 3 a 7 a a 6? Eucia ua propiedad que exprese los resultados ateriores. a a 6 a (a r 5 ) a r 5 a a 5 (a r) (a r ) a r 5 a 3 a (a r ) (a r 3 ) a r 5 So iguales a 3 a 7 (a r ) (a r 6 ) a r 8 a a 6 (a r 3 ) (a r 5 ) a r 8 So iguales Propiedad: Si a es ua progresió geométrica, se verifica que a p a q a m a siempre que p + q m +. El úmero 3,9 ) podemos cosiderarlo como la suma de los ifiitos térmios de la sucesió: 3,,,, Calcula la suma y halla su límite ,9 + 0,99 + 0, , ) Uidad. Sucesioes 3

24 9 9 9 Si cosideramos la progresió geométrica,,, y sumamos todos sus térmios, queda: 9 9 a S 0 0 r Por tato: 3 + ( ) Iveta dos sucesioes cuyo límite sea ifiito y que al dividirlas, la sucesió que resulte tieda a. Por ejemplo: a ; b + lím a + ; lím b + a lím lím + b 6 Iveta dos sucesioes cuyo límite sea 0 y que al dividirlas, la sucesió que obtegas o tieda a 0. Por ejemplo: a ; b lím a 0; lím b 0 a lím lím 0 b PARA PROFUNDIZAR 7 El térmio cetral de ua progresió aritmética de 7 térmios es igual a. Calcula la suma de los 7 térmios. El térmio cetral es a 9. Como a + a 7 a + a 6 a 3 + a 5 a 9 + a 9, etoces: (a S 7 + a 7 ) 7 (a ( + ) a 9 ) La sucesió x x + ; x + ; x + x +, es ua progresió aritmética? Si lo fuese, calcula el quito térmio y la suma de los cico primeros térmios. Llamamos a x x + ; a x + ; a 3 x + x +. Veamos si la diferecia etre cada dos térmios cosecutivos es la misma: a a x + (x x + ) x + x + x x a 3 a x + x + (x + ) x + x + x x Por tato, sí es ua progresió aritmética co a x x + y diferecia d x. Uidad. Sucesioes

25 Así, teemos que: a 5 a + d x x + + x x + 3x + (a (x S 5 x + + x + a 5 ) 5 + 3x + ) 5 (x + x + ) 5 5x + 5x + 5 (x + x + ) 5 Págia 67 9 Dibuja u cuadrado de lado cm y sobre cada lado u triágulo rectágulo isósceles; después dos, luego cuatro, como idica las figuras: a) Forma la sucesió de los perímetros de las figuras obteidas. Cuál es su límite? b) Forma tambié la sucesió de las áreas. Cuál es su límite? er paso: º paso: 3 er paso: / / / / / / Perímetro 8 cm Perímetro 8 cm Perímetro 8 cm Área + cm Área + 3 cm 5 Área + cm Perímetro 8 cm Paso -ésimo: a) 8, 8, 8, 8, ; P 8; lím P 8 Área + ( ) cm 5 (que es el área del cuadrado de lado ). b), 3,, ; A + ( ) ; lím A Uidad. Sucesioes 5

26 50 Los térmios de la sucesió, 3, 6, 0, 5 se llama úmeros triagulares porque se puede represetar así: Calcula a 0 y a. a ; a + 3; a ; a ; ( + 0) 0 0 a a ( + ) 5 Los térmios de la sucesió, 5,,, 35 se llama úmeros petagoales porque se puede represetar así: 5 Calcula a 6, a 0 y a. Esos úmeros se puede escribir así: ; + ; + + 7; ; a ; a + 5; a ; a Observamos que vamos obteiedo las sumas de los térmios de ua progresió aritmética co a y d 3. E el paso -ésimo tedremos: a ( + ( ) 3) (3 ) ( + (3 )) ( + 3 ) (3 ) Por tato: a ; a 0 5 Uidad. Sucesioes 6

27 5 Utiliza las propiedades de las progresioes para simplificar la expresió del térmio geeral y calcular el límite de las siguietes sucesioes: a) a b) b ( ) a) a ( ) ( ) ( ) ( + ) + Hallamos el límite: a 0 0,55; a 00 0,505; a 000 0,5005; lím a 0,5 ( + ) + b) b ( ) ( ) ( ) ( + ) + b 0 ; b 00 0; b ; lím b PARA PENSAR UN POCO MÁS 53 La sucesió de Fiboacci se puede obteer a partir de ua fórmula muy complicada: + a [( 5 ) ( 5 ) ] 5 Co ayuda de la calculadora podemos obteer cualquiera de sus térmios. Por ejemplo, sabemos que a 6 8. Obtegámoslo co la fórmula: Calcula de este modo a 8. Observa que el sustraedo ( 5 ) toma valores muy próximos a 0 para u poco grade. Esto os permite obteer u valor muy aproximado de a mediate + ( 5 ). Por ejemplo, a 7, Calcula, así, a 0 y a 0. Para calcular a 8 escribimos e la calculadora: Obteemos a 8. Uidad. Sucesioes 7

28 Obteemos de forma aproximada a 0 y a 0 : a 0 55,0036 a 0 55 a ,00003 a Dos sucesioes emparejadas Observa las siguietes sucesioes: l d l + d + 3 l d l l + d d l + d Calcula los diez primeros térmios de cada ua de estas sucesioes. Comprueba que el cociete d /l se parece cada vez más a. Este par de sucesioes fuero costruidas por los pitagóricos. Tiee la particularidad de que o solo so recurretes sio que cada ua ha de recurrir a la otra. El límite de d /l es, igual que el cociete etre la diagoal, d, y el lado, l, de u cuadrado. Calculamos los diez primeros térmios de cada sucesió: COCIENTES l d d /l l + d + 3 d /l,5 l d d 3 /l 3, l d 7 d /l,666 l 5 9 d 5 d 5 /l 5,3793 l 6 70 d 6 99 d 6 /l 6,857 l 7 69 d 7 39 d 7 /l 7,0 l 8 08 d d 8 /l 8,56 l d d 9 /l 9,3 l d d 0 /l 0,36 Los cocietes se aproxima a:,35 Uidad. Sucesioes 8

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