Programación no lineal con variables binarias. (MINLP).

Transcripción

1 Proramación no lineal con variables binarias MINLP Introducción La optimización no lineal con variables discretas continuas en inlés Mied Inteer Non- Linear Prorammin MINLP proporciona un poderoso marco para el modelado matemático de muchos problemas de optimización Durante los últimos años se ha producido un incremento importante en el desarrollo de estos modelos en particular en el campo de ineniería de procesos Véase por eemplo Grossmann col 1999; Grossmann 1996a; Grossmann Daichendt 1996; Pinto Grossmann 1998; Shah 1998; Grossmann col 1999; Kallrath 2 Los métodos para resolver problemas lineales con variables discretas MILP están disponibles se han venido aplicando durante más de veinte años Véase por eemplo Nemhauser Wolse 1988 El método más común está basado en ramiicación acotamiento donde cada nodo es un LP Danin 1965 que ha sido implementado en códios como OSL CPLEX XPRESS Las tendencias recientes en MILP incluen el desarrollo de métodos como Ramiicación precio Barnhart col 1998; ramiicación corte etc; una buena revisión sobre MILP se puede encontrar en Johnson col 2 Los métodos para resolver MINLPs no han estado disponibles hasta bastante recientemente Grossmann Kravana 1997 A continuación haremos una revisión de varios métodos poniendo especial énasis en su derivación Como se mostrará los dierentes métodos se pueden obtener de tres subproblemas no-lineales NLP de un problema de plano de corte MILP que esencialmente corresponde al sub-problema básico del método de las aproimaciones eteriores Se considera en primer luar las propiedades de los aloritmos cuando las unciones no lineales son conveas en las variables continuas discretas Elementos básicos de los métodos MINLP La orma más básica de un MINLP epresado en orma alebraica es la siuiente: min : Z s a X Y J P1 Donde son unciones conveas dierenciables J es el conunto de índices de desiualdades; e son las variables continuas discretas respectivamente El conunto X es n L U un conunto compacto por eemplo X { R D d }; el conunto discreto m Y corresponde a un poliedro de puntos enteros Y { Z A a} 1 aplicaciones está restrinido a valores -1 { } m obetivo las restricciones son lineales en que en muchas En muchas aplicaciones de interés el - 1/18 - José A Caballero

2 Entre los métodos que se han desarrollado para resolver el problema P1 se pueden incluir los métodos de ramiicación acotamiento Gupta Ravindran 1985; Nabar Schrae 1991; Borchers Mitchell 1994; Stubbs Mehrotra 1999; Leer 21 Descomposición de Benders Generalizada Georion 1972 Aproimaciones eteriores Duran Grossmann 1986; Yuan col 1988; Fletcher Leer 1994; LP/NLP basado en ramiicación acotamiento Quesada Grossmann 1992 métodos de plano de corte etendido Westerlund Petterson 1995 Sub-Problemas NLP Ha tres sub-problemas básicos que se pueden considerar para el problema P1: a NLP-Relaado NLP1 min : ZLB s a J X YR i i i IFL i βi i IFU NLP1 Donde Y R es la relaación continua del conunto Y; I FL I FU son subconuntos de índices de las variables enteras que están restrinidas por límites superiores e ineriores i β i en el paso -ésimo de un procedimiento de enumeración en ramiicación acotamiento Se debe l m i i βi i < donde señalar que l < m de una etapa previa que respectivamente Señalar también que si l m i i son los valores no enteros son los operadores de redondeo por deecto por eceso I FL IFU El problema NLP1 corresponde a la relaación continua del problema P1 Ecepto para un pequeño número de casos especiales la solución de este problema produce en eneral un vector no entero de variables discretas El problema NLP1 también corresponde al -ésimo paso en una búsqueda por ramiicación acotamiento El valor óptimo del obetivo del problema NLP1 Z LB proporciona un límite inerior absoluto al valor óptimo del obetivo del problema P1; para cualquier m el límite es sólo válido si m m IFL IFL IFU IFU - 2/18 - José A Caballero

3 - 3/18 - José A Caballero b Sub-problema NLP para un valor io de NLP2 X J a s Z U min : NLP2 Cuando el problema NLP2 tiene una solución actible el valor de U Z es una cota superior a la solución óptima del problema P1 O dicho de otra manera si el problema NLP2 tiene solución actible corresponde a una posible solución del problema P1 es por lo tanto una cota superior al mismo En el caso de que el problema NLP2 uera no-actible deberíamos considera el siuiente sub-problema: c Problema de actibilidad para un valor io de NLPF 1 min : R u X J u a s u NLPF El problema NLPF se puede interpretar como la minimización de la norma ininito correspondiente a la no-actibilidad del sub-problema NLP2 Para un NLP2 no-actible la solución del problema NLPF da un valor de u estrictamente positivo Planos de corte MILP La conveidad de las unciones no lineales se puede eplotar reemplazándolas con hiperplanos soporte que se obtienen eneralmente aunque no necesariamente de la solución de los subproblemas NLP En particular los nuevos valores o del par se obtienen resolviendo un problema de plano de corte MILP que está basado en los K puntos 1 K enerados en los K pasos previos: Y X K J a s Z L 1 min M-MIP

4 Donde J J Cuando sólo se inclue un subconunto de linearizaciones suelen corresponder a las restricciones violadas del problema P1 Alternativamente es posible incluir todas las linearizaciones en el problema M-MIP La solución del M-MIP es un límite inerior válido Z L del problema P1 Este límite inerior es no decreciente con el número de puntos K linealizados Señalar que dado que las unciones son conveas las linealizaciones en M-MIP corresponden a aproimaciones eteriores de la reión no lineal actible del problema P1 Una interpretación eométrica se muestra en la Fiura siuiente donde se puede observar que la unción obetivo convea es subestimada mientras que la reión actible convea es sobreestimada por las linealizaciones 1 Función obetivo convea Reión actible convea Sub-estimación de la unción obetivo Sobre-estimación de la reión actible Fiura 1 Interpretación eométrica de las linealizaciones en el problema M-MIP - 4/18 - José A Caballero

5 Aloritmos Los dierentes métodos se pueden clasiicar de acuerdo al uso que se hace de los subproblemas NLP1 NLP2 NLPF de la especialización del problema MILP M_MIP como se indica en la Fiura 2 Enumeración en árbol NLP1 a Ramiicación acotamiento NLP2 Evaluar M-MIP M-MIP b GBD OA c ECP M-MIP NLP2 d LP/NLP basado en ramiicación acotamiento Fiura 2 Principales pasos en los dierentes aloritmos MINLP Remarcar que en la descomposición de benders eneralizada GBD en el método de las aproimaciones eteriores OA caso b- en el método LP/NLP basado en ramiicación acotamiento caso d- se debe resolver un NLPF en luar del correspondiente NLP si este subproblema uere no-actible Cada uno de los métodos se eplica a continuación en términos de los sub-problemas básicos que los orman Ramiicación Acotamiento Aunque que los primeros trabaos en ramiicación acotamiento estaban orientados a problemas lineales este método se puede aplicar también a problemas no lineales El método de ramiicación acotamiento BB del inlés Branco and bound comienza resolviendo el NLP1 con I FL IFU -problema de relaación continua- si todas las variables discretas toman valores enteros entonces la búsqueda se detiene se habrá localizado el óptimo del problema En otro caso se comienza una búsqueda en árbol en el espacio de las - 5/18 - José A Caballero

6 variables enteras i i I Estas variables se van iando sucesivamente en los correspondientes nodos del árbol dando luar a problemas NLP relaados de la orma NLP1 los cuales producen límites ineriores para los sub-problemas de los nodos descendientes La eliminación de un nodo sus descendientes ocurre cuando el límite inerior sobrepasa al actual límite superior cuando el sub-problema es no-actible o cuando todas las variables enteras toman valores discretos Esta última situación produce un límite superior a la solución del problema Los métodos de ramiicación acotamiento son sólo atractivos si los sub-problemas NLP son relativamente áciles de resolver o cuando sólo es necesario resolver una pequeña parte de ellos Esto podría ser así o bien porque la dimensionalidad reerida al número de variables discretas es pequeña o bien porque la relaación continua produce una cota inerior mu buena La dierencia con la verdadera solución no es rande Método de las Aproimaciones Eteriores OA El método de las aproimaciones eteriores OA del inlés Outer Approimation sure cuando se resuelven de orma sucesiva subproblemas NLP2 problemas master MILP M-MIP en un ciclo de iteraciones para enerar puntos El aloritmo de las aproimaciones eteriores está basado en el siuiente teorema Duran Grossmann 1986: eorema 1 El problema P el siuiente problema master M-OA tienen la misma solución óptima * * min ZL s a X Y K * J Donde K * { para todos los puntos Y actibles es la solución óptima del problema NLP2 para todos los puntos problema NLPF } Y no actibles es la solución óptima del Dado que el problema master M-OA necesita la solución de todas las variables discretas se utiliza en su luar la siuiente relaación del MILP Suponiendo que se han resuelto K NLP subproblemas dierentes K KFS KIS donde KFS es el subconunto de soluciones a los NLP2 KIS es el subconunto de soluciones a los NLPF - 6/18 - José A Caballero

7 min ZL s a X Y J 1 K RM-OA Asumiendo la conveidad de las unciones se puede establecer ácilmente la siuiente propiedad: Propiedad 1 La solución del problema RM-OA problema P1 Z L es un límite inerior al la solución del Esta propiedad se puede veriicar ráicamente a partir de la Fiura 1 Debido a que las linealizaciones son acumulativas a medida que las iteraciones avanzan el problema master 1 K RM-OA produce una secuencia de límites ineriores no decrecientes ZL ZL ZL El aloritmo de las aproimaciones eteriores tal como ue propuesto oriinalmente por Duran Grossmann consiste en eectuar una seria de iteraciones 1 K Se comienza resolviendo el problema NLP1 de relaación continua o bien con un conunto preespeciicado de variables discretas La solución óptima de este problema se utiliza para enerar el primer problema master RM-OA La solución del master enera un nuevo conunto de variables en la primera iteración 1 Este nuevo conunto de variables discretas se utiliza para resolver un nuevo NLP2 o bies si este no es actible un NLPF Las linealizaciones de la solución de este problema se añaden al master continuando así de orma iterativa Los subproblemas NLP2 producen un límite superior que se utiliza para deinir la meor solución obtenida en un momento dado UB min{ Z } U El ciclo de iteraciones continúa hasta que los límites superior e inerior del master están dentro de una tolerancia especiicada Una orma para evitar resolver los problemas de actibilidad NLPF en el aloritmo de las aproimaciones eteriores cuando el problema P1 está planteado en unción de variables binarias -1 consiste en introducir un corte entero cuo obetivo es hacer no-actible la elección de las combinaciones -1 eneradas en iteraciones anteriores: i i B 1 1 K ib in ICU - 7/18 - José A Caballero

8 Donde B { i 1 } N { i } i i Este corte se convierte en mu débil a medida que aumenta el número de variables binarias Sin embaro tiene la propiedad de aseurar que en sucesivas iteraciones se van a enerar nuevas combinaciones de variables binarias sin repetir ninuna de las anteriores Utilizando el curte entero anterior la inalización del aloritmo tiene K K luar tan pronto como ZL UB El método de las aproimaciones eteriores eneralmente necesita un número pequeño de iteraciones para converer Una razón para este comportamiento viene dado por la siuiente propiedad: Propiedad 2 El aloritmo de las aproimaciones eteriores convere en una iteración de orma trivial si son lineales Esta propiedad simplemente se deduce del hecho de que si son lineales en e entonces el problema P1 el problema RM-OA son idénticos Es también importante remarcar que el problema master no necesita ser resuelto hasta optimalidad De hecho dado un límite superior UB una tolerancia ε es suiciente enerar el nuevo punto resolviendo: min Z L s a UB ε X Y J 1 K RM-OAF Mientras que en RM-OA la interpretación del nuevo punto es la de que representa la meor solución entera que aproima al problema master en RM-OAF representa una solución entera cuo límite inerior al obetivo no supera al actual límite superior; en otras palabras es una solución actible del RM-OA con un obetivo menor que la meor estimación actual Señalar que las iteraciones de OA terminan cuando RM-OAF no tiene solución actible Descomposición de Benders Generalizada GDB La descomposición de Benders Generalizada GDB del inlés Generalizad Benders Decomposition es similar al método de las aproimaciones eteriores Véase Flippo Kan 1993 Las dierencias suren en la deinición del problema master MILP M-MILP En GDB - 8/18 - José A Caballero

9 - 9/18 - José A Caballero sólo se consideran las desiualdades activas: { } J el conunto X se inora En particular considere las linealizaciones del método de las aproimaciones eteriores en un punto OA Donde para un punto io el punto corresponde a la solución óptima del problema NLP2 Haciendo uso de las condiciones de Karush-Kuhn-ucer eliminando las variables continuas las desiualdades en OA se pueden reducir a: [ ] µ LC Que es el corte Laraniano proectado en el espacio Esto se puede interpretar como una restricción de sustitución de las ecuaciones en OA porque se obtiene como combinación lineal de éstas Para el caso en el que no ha solución actible al problema NLP2 entonces el punto se obtiene solucionando el problema de actibilidad NLPF El siuiente corte de actibilidad proectado en el espacio se puede obtener por un procedimiento similar: [ ] λ FC De esta manera el problema master M-MIP se reduce a un problema proectado en el espacio [ ] [ ] 1 min R λ µ X KIS KFS a s Z L RM-GDB

10 Donde KFS es el subconunto de los problemas NLP2 actibles KIS es el subconunto de los problemas cua solución viene dada por NLPF Por supuesto se debe cumplir que KFS KIS K Dado que el problema master RM-GBD se puede obtener a partir del problema master RM-OA en el conteto del problema P1 la descomposición de Benders Generalizada se puede considerar un caso particular del aloritmo de las aproimaciones eteriores De hecho se cumple la siuiente propiedad Duran Grossmann 1986: Propiedad 3 Dado el mismo conunto de K subproblemas el límite inerior predicho por el problema relaado RM-OA es maor o iual que el predicho por el problema master relaado RM-GDB Debido al hecho de que los límites ineriores obtenidos por GDB son más débiles este método suele requerir un maor número de iteraciones A medida que el número de variables -1 aumenta este eecto se hace más pronunciado lo cual se corresponde con lo que cabría esperar dado que en cada iteración sólo se añade un nuevo corte Habitualmente el usuario debe añadir restricciones con obeto de reducir los límites Por otra parte el método de las aproimaciones eteriores aunque predice meores límites ineriores que GBD el coste computacional para resolver el problema master M-OA es maor dado que el número de restricciones añadidas por iteración es iual al número de restricciones no lineales más la linealización de la unción obetivo La siuiente propiedad de converencia se aplica al método GBD Sahinidis Grossmann 1991 Propiedad 4 Si el problema P1 tiene una ap de interalidad cero el aloritmo GBD convere en una iteración una vez que el óptimo * * ha sido encontrado La propiedad anterior implica que el único caso en el que uno puede esperar que el método GDB termine en una única iteración es cuando el valor inicial de las variables discretas es el óptimo cuando el valor del obetivo de los NLP relaados del problema P1 es el mismo que el obetivo del problema discreto Una última propiedad relaciona los aloritmos OA GBD üra Grossmann 1996 Propiedad 5 El corte obtenido eectuando una iteración de Benders sobre el MILP master RM-OA es equivalente al corte obtenido a partir del aloritmo GDB Haciendo uso de esta propiedad en luar de resolver el MILP RM-OA hasta optimalidad es posible enerar un corte GDB simplemente llevando a cabo una iteración del método de Benders Benders /18 - José A Caballero

11 Método del Plano del Corte Etendido El método del plano de corte etendido ECP del inlés Etended Cuttin Plane es una etensión del método de plano de corte de Kelle196 No resuelve problemas NLP Conía simplemente en la solución iterativa de problemas M-MIP añadiendo linealizaciones sucesivas a aquella restricción más violada en el punto predicho La converencia se obtiene cuando la violación máima cae dentro de una tolerancia especiicada Es por supuesto posible añadir linealizaciones a todas las restricciones violadas o incluso linealizaciones a todas las restricciones no lineales En el aloritmo ECP la unción obetivo debe ser lineal lo cual se puede conseuir ácilmente introduciendo una nueva variable para transerir las no linealidades de la unción obetivo a una desiualdad Señalar que dado que las variables continuas discretas se converen simultáneamente el aloritmo ECP podría requerir un ran número de iteraciones Este método comparte con OA la propiedad 2 en el caso límite de que todas las unciones uesen lineales LP/NLP basado en Ramiicación Acotamiento Desarrollado por Quesada Grossmann en 1992 el método es similar en espíritu a los métodos de ramiicación corte evita la solución completa del MILP master M-OA en cada iteración El método comienza resolviendo un subproblema NLP inicial el cual se linealiza como en M-OA La idea básica consiste en eectuar una búsqueda por ramiicación acotamiento resolviendo LPs en cada rama del árbol En cuanto un nodo presenta una solución entera se resuelve un NLP2 se actualiza la representación del problema master en todos los nodos abiertos del árbol con la adición de las correspondientes linealizaciones Se evita así la necesidad de re-comenzar la búsqueda en árbol Este método se puede aplicar tanto a los aloritmos GBD como ECP La búsqueda LP/NLP eneralmente reduce bastante siniicativamente el número de nodos a enumerar Como contrapartida podría incrementar el número de problemas NLP2 que deberían ser resueltos Aunque la eperiencia con este método muestra que esto no es así el número total de NLP2 suele permanecer constante Etensiones de los métodos para MINLP En esta sección presentamos alunos de los etensiones más importantes de los métodos presentados hasta el momento Problema master cuadrático φ ; Para muchos problemas de interés el problema P1 es lineal en : c h B Cuando este no es el caso Fletcher Leer 1994 suieren incluir una aproimación cuadrática a RM-OAF de la orma: - 11/18 - José A Caballero

12 - 12/18 - José A Caballero min R ε Y X K UB a s L Z M-MIQP Señalar que en este caso el problema master no produce un límite inerior válido sin embaro dado que son conveas el método continúa llevando a soluciones riurosas porque las aproimaciones eteriores siuen siendo válidas Cuando la unción obetivo es no lineal en el problema OA oriinal necesita maor número de iteraciones que cuando se usa el problema master cuadrático El precio que ha que paar sin embaro es que se debe resolver un MIQP en luar de un MILP Reducción de la dimensionalidad del problema master El problema master RM-OA puede llear a incluir un número bastante rande de restricciones como consecuencia de la acumulación de linealizaciones Una opción es mantener sólo el último punto linealizado pero esto puede llevar a la no-converencia incluso en el caso de problemas conveos dado que el incremento monotónico de la secuencia de límites ineriores no se puede arantizar Una orma riurosa de reducir el número de restricciones sin sacriicar demasiado la calidad del límite inerior se puede conseuir en casos de problemas MINLP maoritariamente lineales: Y V v W w b E Gv F w C v t D w a s c v r w a Z min PL Donde w v son variables continuas rv tv son unciones conveas Como muestran Quesada Grossmann 1992 las aproimaciones lineales de la unción obetivo de las restricciones no lineales se pueden arear en el siuiente problema master:

13 min ZL a w β c s a β r v λ [ D w t v C ] µ [ G v v ] F w G v E b 1 w W v V Y β R 1 K M-MIPL Los resultados numéricos muestran que la calidad de los límites no se ve mu aectada por la areación del anterior MILP en comparación con lo que sucedería si se aplicase GBD ratamiento de restricciones de iualdad Para el caso de restricciones lineales que aparezcan como iualdad no ha ninuna diicultad puesto que estas restricciones son invariantes a las linealizaciones Sin embaro si las ecuaciones son no lineales aparecen dos diicultades Primero no es posible orzar la linealización de iualdades en K puntos dierentes Seundo las ecuaciones no lineales introducen en eneral no conveidades ecepto si se pudieran relaar como desiualdades Kocis Grossmann 1987 propusieron una estrateia de relaación en que las iualdades son reemplazadas por desiualdades: h Donde { t } ii tii sino λi en donde λ i es el multiplicador de Larane asociado a la ecuación h i Señalar que si estas ecuaciones se relaan como desiualdades h para todo además h es una unción convea el procedimiento es riuroso En otro caso se podrían enerar hiperplanos soporte no válidos Por otra parte para el problema GBD no ha que tener ninuna precaución especial dado que estas ecuaciones simplemente se incluen en los cortes Laranianos Sin embaro si dichas ecuaciones no se relaan como desiualdades conveas tampoco se arantiza la converencia lobal de este método ratamiento de no-conveidades Cuando son unciones no conveas en P1 o cuando las iuadades h están presentes aparecen dos diicultades Primero Los subproblemas NLP NLP1 NLP2 NLPF podrían no tener un único mínimo local Seundo el problema master sus variantes M-MIP M-GBD M-MIQP no arantizan un límite inerior válido con el consiuiente peliro de cortar el óptimo lobal del problema Una posible solución consiste en reormular el problema sin embaro esta solución está restrinida a un número pequeño de problemas Por otra parte es posible utilizar técnicas de optimización lobal determinista basándose en estructuras especiales de los términos continuos por eemplo bilineales raccional lineal - 13/18 - José A Caballero

14 - 14/18 - José A Caballero concava separable etc La idea especíica es desarrollar envolventes conveas o subestimadotes para ormular problemas que sean límites ineriores riurosos El mundo de la optimización lobal es mu amplio no seuiremos con ella Quizás la opción más utilizada para tratar no conveidades consiste en aplicar una estrateia heurística que trata de reducir tanto como sea posible el eecto de las no conveidades Aunque es un método no riuroso requiere mucho menos esuerzo computacional A modo de comentario señalar que los métodos de optimización lobal determinista están restrinidos ho por ho a problemas de pequeño tamaño o con estructuras mu especiales Describiremos a continuación un método que reduce el eecto de las no conveidades a nivel del problema master Continua sin embaro coniando en que el resultado de los NLPs sea el optimo lobal de cada uno de ellos Viswanathan Grossmann 199 propusieron introducir variables de holura en el problema master MILP con obeto de reducir la probabilidad de cortar la reión actible Este problema master se conoce como APER del inles Aumented Penalt /Equalit Relaation Y toma la orma: [ ] 1 1 min 1 1 R N i i B i i K q p L q p Y X K B q p h a s q w p w Z M-APER Donde p w q w son penalizaciones suicientemente randes pe 1 veces la manitud del multiplicador de Larane Remarcar que si las unciones son conveas entonces el MILP master M-APER predice un límite inerior riuroso al problema P1 dado que todas las variables de holura toman el valor cero Por último otra modiicación posible para reducir el eecto indeseable de las no conveidades en el problema master consiste en aplicar un test de conveidad lobal seuido por una validación de las linealizaciones Una posibilidad es aplicar el test a todas las linealizaciones con respecto al actual vector solución Kravana Grossmann 1994 Las condiciones de conveidad que deben ser veriicadas para las linearizaciones son las siuientes:

15 ε h ε ε 1 K 1 Donde ε es un vector de pequeñas tolerancias pe 1-1 El test se omite para el último punto K porque todas las linealizaciones son válidas para este punto Basado en este test se eectúa una validación de las linealizaciones Aquellas restricciones para las cuales no se satisaa son simplemente eliminadas del problema master Este test conía en la suposición de que las soluciones de los sucesivos NLPs se van aproimando al óptimo lobal en que las sucesivas validaciones van proresivamente deiniendo restricciones válidas alrededor del óptimo lobal Códios de ordenador para MINLP El número de códios de ordenador para resolver problemas del tipo MINLP es todavía bastante reducido El prorama DICOP Viswanathan Grossmann 199 está disponible en el sistema de modelado GAMS El códio está basado en el problema master M-APER en los subproblemas NLP2 Este códio utiliza también la relaación continua NLP1 para enerar la primera linealización con lo que el usuario no necesita especiicar un valor entero inicial Dado que las límites ineriores riurosos no se pueden arantizar con M-APER la búsqueda para problemas no conveos termina cuando no se produce meora en los NLP actibles entre dos iteraciones consecutivas Esta heurística unciona razonablemente bien en muchos problemas Alunos códios que implementan el método de ramiicación acotamiento usando subproblemas NLP1 incluen a MINLP_BB que está basado en un aloritmo SQP Leer 21 está disponible en AMPL El códio SBB que también está disponible en GAMS El códio -ECP implementa los métodos de plano de corte etendido de Westerlund Pettersson 1995 incluendo la etensión de Pörn Westerlund 2 Finalmente el códio MINOP Schweier Floudas 1998 también implementa los métodos OA GBD los aplica a optimización dinámica con variable entera Es diícil hacer comentarios enerales sobre la eiciencia coniabilidad de estos códios dado que no se ha hecho una comparación sistemática entre ellos Sin embaro se podría anticipar que los métodos de ramiicación acotamiento probablemente uncionarían meor si la relaación de los MNILP uese buena Los métodos de descomposición basados en OA probablemente uncionarían meor si los subproblemas NLP ueran relativamente costosos de resolver mientras que GBD puede ser eiciente si la relaación del MINLP es buena aparecen muchas variables binarias Los métodos basados en ECP tienden a uncionar meor en problemas altamente lineales - 15/18 - José A Caballero

16 Reerencias Barnhart C; Johnsons EL; Nemhauser GL; Savelsberh NWP; Vance PH Branch and Price: Column eneration or solvin hue inteer prorams Operations Research Benders JF; Partitionin Procedures or Solvin Mied-Variables Proramin Problems Numeri Math Borchers B; Mitchell JE; And Improved Branch and Bound Alorithm or Mied Inteer Non Linear Prorammin Computers and Operations Research Danin RJ; A ree Search Alorithm or Mied Inteer Prorammin Problems Computer Journal Duran MA; Grossmann IE; An Outer Approimation Alorithm or a Class o Mied Inteer Non Linear Prorams Mathematical Prorammin Fletcher R; Leer S; Solvin Mied Inteer Non Linear Prorams b Outer Approimation Mathematical Prorammin Flippo OE; Rinno Kan AHG; Decomposition in General Mathematical Prorammin Mathematical Prorammin Georion AM; Generalized Benders Decomposition Journal o Optimization heor and Applications Grossmann IE Daichendt MM; New rends in Optimization-based Approaches or Process Snthesis Computers and Chemical Enineerin Grossmann IE; Mied Inteer Optimization echniques or Alorithmic Process Snthesis Advances in Chemical Enineerin Vol 23 Process Snthesis 1996a Grossmann IE; Caballero JA and Yeomans H; Advances in Mathematical Prorammin or Automated Desin Interation and Operation o Chemical Processes Korean J Chem En Grossmann IE; Kravana Z; Mied Inteer Nonlinear Prorammin: A Surve o Alorithms and Applications he IMA Volumes in Mathematics and its Applications Vol 93 Lare-Scale Optimization with Applications Part II: Optimal Desin and Control eds Bieler Coleman Conn Santosa pp 73-1 Spriner Verla 1997 Gupta OK; Ravindran V; Branch and Bound Eperiments in Conve non-linear Inteer Prorammin Manaement Science /18 - José A Caballero

17 Johnsons EL; Nemhauser GL; Savelsberh NWP; Proress in Linear Prorammin Based Branch and Bound Alorithms: Eposition INFORMS Journal o Computin 12 2 Kallrath J; Mied Inteer Optimization in the Chemical Process Industr: Eperience Potencial and Future rans I Chem E 78 Part A Kelle Jr JE; he Cuttin Plane Method or Solvin Conve Prorams Journal o SIAM Kocis GR; Grossmann IE; Relaation Strate or the Structural Optimization o Process Flowsheets Ind En Chem Res Leer S; Interatin SQP and Branch and Bound or Mied Inteer non Linear Prorammin Computational Optimization and Applications Nabar S and Schrae L Modelin and Solvin Nonlinear Inteer Prorammin Problems Presented at Annual AIChE meetin Chicao 1991 Nemhauser GL; Wolse LA; Inteer and Combinatorial Optimization Wile- Interscience New Yor 1988 Pinto J Grossman IE; Assinment and Sequencin Models or the Schedulin o Chemical Processes Annals o Operations Research Pörn R; Westerlund ; A Cuttin Plane Method or Minimizin Pseudo-Conve Functions in the Mied Inteer Case Computers and Chemical Enineerin Quesada IE; Grossmann IE; An LP/NLP Based Branch and Bound Alorithm or Conve MINLP Optimization Problems Computers and Chemical Enineerin Sahinidis NV; Grossmann IE; Converence Properties o Generalized benders Decomposition Computers and Chemical Enineerin Schweier CA; Floudas C; Process Snthesis Desin and Control: A Mied Inteer Optimal Control Framewor Procedin on DYCOPS-5 on Dnamics and Control o Process Sstems Shah N; Sinle and Multisite Plannin and Schedulin : Current Status and Future Challenes AIChE Smp Ser Stubbs R; Mehrotra S; A Branch and Cut Method or -1 Mied Conve Prorammin Mathematical Prorammin üra M; Grossmann IE; A loic Based Outer Approimation Alorithm or MINLP Optimization o Process Flowsheets Computers and Chemical Enineerin /18 - José A Caballero

18 1996 Viswanathan J; Grossmann IE; A Combined Penalt Function and Outer Approimation Method or MINLP Optimization Computers and Chemical Enineerin Westerlund ; Pettersson A; A Cuttin Plane Method or Solvin Conven MINLP Problems Computers and Chemical Enineerin 19 S131-S Yuan X; Zhan S; Piboleau L; Domenech S; Une Methode d optimisation Nonlineare en Variables Mites pour la Conception de Procedes RAIRO /18 - José A Caballero