NUEVOS MÉTODOS DE ANÁLISIS MULTIVARIANTE. Carles M. Cuadras

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1 NUEVOS MÉTODOS DE ANÁLISIS MULTIVARIANTE Carles M. Cuadras 21 de septiembre de 2014

2 2 Es propiedad del autor. cc. M. Cuadras CMC Editions Manacor Barcelona, Spain

3 Índice general 1. DATOS MULTIVARIANTES Introducción Matrices de datos Matriz de centrado Medias, covarianzas y correlaciones Variables compuestas Transformaciones lineales Teorema de la dimensión Medidas globales de variabilidad y dependencia Distancias Algunos aspectos del cálculo matricial Descomposición singular Inversa generalizada Aproximación matricial de rango inferior Transformación procrustes Ejemplos Complementos NORMALIDAD MULTIVARIANTE Introducción Distribución normal multivariante De nición Propiedades Caso bivariante Distribución de Wishart Distribución de Hotelling Distribución de Wilks Relaciones entre Wilks, Hotelling y F

4 4 ÍNDICE GENERAL 2.7. Distribución multinomial Distribuciones con marginales dadas Complementos INFERENCIA MULTIVARIANTE Conceptos básicos Estimación de medias y covarianzas Contraste de hipótesis multivariantes Test sobre la media: una población Test sobre la media: dos poblaciones Comparación de varias medias Teorema de Cochran Construcción de contrastes de hipótesis Razón de verosimilitud Principio de unión-intersección Ejemplos Análisis de per les Complementos ANÁLISIS DE CORRELACIÓN CANÓNICA Introducción Correlación múltiple Correlación canónica Correlación canónica y descomposición singular Signi cación de las correlaciones canónicas Contraste de hipótesis de independencia Razón de verosimilitud Principio de unión intersección Ejemplos Complementos ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES Obtención de las componentes principales Variabilidad explicada por las componentes Representación de una matriz de datos Inferencia Estimación y distribución asintótica Contraste de hipótesis

5 ÍNDICE GENERAL Número de componentes principales Criterio del porcentaje Criterio de Kaiser Test de esfericidad Criterio del bastón roto Biplot Ejemplos Complementos ANÁLISIS FACTORIAL Introducción El modelo unifactorial El modelo multifactorial El modelo La matriz factorial Las comunalidades Número máximo de factores comunes El caso de Heywood Un ejemplo Teoremas fundamentales Método del factor principal Método de la máxima verosimilitud Estimación de la matriz factorial Hipótesis sobre el número de factores Rotaciones de factores Rotaciones ortogonales Factores oblicuos Rotación oblicua Factores de segundo orden Medición de factores Análisis factorial con rmatorio Complementos ANÁLISIS CANÓNICO DE POBLACIONES Introducción Variables canónicas Distancia de Mahalanobis y transformación canónica Representación canónica

6 6 ÍNDICE GENERAL 7.5. Aspectos inferenciales Comparación de medias Comparación de covarianzas Test de dimensionalidad Regiones con denciales Ejemplos Complementos ESCALADO MULTIDIMENSIONAL (MDS) Introducción Cuándo una distancia es euclídea? El análisis de coordenadas principales Similaridades Nociones de MDS no métrico Distancias estadísticas Variables cuantitativas Variables binarias Variables categóricas Variables mixtas Otras distancias Ejemplos Complementos ANÁLISIS DE CORRESPONDENCIAS Introducción Cuanti cación de las variables categóricas Representación de las y columnas Representación conjunta Soluciones simétrica y asimétrica Variabilidad geométrica (inercia) Análisis de Correspondencias Múltiples Ejemplos MDS ponderado Complementos CLASIFICACIÓN Introducción Jerarquía indexada

7 ÍNDICE GENERAL Geometría ultramétrica Algoritmo fundamental de clasi cación Equivalencia entre jerarquía indexada y ultramétrica Algoritmos de clasi cación jerárquica Método del mínimo Método del máximo Más propiedades del método del mínimo Ejemplos Clasi cación no jerárquica Número de clusters Complementos ANÁLISIS DISCRIMINANTE Introducción Clasi cación en dos poblaciones Discriminador lineal Regla de la máxima verosimilitud Regla de Bayes Clasi cación en poblaciones normales Discriminador lineal Regla de Bayes Probabilidad de clasi cación errónea Discriminador cuadrático Clasi cación cuando los parámetros son estimados Ejemplo Discriminación en el caso de k poblaciones Discriminadores lineales Regla de la máxima verosimilitud Regla de Bayes Un ejemplo clásico Complementos DISCRIMINACIÓN LOGÍSTICA Y OTRAS Análisis discriminante logístico Introducción Modelo de regresión logística Estimación de los parámetros Distribución asintótica y test de Wald

8 8 ÍNDICE GENERAL Ajuste del modelo Curva ROC Comparación entre discriminador lineal y logístico Análisis discriminante basado en distancias La función de proximidad La regla discriminante DB La regla DB comparada con otras La regla DB en el caso de muestras Complementos EL MODELO LINEAL El modelo lineal Suposiciones básicas del modelo Estimación de parámetros Parámetros de regresión Varianza Algunos modelos lineales Regresión múltiple Diseño de un factor Diseño de dos factores Hipótesis lineales Inferencia en regresión múltiple Complementos ANÁLISIS DE LA VARIANZA (ANOVA) Diseño de un factor Diseño de dos factores Diseño de dos factores con interacción Diseños multifactoriales Modelos log-lineales Complementos ANÁLISIS DE LA VARIANZA (MANOVA) Modelo Estimación de parámetros Contraste de hipótesis lineales Manova de un factor Manova de dos factores

9 ÍNDICE GENERAL Manova de dos factores con interacción Ejemplos Otros criterios Complementos FUNCIONES ESTIMABLES MULTIVARIANTES Funciones estimables Teorema de Gauss-Markov Funciones estimables multivariantes Análisis canónico de funciones estimables Distancia de Mahalanobis Coordenadas canónicas Regiones con denciales Ejemplos Complementos

10 10 ÍNDICE GENERAL

11 Prólogo El Análisis Multivariante es un conjunto de métodos estadísticos y matemáticos, destinados a describir e interpretar los datos que provienen de la observación de varias variables estadísticas, estudiadas conjuntamente. Este libro es una presentación convencional de los principales modelos y métodos del Análisis Multivariante, con referencias a algunas contribuciones recientes. La exposición mantiene un cierto rigor matemático, compensado con una clara orientación aplicada. Todos los métodos se ilustran con ejemplos, que justi can su aplicabilidad. Para examinar algunos datos y ver más ejemplos consúltese otras publicaciones relacionadas en la página web www:ub:edu=stat=cuadras=cuad:html Esta obra tiene como precedentes la monografía Métodos de Análisis Factorial (Pub. no. 7, Laboratorio de Cálculo, Universidad de Barcelona, 1974), y el libro Métodos de Análisis Multivariante (EUNIBAR, 1981; PPU, 1991; EUB, 1996, Barcelona). El autor se reserva el derecho de ampliar el texto e introducir mejoras. La primera versión apareció en La segunda versión (2010) contiene correcciones, ampliaciones y un índice alfabético. La tercera versión (2011) contiene algunas correcciones y nuevas referencias bibliográ cas. Después de una profunda revisión, la cuarta (2012) y quinta versión (2014), incorporan más secciones y ejemplos. Mi agradecimiento a todos aquellos que me han hecho comentarios, en especial a Jorge Ollero por su detallada revisión de las dos últimas versiones. 11

12 12 ÍNDICE GENERAL Cómo citar este libro: C. M. Cuadras Nuevos Métodos de Análisis Multivariante CMC Editions Barcelona, 2014

13 Capítulo 1 DATOS MULTIVARIANTES 1.1. Introducción El análisis multivariante (AM) es la parte de la estadística y del análisis de datos que estudia, analiza, representa e interpreta los datos que resultan de observar más de una variable estadística sobre una muestra de individuos. Las variables observables son homogéneas y correlacionadas, sin que alguna predomine sobre las demás. La información estadística en AM es de carácter multidimensional, por lo tanto la geometría, el cálculo matricial y las distribuciones multivariantes juegan un papel fundamental. La información multivariante es una matriz de datos, pero a menudo, en AM la información de entrada consiste en matrices de distancias o similaridades, que miden el grado de discrepancia entre los individuos. Comenzaremos con las técnicas que se basan en matrices de datos n p; siendo n el número de individuos y p el de variables Matrices de datos Supongamos que sobre los individuos! 1 ; : : : ;! n se han observado las variables X 1 ; : : : ; X p : Sea x ij = X j (! i ) la observación de la variable X j sobre 13

14 14 CAPÍTULO 1. DATOS MULTIVARIANTES el individuo! i : La matriz de datos multivariantes es 0 1 x 11 x 1j x 1p X = x i1 x ij x ip : C.... A x n1 x nj x np Las las de X se identi can con los individuos y las columnas de X con las variables. Indicaremos: 1. x i la la i-ésima de X; que operaremos como un vector columna. 2. X j la columna j-ésima de X: 3. x = (x 1 ; : : : ; x j ; : : : ; x p ) 0 el vector columna de las medias de las variables, siendo x j = 1 nx x ij : n 4. La matriz simétrica p p de covarianzas muestrales 0 1 s 11 s 12 s 1p s 21 s 22 s 2p S = C. A ; s p1 s p2 s pp siendo s jj 0 = 1 n i=1 nx (x ij x j )(x ij 0 x j 0) i=1 la covarianza entre las variables j; j 0 : Naturalmente, x y S son medidas multivariantes de tendencia central y dispersión, respectivamente. 5. La matriz simétrica p p de correlaciones muestrales r 12 r 1p r 21 1 r 2p R = C. A ; r p1 r p2 1

15 1.3. MATRIZ DE CENTRADO 15 siendo r jj 0 = cor(x j ; X j 0) el coe ciente de correlación (muestral) entre las variables X j ; X j 0: Este coe ciente viene dado por r jj 0 = s jj 0 ; s j s j 0 donde s j ; s j 0 son las desviaciones típicas Matriz de centrado Si 1 = (1; : : : ; 1) 0 es el vector columna de unos de orden n 1, y J = 11 0 es la matriz n n de unos, ciertas características multivariantes se expresan mejor a partir de la matriz de centrado H; de nida como Propiedades: 1. Simétrica: H 0 = H: 2. Idempotente: H 2 = H: H = I 1 n J: 3. Los valores propios de H son cero o uno: Hv = v implica = 0 ó 1: 4. 1 es vector propio de valor propio cero: H1 = 0; 1 0 H = 0 0 : 5. El rango de H es n 1; es decir, rango(h) =n 1: 1.4. Medias, covarianzas y correlaciones Sea X = (x ij ) la matriz de datos. La matriz de datos centrados se obtiene restando a cada variable su media: X = (x ij x j ). Esta matriz, así como el vector de medias, las matrices de covarianzas y correlaciones, tienen expresiones matriciales simples. 1. x 0 = 1 n 10 X: 2. Matriz de datos centrados: X= X 1x 0 = HX:

16 16 CAPÍTULO 1. DATOS MULTIVARIANTES 3. Matriz de covarianzas: S = 1 n X0 X = 1 n X0 HX: 4. Matriz de correlaciones: R = D 1 SD 1 ; S = DRD; (1.1) siendo D la matriz diagonal con las desviaciones típicas de las variables Variables compuestas Algunos métodos de AM consisten en obtener e interpretar combinaciones lineales adecuadas de las variables observables. Una variable compuesta Y es una combinación lineal de las variables observables con coe cientes a = (a 1 ; : : : ; a p ) 0 Y = a 1 X a p X p : Si X =[X 1 ; : : : ; X p ] es la matriz de datos, también podemos escribir Y = Xa: Si Z = b 1 X b p X p = Xb es otra variable compuesta, se veri ca: 1. Y = x 0 a; Z = x 0 b: 2. var(y ) = a 0 Sa, var(z) = b 0 Sb: 3. cov(y; Z) = a 0 Sb: Ciertas variables compuestas reciben diferentes nombres según la técnica multivariante: componentes principales, variables canónicas, funciones discriminantes, etc. Uno de los objetivos del Análisis Multivariante es encontrar variables compuestas adecuadas que expliquen aspectos relevantes de los datos Transformaciones lineales es Sea T una matriz p q: Una transformación lineal de la matriz de datos Y = XT: Las columnas Y 1 ; : : : ; Y q de Y son las variables transformadas.

17 1.7. TEOREMA DE LA DIMENSIÓN 17 Propiedades: 1. y 0 = x 0 T; donde y es el vector (columna) de medias de Y: 2. S Y = T 0 ST; donde S Y es la matriz de covarianzas de Y: Demost.: y 0 = 1 n 10 Y = 1 n 10 XT = x 0 T: S Y = 1 n Y0 HY = 1 n T0 X 0 HXT = T 0 ST: 1.7. Teorema de la dimensión La matriz de covarianzas S es (semi)de nida positiva, puesto que: a 0 Sa = 1 n a0 X 0 HXa = 1 n a0 X 0 HHXa = b 0 b 0; siendo b = n 1=2 HXa: El rango r = rango(s) determina la dimensión del espacio vectorial generado por las variables observables, es decir, el número de variables linealmente independientes es igual al rango de S: Teorema Si r = rango(s) p hay r variables linealmente independientes y las otras p r son combinación lineal de estas r variables. Demost.: Podemos ordenar las p variables de manera que la matriz de covarianzas S r de X 1 ; : : : ; X r sea no singular 0 1 s 11 s 1r B S r C. A : s r1 s rr Sea X j ; j > r: La la (s j1; : : : ; s jr ) será combinación lineal de las las de S r : Luego las covarianzas s j1 ; : : : ; s jr entre X j y X 1 ; : : : ; X r veri can: rx rx s jj = a i s ji ; s ji = a i 0s ii 0: Entonces i=1 var(x j P r i=1 a ix i ) = s jj + P r i;i 0 =1 a ia i 0s ii 0 i 0 =1 = P r i=1 a is ji + P r i=1 a i( P r 2 P r i=1 a is ji i 0 =1 a i 0s ii 0) = P r i=1 a is ji + P r i=1 a is ji 2 P r i=1 a is ji = 0: 2 P r i=1 a is ji

18 18 CAPÍTULO 1. DATOS MULTIVARIANTES Por lo tanto X j i=1 donde c es una constante. rx a i X i = c =) X j = c + rx a i X i i=1 Corolario Si todas las variables tienen varianza positiva (es decir, ninguna se reduce a una constante) y r = rango(r) p; hay r variables linealmente independientes y las otras p r son combinación lineal de estas r variables. Demost.: De (1.1) deducimos que r = rango(r) = rango(s): 1.8. Medidas globales de variabilidad y dependencia Una medida de la variabilidad global de las p variables debe ser función de la matriz de covarianzas S: Sean 1 ; : : : ; p los valores propios de S: Las siguientes medidas tienen especial interés en AM. a) Varianza generalizada: b) Variación total: jsj = 1 p : tr(s) = p Una medida de dependencia global debe ser función de la matriz de correlaciones R: Un coe ciente de dependencia es 2 = 1 jrj; que veri ca: : 2. 2 = 0 si y sólo si las p variables están incorrelacionadas = 1 si y sólo si hay relaciones lineales entre las variables. Demost.:

19 1.9. DISTANCIAS Sean 1 ; : : : ; p los valores propios de R. Si g y a son las medias geométrica y aritmética de p números positivos, se veri ca g a: Entonces, de tr(r) = p; jrj 1=p = ( 1 p ) 1=p ( p )=p = 1; y por lo tanto 0 jrj R = I (matriz identidad) si y sólo si las p variables están incorrelacionadas, luego 1 jij =0: 3. Si 2 = 1; es decir, jrj =0; entonces rango(r) < p y por lo tanto existen relaciones lineales entre las variables (Teorema 1.7.1) Distancias Algunos métodos de AM están basados en criterios geométricos y en la noción de distancia entre individuos y entre poblaciones. Si 0 1 B X es una matriz de datos, con matriz de covarianzas S; las tres de niciones más importantes de distancia entre las las x 0 i = (x i1 ; : : : ; x ip ); x 0 j = (x j1 ; : : : ; x jp ) de X son: 1. Distancia euclídea: x 0 1. x 0 n C A v ux d E (i; j) = t p (x ih x jh ) 2 : (1.2) 2. Distancia de K. Pearson v ux d P (i; j) = t p (x ih x jh ) 2 =s hh ; (1.3) h=1 h=1 donde s hh es la covarianza de la variable X h : 3. Distancia de Mahalanobis: d M (i; j) = q (x i x j ) 0 S 1 (x i x j ): (1.4)

20 20 CAPÍTULO 1. DATOS MULTIVARIANTES Observaciones Un cambio de escala de una variable X j es una transformación Y j = X j ; donde es una constante. Comparando las tres distancias, se concluye que d M es muy adecuada en AM debido a que veri ca: a) d E supone implícitamente que las variables están incorrelacionadas y no es invariante por cambios de escala. b) d P también supone que las variables están incorrelacionadas pero es invariante por cambios de escala. c) d M tiene en cuenta las correlaciones entre las variables y es invariante por transformaciones lineales no singulares de las variables, en particular cambios de escala. Las distancias d E y d P son casos particulares de d M cuando la matriz de covarianzas es la identidad I p y diag(s), respectivamente. En efecto: d E (i; j) 2 = (x i x j ) 0 (x i x j ); d P (i; j) 2 = (x i x j ) 0 [diag(s)] 1 (x i x j ): La distancia de Mahalanobis (al cuadrado) puede tener otras versiones: 1. Distancia de una observación x i al vector de medias x de X : (x i x) 0 S 1 (x i x): 2. Distancia entre dos poblaciones representadas por dos matrices de datos X n1 p; Y n2 p : (x y) 0 S 1 (x y); donde x; y son los vectores de medias y S = (n 1 S 1 + n 2 S 2 )=(n 1 + n 2 ) es la media ponderada de las correspondientes matrices de covarianzas.

21 1.10. ALGUNOS ASPECTOS DEL CÁLCULO MATRICIAL Algunos aspectos del cálculo matricial Descomposición singular Sea A un matriz de orden m n con m n: Se llama descomposición en valores singulares de A a A = UD s V 0 donde U es matriz m n cuyas columnas son vectores ortonormales, D s es una matriz diagonal n n con los valores singulares s 1 s r s r+1 = = s n = 0; y V es una matriz n n ortogonal. Se veri ca: 1. El rango de A es el número r de valores singulares positivos. 2. U contiene los vectores propios (unitarios) de AA 0 ; siendo U 0 U = I n : 3. V contiene los vectores propios (unitarios) de A 0 A; siendo V 0 V = VV 0 = I n : 4. Si m = n y A es simétrica, entonces U = V y A = UD s U 0 es la descomposición espectral de A: Los valores singulares son los valores propios de A: Inversa generalizada Si A es una matriz cuadrada de orden nn no singular, es decir, rango(a) = n; existe la matriz inversa A 1 tal que AA 1 = A 1 A = I n : Si el rango es rango(a) = r < n; o A no es matriz cuadrada, la inversa no existe, pero existe la inversa generalizada o g-inversa A : Sea A un matriz de orden mn con m n: Se llama inversa generalizada de A o g-inversa, a una matriz A que veri ca: AA A = A: La g-inversa no es única, pero si A veri ca además: A AA = A ; (AA ) 0 = AA (A A) 0 = A A;

22 22 CAPÍTULO 1. DATOS MULTIVARIANTES entonces la g-inversa A es única. Sea rango(a) = r y A = UD s V 0 la descomposición singular de A; con Entonces y la matriz m n es una g-inversa de A: En efecto, D s = diag(s 1 ; : : : ; s r ; 0; : : : ; 0): D s = diag(s 1 1 ; : : : ; s 1 r ; 0; : : : ; 0): A = VD s U 0 AA A = UD s V 0 VD s U 0 UD s V 0 = A: Aproximación matricial de rango inferior Sea A = (a ij ) un matriz de orden mn con m n y rango r: Supongamos que deseamos aproximar A por otra matriz A = (a ij); del mismo orden mn pero de rango k < r; de modo que tr [(A A ) 0 (A A )] = mx nx (a ij a ij) 2 = mínimo. i=1 j=1 Si A = UD s V 0 es la descomposición en valores singulares de A; entonces la solución viene dada por A = UD sv 0 ; (1.5) donde D s es diagonal con los k primeros valores singulares de A; siendo nulos los restantes valores, es decir: D s = diag(s 1 ; : : : ; s k ; 0; : : : ; 0): El mínimo es la suma de los cuadrados de los valores singulares eliminados, es decir, tr[(d s D s) 2 ]: Esta es la llamada aproximación de Eckart -Young. Por ejemplo, si A = B A 3 2 1

23 1.10. ALGUNOS ASPECTOS DEL CÁLCULO MATRICIAL 23 entonces 0 A = 0:35 0:42 0:52 0:16 0:61 0:41 0:86 0:19 0:38 0:33 0:63 0: A 10: : : :50 0:59 0:62 0:86 0:40 0:31 0:06 0:70 0:71 1 A ; y la aproximación de rango 2 es 0 A = 0:945 2:480 2:534 2:015 0:397 0:587 3:984 5:320 5:628 2:936 1:386 1:652 1 C A ; siendo (redondeando a dos decimales) 0 1 0:35 0:42 0:52 0 A = B 0:16 0:61 0:41 10: :86 0:19 0:38 A 0 2: :33 0:63 0: :50 0:59 0:62 0:86 0:40 0:31 0:06 0:70 0:71 1 A : El valor mínimo es 1:388 2 = 1:926, el cuadrado del valor singular eliminado. En particular, si B es matriz simétrica semide nida positiva de rango r y B = TD T 0 es la descomposición espectral (con los valores propios ordenados de mayor a menor), entonces la mejor aproximación de rango k < r es la matriz B = TD T 0 ; (1.6) donde D contiene los k primeros valores propios de B: Transformación procrustes Sea A un matriz de orden mn con m n: Sea B otra matriz del mismo orden y escala (misma media y varianza para las columnas). Supongamos que queremos transformar A en AT;siendo T matriz n n ortogonal, de modo que AT sea lo más próxima posible a B, es decir tr[(at B) 0 (AT B)] = mínimo. Si obtenemos la descomposición en valores singulares A 0 B = UD s V 0 ; entonces la solución es T = UV 0 : (1.7)

24 24 CAPÍTULO 1. DATOS MULTIVARIANTES Se conoce AT como la transformación procrustes. En el caso general, sean X; Y dos matrices n p; con n p; y vectores ( las) de medias x; y: Deseamos aproximar X a Y mediante contracción, traslación y rotación. Consideremos la transformación Y = bxt + 1c; donde b es una constante escalar, T es matriz p p ortogonal, 1 es el vector n1 de unos y c es un vector ( la) 1p de constantes. Se trata de encontrar b; T; c, de modo que Y sea lo más próximo posible a Y en el sentido de que tr[(y Y ) 0 (Y Y )] = mínimo. Es decir, para cada par de columnas x j ; y j se desea hallar el vector y j = bt 0 x j + c j 1 lo más próximo posible a y j : Si X;Y son las matrices centradas, obtenemos primero la descomposición singular X 0 Y = UD s V 0 : Indicando M 1=2 = F 1=2 F 0 ; siendo M = FF 0 la descomposición espectral de la matriz simétrica M = X 0 Y Y 0 X; la solución es b = tr(x 0 Y Y 0 X) 1=2 =tr(x 0 X); T = UV 0 ; c = y bxt: Una medida del grado de relación lineal entre X e Y, llamada coe ciente procrustes, y que toma valores entre 0 y 1, es P 2 XY = h tr(x 0 Y Y 0 X) 1=2 i 2 =tr(x 0 X)tr(Y 0 Y): (1.8) Este coe ciente se puede expresar también en términos de matrices de covarianzas, pero no es invariante por transformaciones lineales aplicadas por separado a X y a Y. Si p = 1 el análisis procrustes equivale a la regresión lineal y = bx + y bx; siendo b = s xy =s 2 x y P XY = s xy =(s x s y ) los coe cientes de regresión y correlación ordinarios.

25 1.11. EJEMPLOS 25 N E S W N E S W Tabla 1.1: Depósitos de corcho (centigramos) de 28 alcornoques en las cuatro direcciones cardinales Ejemplos Ejemplo Árboles. La Tabla 1.1 contiene los datos de n = 28 alcornoques y p = 4 variables, que miden los depósitos de corcho (en centigramos) en cada uno de los cuatro puntos cardinales: N, E, S, W. Medias, covarianzas y correlaciones Vector de medias: x 0 = (50:536; 46:179; 49:679; 45:179): Matriz de covarianzas y de correlaciones: S = C A ; R = 0 1 0:885 0:905 0: :826 0: : C A :

26 26 CAPÍTULO 1. DATOS MULTIVARIANTES Figura 1.1: Distribución de las variables N, E, S, W y relaciones entre cada par de variables de la Tabla 1.1. Variables compuestas Las siguientes variables compuestas explican diferentes aspectos de la variabilidad de los datos: Media Varianza Contraste eje N-S con eje E-W: Y 1 = N + S E W Contraste N-S: Y 2 = N S Contraste E-W: Y 3 = E W Diremos que una variable compuesta está normalizada si la suma de cuadrados de sus coe cientes es 1. La normalización evita que la varianza tome un valor arbitrario. La normalización de Y 1 ; Y 2 ; Y 3 da: Media Varianza Z 1 = (N + S E W )= Z 2 = (N S)= p Z 3 = (E W )= p La normalización de las variables consigue que éstas tengan varianzas más homogéneas. La media de Z 1 sugiere que la principal dirección de variabilidad se pone de mani esto al comparar el eje N-S con el eje E-W.

27 1.11. EJEMPLOS 27 Visualización de datos En los capítulos siguientes veremos métodos y técnicas de visualización de datos multivariantes. Como norma general es conveniente, antes de realizar el análisis, examinar y revisar los datos. La Figura 1.1 contiene un grá co que permite visualizar la distribución de las 4 variables de la Tabla 1.1 y las relaciones lineales, o regresión lineal, entre cada par de variables. Ejemplo Familias. Se consideran n = 25 familias y se miden las variables (véase la Tabla 1.2): X 1 = long. cabeza primer hijo, X 2 = anchura cabeza primer hijo, Y 1 = long. cabeza segundo hijo, Y 2 = anchura cabeza segundo hijo. Efectuando un análisis procrustes para estudiar el grado de coincidencia de la matriz X (dos primeras columnas) con la matriz Y (tercera y cuarta columna), se obtienen los vectores de medias x = (187:4; 151:12); y = (183:32; 149:36); los valores b = 0:7166; c = (57:65; 31:17) y la matriz de rotación T = 0:9971 0:0761 0:0761 0:9971 Los primeros 4 valores de las matrices Y y la transformación procrustes Y = bxt + 1c; son: Y 1 Y 2 Y 1 Y El coe ciente procrustes es P 2 XY = 0:5508: : 185:6 152:3 188:8 148:2 178:9 146:8 180:0 150:4

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