Algunas series e integrales con funciones trigonométricas

Transcripción

1 Revst Tecocetífc URU Uvesdd Rfel Udet Fcultd de Igeeí Nº Julo - Dcembe ISSN: X / Depósto legl pp ZU86 Algus sees e tegles co fucoes tgoométcs Alfedo Vlllobos y Gley Gcí Uvesdd del Zul. Fcultd de Igeeí. Ceto de Ivestgcó de Mtemátc Aplcd (C.I.M.A.) Uvesdd Rfel Udet. Fcultd de Igeeí Veed del Lgo, Aved, El Mlgo co clle 86, etd Su Isttuto Uvesto de Tecologí de Mcbo (I.U.T.M.). Coodcó de Mtemátcs Av. Pcpl. Ub. L Floest. Mcbo-Veezuel Resume Recbdo 8-- Aceptdo 9-4- E el pesete tbjo se plc u técc secll p deduc lgus sums de sees que voluc fucoes tgoométcs. A pt de dchos esultdos, se obtee lgus detddes y se clcul lgus tegles defds. Plbs clve: Sees, fucoes tgoométcs, detddes, tegles defds. Abstct Some sees d tegls wth tgoometc fuctos I ths wo smple techque s ppled to deduce sums of the sees volvg tgoometc fuctos. These esults e used to obt some dettes d to clculte some defte tegls. Key wods: Sees, tgoometc fuctos, dettes, defte tegls. Itoduccó E u tbjo teo, Bssl [] obtee lguos esultdos sobe cets sees e tegles que voluc δ y fucoes tgoométcs, dode 5 ( ) δ 46 E este tbjo se sgue l msm técc usd e [] p deduc, de me secll, ls sums de ls sees cos se

2 Algus sees tegles co fucoes tgoométcs Revst Tecocetífc URU, Nº Julo - Dcembe ( - 9) Luego, se d fómuls de ecuec que pemte mpl los esultdos. Tmbé se obtee vloes de lgus tegles defds co fucoes tgoométcs. Ls opecoes que se elz co ls sees está justfcds po l covegec ufome de ls msms. Algus sees tgoométcs Se C, cos y S, se Etoces se tee que de dode Usdo el esultdo Iguldo ls ptes eles e mgs, qued (, ) + (, ) ( cos + se ) C S Elevdo l cuddo e mbs ecucoes y sumdo, se tee Etoces, esult ls fómuls cos C (, ) cos, < () cos se S (, ) se, cos < () z e ( e, z < z C + S, < e C S e C + S C + S C S cos se C + S C + S C C S C + + S ) cos y C S + S se cos se cos

3 Alfedo Vlllobos y Gley Gcí Revst Tecocetífc URU, Nº Julo - Dcembe ( - 9) ls cules so dds e [, pág. 76]. Devdo especto e () y (), se tee que C S cos C (, ) cos () C se S (, ) se (4) Efectudo ls devds, esult ( [ ) cos ] ( cos ) ( ) cos ( cos ) C, cos, < S (5) (6) S, se, < ls cules tmbé pece e [, pág. 77]. Obsévese que de dode ( ) cos cos cos C C (7) (, ) cos + (, ) De gul fom S S S (8) (, ) se + (, ) Efectudo, esult C (, ) cos ( 4) ( + + ) ( cos ) cos cos, < S, se 4 ( ) ( ) 6 se se, < cos (9) ()

4 4 Algus sees tegles co fucoes tgoométcs Revst Tecocetífc URU, Nº Julo - Dcembe ( - 9) de dode Aho, ( ) cos ( ) cos + cos cos cos C (, ) cos Aálogmete, + C, C, S (, ) se S + S, S, () () Se obsev que, cotudo co este poceso, es posble geelz y obtee sums de sees de l fom ( ) (, ) C, cos S se P ello, se usá el sguete esultdo []: x x x x x x x + x + + x+ () dode ( < j) ( < j< ) j j ( ) xxx,, x x xx xx x Aplcdo el esultdo teo, se tee ( )

5 Alfedo Vlllobos y Gley Gcí Revst Tecocetífc URU, Nº Julo - Dcembe ( - 9) 5 co (poductos de los úmeos,,,,, tomdos e ode cecete) (4) de dode Es fácl ve e (4) que. De est me, se tee que ( ) ( ) cos + ( ) cos cos + cos (, ) cos cos C + C, + C, + + C, C C (5) (, ) cos (, ) <, Aálogmete, se obtee S S S (6) (, ) se (, ) E ls tbls No. y No., dds l fl del tbjo, se muest los esultdos hst 5. S se us l detdd! ( )( ) ( + ) ( )! qued! cos x ( )! lo cul tmbé puede escbse como m ( m+ )! m cos m+, <, m! (7)

6 6 Algus sees tegles co fucoes tgoométcs Revst Tecocetífc URU, Nº Julo - Dcembe ( - 9) Aálogmete, se obtee m ( m+ )! m S se m+, <, m! (8) De () se deduce fáclmete que + cos, < (9) cos Usdo () y (9) e (6), se tee se se + cos se + se cos Efectudo el poducto de Cuchy: b c, c b + qued que se se secos( ) Iguldo coefcetes de ls msms potecs de, esult l uev detdd tgoométc secos( + ) se ( + ), (,, ) () + secos + ( ) se + se ( + ) Usdo cos( + ) cos( + ) cos + se ( + ) se se se cos e (), se tee cos ( + ) se + se ( + ) se se ( + ) Peo, se cos. Luego, cos + se + se + se ( + ) cos se ( + )

7 Alfedo Vlllobos y Gley Gcí Revst Tecocetífc URU, Nº Julo - Dcembe ( - 9) de dode se obtee se + ( ) cos t,,, 7 () lo cul tmbé esult de [, pág.67 (5)]. Itegles Itegdo e () ete y, se tee ( cos ) d cos d cos Peo, Luego, esult, cos d, ( cos) d depedete de, < cos () Multplcdo e () po cosm (m fjo, m,, ) e tegdo ete y, se tee ( cos ) cos m cos cos md d cos Usdo l popedd de otogoldd se obtee ( cos) cos,, d < cos, cos cos md, m m () Multplcdo e () po se m (m fjo) e tegdo e y, se tee sese m se se md d cos Usdo l popedd de otogoldd, m se se md, m

8 8 Algus sees tegles co fucoes tgoométcs Revst Tecocetífc URU, Nº Julo - Dcembe ( - 9) se obtee se se d, <, cos Ls tegles (), () y (4) se deduce de esultdos ddos e [, pág. 44, 45]. Aplcdo el msmo pocedmeto e (5) y (6) esult, espectvmete, (4) cos cos d + cos + (5) <,, se se d + cos + los cules so esultdos más geeles. Como csos ptcules, p se obtee <,, ( [ ) cos ] cos d, < ; ( cos ) sese d, < ; ( cos ) (6) (7) (8) los cules puede deducse de esultdos ddos e [, pág. 44, 45]. Tbl No. cos C, cos, < cos

9 Alfedo Vlllobos y Gley Gcí Revst Tecocetífc URU, Nº Julo - Dcembe ( - 9) 9 Tbl No. se S, se, < cos Refeecs bblogáfcs δ 46. Bssl, W.A.: O cet fte sees d defte tegls volvg 5 ( ), Rev. Téc. Ig. Uv. Zul, Vol., No., (987), 9-4. Pudov, A. P., Bychov, Yu. A. d Mche, O. I.: Itegls d Sees, Vol, Godo d Bech Scece Publshes, New Yo, (988).. Boshte, I. y Semedev, K.: Mul de Mtemátcs p Igeeos y Estudtes, Edtol M, Moscú, (98).