Guía 6: Una cascada de figuras semejantes

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1 Guía 6: Una cascada de figuras semejantes Descripción Transformaciones Homotéticas Autor: Manuel Galaz Pérez Las acciones que se presentan en esta guía, tienen como propósito que explores las relaciones que permitirán el estudio de las Transformaciones Homotéticas. A continuación, realizarás algunas construcciones e investigarás sobre dichas propiedades. Recursos Software Geogebra. Guía 5: Una cascada de figuras semejantes. Actividades de Apropiación 1.- Visualizando la Homotecia, centro y razón i. La construcción Euclidiana de triángulos Homotéticos Active un archivo nuevo en Geogebra. En el área de trabajo, construye un triángulo. Activa las opciones del Botón que se muestra en la figura 1. figura 1 De ellas, selecciona Polígonos, como se muestra en la figura 2. figura 2 Uso de un procesador geométrico como medio didáctico USACH 1

2 En el área de trabajo, construye el triángulo ABC. Luego, dibuja un punto O en el exterior del triángulo ABC, como lo muestra la figura 3. figura 3 A este último punto se le llama Centro de Homotecia. A continuación, dibuja las semi-rectas OC, OA y OB. Activa las opciones del Botón que se muestra en la figura 4. figura 4 figura 5 figura 6 Ahora, construye un triangulo semejante a ABC. De ellas, selecciona Semi-recta que pasa por dos puntos, como se muestra en la figura 5. Haz un clic sobre el punto O y luego sobre A, así trazas OC Luego, de igual forma traza OA y OB, como se muestra en la figura 6. Activa las opciones del Botón que se muestra en la figura 7. figura 7 Uso de un procesador geométrico como medio didáctico USACH 2

3 De ellas, seleccione Nuevo punto. Haz un clic sobre OC para dibujar el punto D, como lo muestra la figura 8. Luego, por el punto D, traza una recta que sea paralela a BC. El punto que se genera en la intersección de la figura 8 recta que pasa por D y DB, rotúlalo E, como se muestra en la figura 8. Luego, traza una recta que pase por E y sea paralela a AB. Rotula F el punto de intersección (figura 8). Oculta las rectas DE y EF. Construye el triángulo DEF, como se muestra en la figura 9. Mueve el vértice D a través de OC. figura 9 Qué puede afirmar sobre los ABC y DEF? ii.- Analizando las razones de los segmentos que se forman en las semi-rectas y los vértices de los triángulos semejantes. figura 10 Activa las opciones del Botón que se muestra en la figura 10. De ellas, selecciona Inserta texto. Haga un clic en la parte superior del área de trabajo. En la ventana de diálogo Texto, activa la opción Fórmula LaTex. Uso de un procesador geométrico como medio didáctico USACH 3

4 De esa opción, selecciona Raices y fracciones. Luego, activa. En la opción Edita, escribe: "\frac{od}{oc}=" +(Distancia[O,D]/Distancia[O,C]) Luego, OK (figura 11). figura 11 De esa forma, en el área de trabajo OD ingresa la razón. OC figura 12 Mueve el vértice D a través de OC. OD Entre qué números se encuentra la razón cuando D está entre O y C? OC OD Cómo se puede expresar el intervalo donde la razón cuando D está en la prolongación de OC OC? Uso de un procesador geométrico como medio didáctico USACH 4

5 OE OF Ahora ingresa la razón y Como se muestra en la figura 13. OB OA figura 13 DF DG DE Visualizando la relación entre las razones, y. DC DA DB Mueva el vértice D. En qué rango numérico se encuentran las razones cuando FED se ubica entre el punto O y ABC? Qué valor numérico toman las razones cuando ABC y GFE se superponen? En qué rango numérico se encuentran las razones cuando FED se ubica en la prolongación de OC? Uso de un procesador geométrico como medio didáctico USACH 5

6 Qué se puede afirmar sobre ABC y FED, cuando las razones definidas toman < 1? Qué se puede afirmar sobre ABC y GFE, cuando las razones definidas toman el = 1? Qué se puede afirmar sobre ABC y FED, cuando las razones definidas toman >1? Conjetura: Utiliza los conectores Si Entonces. Qué se puede afirmar sobre ODF y OCA? Justifica Qué se puede afirmar sobre ODE y OCB? Justifica Qué se puede afirmar sobre OEF y OBA? Justifica Uso de un procesador geométrico como medio didáctico USACH 6

7 2.- Visualizando una cascada de Semejanzas i.- Abre un nuevo archivo en Geogebra. En el área de trabajo, construye el triángulo ABC. Luego, dibuja un punto O en el exterior del triángulo ABC, como lo muestra la figura 14. figura 14 A continuación, construya las rectas OA, OB y OC. figura 15 Activa las opciones del Botón que se muestra en la figura 16. figura 16 figura 17 De ellas, selecciona Homotecia desde un punto por un Factor de Escala, como se muestra en la figura 17. Uso de un procesador geométrico como medio didáctico USACH 7

8 Haga un clic sobre ABC. Luego, un clic sobre el punto O. En la ventana de diálogo Homotecia desde un punto por un Factor de Escala, en la sección Número ingrese 2, como se muestra en la figura 18. Luego, Aplica. figura 18 Repita las acciones anteriores, ingresando respectivamente los siguientes valores: 1.5, 0.5, -0.5, -1, -1.5 y -2. figura 19 Visualizando la cascada de semejanzas Mueva el punto O. Qué puede señalar acerca de la semejanza de triángulos? Mueva el punto O y ubíquelo sobre el vértice B. Nuevamente, qué puede señalar acerca de la semejanza de triángulos? Cambie la forma de ABC moviendo el vértice B y repita las acciones anteriores. Uso de un procesador geométrico como medio didáctico USACH 8

9 Actividades de Exploración Desafíos 1. Inscribir ub cuadrado en un triángulo, dado tal que dos vértices del cuadrado deben hallarse sobre la base del triángulo y los otros dos vértices del cuadrado sobre cada uno de los otros dos lados del triángulo respectivamente. 2. Construcción del siguiente enunciado (Teorema de Ceva) Dados un triángulo ABC y un punto P. Sean A, B y C los puntos donde las semi rectas AP, BP y CP cortan a los respectivos lados opuestos BC, CA y AB, entonces: AC' * C' B BA' AC ' * CB' B' A = 1 Visualizando la propiedad figura 23 Mueva el punto P. Qué ocurre si el punto P es ubicado sobre uno de los lados del triángulo? Qué ocurre si el punto P es ubicado sobre uno de los vértices del triángulo? Qué ocurre si el punto P es ubicado en el exterior del triángulo? Uso de un procesador geométrico como medio didáctico USACH 9

10 3. Construcción del siguiente enunciado (Teorema de Menelao) Si los lados BC, CA, y AB de un triángulo ABC se cortan por una recta según los puntos A, B y C respectivamente, entonces entonces: AC' * C' B BA' AC ' * CB' B' A = 1 figura 24 Visualizando la propiedad Mueva el punto C a lo largo de AB. Qué ocurre si el punto C es ubicado entre A y B? Qué ocurre si el punto C es ubicado fuera de AB? Mueva el punto B a lo largo de AC. Qué ocurre si el punto es ubicado entre A y C? Qué ocurre si el punto es ubicado sobre los vértices A y C? Uso de un procesador geométrico como medio didáctico USACH 10

11 4. Construcción del siguiente enunciado (Teorema de Pappus) Los puntos A, B, C y A, B, C están respectivamente en dos rectas y, además, BC y B C se intersectan en P, CA y A C se intersectan en Q; AB y A B se intersectan en R. Entonces los puntos P, Q y R son colineales Visualizando la propiedad Mueva el punto A, B, C y A, B, C largo de las respectivas rectas. Cómo puede explicar esta propiedad? 5. Construcción del siguiente enunciado (Teorema de Desargues) Dados dos triángulos ABC y EFG tales que las rectas AE, BF y CG concurren en D, las rectas BC y FG se intersectan en H, las rectas CA y GE lo hacen en I y las rectas AB y EF lo hacen en J, entonces los puntos H, I y J son colineales y, recíprocamente, si H, I, J son colineales, entonces las rectas AE, BF y CG son concurrentes. Visualizando la propiedad Mueva el punto D y los vértices de cada triángulo a largo de las respectivas rectas. Cómo puede explicar esta propiedad? Uso de un procesador geométrico como medio didáctico USACH 11

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