Carlos Ivorra Castillo

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1 Carlos Ivorra Castillo ANÁLISIS MATEMÁTICO

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3 Si una cantidad no negativa fuera tan pequeña que resultara menor que cualquier otra dada, ciertamente no podría ser sino cero. A quienes preguntan qué es una cantidad infinitamente pequeña en matemáticas, nosotros respondemos que es, de hecho, cero. Así pues, no hay tantos misterios ocultos en este concepto como se suele creer. Esos supuestos misterios han convertido el cálculo de lo infinitamente pequeño en algo sospechoso para mucha gente. Las dudas que puedan quedar las resolveremos por completo en las páginas siguientes, donde explicaremos este cálculo. Leonhard Euler

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5 Índice General Introducción ix Capítulo I: Topología Espacios topológicos Bases y subbases Productos y subespacios Algunos conceptos topológicos Continuidad Límites de funciones Convergencia de sucesiones Sucesiones y series numéricas Capítulo II: Compacidad, conexión y completitud Espacios compactos Espacios conexos Espacios completos Espacios de Hilbert Aplicaciones a las series numéricas Espacios de funciones Apéndice: El teorema de Baire Capítulo III: Cálculo diferencial de una variable Derivación Cálculo de derivadas Propiedades de las funciones derivables La diferencial de una función El teorema de Taylor Series de potencias La función exponencial Las funciones trigonométricas Primitivas Apéndice: La trascendencia de e y π v

6 vi ÍNDICE GENERAL Capítulo IV: Cálculo diferencial de varias variables Diferenciación Propiedades de las funciones diferenciables Curvas parametrizables Capítulo V: Introducción a las variedades diferenciables Variedades Espacios tangentes, diferenciales La métrica de una variedad Geodésicas Superficies La curvatura de Gauss Capítulo VI: Ecuaciones diferenciales ordinarias La integral de Riemann Ecuaciones diferenciales de primer orden Ecuaciones diferenciales de orden superior Capítulo VII: Teoría de la medida Medidas positivas Funciones medibles La integral de Lebesgue El teorema de Riesz La medida de Lebesgue Capítulo VIII: Teoría de la medida II Producto de medidas Espacios L p Medidas signadas Derivación de medidas El teorema de cambio de variable Capítulo IX: Formas diferenciales Integración en variedades El álgebra exterior El álgebra de Grassmann Algunos conceptos del cálculo vectorial Capítulo X: El teorema de Stokes Variedades con frontera La diferencial exterior El teorema de Stokes Aplicaciones del teorema de Stokes Las fórmulas de Green El teorema de Stokes con singularidades Apéndice: Algunas fórmulas vectoriales

7 ÍNDICE GENERAL vii Capítulo XI: Cohomología de De Rham Grupos de cohomología Homotopías Sucesiones exactas Aplicaciones al cálculo vectorial Capítulo XII: Funciones Harmónicas El problema de Dirichlet sobre una bola Funciones holomorfas Funciones subharmónicas El problema de Dirichlet Capítulo XIII: Aplicaciones al electromagnetismo Electrostática Magnetostática Las ecuaciones de Maxwell La ecuación de ondas Soluciones de las ecuaciones de Maxwell Bibliografía 475 Índice de Materias 476

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9 Introducción En el siglo XVII Newton y Leibniz descubren independientemente el análisis matemático o cálculo infinitesimal, una potentísima herramienta que revolucionó el tratamiento matemático de la física y la geometría, y que más tarde impregnaría las más diversas ramas de la matemática, como la estadística o la teoría de números. Esencialmente, el cálculo infinitesimal consistía por una parte en analizar o descomponer la dependencia entre varias magnitudes estudiando el comportamiento de unas al variar o diferenciar levemente otras (lo que constituía el cálculo diferencial) y por otra parte en integrar los resultados diferenciales para obtener de nuevo resultados globales sobre las magnitudes en consideración (el llamado cálculo integral). Es difícil que un lector que no tenga ya algunas nociones de cálculo pueda entender cabalmente el párrafo anterior, pero las nuevas ideas eran aún más difíciles de entender de la pluma de sus descubridores. El primer libro de texto que se publicó con el fin de explicarlas sistemáticamente fue el Análisis del marqués de l Hôpital. Veamos algunos pasajes: La parte infinitamente pequeña en que una cantidad variable es aumentada o disminuida de manera continua, se llama la diferencial de esta cantidad. Siguiendo la notación leibniziana, L Hôpital explica que la letra d se usa para representar uno de estos incrementos infinitamente pequeños de una magnitud, de modo que dx representa un incremento diferencial de la variable x, etc. En ningún momento se precisa qué debemos entender por un aumento infinitamente pequeño de una cantidad, pero en compensación se presentan varias reglas para tratar con diferenciales. Por ejemplo: Postúlese que dos cantidades cuya diferencia es una cantidad infinitamente pequeña pueden intercambiarse una por la otra; o bien (lo que es lo mismo) que una cantidad que está incrementada o disminuida solamente en una cantidad infinitamente menor, puede considerarse que permanece constante. Así, por ejemplo, si analizamos el incremento infinitesimal que experimenta un producto xy cuando incrementamos sus factores, obtenemos d(xy) = (x + dx)(y + dy) xy = x dy + y dx + dxdy = x dy + y dx, ix

10 x Introducción donde hemos despreciado el infinitésimo doble dxdy porque es infinitamente menor que los infinitésimos simples x dy e y dx. Es fácil imaginar que estos razonamientos infinitesimales despertaron sospechas y polémicas. Baste citar el título del panfleto que en 1734 publicó el obispo de Berkeley: El analista, o discurso dirigido a un matemático infiel, donde se examina si los objetos, principios e inferencias del análisis moderno están formulados de manera más clara, o deducidos de manera más evidente, que los misterios religiosos y los asuntos de la fe. En esta fecha el cálculo infinitesimal tenía ya más de medio siglo de historia. La razón por la que sobrevivió inmune a estas críticas y a la vaguedad de sus fundamentos es que muchos de sus razonamientos infinitesimales terminaban en afirmaciones que no involucraban infinitésimos en absoluto, y que eran confirmados por la física y la geometría. Por ejemplo, consideremos la circunferencia formada por los puntos que satisfacen la ecuación x 2 + y 2 = 25. Aplicando la regla del producto que hemos demostrado antes al caso en que los dos factores son iguales obtenemos que dx 2 = 2x dx e igualmente será dy 2 = 2y dy. Por otra parte, d25 = 0, pues al incrementar la variable x la constante 25 no se ve incrementada en absoluto. Si a esto añadimos que la diferencial de una suma es la suma de las diferenciales resulta la ecuación diferencial 2x dx + 2y dy = 0, de donde a su vez dy dx = x y. Esto significa que si tomamos, por ejemplo, el punto (3, 4) de la circunferencia e incrementamos infinitesimalmente su coordenada x, la coordenada y disminuirá en 3/4 dx. Notemos que esto es falso para cualquier incremento finito de la variable x, por pequeño que sea, pues si valiera para incrementos suficientemente pequeños resultaría que la circunferencia contendría un segmento de la recta y 4 = 3 (x 3), 4 lo cual no es el caso. Vemos que ésta se comporta igual que la circunferencia para variaciones infinitesimales de sus variables alrededor del punto (3, 4), aunque difiere de ella para cualquier variación finita. La interpretación geométrica es que se trata de la recta tangente a la circunferencia por el punto (3, 4). El argumento será nebuloso y discutible, pero lo aplastante del caso es que nos proporciona un método sencillo para calcular la tangente a una circunferencia por uno cualquiera de sus puntos. De hecho el método se aplica a cualquier curva que pueda expresarse mediante una fórmula algebraica razonable, lo que

11 xi supera con creces a las técnicas con las que contaba la geometría analítica antes del cálculo infinitesimal. A lo largo del siglo XIX la matemática emprendió un proceso de fundamentación que terminó con una teoría formal donde todos los conceptos están perfectamente definidos a partir de unos conceptos básicos, los cuales a su vez están completamente gobernados por unos axiomas precisos. Las ambigüedades del cálculo infinitesimal fueron el motor principal de este proceso. En los años sesenta del siglo XX se descubrió que una delicada teoría lógica, conocida como análisis no estándar permite definir rigurosamente cantidades infinitesimales con las que fundamentar el cálculo a la manera de Leibniz y L Hôpital, pero no es ése el camino habitual ni el que nosotros vamos a seguir. Lo normal es erradicar los infinitésimos de la teoría, pero no así el formalismo infinitesimal. En ocasiones los símbolos dy, dx aparecen en ciertas definiciones en bloque, sin que se les pueda atribuir un significado independiente, como cuando se define la derivada de una función y = y(x) mediante dy dx = lím x 0 y(x + x) y(x). x De este modo, el cociente de diferenciales tiene el mismo significado que para Leibniz, en el sentido de que al calcularlo obtenemos el mismo número o la misma función que él obtenía, pero con la diferencia de que ya no se trata de un cociente de diferenciales, no es un cociente de nada. La definición anterior nos permite hablar de dy/dx, pero no de dy o de dx. No obstante se puede ir más lejos y dar una definición adecuada de dx y dy de modo que se pueda probar la equivalencia dy = f(x) dy = f(x) dx. dx Es algo parecido al paso de una relación algebraica como xy 2 = x + 4y 3, donde x e y son, digamos, números reales indeterminados, a la misma expresión entendida como una igualdad de polinomios, donde ahora x e y son indeterminadas en un sentido matemático muy preciso. Por ejemplo, según una definición habitual del anillo de polinomios R[x, y], la indeterminada x es la aplicación de los pares de números naturales en R dada por x(1, 0) = 1 y x(i, j) = 0 para cualquier otro par, es decir, algo que en nada recuerda a un número real indeterminado. Al introducir las formas diferenciales muchos libros modernos insisten en recalcar que los objetos como dx son puramente formales como las indeterminadas en un anillo de polinomios, que no tienen un singificado intrínseco, sino que simplemente son objetos diseñados para que se comporten según ciertas reglas que se adaptan a las propiedades de las derivadas e integrales. Llegan incluso a perdir disculpas por lo excesivamente vacía y abstracta que resulta la teoría en torno a ellos. Explican que, pese a ello, merece la pena el esfuerzo de familiarizarse con ella porque al final se ve su gran (y sorprendente) utilidad. En este libro insistiremos en todo momento en que las diferenciales tienen un significado intrínseco muy concreto e intuitivo, y trataremos de evidenciarlo

12 xii Introducción desde el primer momento, de modo que sin desmerecer la profundidad de la teoría su utilidad y buen comportamiento no resulta sorprendente en absoluto. Su interpretación no será, naturalmente la de incrementos infinitesimales, sino la de aproximaciones lineales, aceptables al menos en los alrededores de los puntos. Esta interpretación los mantiene en todo momento muy cerca de los hipotéticos infinitésimos en los que están inspirados. Muchos libros de física continúan trabajando con razonamientos infinitesimales al estilo antiguo, los cuales les permiten llegar rápidamente y con fluidez a resultados importantes a cambio de sacrificar el rigor lógico. Aquí adoptaremos una posición intermedia entre los dos extremos: seremos rigurosos, pero no formalistas, daremos pruebas sin saltos lógicos, pero llegaremos a resultados enunciados de tal modo que resulten transparentes en la práctica, emulando así la fluidez de los razonamientos infinitesimales. Hay un caso en que los razonamientos infinitesimales están plenamente justificados, y es cuando se trata de motivar una definición. Por ejemplo, a partir de la ley de gravitación de Newton para dos masas puntuales puede deducirse que el campo gravitatorio generado por una distribución continua de masa contenida en un volumen V con densidad ρ viene dado por E(x) = G V ρ(y) (x y) dy. kx yk3 La deducción no puede considerarse una demostración matemática, pues la fórmula anterior tiene el status lógico de una definición, luego es un sinsentido tratar de demostrarla. En todo caso se podría complicar la definición sustituyéndola por otra que mostrara claramente su conexión con las masas puntuales y después probar que tal definición es equivalente a la anterior. La prueba se basaría en la posibilidad de aproximar integrales por sumas finitas y con toda seguridad sería bastante prolija. Esta opción sería absurda tanto desde el punto de vista formal ( para qué sustituir una definición sencilla por otra complicada?) como desde el punto de vista físico ( para qué entrar en disquisiciones δ que acabarán donde todos sabemos que tienen que acabar?). En cambio, un argumento en términos de infinitésimos convence a cualquiera de que esta definición es justamente la que tiene que ser. 1 Del mismo modo podemos convencernos de que el potencial gravitatorio determinado por una distribución de masa ρ debe ser V (x) = G V ρ(y) kx yk dy. Ahora bien, de aceptar ambos hechos tendríamos como consecuencia la relación E = V, pues el potencial de un campo de fuerzas es por definición la función que cumple esto. Sin embargo esto ya no es una definición, sino una afirmación sobre dos funciones que podría ser falsa en principio y que, por consiguiente, requiere una demostración. Muchos libros de física dan por sentado 1 A cualquiera menos a un formalista puro, quien no le encontrará sentido, pero es que, como alguien dijo, un formalista es alguien incapaz de entender algo a menos que carezca de significado.

13 xiii este hecho, incurriendo así en una laguna lógica que nosotros cubriremos. Así pues, cuando el lector encuentre en las páginas que siguen un razonamiento en términos de diferenciales deberá observar que o bien desemboca en una definición o bien está completamente avalado por teoremas previos que justifican las manipulaciones de diferenciales. Este libro ha sido escrito siguiendo cuatro guías principales: Presentar los resultados más importantes del análisis matemático real. Concretamente abordamos el cálculo diferencial e integral de una y varias variables reales, las ecuaciones diferenciales ordinarias y, aunque no hay ningún capítulo dedicado específicamente a ellas, estudiamos varias ecuaciones en derivadas parciales: la ecuación de Lagrange, la de Poisson, la ecuación de ondas y las ecuaciones de Maxwell. También planteamos la ecuación del calor, si bien no entramos en su estudio. Aunque, como ya hemos dicho, nos centramos en el análisis real, estudiamos las series de potencias complejas, introduciendo en particular la exponencial y las funciones trigonométricas complejas, y a partir de la teoría de funciones harmónicas y el teorema de Stokes demostramos algunos de los resultados fundamentales sobre las funciones holomorfas (esencialmente el teorema de los residuos). Justificar todas las definiciones, sin caer en la falacia formalista de que la lógica nos da derecho a definir lo que queramos como queramos sin tener que dar explicaciones. Pensemos, por ejemplo, en la definición de área de una superficie. Muchos libros se limitan a definirla mediante una fórmula en términos de expresiones coordenadas, sin más justificación que la demostración de su consistencia (de que no depende del sistema de coordenadas elegido). Otros aceptan como motivación el teorema de cambio de variables, considerando que es natural tomar como definición de cambio de variables entre un abierto de R n y un abierto en una variedad lo que entre dos abiertos de R n es un teorema nada trivial. No podemos resumir nuestro enfoque en pocas líneas, pero invitamos al lector a que preste atención a la justificación de éste y muchos otros conceptos. Mostrar la fundamentación del cálculo infinitesimal clásico, en lugar de sustituirlo por otro cálculo moderno mucho más rígido y abstracto. Por ejemplo, a la hora de desarrollar una teoría de integración potente es imprescindible introducir la teoría de la medida abstracta y sus resultados más importantes. A ello dedicamos los capítulos VII y VIII, pero tras ello, en el capítulo siguiente, envolvemos toda esta teoría abstracta en otra mucho más elástica y natural, la teoría de formas diferenciales, que requiere a la anterior como fundamento, pero que termina por ocultarla, de modo que a partir de cierto punto es muy rara la ocasión en que se hace necesario trabajar explícitamente con las medidas y sus propiedades. Mostrar la aplicación y la utilidad de los resultados teóricos que presentamos. Las primeras aplicaciones tienen que ver con la geometría, pero paulatinamente van siendo desplazadas por aplicaciones a la física. En

14 xiv Introducción la medida de lo posible hemos evitado presentar las aplicaciones como animales enjaulados en un zoológico, es decir, desvinculadas de sus contextos naturales, de manera que den más la impresión de anécdotas que de verdaderos éxitos del cálculo infinitesimal. En el caso de la física vamos introduciendo los conceptos fundamentales (velocidad, aceleración, fuerza, energía, etc.) según van siendo necesarios, de modo que de estas páginas podría extraerse una sucinta introducción a la física. En lo tocante a la geometría, por los motivos explicados en el segundo punto nos hemos restringido a trabajar con subvariedades de R n, es decir, hemos evitado la definición abstracta de variedad para tener así una interpretación natural de los espacios tangentes y su relación con la variedad. En algunos ejemplos concretos necesitamos que el lector esté familiarizado con la geometría proyectiva, la teoría de las secciones cónicas y otros puntos de la geometría pre-diferencial. Los hemos marcado con un asterisco. Ninguno de estos ejemplos es necesario para seguir el resto del libro. Uno de ellos, el del plano proyectivo, lo usamos de forma no rigurosa para ilustrar la necesidad de una definición más general de variedad, mostrando que muchos de los conceptos que definimos para una subvariedad de R 3 son aplicables formalmente al caso del plano proyectivo, si bien la teoría de que disponemos no nos permite justificar esta aplicación. De los puntos anteriores no debe leerse entre líneas una cierta aversión hacia el análisis abstracto. Al contrario, creemos que este libro puede ser continuado de forma natural en muchas direcciones: la teoría espectral, la teoría de distribuciones, el análisis de Fourier, el cálculo variacional, la teoría de funciones de variable compleja, la geometría diferencial y la topología general. Por citar algunos ejemplos, nosotros probamos que el problema de Dirichlet tiene solución en una familia muy amplia de abiertos para unas condiciones de frontera dadas, pero la resolución explícita en casos concretos requiere de la transformada de Fourier, que en general se aplica a muchas otras ecuaciones en derivadas parciales. Por otra parte, la transformada de Fourier permite descomponer una onda en su espectro continuo de frecuencias. Cuando se estudia la solución de la ecuación de ondas en abiertos distintos de todo R 3 aparecen las ondas estacionarias, que llevan al análisis espectral y, en casos particulares, a la teoría de series de Fourier o de las funciones de Bessel entre otras. Los problemas de gravitación o electromagnetismo que involucran masas y cargas puntuales o corrientes eléctricas unidimensionales pueden unificarse con los problemas que suponen distribuciones continuas de masas, cargas y corrientes a través de la teoría de distribuciones. Tampoco nos gustaría que las comparaciones que hemos hecho con otros libros se interpreten a modo de crítica. Tan sólo queremos hacer hincapié en que nuestros objetivos son distintos a los de muchos otros libros. Somos conscientes de que nuestro propósito de justificar las definiciones más allá de una motivación más o menos dudosa nos ha llevado a seguir caminos mucho más profundos y laboriosos que los habituales, por lo que, a pesar de su carácter autocontenido en lo tocante a topología y análisis, es muy difícil que este libro sea de utilidad a un lector que no cuente ya con una cierta familiaridad con la materia. Por ello

15 es obvio que un libro cuya finalidad principal sea didáctica, o bien que quiera profundizar más que nosotros en física o geometría diferencial, deberá pasar por alto muchas sutilezas en las que nosotros nos hemos detenido. Comentamos, para terminar, que al lector se le supone únicamente unos ciertos conocimientos de álgebra, especialmente de álgebra lineal, y algunas nociones elementales de geometría (salvo para los ejemplos marcados con un asterisco). Esporádicamente serán necesarios conocimientos más profundos, como para la prueba de la trascendencia de e y π, sobre todo en la de π, o al estudiar el concepto de orientación, donde para interpretar el signo del determinante de una biyección afín usamos que el grupo especial lineal de R n está generado por las transvecciones. Ninguno de estos hechos se necesita después. xv

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17 Capítulo I Topología La topología puede considerarse como la forma más abstracta de la geometría. El concepto principal que puede definirse a partir de la estructura topológica es el de aplicación continua, que viene a ser una transformación realizada sin cortes o saltos bruscos o, dicho de otro modo, que transforma puntos próximos en puntos próximos. Los resultados topológicos son aplicables tanto a la geometría propiamente dicha como a la descripción de otros muchos objetos más cercanos a la teoría de conjuntos general, si bien aquí nos centraremos en la vertiente geométrica. Al combinarla con el álgebra obtendremos el cálculo diferencial, que constituye la herramienta más potente para el estudio de la geometría. 1.1 Espacios topológicos Según acabamos de comentar, una aplicación continua es una aplicación que transforma puntos próximos en puntos próximos. Nuestro objetivo ahora es definir una estructura matemática en la que esta afirmación pueda convertirse en una definición rigurosa. En primer lugar conviene reformularla así: una aplicación continua es una aplicación que transforma los puntos de alrededor de un punto dado en puntos de alrededor de su imagen. En efecto, si cortamos una circunferencia por un punto P para convertirla en un segmento, la transformación no es continua, pues los puntos de alrededor de P se transforman unos en los puntos de un extremo del segmento y otros en los puntos del otro extremo, luego no quedan todos alrededor del mismo punto. En cambio, podemos transformar continuamente (aunque no biyectivamente) una circunferencia en un segmento sin más que aplastarla. 1

18 2 Capítulo 1. Topología Una forma de dar rigor al concepto de puntos de alrededor de un punto dado es a través de una distancia. Veremos que no es lo suficientemente general, pero sí muy representativa. La formalización algebraica de la geometría euclídea se lleva a cabo a través de R n. Su estructura vectorial permite definir los puntos, rectas, planos, etc. y a ésta hay que añadirle la estructura métrica derivada del producto escalar: nx xy = x i y i. i=1 A partir de él se definen los dos conceptos fundamentales de la geometría métrica: la longitud de un vector y el ángulo entre dos vectores. En efecto, la longitud de un vector es la norma v kxk = ux xx = t n x 2 i, y el ángulo α que forman dos vectores no nulos x, y viene dado por cos α = xy kxk kyk. Estas estructuras son demasiado particulares y restrictivas desde el punto de vista topológico. La medida de ángulos es un sinsentido en topología, y la de longitudes tiene un interés secundario, pues no importan las medidas concretas sino tan sólo la noción de proximidad. En primer lugar generalizaremos el concepto de producto escalar para admitir como tal a cualquier aplicación que cumpla unas mínimas propiedades: Definición 1.1 Usaremos la letra K para referirnos indistintamente al cuerpo R de los números reales o al cuerpo C de los números complejos. Si α K, la notación ᾱ representará al conjugado de α si K = C o simplemente ᾱ = α si K = R. Si H es un K-espacio vectorial, un producto escalar en H es una aplicación : H H K que cumple las propiedades siguientes: a) x y = y x, b) (x + y) z = x z + y z, c) (αx) y = α(x y), d) x x 0 y x x = 0 si y sólo si x = 0, para todo x, y, z H y todo α K. Notar que a) y b) implican también la propiedad distributiva por la derecha: x (y + z) = x y + x z. Un espacio prehilbertiano es un par (H, ), donde H es un K-espacio vectorial y es un producto escalar en H. En la práctica escribiremos simplemente H en lugar de (H, ). Si H es un espacio prehilbertiano, definimos su norma asociada como la aplicación k k : H R dada por kxk = x x. i=1

19 1.1. Espacios topológicos 3 Ejemplo Un producto escalar en el espacio K n viene dado por x y = x 1 ȳ x n ȳ n. De este modo, kxk = p x x n 2. Teorema 1.2 Sea H un espacio prehilbertiano y sean x, y H. Entonces a) (desigualdad de Schwarz) x y kxk kyk. b) (desigualdad triangular) kx + yk kxk + kyk. Demostración: a) Sean A = kxk 2, B = x y y C = kyk 2. Existe un número complejo α tal que α = 1 y α(y x) = B. Para todo número real r se cumple 0 (x rαy) (x rαy) = x x rα(y x) rᾱ(x y) + r 2 y y. Notar que ᾱ(x y) = B = B, luego A 2Br + Cr 2 0. Si C = 0 ha de ser B = 0, o de lo contrario la desigualdad sería falsa para r grande. Si C > 0 tomamos r = B/C y obtenemos B 2 AC. b) Por el apartado anterior: kx + yk 2 = (x + y) (x + y) = x x + x y + y x + y y kxk 2 + 2kxk kyk + kyk 2 = (kxk + kyk) 2. Notar que x y + y x es un número real, luego x y + y x x y + y x x y + y x. La norma permite definir una distancia entre puntos con la que formalizar el concepto de proximidad que nos interesa, pero para ello no es necesario que la norma provenga de un producto escalar. Conviene aislar las propiedades de la norma que realmente nos hacen falta para admitir como tales a otras muchas aplicaciones: Definición 1.3 Si E es un espacio vectorial sobre K, una norma en E es una aplicación k k : E [0, + [ que cumpla las propiedades siguientes: a) kvk = 0 si y sólo si v = 0. b) kv + wk kvk + kwk. c) kα vk = α kvk, para v, w E y todo α K.

20 4 Capítulo 1. Topología Un espacio normado es un par (E, k k) en estas condiciones. En la práctica escribiremos E, sin indicar explícitamente la norma. Es inmediato comprobar que la norma de un espacio prehilbertiano es una norma en el sentido general de la definición anterior. En particular K n es un espacio normado con la norma del ejemplo anterior, que recibe el nombre de norma euclídea. El teorema siguiente nos da otras dos normas alternativas. La prueba es elemental. Teorema 1.4 K n es un espacio normado con cualquiera de estas normas: v nx ux kxk 1 = x i, kxk 2 = t n x i 2, kxk = máx x i Ø i = 1,..., n. i=1 i=1 Notar que para n = 1 las tres normas coinciden con el valor absoluto. El hecho de que estas tres aplicaciones sean normas permite obtener un resultado más general: Teorema 1.5 Sean E 1,..., E n espacios normados. Entonces las aplicaciones siguientes son normas en E = E 1 E n. v nx ux kxk 1 = kx i k, kxk 2 = t n kx i k 2, kxk = máx kx i k Ø i = 1,..., n. i=1 i=1 Además se cumplen las relaciones: kxk kxk 2 kxk 1 nkxk. Demostración: Tenemos kxk i = k(kx 1 k,..., kx n k)k i para i = 1, 2,. Usando el teorema anterior se ve inmediatamente que son normas. v kxk = p v ux kxk 2 t n u nx kx i k 2 = kxk 2 t kx i k kx j k i=1 v u n = t X 2 kx i k! = kxk 1 i=1 i=1 kx i k X i<j nx kxk = nkxk. i=1 Notemos también que las normas del teorema 1.4 coinciden con las construidas mediante este último teorema a partir del valor absoluto en K. Ejercicio: Probar que en un espacio normado se cumple Ø Ø kxk kyk Ø Ø kx yk. Como ya hemos comentado, desde un punto de vista topológico el único interés de las normas es que permiten definir la distancia entre dos puntos como d(x, y) = kx yk. Sin embargo, a efectos topológicos no es necesario que una distancia esté definida de este modo.

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