Aplicaciones Numéricas de la derivada

Transcripción

1 Aplicaciones Numéricas de la derivada por Oliverio Ramírez La derivada como razón de cambio. De acuerdo con Fuenlabrada (001, p.151) razón es comparar dos cantidades por su cociente, es decir, a través de una fracción como: 5$/kg, 10 km/h, 0$/Litro, pastillas/día. Recuerdas cómo se expresa una derivada? dy cambio de f '( x) = = dx cambio de " y" " x" De acuerdo con su definición, la derivada es una herramienta útil para conocer la razón de cambio de una función en un valor determinado, por lo que suele utilizarse para resolver muchos problemas de ingeniería. (Smith, R. y Minton, R., 000). Ejemplo 1: Aplicación en la física. La posición de una bicicleta que se desplaza a lo largo de t una carretera recta puede expresarse como x =, donde 40 la posición (x) está en metros y el tiempo (t) en segundos. Determina la velocidad con la que se mueve la bicicleta en el tiempo t=5seg. 1. Off. Magiera, Ch. (006). La velocidad instantánea de un objeto puede definirse como el cambio de posición que sufre un objeto en un intervalo muy pequeño de tiempo (Giancoli, D., 00). En forma matemática: v = lim0 Δt Δx Δt = dx 1

2 Por lo que si deseamos conocer la velocidad, o razón de cambio de la posición respecto al tiempo, sólo es necesario derivar la función. dx = d t dx 40 = 1 40 d ( dx t ) = 1 ( 40 t) = t 0 t La razón de cambio de la posición respecto al tiempo está dada por la derivada 0 queremos conocer la velocidad en el tiempo t=5seg, sustituimos el valor en la expresión: 5 1 v ( 5) = = = 0.5m / s 0 4 Lo anterior implica que la velocidad de la bicicleta en el tiempo t=5seg, es igual a 0.5m/s., y si Ejemplo : Continuando con la bicicleta. Si consideramos la bicicleta del ejemplo anterior Cuál es la posición de la bicicleta después de 45 segundos? Como se cuenta con una función que representa la posición de la bicicleta con respecto al tiempo, solamente se sustituye el valor conocido del tiempo, queda x = t ( ) 40 = = 50.65m. Gaining. Magiera, Ch. (006). Esto indica que en 45 segundos se habrán recorrido metros.

3 Ejemplo 3: y la aceleración? Al igual que la velocidad representa un cambio en la posición con respecto al tiempo la aceleración representa un cambio en la velocidad con respecto al tiempo. De esta forma, la aceleración también puede representarse mediante una derivada. a = lim0 Δt Δv Δt = dv Aplicando este resultado a la velocidad calculada en el ejemplo 1, es posible determinar una expresión matemática para la aceleración, tenemos, dx d t 1 d = = t dx 0 0 dx 1 0 ( ) = ( 1) Lo anterior implica que la aceleración de la bicicleta es igual a 1/0 m/s, que es constante (porque ya no depende del tiempo), e implica que la velocidad de la bicicleta va aumentando a razón de 1/0 m/s por cada segundo que transcurre. Interesante, no crees? Esta idea de medir el cambio de una variable respecto a otra, se puede aplicar en muchas otras situaciones, por ejemplo: cómo cambian las ganancias o pérdidas de una empresa respecto al tiempo. cómo cambia el costo de un producto respecto al número de unidades que se producen. cómo cambia la temperatura del agua respecto al tiempo cuando se enfría en el congelador. = 1 0 Te invito a que continúes analizando algunos ejemplos más en diferentes áreas del conocimiento. 3

4 Ejemplo 4: Aplicación en las finanzas Supón que las ganancias anuales brutas de una compañía dedicada a la elaboración de muebles, (t) años después de su formación en 1999, fue de G( t) = 1000(t + 100t + 00) en donde G(t) representa la ganancia en pesos. Si deseamos conocer la forma en que han aumentado las ganancias respecto al tiempo, necesitamos calcular la razón 3. 3D Business Graph. Szczepanski, P. (008). de cambio, es decir la derivada de las ganancias respecto al tiempo. Utilizando los teoremas de derivación obtenemos: G ( t) = 1000(t + 100t + 00) G '( t) = = 1000(4t + 100) Esta función expresa la variación que tienen las ganancias en un tiempo determinado. De esta manera, si quieres conocer con qué razón crecieron las ganancias con respecto al tiempo y específicamente hasta el 007, sólo tienes que sustituir el valor del tiempo en la razón de cambio anterior. En este caso t=8 porque ocho es el número de años que han transcurrido desde 1999 hasta el 007. Al sustituir t = 8 en obtienes G '(8) = = 1000(4(8) + 100) G '(8) = = 1000( ) = 1000(13) = 13,000 Las ganancias crecieron a una razón de $ por año. 4

5 En algunas ocasiones, es conveniente calcular la razón de cambio porcentual, que está dada por la siguiente relación: Razón de cambio porcentual = 100 f '( x) f ( x) De esta forma, para calcular a qué razón porcentual crecieron las ganancias anuales brutas con respecto al tiempo en el 007, tenemos: G ( t) = 1000(t + 100t + 00) G (8) = 1000((8) + 100(8) + 00) = 1000((64) ) G ( 8) = 1000( ) = 1000(118) = (1,18,000) G'(8) 13,000 Razón de cambio porcentual = 100 = 100 = G(8) 1,18,000 Las ganancias crecieron un 11.70% anual. Ejemplo 5: Aplicación en la química La ley de Boyle para los gases perfectos establece que a una temperatura constante la presión y la temperatura pueden relacionarse como: 4. Ley de Boyle Mariotte. Wikimedia Commons. (006). Donde, P es la presión; V, el Volumen; y K, una constante. Si la Presión (P) de cierto gas puede representarse en función del tiempo como: donde P está en mm de Mercurio y t en segundos. Determina la razón de cambio del Volumen respecto al tiempo cuando t=6 seg., si el volumen inicial (cuando t=0) es de 80cm 3. (Herrera, A. y Pattriti, H., 004) 5

6 Solución Observa la ecuación, cuál es la variable dependiente? Para poder encontrar la razón de cambio, debemos reescribir la función para que el volumen sea la variable dependiente. Esto lo realizamos al pasar P como divisor del otro lado de la igualdad. Observa que ahora, el Volumen depende de la Presión (P). En este punto aún no podemos obtener, ya que el volumen no está expresado en función del tiempo, sino en función de la Presión. Qué crees que podemos hacer para expresar el volumen en función del tiempo? Para expresar el Volumen en función del tiempo, sustituimos: la función en, utilizando la operación ( ). Recuerdas la composición de funciones? De donde obtenemos 6

7 Observa que la variable volumen, ahora es una variable dependiente del tiempo, por lo que es posible calcular la razón utilizando el teorema 8: Ahora, utilizando esta derivada calculemos la razón de cambio del Volumen respecto al tiempo cuando t=6 segundos Observa que aún no podemos obtener un resultado numérico porque no conocemos el valor de la constante k. Qué imaginas que podemos hacer para calcular el valor de la constante? El enunciado del problema nos dice: si el volumen inicial (cuando t=0) es de 80cm 3, que es la condición inicial que necesitamos para calcular el valor de la constante k. En términos matemáticos, Utilizando la ecuación necesarias: obtenemos el valor de k utilizando las operaciones algebraicas 7

8 Al llegar a este punto de la ecuación sólo es necesario despejar k, lo cual realizamos al pasar 40 multiplicando del otro lado de la igualdad. Ahora que tenemos el valor de k, podemos obtener el valor de la razón de cambio en la ecuación Hemos conseguido calcular cuando t=6 seg. Pero esto qué significa? La razón de cambio es negativa, lo que quiere decir que el volumen del gas está disminuyendo a razón de a los 6 segundos. Como puedes observar las aplicaciones de la derivada, son muy diversas; al analizar la relación de cambio de una variable respecto a otra, la derivada se convierte en una herramienta fundamental. 8

9 Referencias Edwards, C. (1997). Cálculo diferencial e integral [libro en línea]. Disponible en: Recurso de la Biblioteca digital de la UVEG. Recuperado el 1 de noviembre del 011, de la base de datos Bibliotechnis de la Biblioteca Digital de la UVEG. Fuenlabrada, S. (001). Cálculo Diferencial. México: McGraw-Hill Interamericana Giancoli, D. (00). Física para universitarios [libro en línea]. Disponible en: Recurso de la Biblioteca digital de la UVEG. Haeussler, E. (003). Matemáticas para Administración y Economía [libro en línea]. México: Pearson Educación. Recuperado el 04 de Agosto de 10, de: Recurso de la Biblioteca digital de la UVEG. Herrera, A. y Pattriti, H. (004). Aplicaciones de la Derivada [libro en línea]. Montevideo: Biblioteca Nacional de Uruguay. Recuperado el 05 de Agosto de 010 de A.pdf. Smith, R. y Minton, R. (000). Cálculo. Colombia: McGraw-Hill. Referencias de imágenes Magiera, Ch. (006). Off [fotografía digital]. Recuperada el 5 de agosto de 010 de Bajo licencia Creative Commons Free Cultural Approved for Works. Magiera, Ch. (006). Gaining [fotografía digital]. Recuperada el 5 de agosto de 010 de Bajo licencia Creative Commons Free Cultural Approved for Works. Szczepanski, P. (008). 3D Business Graph [fotografía digital]. Recuperada el 5 de agosto de 010 de Bajo licencia SXC.Hu Free of charge. Wikimedia Commons. (006). Ley boyle Mariotte [fotografía digital]. Recuperada el 5 de agosto de 010 de Bajo licencia Creative Commons GNU Free Documentation License. 9