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1 Universidad de Costa Rica Práctica Miscelánea para el Primer Parcial Facultad de Ciencias Funciones Vectoriales, Regla de la Cadena y Funciones Implícitas Escuela de Matemática MA 1003 Cálculo 3 Departamento de Matemática Aplicada Recopilado por Prof. Marco Alfaro C. En los ejercicios 1-8, dibujar la curva representada por la función vectorial e indicar su orientación. 1. r (t)=cost i +3sent j. 2. r (t)=3sect i +2tant j. 3. r (t)=t i +(2t 5) j +3t k. 4. r (t)=2cost i +2sent j +t k. 5. r (t)=3cost i +4sent j + t 2 k. 6. r (t)=t 2 i +2t j t k. 7. r (t)= (t,t 2, 23 t ). 8. r (t)=(cost+tsent,sent tcost,t). En los ejercicios 9-16, representar la curva plana mediante una función vectorial. (Hay varias respuestas correctas) 9. y=4 x. 10. y=(x 2) x 2 +y 2 = x 2 16 y2 4 = x 3y+5= y=4 x (x 2) 2 +y 2 =4. x y2 9 =1. En los ejercicios 17-24, trazar la curva intersección de las superficies. Representar la curva por una función vectorial usando el parámetro dado. Superficies Parámetro 17. z=x 2 +y 2,x+y=0 x=t 18. z=x 2 +y 2,z=4 x=2cost 19. x 2 +y 2 =4,z=x 2 x=2sent 20. 4x 2 +4y 2 +z 2 =16,x=z 2 z=t 21. x 2 +y 2 +z 2 =4,x+z=2 x=1+sent 22. x 2 +y 2 +z 2 =10,x+y=4 x=2sent 23. x 2 +z 2 =4,y 2 +z 2 =4 x=t(primeroctante) 24. x 2 +y 2 +z 2 =16,xy=4 x=t(primeroctante)

2 25. Probarquelagráficadelafunciónvectorial r (t)=t i +2tcost j +2tsent k estásobreelcono4x 2 =y 2 +z 2.Dibujarlacurva. 26. Probarquelagráficadelafunciónvectorial r (t)=e 1 cost i +e 1 sent j+e 1 k estásobreelconoz 2 =x 2 +y 2.Dibujarlacurva. 27. EncuentreladerivadadelafunciónenP 0,enladirecciónde A. (a) f(x,y)=2xy 3y 2,P 0 (5,5), A =4 i +3 j. (b) f(x,y)=2x 2 +y 2,P 0 ( 1,1), A=3 i 4 j. (c) g(x,y)=x ( y 2 /x ) + 3arcsec(2xy),P 0 (1,1), A=12 i +5 j. (d) h(x,y)=arctan(y/x)+ 3arcsen(xy/2),P 0 (1,1), A =3 i 2 j. (e) f(x,y,z)=xy+yz+zx,p 0 (1, 1,2), A =3 i +6 j 2 k. (f) f(x,y,z)=x 2 +2y 2 3z 2,P 0 (1,1,1), A = i + j + k. (g) g(x,y,z)=3e x cosyz,p 0 (0,0,0), A=2 i + j 2 k. (h) h(x,y,z)=cosxy+e yz +lnzx,p 0 (1,0,1/2), A = i +2 j+2 k. 28. EncuentrelasdireccionesenquelasfuncionescrecenydecrecenmásrápidamenteenP 0. (a) f(x,y)=x 2 +xy+x 2, P 0 ( 1,1). (b) f(x,y)=x 2 y+e xy seny, P 0 (1,0). (c) f(x,y,z)=(x/y) yz, P 0 (4,1,1). (d) g(x,y,z)=x e +z 2, P 0 (1,ln2,1/2). (e) f(x,y,z)=lnxy+lnyz+lnxz, P 0 (1,1,1). (f) h(x,y,z)=ln ( x 2 +y 2 1 ) +y+6z, P 0 (1,1,0). 29. Encuentreecuacionespara(a)elplanotangentey(b)larectanormalenelpuntoP 0. (a) x 2 +y 2 +z 2 =3, P 0 (1,1,1). (b) x 2 +y 2 z 2 =18, P 0 (3,5, 4). (c) 2z x 2 =0, P 0 (2,0,2). (d) x 2 +2xy y 2 +z 2 =0, P 0 (1, 1,3). (e) cosπx x 2 y+e xz +yz=4, P 0 (0,1,2). (f) x 2 xy y 2 z=0, P 0 (1,1, 1). (g) x+y+z=1, P 0 (0,1,0). (h) x 2 +y 2 2xy x+3y z= 4, P 0 (2, 3,18).

3 30. Encuentre ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la curva de intersección de las superficies en el puntop 0. (a) Superficies: x+y 2 +2z=4, x=1, P 0 (1,1,1). (b) Superficies: xyz=1, x 2 +2y 2 +3z 2 =6, P 0 (1,1,1). (c) Superficies: x 2 +2y+2z=4, y=1, P 0 (1,1,1/2). (d) Superficies: x 3 +3x 2 y 2 +y 3 +4xy z 2 =0, x 2 +y 2 +z 2 =11, P 0 (1,1,3). (e) Superficies: x 2 +y 2 =4, x 2 +y 2 z=0, P 0 ( 2, 2,4). 31. Encuentreladerivadadef(x,y)=x 2 +y 2,enladireccióndelvectortangenteunitariodelacurva r (t)=(cost+t sen t) i +(sen t t cost) j, t > Encuentreladerivadadef(x,y,z)=x 2 +y 2 +z 2,enladireccióndelvectortangenteunitariodelahélice r (t)=cost i +sent j+t k enlospuntosdondet= π 4,0,π Una curva es normal a una superficief(x,y,z)=cen un punto de intersección si el vector de velocidad de la curva es un múltiplo escalar f en el punto. La curva es tangente a la superficie en un punto de intersección si su vector velocidad es, ahí, ortogonal a f. (a) Demuestre que la curva r(t)= ti + tj 1 4 (t+3) k esnormalalasuperficiex 2 +y 2 z=3,cuandot=1. (b) Demuestre que la curva r(t)= ti + tj +(2t 1) k estangentealasuperficiex 2 +y 2 z=1,cuandot= Muestre que la gráfica de la curva con ecuaciones paramétricasx=t,y=sen5t,z=cos5t está en el cilindrocircularx 2 +y 2 =1,centradoalolargodelejex. 35. Muestrequelagráficadelacurvaconecuacionesparamétricasx=sent,y=cost,z=cos8t estáenel cilindrocircularverticalx 2 +y 2 = Muestrequelagráficadelacurvaconecuacionesparamétricasx=tsen6t,y=tcos6t estáenuncono z= x 2 +y 2 consuvérticeenelorigenyabiertohaciaarriba. 37. Muestrequelagráficadelacurvaconecuacionesparamétricasx=costsen4t,y=sentsen4t,z=cos4t, estáenlasuperficiedelaesferax 2 +y 2 +z 2 =1. En los ejercicios 38 al 43 se proporciona el vector r (t) de una partícula que se mueve en el espacio. Encuentre sus vectores de velocidad y aceleración, así como su rapidez en el tiempo t. 38. r (t)=t i +t 2 j +t 3 k. 39. r (t)=3t 2 i +4t 2 j 12t 2 k. 40. r (t)=t i +3e t j +4e t k.

4 41. r (t)=e t i +e 2t j +e 3t k. 42. r (t)=3cost i +3sent j 4t k. 43. r (t)=12t i +5sen2t j 5cos2t k. Enlosproblemas44a48sedanelvectordeaceleración a (t),laposicióninicialr 0 = r(0)ylavelocidad inicialv 0 = v(0)deunapartículaquesemueveenelespacioxyz. Encuentresuvectordeposición r (t) eneltiempot. 44. a (t)=6t i 5 j +12t 2 k; r 0 =3 i+4 j; v 0 =4 j 5 k. 45. a (t)=t i +t 2 j +t 3 k; r 0 =10 i; v 0 =10 j. 46. a (t)=t i +e 1 j; r 0 =3 i +4 j; v 0 =5 k. 47. a (t)=cost i +sent j; r 0 = j; v 0 = i +5 k. 48. a (t)=9sen3t i +9cos3t j +4 k; r 0 =3 i +4 j; v 0 =2 i 7 k. 49. Las ecuaciones paramétricas de un punto en movimiento son x(t)=3cos2t, y(t)=3sen2t, z(t)=8t Encuentresuvelocidad,rapidezyaceleracióneneltiempot= 7π Una partícula se mueve en una circunferencia cuyo centro está en el origen. Utilice el producto punto para demostrar que los vectores de posición y de velocidad del punto en movimiento son siempre perpendiculares. 51. Unapartículasemueveenlahipérbolax 2 y 2 =1convectordeposición r (t)=coshωt i +senhωt j (el número ω es una constante). Pruebe que el vector de aceleración a (t) satisface la ecuación a (t) = c r (t), donde c es una constante positiva. Qué clase de fuerza externa producirá este tipo de movimiento? 52. Supongaqueunapartículasemueveenlaelipse x 2 a 2 +y2 b 2 =1 con vector de posición r (t) = acosωt i +bsenωt j (ω es una constante). Pruebe que el vector de aceleración a satisface la ecuación a (t)=c r (t), donde c es una constante negativa. A qué clase de fuerzaexterna F (t)correspondeelmovimiento? 53. Unpuntosemueveenunplanoconunfactordeaceleraciónconstante a =a j. Pruebequesutrayectoria esunaparábolaounalínearecta. 54. Suponga que una partícula no está sujeta a una fuerza, de modo que su vector de aceleración a (t) es idénticamente cero. Pruebe que la partícula viaja a lo largo de una línea recta con una velocidad constante (primera ley de movimiento de Newton).

5 55. Considere una partícula que se mueve en sentido contrario a las manecillas del reloj, en una circunferencua con centro(0,0) y radior,auna velocidad angular constante deωradianes por segundo. Si su posición iniciales(r,0),entoncessuposiciónes r (t)= rcosωt i + rsenωt j. (a) Demuestrequeelvectordevelocidaddelapartículaestangentealacircunferenciayquesurapidezes v(t)= v (t) =rω. (b) Demuestrequeelvectordelaaceleracion a delapartículatienedirecciónopuestaa r yque a(t)= a (t) =rω Encuentrelacurvaturadelacurvadadaenelpuntoindicado. x=5cosht, y=3senht, dondet=0. El vector de posición de una partícula que se mueve en el plano está dado en los problemas 57 a 61. Encuentre las componentes tangencial y normal del vector de aceleración. 57. r (t)=3senπt i +3cosπt j. 58. r (t)=(2t+1) i +(3r 2 1) j. 59. r (t)=cosh3t i +senh3t j. 60. r (t)=tcost i +tsent j. 61. r (t)=(e t sent,e t cost). Enlosproblemas62y63encuentrelaecuacióndelacircunferenciaosculadoraparalacurvaplanadadaen el punto indicado. 62. y=1 x 2 en(0,1). 63. y=e x en(0,1). Encuentrelacurvaturaκdelascurvasenelespacioconlosvectoresdeposicióndadosenlosproblemas64 a r (t)=t i +(2t 1) j +(3t+5) k 65. r (t)=t i +sent j +cost k 66. r (t)=(t,t 2,t 3 ) 67. r (t)=(e t cost,e t sent,e t ) 68. r (t)=tsent i +tcost j +t k 69. Encuentre la parametrización para la línea x(t)=2+4t, y(t)=1 12t, z(t)=3+3t entérminosdelalongituddearcos,medidadesdeelpuntoinicial(2,1,3).

6 70. Encuentre la parametrización para la circunferencia x(t)=2cost, y(t)=2sent, z(t)=0 en términos de longitud de arcos, medida en sentido contrario a las manecillas del reloj, desde el punto inicial(2,0,0). 71. Encuentre la parametrización para la hélice x(t)3cost, y(t)=3sent, z(t)=4t entérminosdelalongituddearcos,medidadesdeelpuntoinicial(3,0,0). 72. Determine la ecuación del cono que tiene como directriz la curva y 2 4x=0 C: z=0 ycuyovérticeeselpuntov (0,0,8). 73. Seaf :A R 2 RdiferenciableconAabierto,yseaP A. Supongaque donde ( u = ) 1 2, 1 2 y v = D u f(p)=3, D v f(p)=2 ( 3 2, 1 2 direcciónde u.calcule f f (P)y x y (P). ) y D u f(p) denota la derivada direccional de f en P, en la 74. Sedefinelafunciónz=f(x,y)comoz=u+v,dondeuyvsonfuncionesimplícitasdeterminadaspor lasexpresiones F(x,y,u,v)=u+e u+v x=0 G(x,y,u,v)=v+e u v y=0. Determine la ecuación del plano tangente a z = f(x,y) en el punto correspondiente a x = y = 1, u=v= ConsiderelacurvaC obtenidaalintersecarlasuperficiez=2x 2 y conlasuperficie z=x+y. (a) Determineunafunciónvectorial r (t)quedescribalacurvac. (b) CalculelatorsióndelacurvaC,enelpuntoP(1,1,2). 76. SeanΦ,Ψ:A R 2 Rdosfuncionesderivablestalesque Φ u = Ψ v, Φ v = Ψ u. (a) MuestrequeΦyΨsonarmónicas,estoes,quesatisfacenlaecuacióndeLaplace: 2 f(x,y) x f(x,y) y 2 =0. (b) Seaf :A R 2 RunafunciónarmónicaconΦyΨcomoenlaparte(a),muestrequelanueva función F(u,v)=f(Φ(u,v),Ψ(u,v)) es también una función armónica.

7 77. Muestre que u(x,y,z,t)= 1 ( ) 3 e (x x 0) 2 +(y y 0 ) 2 +(z z 0 ) 2 4a 2 t 2a πt cumple la ecuación de calor u t =a 2 (u xx +u yy +u zz ). 78. DeterminelaecuacióndelasuperficiecónicaconvérticeelpuntoV definidopor x+3z 10=0 V : x z+2=0 y 2=0 yquetienepordirectrizlacurva { x C: 2 +z 2 2z=0 y= Determine la ecuación de la superficie de revolución, engendrada al girar la circunferencia x 2 +y 2 +z 2 +2z 7=0; x+3y z+1=0 alrededor de la recta 80. Transforme la ecuación diferencial x+1 2 = y 4 1 = z+5 3. x z x +y z y =z+ x 2 +y 2 +z 2 con las nuevas variables u= y x, v=z+ x 2 +y 2 +z Determine y clasifique los extremos relativos de la función f(x,y)=y 3 +(x+y) 2 +6(x y). 82. Hallar los extremos absolutos de la función f(x,y)=x 2 +x+y 2 +y enlaregión A= { (x,y):x 2 +y 2 1 }. Bibliografía 1. Demidovich, B.: 5000 Problemas de Análisis Matemático. Editorial Paraninfo, Madrid(1985). 2. Edwards, H. y David Penney: Cálculo con Trascendentes Tempranas. Editorial Pearson, México(2008). 3. Rogawski, J.: Cálculo: Varias Variables. Segunda Edición, Editorial Reverté, Barcelona(2012). 4. Stewart, J.: Cálculo Multivariable. Cuarta Edición, Thomson Learning, México, D.F.(2002). 5. Thomas, G.: Cálculo en Varias Variables. Decimosegunda Edición.Editorial Pearson, México, D.F.(2008).

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