Parametrizando la epicicloide

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1 1 Paametizando la epicicloide De la figua se obseva que cos(θ) = x 0 + ( 0 + ) cos(θ) = x sen(θ) = y 0 + ( 0 + ) sen(θ) = y po tanto las coodenadas del punto A son: A = (( 0 + ) cos(θ), ( 0 + ) sen(θ)) Ahoa bien como el punto P se encuenta en un cículo de adio R podemos paametiza dicho cículo asi: ademas según la figua también P (cos β, senβ) OAP β + θ = π β = OAP + θ π OAP = OAX θ 0 = OAP θ 0 = OAP

2 2 po lo tanto β = θ 0 +θ π P P ( ( θ 0 cos ( ( θ 0 cos + θ ) ) ( θ 0 + θ π, sen ( θ 0, sen + θ Po lo tanto las coodenadas del punto P desde O son: ( ( )) θ 0 x = ( 0 + ) cos(θ) cos + θ ( ( )) θ 0 y = ( 0 + ) sen(θ) sen + θ Ejemplos de cuvas )) )) + θ π Detemine la cuva intesección del cilindo x 2 +y 2 = 1 y el plano y+z = 2

3 3 El cilindo lo podemos paametiza asi: x = cos t y = sen t t [0, 2π] y de la ecuaciòn del plano se tiene y+z = 2 z = 2 y z = 2 sen t po tanto c(t) = (cos t, sen t, 2 sen t) Taza las cuvas x(t) = t 2, y(t) = t 2, z(t) = 5 x(t) = 3, y(t) = t, z(t) = 2 cos(t)

4 4

5 Funciones Vectoiales Funciones de R en R n Llamaemos función vectoial de vaiable eal o simplemente función vectoial, a aquellas con dominio en un subconjunto de R y contadominio en un espacio vectoial R n. De esta manea una función vectoial f asocia a cada elemento t de un conjunto A de númeos eales, un único vecto f(t). Puesto que f(t) es un punto en el espacio R n, éste tiene n coodenadas, las cuales son en geneal, funciones de la vaiable t. Así podemos escibi f(t) = (x 1 (t)), x 2 (t)),..., x n (t)) R n En los cusos de Geometía Analítica, ya han sido consideadas funciones de este tipo, po ejemplo, la ecuación vectoial de una ecta L, en el espacio, que pasa po un punto P 0 y que es paalela a un vecto a, que puede dase en la función L = {P ɛ R 3 P = P 0 + ta, t ɛ R} en donde, si consideamos que P 0 es un punto fijo y a es un vecto tambien constante, entonces tenemos que P es una función vectoial del paameto eal t, es deci, cada valo de t esta asociado con un punto P de la ecta. Ejemplo.- Si f es la función vectoial po f(t) = (2 cos(t), 2 sin(t)) con t ɛ [0, 2π], tenemos entonces que f asocia a cada númeo eal t en el intevalo t ɛ [0, 2π], un pa odenado (x, y) con x = 2 cos t y y = 2 sin t, que son las ecuaciones paaméticas de una cicunfeencia de adio 2 y cento en el oigen. Asi pues la gáfica de f es una cicunfeencia. 1

6 Obsevemos que cada una de las componentes de una función vectoial es una función eal (de vaiable eal) y que las llamadas ecuaciones paaméticas se obtienen pesisamente al expesa cada una de las componentes en función del paámeto. Así pues, las ecuaciones paaméticas definen una función vectoial y vicevesa una ecuación en dos vaiables define un luga geomético que po lo geneal, y paa nuesto popósito, seá una cuva plana. Cuando este luga geometico se define mediante ecuaciones paameticas y pensando que el punto se mueve sobe la cuva confome el paameto ecoe el dominio, tendemos que las ecuaciones paaméticas definian además, el punto de patida, la apidez con la que se hace el ecoido, que poción de la cuva se considea (vaiando el dominio) y, si la cuva es ceada, cuantas veces se eccoe. Cada una de las funciones vectoiales que se dan a continuación, define el mismo luga geomético o una pate de éste; sin embago, el sentido, el punto de patida y la apidez de ecoido así como la poción de la cuva que se considea en cada caso vaia. f 1 (t) = (2 cos t, 2 sin t) t ɛ [0, 2π] f 2 (t) = (2 cos t, 2 sin t) t ɛ [0, 2π] f 3 (t) = (2 cos 3t, 2 sin 3t) t ɛ [0, 2π] f 4 (t) = (2 cos t, 2 sin t) t ɛ [0, π] f 5 (t) = (2 cos t, 2 sin t) t ɛ [0, 6π] 2

7 f 6 (t) = (2 cos t, 2 sin t) t ɛ [ π, π] Paa una función vectoial en R 3 decimos que: Si D es un conjunto de R, entonces es una función vectoial con dominio D si y sólo si, paa todo t ɛ D (t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k donde f, g y h son funciones escalaes con dominio D. Ejemplo.- Sea (t) = (t + 2)i + (2t 2 3)j + t 3 k paa todo t ɛ R Paa que valo de t el vecto de posición de (t) está en uno de los planos?. El vecto de posición de (t) está en el plano xy si su componente segun k, o sea t 3, es igual a 0, es deci, t = 0, el vecto de posición esta en el plano yz si la componente según i que es t + 2 = 0 o sea t = 2 finalmente, está en el plano xt si 2t 2 3 = 0, es deci, t = ± 3/2 ±1,225.. Ejemplo.- Desciba la cuva definida po la función vectoial (t) = (1 + t, 2 + 5t, 1 + 6t). Las ecuaciones paaméticas coespondiente son, x = 1 + t, y = 2 + 5t, z = 1 + 6t o sea (1, 2, 1) + t(1, 5, 6) se tata de una ecta que pasa po (1, 2, 1) y es paalela a (1, 5, 6) Ejemplo.- Dibuje la cuva cuya ecuación vectoial es (t) = 2 cos ti + sin tj + tk. Las ecuaciones paaméticas paa esta cuva son, x = 2 cos t, y = sin t, z = t x/2 = cos t ( x 2 )2 +y 2 = 1 la cuva se encuenta en el cilindo elíptico ( x2 4 )+y2 = 1. Ya que z = t la cuva foma una espial ascendente alededo del cilindo confome t se incementa 3

8 Ejemplo.- Halle una función vectoial que epesente la cuva de la intesección del cilindo x 2 + y 2 = 1 y el plano y + z = 2. La figua muesta la foma en que se cuzan, el plano y el cilindo, así mismo la figua ilusta la cuva de intesección. La poyección C sobe el plano xy es el ciculo x 2 + y 2 = 0, z = 0, x = cos t, y = sin t, 0 t 2π, con base en la ecuacion del plano, tenemos que z = 2 y = 2 sin t x = cos t, y = sin t, z = 2 sin t, 0 t 2π la ecuación vectoial coespondiente es (t) = cos ti + sin tj + (2 sin t)k 0 t 2π. Sea f(t) = (x 1 (t)), x 2 (t)),..., x n (t)) R n entonces el Dom(f) = n i=1 x i(t) Ejemplo.-Halle el dominio de la función vectoial f(t) = (t 2, t 1, 5 t) Sol. tenemos que Si x 1 (t) = t 2 entonces Dom(x 1 (t)) = R Si x 2 (t) = t 1 entonces Dom(x 2 (t)) = {t R t 1} Si x 3 (t) = 5 t entonces Dom(x 3 (t)) = {t R 5 t} 4

9 Po lo tanto Dom(f(t)) = {Dom(x 1 (t)), Dom(x 2 (t)), Dom(x 3 (t))} = {t R 1 t 5} Ejemplo.-Halle el dominio de la función vectoial f(t) = (Ln(t), t t 1, e t ) Sol. tenemos que Po lo tanto Si x 1 (t) = Ln(t) entonces Dom(x 1 (t)) = {t R 0 < t} Si x 2 (t) = t t 1 entonces Dom(x 2 (t)) = {t R 1 t} Si x 3 (t) = e t entonces Dom(x 3 (t)) = R Dom(f(t)) = {Dom(x 1 (t)), Dom(x 2 (t)), Dom(x 3 (t))} = {t R 0 < t, t 1} Una intepetación Física Cuando una paticula se mueve en el espacio duante un intevalo de tiempo I, se pueden considea las coodenadas de la paticula como funciones definidas sobe I: x(t), y(t) y z(t) t R. Los puntos (x, y, z) = (f(t), g(t), h(t)) confoman la cuva en el espacio que llamamos tayectoia de la patícula. Estas ecuaciones paametizan la cuva y el vecto f(t) = OP = (f(t)i + g(t)j + h(t)k) del oigen a la posición P ((f(t), g(t), h(t)k)) de la patícula en el tiempo t es el vecto de posición de la patícula. Ejemplo.- La función de posición de una paticula en el plano XY es f(t) = (t + 1)i + (t 2 1)j encuente una ecuación en x e y cuya gáfica sea la tayectoia de la patícula. Sol. Tenemos que x = t + 1 y = t 2 1 y = (x 1) 2 1 y = x 2 2x 5

10 Algeba de fuunciones vectoiales Sean f, g R R n entonces definimos las opeaciones ente funciones vectoiales asi: Suma 1. h(t) = f(t) + g(t) = (f 1 (t), f 2 (t),..., f 1 (n)) + (g 1 (t), g 2 (t),..., g 1 (n)) = ((f 1 + g 1 )(t), (f 2 + g 2 )(t),..., (f n + g n )(t)) Difeencia 2. h(t) = f(t) g(t) = (f 1 (t), f 2 (t),..., f 1 (n)) (g 1 (t), g 2 (t),..., g 1 (n)) = Poducto po un escala ((f 1 g 1 )(t), (f 2 g 2 )(t),..., (f n g n )(t)) 3. c f(t) = c (f 1 (t), f 2 (t),..., f 1 (n)) = (c f 1 (t), c f 2 (t),..., c f 1 (n)) 6

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