Representación gráfica de curvas en forma paramétrica x a(t sent) 1.- Representar la curva dada por

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1 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica x a( sen) 1.- Represenar la curva dada por, siendo a > 0. y a(1 cos).- Emparejar cada curva con su gráfica ì ì x = a) ï x = í b) ï ì í ï c) ï x = - sen ì í d) ïx = e cos í e) ïî y = ï y = ï ïî y = 1- cos ï y = e sen ïî ïî ) ) ) ì ï x = sen í ï ïî y = cos ) ).- Realizar el esudio analíico y represenar gráficamene la curva x cos sen y sen 4.- Realizar el esudio analíico y represenar gráficamene la curva x y ( )( ) 5.- Realizar el esudio analíico y represenar gráficamene la curva Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C. 1

2 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica x sen() - sen () y cos()- cos 6.- Realizar el esudio analíico y represenar gráficamene la curva x a cos donde a>0. y a sen 1 x() 7.- Se considera la curva de ecuación:. Esudiar: 4 y() ( ) a) Simerías de la curva. b) Asínoas. c) Punos críicos, punos de angencia horizonal y verical, punos singulares. d) Crecimieno y decrecimieno de la curva por ramas. e) Punos de cores con los ejes coordenados. f) Dibujo aproximado de la curva. 8.- Hacer un esudio y represenar gráficamene la curva: x sen y cos 9.- Hacer el esudio de la siguiene curva y represenarla gráficamene x sen() y g 10.- De la curva dada por sus ecuaciones paraméricas: Obener: 1) Campo de variación de ) Periodicidad ) Simerías 4) Asínoas 5) Punos críicos x() e y() e cos() cos() sen() Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C.

3 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica 6) Esudiar el crecimieno y decrecimieno, máximos y mínimos relaivos 7) Represenar aproximadamene la curva x() 11.- Dada la curva, se pide esudiar: y() 1 a) Dominio b) Simerías c) Core con los ejes d) Asínoas e) Punos críicos. Punos de angencia horizonal y verical. Punos singulares. f) Esudio del crecimieno por ramas g) Dibujo de la curva indicando cada rama. 1.- Dada la curva de ecuaciones paraméricas x(), se pide: y() a) Campo de variación de. b) Esudio de simerías. c) Punos críicos. d) Punos de angencia horizonal y verical. e) Esudio del crecimieno por ramas. f) Calcular y (x) (derivada segunda de y respeco de x). g) Dibujo aproximado de la curva indicando las coordenadas de los punos de core con los ejes coordenados. x() Dada la curva, se pide: y() 1 a) Dominio. b) Asínoas. c) Punos críicos. Punos de angencia horizonal y verical. d) Esudio del crecimieno por ramas. e) Core con los ejes de coordenadas. f) Dibujo de la curva indicando cada rama. Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C.

4 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica x() 14.- Dada la curva que iene como ecuaciones paraméricas y() a) Campo de variación de. b) Asínoas 1, hallar: 1 c) Punos críicos. Punos de angencia horizonal, verical y singulares. d) Esudio por ramas del crecimieno y decrecimieno. x() Dada la curva 40 ( 10 ), se pide esudiar: y() 6 1 a) Simería b) Asínoas c) Punos críicos. Punos de angencia horizonal y verical. Punos singulares d) Esudio del crecimieno por ramas. x Dada la curva de ecuaciones paraméricas, esudiar: y 1 a) Asínoas. b) Punos críicos. c) Punos de angencia horizonal y verical. d) Cuánas ramas iene la curva? Hacer un dibujo aproximado de la misma marcando claramene cada una de sus ramas. 1 ( 1) x(), y(), ( )( 1) a) Hallar la ecuación de su asínoa oblicua b) Hallar los punos de angencia horizonal y verical 17.- Dada la curva x Dada la curva de ecuaciones paraméricas 4 y Se pide esudiar:. 4 Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C.

5 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica a) Campo de variación de b) Simerías c) Periodicidad d) Punos críicos. Punos de angencia horizonal y verical e) Esudio del crecimieno y decrecimieno por ramas f) Dibujo aproximado de la curva indicando cada rama. 1 x Dada la curva de ecuaciones paraméricas, se pide: 1 y a) Asínoas. b) Punos críicos. c) Punos de angencia horizonal y verical. d) Dibujo aproximado de la curva indicando las coordenadas de los punos críicos. x() 0.- Sea la curva y() e Se pide: a) Dominio de variación de b) Coninuidad c) Simerías d) Inersección con los ejes coordenados e) Punos críicos. Crecimieno y decrecimieno f) Máximos, mínimos y punos de inflexión g) Asínoas 1.- Se considera la curva de ecuación x, -,. Esudiar: y sen() a.- Simerías de la curva. b.- Punos críicos, punos de angencia horizonal y verical, punos singulares. c.- Crecimieno y decrecimieno de la curva por ramas. d.- Punos de core con los ejes de coordenadas. e.- Dibujo aproximado de la curva, en el que se indiquen los punos obenidos en los aparados aneriores. Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C. 5

6 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica x.- Represenar la curva dada por y Hacer un esudio compleo y represenar gráficamene la curva: ìï 1 x = ï ( - 1) í ï y = ïî Una parícula se mueve en un plano verical xy siguiendo la rayecoria de la x cos curva:, solamene en la región y 0. Se pide: y g x,y de la parícula en el insane = 0. a) Posición inicial 0 0 b) Periodicidad de la curva. Inervalo de iempo necesario para generar la rayecoria complea. c) Cálculo de asínoas. Es una rayecoria finia? d) Calcular los punos críicos, punos de angencia horizonal y verical de la curva. e) Hacer un esudio del crecimieno y decrecimieno por ramas. Cuál es la posición (x, y) más baja que alcanza la parícula? Cuál la más ala? 5.- Una parícula se mueve en un plano verical xy siguiendo la rayecoria de la curva: x g, solamene en la región y 0. Se pide: y cos x,y de la parícula en el insane = 0. a) Posición inicial 0 0 b) Periodicidad de la curva. Inervalo de iempo necesario para generar la rayecoria complea. c) Cálculo de asínoas. Es una rayecoria finia? d) Calcular los punos críicos, punos de angencia horizonal y verical de la curva. e) Hacer un esudio del crecimieno y decrecimieno por ramas. Cuál es la posición (x, y) más baja que alcanza la parícula? Cuál la más ala? 6 Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C.

7 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica 6.- Como pare de un razado de un circuio de enrenamieno de fórmula 1, se x sen esá considerando la gráfica de la curva:, se pide: y cos a) Campo de variación de b) Simerías de la curva c) Periodicidad d) Dar un inervalo de longiud mínima donde debe variar para obener la gráfica complea de la curva. Si no se quiere ( lógico!) que en el circuio haya cruces, indicar razonadamene un inervalo al que haya que limiarse, denro del hallado aneriormene. e) Asínoas f) En el inervalo [0, p ]: punos críicos, punos de angencia horizonal y verical. g) En el inervalo [0, p ]: ramas de la curva y esudio del crecimieno por ramas. h) Dibujo aproximado de la curva complea. A la visa del mismo, cuánas ramas iene en oal? x 7.- Dada la curva 1, se pide: y 1 a) Hallar las asínoas b) Obener los punos de angencia verical y horizonal c) Esudiar el crecimieno y decrecimieno de la curva por ramas. 8.- Dada la curva a) Simerías de la curva. 4 x(),y(), 1 1 b) Ecuaciones de las asínoas oblicuas., se pide: c) Punos de angencia horizonal, verical y punos singulares. x() 9.- Dada la curva de ecuaciones paraméricas y() a) Hallar el Campo de variación del parámero. 1, se pide: 1 ( 1) Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C. 7

8 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica b) Esudiar la exisencia de asínoas y en su caso calcularlas. c) Hallar los punos críicos. d) Esudiar los punos de angencia horizonal, verical y singulares. 1 x 0.- Dada la curva: 1. Se pide: y 1 a) Dominio b) Simerías c) Asínoas d) Punos críicos, singulares y de angencia verical y horizonal e) Esudio del crecimieno y decrecimieno por ramas f) Core con los ejes y con las asínoas 1.- Indicar el período de la curva x() y() sen() cos() x.- Dada la curva: 1. Se pide: y 1 a) Dominio b) Simerías c) Asínoas d) Punos críicos, singulares y de angencia verical y horizonal e) Esudio del crecimieno y decrecimieno por ramas f) Core con los ejes y con las asínoas.- Indicar el período de la curva x cos y g x() cos 4.- a) Simerías de la curva y() sen. x() 4 b) Asínoas de la curva y() 4 8 Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C.

9 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica x() cos c) Periodicidad de la curva y() g x() sen d) Punos de angencia verical de la curva y() cos. x() 1 cos e) Punos singulares de la curva y() s en 5.- a) Sea la curva dada por las ecuaciones paraméricas: se pide hallar: i. Campo de variación de ii. Asínoas 1, 4sen() cos() g() iii. Dar las coordenadas de los punos de angencia horizonal b) Sea la curva dada por las ecuaciones paraméricas: 4 cos(),4sen() cos(), se pide: i. Esudiar si la curva es simérica y dar el periodo y un inervalo cuya longiud sea igual al periodo ii. Hallar los punos críicos iii. Dar las coordenadas de los punos de angencia verical 6.- Dada la curva p cos p cos(), psen psen(, siendo p una consane p>0, se pide: a) Campo de variación de. b) Esudio de simerías. c) Periodicidad. d) Esudio de la exisencia de asínoas. e) Punos críicos en [0,]. f) Esudio por ramas en [0,]. g) Gráfica aproximada., 7.-Realizar un esudio compleo de la curva dada por las ecuaciones paraméricas: x sen y sen cos. 8.- Dada la curva,, se pide: 1 1 a) Campo de variación de Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C. 9

10 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica b) Esudio de simerías. c) Esudio de asínoas. 9.- Dada la curva sen(), cos(), se pide: a) Campo de variación de. b) Cálculo de punos críicos en [0, ]. c) Clasificación de los punos críicos según sean de angene horizonal, verical o singulares. d) Esudio del crecimieno por ramas en 0, 40.- Dada la curva (sin(), g()), se pide: a) Campo de variación de b) Esudio de simerías. c) Esudio de la periodicidad de la curva. Si fuera periódica, dar un inervalo [a,b] de periodo mínimo. d) Razonar porqué la curva solo iene asínoas vericales y hallarlas Dada la curva, 1 1, se pide: a) Campo de variación de. b) Cálculo de punos críicos. c) Clasificación de los punos críicos según sean de angene horizonal, verical o singulares. d) Esudio del crecimieno por ramas Dada la curva ln( 1), se pide: 1 a) Campo de variación de b) Razonar porqué la curva no es periódica. c) Esudio de asínoas. 4.- Dada la curva cos(),cos(), se pide: 10 Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C.

11 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica a) Campo de variación de. b) Cálculo de punos críicos en [0, ]. c) Clasificación de los punos críicos según sean de angencia horizonal, verical o singulares. d) Esudio del crecimieno por ramas en 0, Dada la curva e 1,sen se pide: a) Campo de variación de b) Explica porqué la curva no es simérica. c) Razona porqué odos los punos críicos de esa curva son de angencia horizonal Dada la curva 1, 1, se pide: a) Campo de variación de. b) Esudio de asínoas. c) Cálculo de punos críicos. d) Clasificación de los punos críicos según sean de angencia horizonal, verical o singulares. e) Esudio del crecimieno por ramas en [0,) x() 46.- Dada la curva dada por las ecuaciones paraméricas y() pide: a) Hallar el campo de variación del parámero. b) Esudio de la exisencia de simerías. c) Hallar las asínoas de la curva. d) Hallar los punos críicos. e) Calcular los punos de angencia horizonal, verical y singulares. f) Esudio del crecimieno por ramas. 1 1, se Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C. 11

12 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica 1 x (1 ) 47.- Dada la curva expresada por sus ecuaciones paraméricas. 1 y() (1 ) a) Esudio de la exisencia de simerías. b) Calcular las ecuaciones de sus asínoas. c) Los punos de la curva de angencia horizonal y verical. d) Esudio del crecimieno en las ramas:, -1 y 1,. sen x() e 48.- Dada la curva de ecuaciones paraméricas Se pide: y() cos a) Campo de variación de. b) Periodicidad de la curva. c) Simerías de la curva: Al cambiar por - Al cambiar por - + π. d) Asínoas. e) Punos críicos, punos de angencia horizonal y verical, punos singulares. f) Esudio del crecimieno y decrecimieno por ramas en [0, π]. sen x() e 49.- Dada la curva de ecuaciones paraméricas Se pide: cos y() e a) Campo de variación de. b) Periodicidad de la curva. c) Simerías de la curva: Al cambiar por - Al cambiar por - + π/. d) Asínoas. e) Para, Punos críicos, punos de angencia horizonal y verical, punos singulares. f) Esudio del crecimieno y decrecimieno por ramas en [0, π]. x() Dadas las ecuaciones paraméricas de una curva: y() 1 1 Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C.

13 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica a) Hallar el campo de variación de. b) Hacer el esudio de asínoas. c) Calcular los punos críicos (no es necesario clasificarlos) d) Esudiar su crecimieno y decrecimieno por ramas Dadas las ecuaciones paraméricas de una curva: x() y() 1 1 a) Hallar el campo de variación de. b) Hacer el esudio de asínoas. c) Calcular los punos críicos (no es necesario clasificarlos). d) Esudiar el crecimieno y decrecimieno por ramas para Dadas las ecuaciones paraméricas de una curva: a) Hallar el campo de variación de. b) Hacer el esudio de asínoas. x() y() c) Calcular los punos críicos (no es necesario clasificarlos). d) Esudiar su crecimieno y decrecimieno por ramas Dadas las ecuaciones paraméricas de una curva: x() y() a) Calcular su período, si lo iene. b) Comprobar si iene simerías. cos sen() c) Hallar sus punos críicos, punos de angencia horizonal y verical, y punos singulares para 0, Dada la curva: x() sen() y() g() a) Calcular su período, si lo iene. Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C. 1

14 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica b) Comprobar si iene simerías. c) Escribir la definición de puno críico, puno de angencia horizonal, verical y singular y hallar en 0, los punos críicos, punos de angencia horizonal y verical, y punos singulares de la curva dada Dada la curva: 1, 1 a) Hallar el campo de variación de. b) Hacer el esudio de asínoas. c) Esudiar el crecimieno y decrecimieno por ramas para Dadas las ecuaciones paraméricas de una curva: x() y() (1 ) Se pide: a) Simerías. b) Asínoas. c) Punos críicos. d) Punos de angencia verical y horizonal. e) Crecimieno y decrecimieno por ramas Dadas las ecuaciones paraméricas de una curva: a) Hallar el campo de variación de. b) Calcular su período, si lo iene. c) Comprobar si iene simerías. d) Esudiar la exisencia de asínoas. x() sen() y() g() 58.- Las curvas paraméricas se uilizan abundanemene en el campo de compuación gráfica. En concreo las curvas de Bézier (ingeniero de la casa Renaul) se usan para programas de gráficos esándar como Corel Draw y fuenes 14 Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C.

15 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica de escriura como TrueType. Para n=, las curvas de Bézier se definen de la siguiene manera: Dados cuaro punos de conrol P 0 (a 0,b 0 ), P 1 (a 1,b 1 ), P (a,b ), P (a,b ), se define la curva de Bézier (x(), y()) para 0 1, mediane las expresiones x() a0 a1 a a Se pide y() b0 b1 b b a) Hallar unas ecuaciones paraméricas de la curva de Bézier cuyos punos de conrol son P 0 (1,4), P 1 (,1), P (6,15), P (7,4). b) Probar que su pendiene en =0 es igual a la pendiene del segmeno PP 01 x() cos 59.- Dada la curva y()=sen () a) Campo de variación de. b) Periodicidad., se pide: c) Punos críicos y esudio de punos de angencia verical y horizonal en [0, ]. x cos 60.- Dada la curva de ecuaciones paraméricas, para y sen -,, esudiar: a) Simerías. b) Periodicidad. c) Punos críicos, punos de angencia horizonal y verical y punos singulares. d) Crecimieno y decrecimieno por ramas. e) Punos de inersección con los ejes coordenados. f) Asínoas. g) Hacer un dibujo aproximado de la curva en el que aparezcan los elemenos hallados. x() 61.- Sea la curva de ecuaciones y() gráfica incomplea de dicha curva: g() cos(). La siguiene imagen muesra la Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C. 15

16 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica Se pide: a) Hallar el campo de variación de. b) Esudio de simerías. c) Razonar si la curva es periódica y obener el período de la curva. d) Esudio de asínoas. e) Para valores de en [0, ], hallar punos críicos, punos de angencia horizonal, verical y singulares. f) Para valores de en [0, ], hacer el esudio del crecimieno y decrecimieno por ramas. g) Para qué valores del parámero se obienen los punos P y Q de core de la curva con el eje de ordenadas? Dibujar la gráfica complea de la curva. 6.- Dada la curva (folium de Descares) a) Campo de variación de. b) Simerías. c) Asínoas. d) Punos críicos. e) Esudio por ramas. f) Gráfica aproximada. ìï a x()= ï 1+ í, a ÎÂ se pide: a ïy()= ïî 1+ EJERCICIOS PROPUESTOS Esudiar y represenar la curva ìï 1 x = ï ( - ) í ; y = ïî - ìï x = ï - í y = ïî - 1 ì x ; ï = í ï ïî y = sen() cos() 16 Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C.

17 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica 1.- Represenar la curva dada por Solución: Primer méodo x a( sen), siendo a>0. y a(1 cos) Dominio de : R. x( ) x() Simerías:, luego la curva es simérica respeco del eje OY. y( ) y() x( ) x() a Periodicidad:,luego la y es una función periódica de, de período. y( ) y() 0,. Teniendo en cuena los dos párrafos aneriores, basa esudiar la curva para valores de Asínoas: Evidenemene no posee ninguna. x'() a(1cos )=0 =0 Punos críicos: y'()=a sen =0 =0, = 0, =. Ramas de la curva: Sólo enemos una rama, la correspondiene a (0, ). Para = 0, se obiene el puno (0, 0); para =, se obiene el puno (a, a). y'() sen y(x) x'() 1-cos x''() a sen x'()y''() y'()x''() 1 y(x)= y''()=a cos x'() a(1 cos ) Crecimieno y concavidad de la única rama: Dominio de Valores corres- Valores corres- signo de y (x) variación de pondienes de x pondienes de y ; luego, en 0, sólo enemos dos punos críicos signo de y (x) 0 0 x a 0 y a y(x) > 0 y(x) 0 x'() 0 y'() 0 y crece x crece y crece respeco de x curva convexa respeco de respeco de Con el esudio anerior, podemos hacer un dibujo aproximado de la curva: Esa curva se denomina cicloide; represena la rayecoria de un puno de una circunferencia que rodara sin deslizarse sobre una reca. Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C. 17

18 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica Segundo méodo Dominio de definición: R Campo de variación de x:r de y:-1 cos 1a y 0 Simería (ver primer méodo) Periodicidad (ver primer méodo). 0,. Basa esudiar la curva para Asínoas: No hay. Esudio de derivadas (esán calculadas arriba): x'() 0 =0 Punos de angencia verical: No hay. y'() 0 0, x'() 0 0 Punos de angencia horizonal: P 1 ( a,a). y'()=0 0, x'() 0 =0 Punos singulares: 0 P (0,0) y'() 0 0, x ''(0) 0 x '''() a cos x '''(0) a, y''(0) a y '''() a sen y '''(0) 0 Así, F(0), F (0, a), (a,0) son dos vecores no proporcionales y por ano, el origen es un puno de reroceso de primera especie. Tangene en el puno de reroceso: Reca que pasa por el puno P (0,0) y es paralela al vecor F(P) (0,a). Se raa por ano del eje OY. x '() 0 x es creciene en Crecimieno y decrecimieno: y'() 0 y es creciene en Cores con los ejes: Con OX: x() 0 cos =1 =0 P (0,0) Con OY: y() 0 =sen =0 P (0,0) 0, Tabla: 0 x 0 + a y x 0 crece a y 0 crece a Gráfica (ver primer méodo) 18 Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C.

19 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica.- Emparejar cada curva con su gráfica ì ì x = a) ï x = í b) ï ì í ï c) x = - sen ì ï í d) ïx = e cos í e) ïî y = ï y = ï ïî y = 1- cos ï y = e sen ïî ïî ) ) ) ì ï x = sen í ï ïî y = cos ) ) Solución: e) ì x = sen í ï ïî y = cos ï x + y = 1 ìï x = x x ) b) ï í y = y = ) ï y = 4 ïî Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C. 19

20 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica ) ì c) ïx = -sen í cicloide ï ïî y = 1-cos x(-)=-x() y(-)=y() simérica respeco el eje de ordenadas ìï x = a) í ï y = x ï ïî y = simérica respeco el eje de abscisas. ) ìï x e cos d) ï = í ï ïî y = e sen ) 0 Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C.

21 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica.- Realizar el esudio analíico y represenar gráficamene la curva x cos sen y sen Solución: Dominio: R Simerías x cos sen x() no se deduce simerías. y y Período de la x: Periodicidad: La curva es periódica de período T Basa esudiar Período de la y: la curva para 0,. Asínoas: No hay, pues x y y 1. Punos críicos, singulares y de angencia horizonal y verical 5 x'()=cos-sen=0; sen=cos g 1 ; punos de angencia verical. 4 4 sen 0 y'()=cossen=0; 0,,,, punos de angencia horizonal. cos 0 Esudio del crecimieno y decrecimieno por ramas x()=cos+sen y()=sen x'()=cos-sen y'()=cossen y'(x)=y ()/x () Crece Crece + + 0<< 4 ½ 0 1 no exise decrece decrece decrece Crece ½ 0 1 no exise Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C. 1

22 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica Punos de angencia horizonal: (1,0); (1,1); (-1,0); (-1,1); 1 Punos de angencia verical:, ; 1, Cores con los ejes Con OX: 0 0P1 1,0 y=sen =0sen 0 P4 1,0 P7 1,0 Con OY: 7 x=cos+sen=0 sen cos ; P(0,1/ ) puno doble. 4 4 Concavidad y convexidad: dy'(x) / d cos sen 5 7 y''(x) 0 ; ; ; cuya derivada se anula o no exise. dx / d cos sen , / 4 /4, /4 /4,5 /4 5 /4,7 /4 7 /4, y (x) cóncava convexa cóncava convexa cóncava 1 1 Punos de inflexión:,1 ;(0, );,1 ; 0, Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C.

23 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica 4.- Realizar el esudio analíico y represenar gráficamene la curva ìï x = ï - í ïy = ïî ( + )( - ) Solución: Dominio: R-{-,} Simerías x x() no se deduce simerías. y Periodicidad Las funciones no son periódicas. Asínoas Buscaremos las asínoas considerando los límies de las funciones cuando ; ; ; lím x() lím 1 P(1,0) lím y() lím 0 lím x() lím 1 P(1,0) lím y() lím 0 lím x() lím ; lím x() lím 5 5 x Asínoa verical. lím y() lím ; lím y() lím 5 lím x() lím ; lím x() lím lím y() lím ; lím y() lím 1 y() y x 1 1 lím lím lím m 5 5 x() 5 1 límy() mxlím 5 lím 5 5 y=1/5x-/5 es una Asínoa oblicua. No hay asínoas horizonales. Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C.

24 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica Punos críicos, singulares y de angencia horizonal y verical x'() 0 6 y'() 0 ( ) ( ) Punos críicos cuando ; Esudio del crecimieno y decrecimieno por ramas <- -<< < x() 1>x>/5 /5>x>- - <x< y() 0>y>- >y>- - <y< x'() y'() y'(x)=y ()/x () Cores con los ejes x 0 0 y(0) 0 y 0 0x(0) 0 ( )( ) O(0,0) se raa de una hipérbola. Si despejamos en función de x y susiuimos en y resula la expresión x -5xy-x+y=0 de una cónica. 4 Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C.

25 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica 5.- Realizar el esudio analíico y represenar gráficamene la curva: x sen() - sen () y cos() - cos () Solución: Dominio de R Periódica de periodo p por ser el seno y el coseno funciones periódicas de periodo p x(-) sen(-) - sen(-) = -x() Simerías: Al cambiar por : Simérica respeco el eje OY y(-) cos(-) - cos - y() Asínoas: no hay por ser funciones acoadas Punos críicos: son aquellos valores de donde x () o y () se anulan o no exisen Por ser simérica y periódica de periodo p basa esudiar enre 0 y p x'() cos() - cos()=0 = 0; ; x() sen() - sen() y() cos() - cos 1 y'() - sen() + sen =0 = 0; ; ; 1 Nos quedamos con los punos críicos 0; ; ; Punos de angencia verical: son aquellos valores de donde x ()=0 y y () es disino de cero. p ( /.-1/) para = Punos de angencia horizonal: son aquellos valores de donde y ()=0 y x () es disino de cero. p ( /,/) para = ;(0,-) para =p. Punos singulares: son aquellos valores de donde y ()= x ()=0: (0,1) para =0. Además de primera especie; ya que: x''() y''() x'''() y'''() - sen() +4 sen() - cos() +4 cos - cos() +8 cos() cos() - 8 cos x''(0),y''(0) 0, x'''(0),y'''(0) 6,0 Que no son proporcionales Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C. 5

26 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica Esudio por ramas: Rama x() y() x () y () y x = y ()/x () 0º<<60º 0 x 1 y º<<10º x 1 y º<<180º x 0 1 y Por ser simérica respeco el eje OY 6 Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C.

27 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica 6.- Realizar el esudio analíico y represenar gráficamene la curva x a cos donde a>0. y a sen Solución: Dominio: R Simerías x x(). y y x ( - ) = a cos ( - ) = a cos ( ) No cambia signo y ( - ) = a sen ( - ) = - a sen ( ) Cambia signo Luego: es simérica respeco el eje OX Periodicidad Período de la x: Período de la y: 0,. La curva es periódica de período T Basa esudiar la curva para Qué inervalo se debe omar para el esudio de la curva? Consideraciones que se debe ener en cuena: 1. La función es simérica respeco el eje OX.. La ampliud del inervalo es π. El inervalo será:[0, π],ya que para y ( ), las x coinciden. Asínoas No hay, pues x a y y a. Punos críicos, singulares y de angencia horizonal y verical x () = - a cos cos 0 arc cos 0 90º sen = 0 0º sen 0 arc sen 0 180º 0º y () = a sen sen 0 arc sen 0 cos = 0 cos 0 arc cos 0 Rama x() y() x () y () y x = y ()/x () 0º<<90º a>x>0 0< y < a º<<180º 0>x >-a a > y > Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C.

28 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica Esudio de los punos singulares x () = - a sen cos x () = a cos sen sen + cos (- a cos ) = = 6 a cos sen - a cos x () = - 6 a sen sen + 6 a cos cos sen + 9 a sen cos = = - 6 a sen + 1 a sen cos + 9 a cos sen y () = a sen cos y () = a sen cos cos + a sen ( - sen ) = = 6 a sen cos - a sen y () = 6 a sen cos (- sen ) +6 a cos cos a sen cos = = - 1 a sen cos + 6 a cos 9 a sen cos F x ''(0), y ''(0) ( a, 0) F x '''(0), y '''(0) (0, 6a) no son proporcionales, en paricular para =0: : ; puno de reroceso de 1ª especie y de angene horizonal. para = / F x ''( / ), y ''( / ) (0, a) F x '''( / ), y '''( / ) ( 6a, 0) no son ; proporcionales, puno de reroceso de 1ª especie y de angene verical. F x ''( ), y ''( ) ( a, 0) F x '''( ), y '''( ) (0, 6a) no son proporcionales, puno de para = : ; reroceso de 1ª especie y de angene horizonal. Concavidad y convexidad: y x = y ()/x ()=-g dy'(x) / d 1g 1g dx / d asen cos asen cos y''(x) 0; 0, segundo cuadrane. cóncava en el primer y ASTROIDE Gráfica a y P P P 1 - a O a x Por ser simérica respeco eje OX - a Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C. 7

29 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica 1 x() 7.- Se considera la curva de ecuación:. Esudiar: 4 y() ( ) a) Simerías de la curva. b) Asínoas. c) Punos críicos, punos de angencia horizonal y verical, punos singulares. d) Crecimieno y decrecimieno de la curva por ramas. e) Punos de cores con los ejes coordenados. f) Dibujo aproximado de la curva. Solución: Primeramene buscaremos los dominios de las funciones x() e y(). 1 x() Dx R / 0 4 y() Dy R/ 0 y - ( ) Dominio o Campo de variación de : D Dx Dy,,0 0, Simerías: x x y y No iene simerías. Asínoas: Buscaremos asínoas cuando iende a menos infinio 1 lim x() lim y=0 asínoa horizonal. 4 lim y() lim 0 ( ) Ahora cuando iende a - 1 lim x() lim x=-/ asínoa verical. 4 lim y() lim ( ) Cuando iende a 0 1 lim x() lim 0 0 Posible asínoa oblicua 4 lim y() lim 0 0 ( ) 8 Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C.

30 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica 4 y() ( ) mlim lim x() 1 y=-x+/ asínoa oblicua. 4 1 n lim y() mx() lim 0 0 ( ) Cuando iende a más infinio 1 lim x() lim y=0 asínoa horizonal 4 lim y() lim 0 ( ) Punos críicos: son aquellos valores de donde x () o y () se anulan o no exisen: 1 x'() 0, 4 1 y'() 0, ( ) Punos críicos para =- y =0 No hay punos de angencia horizonal, ni verical. No hay punos singulares. La curva es siempre decreciene, pueso que y'(x)<0 Punos de core: 1 x() 0 1 y( 1) y() x ( ) Puno de core con el eje de abscisas (/,0) Puno de core con el eje de ordenadas: (0,) que además es doble. Gráfica: Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C. 9

31 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica ì ï x( ) = sen ( ) í ï y( ) = cos( ) 8.- Hacer un esudio y represenar gráficamene la curva: Solución: a.- Dominio: R b.- Simerías x x, curva simérica respeco al eje OY; basa esudiar [0, ) y complear la y y gráfica por simería. c.- Periodicidad Período de la x : La curva es periódica de período T = mcm, Basa Período de la y : esudiar la curva para,. Por ano, eniendo en cuena la simería, haremos variar en 0, y complearemos la gráfica por simería. d.- Asínoas No hay, pues x 1 y y 1. e.- Punos críicos, singulares y de angencia horizonal y verical x cos 0 4, pues 0, y sen, pues 0, 1 0 P1 0,1 P 1, 4 P, 1 Punos de angencia horizonal : P1, P, P Punos de angencia verical : P y P5 4 P4,1 P 5 5 1, 4 6 P6 0, 1 Punos singulares: No hay 4 y ïî P 6 0 Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C.

32 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C. 1 Punos críicos: f.- Esudio del crecimieno y decrecimieno por ramas (x, y) x y y (x) y(x) 4, 0 (0,1), , 4 1,, , 1, 1, , 1,, , 4 1 0,, ,0 P 4 g.- Cores con los ejes Con OY: x = 0 1 0, P 0,0 P 0,1 P sen Con OX: y = 0,0 P 6 5 0,0 P,0 P cos h.- Gráfica para, 0 i.- Gráfica compleando por simería respeco al eje OY

33 Represenación gráfica de curvas en forma paramérica 9.- Hacer el esudio de la siguiene curva y represenarla gráficamene x sen() y g Solución: Dominio: Teniendo en cuena que la angene no esá definida en resula: k (k1),k Z Simerías x x() y y simérica respeco el origen. Periodicidad Período de la x: Período de la y: 0,. La curva es periódica de período T Basa esudiar la curva para Asínoas En los punos que no son del dominio de : lím x() lím sen 0 ; lím y() lím g Por ano x=0 es una asínoa verical Punos críicos, singulares y de angencia horizonal y verical x'()=cos()=0 ; punos de angencia verical. 4 4 y'()=(1+g (/))/>0; no hay punos de angencia horizonal. No hay punos singulares. Esudio del crecimieno y decrecimieno por ramas x()=sen() y()=g(/) x'()=cos() y'()=(1+g ( /))/ y'(x)=y ()/x () / 1/4 Crece Crece + + 0<< no exise 4 decrece Crece no exise Unidad Docene de Maemáicas de la E.T.S.I.T.G.C.

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