Problemas resueltos. La integral de línea. 1. Halle la longitud de la curva dada por la parametrización. Solución:

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Problemas resueltos. La integral de línea. 1. Halle la longitud de la curva dada por la parametrización. Solución:"

Transcripción

1 Problemas resueltos 1. Halle la longitud de la curva dada por la parametrización α(t) t ı t3/ j + 1 t k, t [, ]. α (t) (1, t 1/, 1 ), t [, ]. La curva α es de clase C 1 y, por tanto, es rectificable. La longitud de α será: s α (t) dt α (t) 1 + 4t t tdt. 1 ] 16. (5 + 16t)3/ ( ). La ecuación de una curva es y x 3. Halle la longitud del arco que une (1, 1) a (1, 1).

2 Problemas resueltos Parametrizamos la curva de la forma: x t, evitamos los radicales). Así: y t 3, (con esta parametrización α(t) (t, t 3 ), α (t) (t, 3t ), t R α es de clase C 1 en R y además la parametrización dada recorre la curva en el sentido que se pide porque: La longitud del arco será: s 1 1 α (t) dt α( 1) (1, 1), α() (, ), α(1) (1, 1). α (t) 4t + 9t 4 t 4 + 9t. 1 1 t 4 + 9t dt 1 7 (4 + 9t ) 3/ ] 1 1 t 4 + 9t dt 1 7 (4 + 9t ) 3/ ] 1 1 t 4 + 9t dt 1 7 ( ). 3. Calcule α z, donde α es la curva descrita por la parametrización α(t) t cos t ı + tsen t j + t k con t π. α(t) (t cos t, tsen t, t), α (t) (cos t tsen t, sen t + t cos t, 1), t [, π]. α es de clase C 1 (α es continua). Sea f(x, y, z) z. Entonces α (t) + t α z π π f(α(t)). α (t) dt t + t dt 1 3 ( + t ) 3/ ] π 1 ( ( + 4π 3 ) 3 ).

3 4. Calcule C (x + y), siendo C un triángulo de vértices (, ), (1, ) y (, 1). Sea C la trayectoria del triángulo recorrida en sentido contrario a las agujas del reloj. Siendo y puesto que α 1 (t) (t, ), α 1(t) (1, ), α 1(t) 1, t [, 1]. α (t) (1 t, t), α (t) ( 1, 1), α (t), t [, 1]. α 3 (t) (, 1 t), α 3(t) (, 1), α (t) 1, t [, 1]. α 1 () (, ) α 3 (1), α 1 (1) (1, ) α () y α (1) (, 1) α 3 () podemos considerar C como el arco unión C α 1 α α 3. Entonces: (x + y) (x + y) + (x + y) + (x + y) C α 1 α α [ t tdt + dt + (1 t)dt + t + t t 1 +. ] 1

4 Problemas resueltos 5. Un alambre tiene forma de circunferencia, x + y a. Determine su masa y su momento de inercia respecto de un diámetro si la densidad en un punto (x, y) del alambre está dada por la función f(x, y) x + y. La masa del alambre viene dada por la expresión: M f(x, y) x + y siendo la curva cuya trayectoria representa la forma del alambre, en este caso una circunferencia que parametrizamos por: que es de clase C 1 M π (t) (a cos t, asen t), t [, π] (t) ( asen t, a cos t) (t) a f((t)) (t) dt π ( a cos t + asen t ) adt π/ π a (cos t + sen t)dt + a ( cos t + sen t)dt+ 3π/ π + a ( cos t sen t)dt + a (cos t sen t)dt π π/ 3π/ a [sen t cos t] π/ + a [ sen t cos t] π π/ + + a [ sen t + cos t] 3π/ π + a [sen t + cos t] π 3π/ 8a.

5 Para calcular el momento de inercia respecto de un diámetro necesitamos la distancia de un punto cualquiera (x, y) a dicho diámetro. Para simplificar, tomaremos como eje el eje OX, por tanto, la función que da la distancia de un punto al eje es r(x, y) y. Teniendo en cuenta la definición (1.11) del momento de inercia respecto de un eje se tiene: I y ( x + y ) π π/ a 4 sen t( sen t + cos t )dt a 4 sen t cos tdt 3π/ π π a 4 sen t cos tdt + a 4 sen t cos tdt + a 4 sen 3 tdt π/ 3π/ π a 4 sen 3 tdt a4 ( [sen 3 t ] π π 3 [ sen 3 t ] 3π/ π/ + [ sen 3 t ] ) π + 3π/ π + a 4 ( sen t sen t cos t ) π dt a 4 ( sen t sen t cos t ) dt 4a 4. π 6. Calcule la integral del campo vectorial F (x, y) (x xy) ı + (y xy) j, a lo largo de la parábola y x desde ( 1, 1) a (1, 1).

6 Problemas resueltos La integral curvilínea del campo F a lo largo de la parábola es α F b a F (α(t))α (t)dt siendo α una parametrización de dicha parábola. Hacemos x t, y t para obtener la parametrización: α(t) (t, t ), t [ 1, 1] que es de clase C 1 y va desde ( 1, 1) a (1, 1) pues α( 1) ( 1, 1) y α(1) (1, 1). Así: α (t) (1, t), F (α(t)) (t t 3, t 4 t 3 ) α F F (α(t))α (t)dt (t t 3, t 4 t 3 ).(1, t)dt [ t 3 3 t4 + t6 3 4t5 5 ] (t t 3 + t 5 4t 4 )dt 7. Calcule la integral curvilínea (x + )dx + 3zdy + y dz, siendo una parametrización de la curva intersección de las superficies x + y + z 1, z x 1. Parametricemos la curva: } x + y + z 1 x + y + x x x + y x z x 1

7 (x 1 ) + y 1 (x 1 ) 1/4 + y 1/ 1 Para que se cumpla esta condición podemos tomar el parámetro t tal que: x 1 1/ cos t, y 1/ sent, z x 1 x cos t, y 1 sent, z cos t con t [, π] pues de esta forma se recorre toda la curva. Así: (t) ( cos t, 1 sent, cos t), t [, π] Calculamos ahora la integral: (x + )dx + 3zdy + y dz π π (t) ( 1 sent, 1 cos t, 1 sent), t [, π] [ ( cos t)( 1 sent) + 3 cos t( 1 cos t 1 ) 1 sen t( 1 sent) ] dt 1 ( 5sent sent cos t + 3 cos t 3 ) cos t sent(1 cos t) dt 4 ( 1 ] π sen t + 3 π 1 + cos t dt 3 ] ] π π ) sent 4 cos3 t 3 3 [ t + sent ] π π. 8. Calcule la integral α zdy, siendo α el arco contenido en el primer octante (x, y, z ) dado por la intersección de las superficies { x + y + z R x + y Ry El sentido de α es desde el punto (,, R) al punto (, R, ).

8 Problemas resueltos La curva es la intersección de una esfera y un cilindro: Parametrizamos la curva } x + y + z R x + y Ry z + Ry R z R Ry x + y Ry x + (y R ) R 4. Estas ecuaciones se cumplirán si tomamos el parámetro t tal que: x R cos t; y R + R sent; z R R R 1 sent sent R 1 cos( π R t) R sen ( π 4 t ) R sen(π 4 t ). siendo t [ π, π ] para que la curva se recorra desde (,, R) hasta (, R, ) y sea sen( π 4 t ). Por tanto: α(t) ( R cos t, R + R sent, R sen(π 4 t )), t [ π, π ]. que es de clase C 1 en el intervalo considerado. Por la expresión del integrando únicamente necesitamos calcular α 1(t) y R cos t. Así la integral vale α zdy π/ R π/ π/ R sen( π 4 t ) R cos tdt ( 1 sen( π 4 + t ) + sen(π 4 3t ) ) dt 3 R. π/

9 9. Calcule la integral x ydx + ydy + xdz, a lo largo del camino cerrado limitado por los arcos 1, y 3 dados por las ecuaciones 1 x + y + z 1 x y, z x + z 1 y x, z 3 4x + y 1 z x, y Cada una de las curvas está en un plano coordenado de modo que se unen en los puntos (, 1, ), (,, 1) y ( 1,, ). Las parametrizamos de la siguiente manera: 1 x + y + z 1 x y, z y + z 1 x, y cos t, z sent 1 (t) (, cos t, sent), t [, π ] 1 es un cuarto de circunferencia y habremos de tomar t [, π ] para que vaya desde (, 1, ) 1 () hasta (,, 1) 1 ( π ).

10 Problemas resueltos x + z 1 y x, z z 1 x y (t) (t,, 1 t) y tomaremos t [, 1 ] para que vaya desde (,, 1) () hasta ( 1,, ) ( 1 ). 3 4x + y 1 z x, y x 1 cos t y sent z 3 (t) ( 1 cos t, sent, ) que con t [, π ] va desde (1,, ) 3() a (, 1, ) 3 ( π ). De esta manera, como 1 () (, 1, ) 3 ( π ), 1( π ) (,, 1) (), ( 1 ) (1,, ) 3() el camino dado es la unión de los otros tres, 1 3 será la suma de las tres integrales siguientes: y la integral 1 x ydx + ydy + xdz x ydx + ydy + xdz 3 x ydx + ydy + xdz π/ π/ 1/ π/ cos t( sent)dt cos t ] π/ 1. t( )dt t ] 1/ 1 4. ( 1 4 cos tsent( 1 ) sent) + sent cos t dt sen t dt + [ sen t ] π/ 4 [ 1 t 1 8 sen4t ] π/ π π/ 1 cos 4t dt + 1

11 Sumando los tres resultados obtenemos: x ydx + ydy + xdz π π Para qué valores de a R el campo vectorial F (x, y, z) (axy z 3, (a )x, (1 a)xz ) es el gradiente de una función potencial? Para esos valores, calcule la función potencial. Para cualquier valor de a el campo F es de clase C 1 en R 3 (convexo) y será conservativo si su rotacional es cero (x, y, z) R 3. Calculamos el rotacional ı j k rotf D 1 D D 3 axy z 3 (a )x (1 a)xz (, 3z (1 a)z, x(a ) ax), que se anula si se cumplen las ecuaciones: { (1 a)z + 3z (x, y, z) R 3 de donde a 4. x(a ) ax Por tanto, para a 4 el campo F es el gradiente de una función potencial y f : R 3 R tal que f F (4xy z 3, x, 3xz ). Entonces: (x, y, z) 4xy z3 x (x, y, z) x y (x, y, z) 3xz z

12 Problemas resueltos Integrando la primera ecuación respecto de x y teniendo en cuenta que hay que añadir una función de las otras variables (que hace el papel de constante de integración al calcular la primitiva de F 1 respecto de x) queda: f(x, y, z) (4xy z 3 )dx x y z 3 x + h(y, z) Para calcular la función h(y, z),calculamos las derivadas parciales de f respecto de y y z y comparamos con la segunda y la tercera ecuación en el sistema anterior. y (x, y, z) x x + h h (y, z) (y, z) h(y, z) k(z), y y razonando igual que antes, k(z) es una función que no depende ni de x ni de y,asi: z (x, y, z) 3xz 3xz + h z (y, z) 3xz + k (z) k (z) Luego k(z) C y la función potencial del campo F es f(x, y, z) x y z 3 x + C. 11. Pruebe que la integral (6xy y 3 )dx + (6x y 3xy )dy, es independiente del camino que une los puntos (1, ) con (3, 4). Calcule el valor de la integral a) parametrizando el segmento, b) utilizando la función potencial del integrando. La integral será independiente del camino si el campo F (x, y) (6xy y 3, 6x y 3xy )

13 es conservativo. Como el campo es C 1 en R bastará con comprobar que se F cumple la condición x F 1 y, (x, y) R. En efecto: F x 1xy 3y F 1 y, (x, y) R el campo es conservativo y la integral es independiente del camino. a) Parametrizamos como el segmento que une el punto (1, ) con (3, 4): (t) (1, ) + t ((3, 4) (1, )) (1 + t, + t), (t) (, ), t [, 1], 1 F F ((t)). (t)dt [ 6(1 + t)( + t) ( + t) 3] dt+ [ 6(1 + t) ( + t) 3(1 + t)( + t) ] dt ( t + 13t + 64t 3 )dt [ 16t + 4t + 44t t 4] 1 ( ) 36 b) Calculamos la función f : f F (función potencial del campo F ): x 6xy y 3 f (6xy y 3 )dx 3x y xy 3 +h(y) y 6x y 3xy Luego y 6x y 3xy 6x y 3xy +h (y) h (y) h(y) C f(x, y) 3x y xy 3 + C La integral, utilizando la función potencial, es: F f f((1)) f(()) f(3, 4) f(1, )

14 Problemas resueltos 1. Dado el campo de fuerzas F (x, y) (y 3 + 1) ı + (3xy + 1) j. a) Halle el trabajo realizado al mover un objeto desde el punto (, ) al (, ), a lo largo de la semicircunferencia (x 1) + y 1 con y. b) Halle el trabajo realizado al mover el objeto a lo largo de la circunferencia completa. c) Es F conservativo? Halle la función potencial de F. Vamos resolver primero el apartado c) porque si el campo es conservativo los otros dos apartados los resolveremos más fácilmente. c) F (x, y) (y 3 + 1) ı + (3xy + 1) j : D 1 F (x, y) 3y D F 1, (x, y) R y el campo F es conservativo. Calculemos su función potencial f : f F : x F 1 y f (y 3 + 1)dx xy 3 + x + h(y) y F 3xy + 1 3xy + h (y) h (y) 1 h(y) y + c Luego f(x, y) xy 3 + x + y + C. a) Como F es conservativo la integral es independiente del camino, únicamente depende de los puntos inicial y final. El trabajo realizado al mover el objeto desde (, ) hasta (, ) será: F f f(, ) f(, ). b) A lo largo de la circunferencia completa, como es una curva cerrada, el trabajo será nulo: F f.

15 1.6 Problemas propuestos 1. Parametrice la curva y + x Rx (R > ).. Halle la velocidad, la aceleración y la rapidez de una partícula con vector de posición r(t) (t, e t, te t ). 3. Una partícula inicia su movimiento en r() (1,, ) con velocidad inicial v() i j + k. Su aceleración es a(t) 4t i + 6t j + k. Determine su velocidad y posición en el tiempo t. v(t) (t + 1) i + (3t 1) j + (t + 1) k. r(t) ( 3 t3 + t + 1) i + (t 3 t) j + ( 1 t + t) k. 4. Utilizando coordenadas polares, parametrice las siguientes curvas: a) (x + y ) xy. b) La lemniscata (x + y ) 9(x y ) c) La porción de parábola y 8x 16, con x 4(1 + ). d) La elipse (x 6) 81 + y a) α(θ) ( sen(θ) cosθ, sen(θ) senθ), con θ [, π ]. b) α(θ) (3 cos θ cosθ, 3 cos θ senθ), con θ [ π 4, π 4 ]. c) α(θ) (4 1 + cos θ sin cosθ, cos θ θ sin senθ), θ con θ [ π 4, 7π 4 ]. 15 d) α(θ) ( 3 cos θ cosθ, 15 senθ), 3 cos θ con θ [, π]. 5. Parametrice la curva intersección de la esfera x + y + z 1 con el plano x + z y calcule su longitud del arco.

16 Problemas propuestos La curva dada es una circunferencia en el plano x + z parametrizada por: α(t) ( 1 cos t, sin t, 1 cos t), t [, π]. Longitud de la curva: π. 6. Halle la longitud de los siguientes arcos de curva a) α(t) e t cos t ı + e t sen t j + e t k donde t 1. b) α(t) (t + sent, 1 + cos t) con t [, π] (cicloide). a) 3(1 1 e ). b) Calcule la longitud de la cardioide ρ a(1 + cos θ) con θ [, π], a > fijo. 16a. 8. Calcule α (x + y ), donde α es la curva dada por α(t) (cos t + tsen t) ı + (sen t t cos t) j con t π. 16π (1 + π ) 9. Calcule la integral C y dx + xydy + xzdz, siendo C la curva intersección del cilindro x + y 1 y el plano y z. 1. Calcule la integral curvilínea del campo vectorial F (x, y, z) (x, z, y) a lo largo de, siendo una parametrización de la curva intersección de las superficies x + y + z 1, z x 1.

17 11. Calcule la integral del campo vectorial f(x, y) (a y) ı + x j, a lo largo de la cicloide parametrizada por α(t) a(t sen t) ı + a(1 cos t) j, t π. πa. 1. Calcule la integral curvilínea yx dx + ydy, siendo una parametrización de la curva de ecuación y + x Rx. Parametrización de la curva (elipse): α(t) ( R + R cos t, R sin t), t [, π]. Valor de la integral: 5πR Considere un alambre uniforme (densidad constante) con forma de semicircunferencia de radio a. a) Demuestre que el centro de gravedad está situado en el eje de simetría a una distancia a/π del centro. b) Demuestre que el momento de inercia respecto del diámetro que pasa por los extremos del alambre es 1 Ma, siendo M la masa del alambre. 14. Halle la masa de un alambre cuya forma se puede describir como la curva intersección de la esfera x + y + z 1 y el plano x + z. La densidad depende del punto (x, y, z) de la forma f(x, y, z) x. 4 La curva intersección es la del problema 5. Masa:.

18 Problemas propuestos 15. Considere la braquistócrona que parte del punto P (, ) y finaliza en Q (π, ), de ecuación: α(t) (t + sen(t + π), 1 cos(t + π)), t [, π], y el segmento rectiťlíneo que va de P a Q. Pruebe que si se suelta una bola que se desliza por cada curva, bajo el efecto de la gravedad, entonces llega antes la bola de la braquistócrona que la del segmento rectilíneo. Téngase en cuenta que el tiempo total, para una curva cualquiera, es la integral a lo largo de dicha curva del campo escalar f(x, y) 1 g(h y) donde g es la gravedad y h la altura inicial de la bola. 16. Determine en los siguientes ejemplos cuándo el campo vectorial F es el gradiente de un campo escalar. En los casos en los que F sea conservativo, halle la correspondiente función potencial. a) F (x, y) x ı + y j. b) F (x, y) 3x y ı + x 3 j. c) F (x, y, z) (1xz 3 + 1) ı 6y j + 15x z k. d) F (x, y, z) xy 3 ı + x z 3 j + 3x yz k. a) F es conservativo, función potencial: f(x, y) 1 (x + y ) + C. b) F es conservativo, función potencial: f(x, y) x 3 y + C. c) F es conservativo, función potencial: f(x, y, z) 5x z 3 + x y 3 + C. d) F no es conservativo. 17. a) Halle el valor del parámetro a para que el campo vectorial F (x, y, z) (z, az + 1, 1zy + x) sea conservativo. b) Para dicho valor de a obtenga una función potencial de F.

19 18. Consideremos el campo de fuerzas en el plano dado por F (x, y) (x + y, x y). a) Demuestre que el trabajo realizado por esa fuerza al mover una partícula siguiendo la curva α(t) f(t) ı + g(t) j, con a t b, depende únicamente de f(a), f(b), g(a), g(b). b) Halle el trabajo realizado cuando f(a)1, f(b), g(a)3, g(b)4. a) El trabajo realizado por la fuerza es b) 3. 1 [(f(b)) (g(b)) ] + f(b)g(b) 1 [(f(a)) (g(a)) ] + f(a)g(a) 19. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas F (x, y, z) xy ı + (x + z) j + y k, al desplazar una partícula desde el origen de coordenadas hasta el punto (,, 8), siguiendo cualquier trayectoria α que una dichos puntos. F es conservativo. Función potencial: f(x, y, z) x y + zy + C. W.. Considere el campo de fuerzas F (x, y, z) y ı + z j + yz k. a) Determine si F es o no conservativo. b) Calcule el trabajo realizado por F para desplazar una partícula a lo largo de la curva dada por la parametrización α(t) cos t ı + sen t j + e t k, t [, π]. a) F no es conservativo. b) π 1 (1 + eπ ) (eπ + 1).

4 Integrales de línea y de superficie

4 Integrales de línea y de superficie a t e a PROBLEMA DE ÁLULO II t i c a s 1 o Ings. Industrial y de Telecomunicación URO 2009 2010 4 Integrales de línea y de superficie 4.1 Integrales sobre curvas y campos conservativos. Problema 4.1 Integra

Más detalles

(a) El triángulo dado se descompone en tres segmentos de recta que parametrizamos de la siguiente forma: (0 t 1); y = 0. { x = 1 t y = t. (0 t 1).

(a) El triángulo dado se descompone en tres segmentos de recta que parametrizamos de la siguiente forma: (0 t 1); y = 0. { x = 1 t y = t. (0 t 1). INTEGRALES DE LÍNEA. 15. alcular las siguientes integrales: (a) (x + y) ds donde es el borde del triángulo con vértices (, ), (1, ), (, 1). (b) x + y ds donde es la circunferencia x + y ax (a > ). (a)

Más detalles

Universidad de Sevilla. GIOI y GIERM. Matemáticas III. Departamento de Matemática Aplicada II. Guión del Tema 5: Integrales de Línea.

Universidad de Sevilla. GIOI y GIERM. Matemáticas III. Departamento de Matemática Aplicada II. Guión del Tema 5: Integrales de Línea. Universidad de Sevilla. GO y GERM. Matemáticas. Departamento de Matemática Aplicada. Guión del Tema 5: ntegrales de Línea. 1. ntegrales de línea. ntegral de línea de un campo escalar. Sea una curva parametrizada

Más detalles

Campos conservativos. f(x) = f (x) = ( f x 1

Campos conservativos. f(x) = f (x) = ( f x 1 Capítulo 1 Campos conservativos En este capítulo continuaremos estudiando las integrales de linea, concentrándonos en la siguiente pregunta: bajo qué circunstancias la integral de linea de un campo vectorial

Más detalles

Parcial I Cálculo Vectorial

Parcial I Cálculo Vectorial Parcial I Cálculo Vectorial Febrero 8 de 1 ( Puntos) I. Responda falso o verdadero justificando matematicamente su respuesta. (i) La gráfica de la ecuación cos ϕ = 1, en coordenadas esféricas en R3, es

Más detalles

Introducción a la geometría. del plano y del espacio. Curvas.

Introducción a la geometría. del plano y del espacio. Curvas. UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS Introducción a la geometría del plano y del espacio. Curvas. Ramón Bruzual Marisela Domínguez

Más detalles

Integrales de línea. Teorema de Green

Integrales de línea. Teorema de Green Integrales de línea. Teorema de Green José Antonio Vallejo Departamento de Matemáticas Facultad de iencias Universidad Autónoma de San Luis Potosí email: jvallejo@fciencias.uaslp.mx 16 Noviembre 2007 1.

Más detalles

Lectura 3 Ampliación de Matemáticas. Grado en Ingeniería Civil

Lectura 3 Ampliación de Matemáticas. Grado en Ingeniería Civil 1 / 32 Lectura 3 Ampliación de Matemáticas. Grado en Ingeniería Civil Curso Académico 2011-2012 2 / 32 Motivación: muchas ecuaciones y propiedades fundamentales de la Física (y, en consecuencia, de aplicación

Más detalles

Tarea 1 - Vectorial 201420

Tarea 1 - Vectorial 201420 Tarea - Vectorial 040. Part :. - 3... Hacer parametrización de la curva de intersección del cilindro x + y = 6 y el plano x + z = 5. Encontrar las coordenadas de los puntos de la curva donde la curvatura

Más detalles

1 El plano y el espacio Euclídeos. Operaciones

1 El plano y el espacio Euclídeos. Operaciones Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. (Tema 8 Hoja 1 Escuela Técnica Superior de Ingeniería Civil e Industrial (Esp. en Hidrología Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 8: Cálculo diferencial

Más detalles

a y Para aplicar el teorema de Stokes, calculamos en primer lugar el rotacional del campo vectorial: i j k / x / y / z

a y Para aplicar el teorema de Stokes, calculamos en primer lugar el rotacional del campo vectorial: i j k / x / y / z TEOREMA E TOKE. 1. Usar el teorema de tokes para calcular la integral de línea ( ) d + ( ) d + ( ) d, donde es la curva intersección de la superficie del cubo a, a, a el plano + + 3a/, recorrida en sentido

Más detalles

1. Dar la definición de la integral de línea y de la integral de superficie de un campo vectorial y de un campo escalar.

1. Dar la definición de la integral de línea y de la integral de superficie de un campo vectorial y de un campo escalar. NOTAS DE LASE ÁLULO III Unidad 4: INTEGRALES DE LINEA, DE SUPERFIIE, TEOREMAS FUNDAMENTALES Guía de Estudio Doris Hinestroza 1 Índice 1. INTEGRALES DE LINEA, DE SUPERFIIE, TEO- REMAS FUNDAMENTALES DEL

Más detalles

Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados

Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados Sección 3.1.4 1. Dom a = [ 1, 1]. Dom b = R. Dom c = (, 4). Dom d = ( 1, ). Dom e = R ( 1, 3] y Dom f = R {, }. 5x 4 x < 1, (x 1)(3x ) x < 1,. (f + g)(x)

Más detalles

ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 2015

ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 2015 ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 05 Práctica : Geometría Analítica: Vectores, Rectas y Planos A. Vectores Hasta el 9 de marzo. Sean v = (0,, ) y w = (,, 4) dos vectores de IR 3. (a) Obtener el coseno

Más detalles

1. Definición de campo vectorial

1. Definición de campo vectorial Universidad Nacional de La Plata Facultad de iencias Exactas ANÁLII MATEMÁTIO II (ibex - Física Médica) 214 egundo emestre GUÍA Nro. 6: AMPO VETORIALE 1. Definición de campo vectorial Durante el curso

Más detalles

Integral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad)

Integral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad) Integral definida Dada una función f(x) de variable real y un intervalo [a,b] R, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y rectas x = a y x = b. bb

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS RESUELTOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA Ingeriería Técnica Industrial. Especialidad en Mecánica. Boletin 6. Funciones de Varias Variables EJERCICIOS RESUELTOS Curso 003-004 1. En cada apartado, calcular

Más detalles

1. Derivadas parciales

1. Derivadas parciales Análisis Matemático II. Curso 2009/2010. Diplomatura en Estadística/Ing. Téc. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén TEMA 3. ABLES DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARI- 1. Derivadas parciales Para

Más detalles

Cálculo III (0253) TEMA 1 FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL. Semestre 3-2009

Cálculo III (0253) TEMA 1 FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL. Semestre 3-2009 Cálculo III (05) Semestre -009 TEMA FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL Semestre -009 Octubre 009 UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el

Más detalles

INTEGRAL LAPSO 2 008-2 751-1/ 6

INTEGRAL LAPSO 2 008-2 751-1/ 6 INTEGRAL LAPSO 8-751 - 1/ 6 Universidad Nacional Abierta CÁLCULO III ( 751 ) Vicerrectorado Académico Integral Área de Matemática Fecha 1/1/8 Lapso 8 MOELO E RESPUESTAS OBJ 1 PTA 1 a. etermine el dominio

Más detalles

Aplicaciones de la Integral Definida

Aplicaciones de la Integral Definida CAPITULO 7 Aplicaciones de la Integral Definida 1 Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

Más detalles

1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva:

1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva: 1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva: a) x = senθ, y = cosθ, 0 θ π t b), t x = e y = e + 1 c) x = senθ, y =

Más detalles

Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla. GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II

Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla. GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II CURSO 2015-2016 Índice general 1. Derivación de funciones

Más detalles

Análisis II - Primer Parcial Coloquio- Tema 1

Análisis II - Primer Parcial Coloquio- Tema 1 .5. Coloquio 1/08/03. Análisis II - Primer Parcial Coloquio- Tema 1 1. Hallar a de manera que sea máximo el flujo de campo F (x,y,z)= (x,y,z) a través del borde ( con tapas!) del cilindro elíptico descripto

Más detalles

Problemario de Cálculo Diferencial de Varias Variables

Problemario de Cálculo Diferencial de Varias Variables Problemario de Cálculo Diferencial de Varias Variables 1 María José Arroyo Shirley Bromberg Patricia Saavedra Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa ÍNDICE 1 Geometría

Más detalles

RELACIÓN DE EXÁMENES DE GEOMETRÍA III

RELACIÓN DE EXÁMENES DE GEOMETRÍA III RELACIÓN DE EXÁMENES DE GEOMETRÍA III Prof. Rafael López Camino Departamento de Geometría y Topología Universidad de Granada Material docente para el alumno Asignatura: Geometría III Licenciatura: Matemáticas

Más detalles

Polinomios de Taylor.

Polinomios de Taylor. Tema 7 Polinomios de Taylor. 7.1 Polinomios de Taylor. Definición 7.1 Recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado n para la función f en el punto a, denotado por P n,a, el polinomio: P n,a (x) = f(a)

Más detalles

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES CAPÍTULO II. CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SECCIONES 1. Dominios y curvas de nivel. 2. Cálculo de ites. 3. Continuidad. 55 1. DOMINIOS Y CURVAS DE NIVEL. Muchos problemas geométricos y físicos

Más detalles

Funciones de varias variables reales

Funciones de varias variables reales Capítulo 6 Funciones de varias variables reales 6.1. Introducción En muchas situaciones habituales aparecen funciones de dos o más variables, por ejemplo: w = F D (Trabajo realizado por una fuerza) V =

Más detalles

El teorema de Green. 1 x (t) 2 + y (t) 2 ( N(t) = y (t), x (t) ).

El teorema de Green. 1 x (t) 2 + y (t) 2 ( N(t) = y (t), x (t) ). apítulo 11 El teorema de Green El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva. Este tipo de

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A Ejercicio 1.- [2 5 puntos] Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. De entre todas las ventanas normandas de perímetro 10 m, halla las dimensiones del marco

Más detalles

CINEMATICA DE MAQUINAS

CINEMATICA DE MAQUINAS CINEMATICA DE MAQUINAS 4.1.- CAMPO DE VELOCIDADES EN EL MOVIMIENTO GENERAL DE UN SISTEMA INDEFORMABLE 4.2.- ACELERACION DE UN PUNTO EN EL MOVIMIENTO GENERAL DE UN SISTEMA INDEFORMABLE 4.3.- EJE INSTANTANEO

Más detalles

4. Integrales de Línea. Áreas de Superficies e Integrales de Superficie

4. Integrales de Línea. Áreas de Superficies e Integrales de Superficie NOTAS DE CLASE CÁLCULO III Doris Hinestroza Diego L. Hoyos 1 Índice general 1. Funciones Vectoriales 5 1.1. El Espacio R n............................ 5 1.2. Funciones Vectoriales........................

Más detalles

Los teoremas de Stokes y Gauss

Los teoremas de Stokes y Gauss Capítulo 13 Los teoremas de tokes y Gauss En este último capítulo estudiaremos el teorema de tokes, que es una generalización del teorema de Green en cuanto que relaciona la integral de un campo vectorial

Más detalles

Tema 1.- Cónicas y Cuádricas.

Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química. Matemáticas I. 2010-2011. Departamento de Matemática Aplicada II. Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla. Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. 1.1.-

Más detalles

SUPERFICIES. También construiremos el plano tangente, usando una parametrización o una

SUPERFICIES. También construiremos el plano tangente, usando una parametrización o una SUPERFICIES El objetivo de este tema es el estudio de superficies regulares en el espacio. Definiremos de forma rigurosa lo que es una superficie, veremos formas de expresar una superficie, esencialmente

Más detalles

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G.

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G. Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística Cĺınica de Matemática 1 Geometría Anaĺıtica: J. Labrin - G.Riquelme 1. Los puntos extremos de un segmento son P 1 (2,4) y P 2 (8, 4).

Más detalles

1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:

1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: F. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: (a) f(x) =x 3 /3+3x 2 /2 10x. Resp.: Crece en (, 5) y en (2, ); decrece en ( 5, 2). (b) f(x) =x 3

Más detalles

Tema 9. Campos escalares y campos vectoriales. Integrales de línea e integrales de supercie

Tema 9. Campos escalares y campos vectoriales. Integrales de línea e integrales de supercie Tema 9. ampos escalares y campos vectoriales. Integrales de línea e integrales de supercie Índice de contenidos del tema 9 1. ampos escalares y campos vectoriales 2. Gradiente, laplaciano, divergencia

Más detalles

2. Vector tangente y gráficas en coordenadas polares.

2. Vector tangente y gráficas en coordenadas polares. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL CURSO 0 Vector tangente y gráficas en coordenadas polares De la misma forma que la ecuación cartesiana y = yx ( ) define una curva en el plano, aquella formada por los

Más detalles

Física I. Curso 2010/11. Departamento de Física Aplicada. ETSII de Béjar. Universidad de Salamanca

Física I. Curso 2010/11. Departamento de Física Aplicada. ETSII de Béjar. Universidad de Salamanca Física I. Curso 2010/11 Departamento de Física Aplicada. ETSII de Béjar. Universidad de Salamanca Profs. Alejandro Medina Domínguez y Jesús Ovejero Sánchez Tema 1. Cinemática Índice 1. Introducción 3 2.

Más detalles

EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES

EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES Ramón Bruzual Marisela Domínguez Caracas,

Más detalles

4.1 EL SISTEMA POLAR 4.2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS

4.1 EL SISTEMA POLAR 4.2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS 4 4.1 EL SISTEMA POLAR 4. ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES: RECTAS, CIRCUNFERENCIAS, PARÁBOLAS, ELIPSES, HIPÉRBOLAS, LIMACONS, ROSAS, LEMNISCATAS, ESPIRALES.

Más detalles

2.1.5 Teoremas sobre derivadas

2.1.5 Teoremas sobre derivadas si x < 0. f(x) = x si x 0 x o = 0 Teoremas sobre derivadas 9 2. f(x) = x 3, x o = 3 a. Determine si f es continua en x o. b. Halle f +(x o ) y f (x o ). c. Determine si f es derivable en x o. d. Haga la

Más detalles

Separata de matemática III Resolución Decanal N 0 082-2010-D-FIME

Separata de matemática III Resolución Decanal N 0 082-2010-D-FIME UNIVERIDAD NAIONAL DEL ALLAO FAULTAD DE INGENIERÍA MEÁNIA - ENERGÍA Departamento Académico de Ingeniería Mecánica Asignatura Matemática III eparata de matemática III Resolución Decanal N 82-21-D-FIME Mag.

Más detalles

GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO

GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO CAPÍTULO I. GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO SECCIONES 1. Vectores. Operaciones con vectores. 2. Rectas y planos en R 3. 3. Curvas y superficies en R 3. 4. Nociones de topología métrica. 1 1. VECTORES. OPERACIONES

Más detalles

α = (rad/s 2 ) Experimento 8

α = (rad/s 2 ) Experimento 8 Experimento 8 MOVIMIENTO DE ROTACIÓN Objetivos 1. Establecer algunas similitudes entre el movimiento de traslación y el de rotación,. Medir la posición, velocidad y aceleración angulares de objetos girando,

Más detalles

COORDENADAS CURVILINEAS

COORDENADAS CURVILINEAS CAPITULO V CALCULO II COORDENADAS CURVILINEAS Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un

Más detalles

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3).

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3). SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1,) y que pasa por el punto (,). Para determinar la ecuación de la circunferencia es necesario conocer el centro y el

Más detalles

1 Función real de dos variables reales

1 Función real de dos variables reales Cálculo Matemático. Tema 10 Hoja 1 Escuela Universitaria de Arquitectura Técnica Cálculo Matemático. Tema 10: Funciones de dos variables. Curso 008-09 1 Función real de dos variables reales Hasta el momento

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA AÑO 2014 RECTAS - EJERCICIOS TEÓRICOS 1- Demostrar que la ecuación

Más detalles

Teorema de Green. 6.1. Curvas de Jordan

Teorema de Green. 6.1. Curvas de Jordan Lección 6 Teorema de Green En la lección anterior, previa caracterización de los campos conservativos, hemos visto que un campo irrotacional puede no ser conservativo. Tenemos por tanto una condición fácil

Más detalles

asociados a cada cuerpo de referencia, que sirven para describir el movimiento mecánico de los cuerpos respecto a esos tomados como referencia.

asociados a cada cuerpo de referencia, que sirven para describir el movimiento mecánico de los cuerpos respecto a esos tomados como referencia. CAP. 4: CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA. Modelo de partícula: se aplica a cuerpos muy pequeños comparados con el diámetro de la menor esfera donde cabe la trayectoria completa del cuerpo. Equivale a considerar

Más detalles

Problemas de Cinemática 1 o Bachillerato

Problemas de Cinemática 1 o Bachillerato Problemas de Cinemática 1 o Bachillerato 1. Sean los vectores a = i y b = i 5 j. Demostrar que a + b = a + b a b cos ϕ donde ϕ es el ángulo que forma el vector b con el eje X.. Una barca, que lleva una

Más detalles

1 FUNCIONES DE R N EN R.

1 FUNCIONES DE R N EN R. 1 FUNCIONES DE R N EN R. 1. Idea de función. Si A R N, una función f : A R es una regla que asigna a cada punto x A un número f( x ) R. Ejemplos: Si x R 2 podemos considerar la función f( x )=(distancia

Más detalles

Integrales 1.- Calcular las derivadas de las siguientes funciones: a)

Integrales 1.- Calcular las derivadas de las siguientes funciones: a) .- Calcular las derivadas de las siguientes funciones: a) F() e t (sent cos t)dt b) G() sen cos tdt.. a) Estudiar la convergencia y, cuando sea posible, calcular las siguientes integrales: d d b) Estudiar

Más detalles

OSCILACIONES ARMÓNICAS

OSCILACIONES ARMÓNICAS Tema 5 OSCILACIONES ARMÓNICAS 5.1. Introducción. 5.. Movimiento armónico simple (MAS). 5.3. Cinemática y dinámica del MAS. 5.4. Fuerza y energía en el MAS. 5.5. Péndulo simple. MAS y movimiento circular

Más detalles

Javier Junquera. Vectores

Javier Junquera. Vectores Javier Junquera Vectores Cómo describir la posición de un punto en el espacio: Sistemas de coordenadas Un sistema de coordenadas que permita especificar posiciones consta de: Un punto de referencia fijo,

Más detalles

Análisis Vectorial Licenciatura de Matemáticas. JESÚS GARCIA i FALSET Departament d Anàlisi Matemàtica Universitat de València

Análisis Vectorial Licenciatura de Matemáticas. JESÚS GARCIA i FALSET Departament d Anàlisi Matemàtica Universitat de València Análisis Vectorial Licenciatura de Matemáticas JESÚS GARCIA i FALSET Departament d Anàlisi Matemàtica Universitat de València 22 de diciembre de 2011 2 Índice general 1. Integrales de Línea 5 1.1. Vectores..............................

Más detalles

Integrales y ejemplos de aplicación

Integrales y ejemplos de aplicación Integrales y ejemplos de aplicación I. PROPÓSITO DE ESTOS APUNTES Estas notas tienen como finalidad darle al lector una breve introducción a la noción de integral. De ninguna manera se pretende seguir

Más detalles

Resumen TEMA 3: Cinemática del movimiento plano

Resumen TEMA 3: Cinemática del movimiento plano TEM 3: Cinemática del movimiento plano Resumen TEM 3: Cinemática del movimiento plano 1. Condiciones del movimiento plano Definición: un sólido rígido se mueve con un movimiento plano si todos sus puntos

Más detalles

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CUASILINEALES PRIMER ORDEN, NOCIONES BÁSICAS

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CUASILINEALES PRIMER ORDEN, NOCIONES BÁSICAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CUASILINEALES PRIMER ORDEN, NOCIONES BÁSICAS E. SÁEZ Una Ecuación Diferencial Partial (E.D.P.) de Primer Orden, en dos variables, es simplemente una expresión de la forma

Más detalles

POTENCIAL ELECTRICO. W q. B o

POTENCIAL ELECTRICO. W q. B o POTENCIAL ELECTRICO Un campo eléctrico que rodea a una barra cargada puede describirse no solo por una intensidad de campo eléctrico E (Cantidad Vectorial) si no también como una cantidad escalar llamada

Más detalles

MATE1207 Primer parcial - Tema A MATE-1207

MATE1207 Primer parcial - Tema A MATE-1207 MATE7 Primer parcial - Tema A MATE7. Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.

Más detalles

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector 3.1 DEFINICIÓN Un vector (A) una magnitud física caracterizable mediante un módulo y una dirección (u orientación) en el espacio. Todo vector debe tener un origen marcado (M) con un punto y un final marcado

Más detalles

Ampliación de Matemáticas. Integrales de línea

Ampliación de Matemáticas. Integrales de línea Ampliación de Matemáticas Integrales de línea En Física la idea intuitiva de trabajo queda recogida en la fórmula Trabajo = Fuerza x Espacio Si f(x) es la fuerza aplicada, a lo largo del eje x, a un objeto

Más detalles

Guías de Ejercicios de Análisis Matemático III - 2010

Guías de Ejercicios de Análisis Matemático III - 2010 Guías de Ejercicios de Análisis Matemático III - 2010 Docentes Nombre Ubicación contacto Dra. Marta Urciuolo FaMAF, of. 270, int. 270 urciuolo@mate.uncor.edu Dr. Adolfo Banchio FaMAF, of. 216, int 216

Más detalles

ilustrando sus respuestas con la ayuda de gráficas x-t ó v-t según corresponda.

ilustrando sus respuestas con la ayuda de gráficas x-t ó v-t según corresponda. FÍSICA GENERAL I Descripción del movimiento 1 Responda las siguientes cuestiones en el caso de un movimiento rectilíneo ilustrando sus respuestas con la ayuda de gráficas x-t ó v-t según corresponda. a

Más detalles

SELECTIVIDAD MURCIA MATEMÁTICAS II. e πi +1 = 0 MATEMÁTICAS II MATEMÁTICAS II. Germán Ibáñez http://www.otrapagina.com/matematicas

SELECTIVIDAD MURCIA MATEMÁTICAS II. e πi +1 = 0 MATEMÁTICAS II MATEMÁTICAS II. Germán Ibáñez http://www.otrapagina.com/matematicas MATEMÁTICAS II MATEMÁTICAS II MATEMÁTICAS II SELECTIVIDAD MURCIA e πi + = icosaedro octaedro cubo tetraedro 3 de diciembre de 4 Germán Ibáñez http://www.otrapagina.com/matematicas dodecaedro . Índice general.

Más detalles

CÁLCULO VECTORIAL Notas de clase. Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo

CÁLCULO VECTORIAL Notas de clase. Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo CÁLCULO VECTORIAL Notas de clase Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo TEMA IV INTEGRALES MÚLTIPLES INTEGRALES ITERADAS Y ÁREA EN EL PLANO Desde el curso de Cálculo II se estudió la forma de derivar parcialmente

Más detalles

Parte I. Iniciación a los Espacios Normados

Parte I. Iniciación a los Espacios Normados Parte I Iniciación a los Espacios Normados Capítulo 1 Espacios Normados Conceptos básicos Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K = R ó C indistintamente. Una norma sobre E es una aplicación de E

Más detalles

Caracterización de los campos conservativos

Caracterización de los campos conservativos Lección 5 Caracterización de los campos conservativos 5.1. Motivación y enunciado del teorema Recordemos el cálculo de la integral de línea de un gradiente, hecho en la lección anterior. Si f : Ω R es

Más detalles

LA PARABOLA. R(-a, y) P (x, y) con el origen del sistema de coordenadas cartesianas y el eje de la parábola con el

LA PARABOLA. R(-a, y) P (x, y) con el origen del sistema de coordenadas cartesianas y el eje de la parábola con el LA PARABOLA Señor... cuando nos equivoquemos, concédenos la voluntad de rectificar; y cuando tengamos razón... no permitas que nos hagamos insufribles para el prójimo. Marshall En la presente entrega,

Más detalles

Trabajo y Energía. W = FO. xo. t t =mvo. vo= ( 1 2 m vo2 )= K, y, F z = U E = K +U. E =K + i. U i

Trabajo y Energía. W = FO. xo. t t =mvo. vo= ( 1 2 m vo2 )= K, y, F z = U E = K +U. E =K + i. U i Trabajo y Energía Trabajo vo xo=m vo xo W = FO. xo FO: Fuerza aplicada, XOes el desplazamiento. Usando la Segunda Ley de Newton: W = m t t =mvo. vo= ( 1 2 m vo2 )= K, Teorema del Trabajo y la Energía K

Más detalles

Ejercicios Resueltos de Cálculo III.

Ejercicios Resueltos de Cálculo III. Ejercicios Resueltos de Cálculo III. 1.- Considere y. a) Demuestre que las rectas dadas se cortan. Encuentre el punto de intersección. b) Encuentre una ecuación del plano que contiene a esas rectas. Como

Más detalles

1. Extremos de funciones 2. 2. Parametrización, Triedro de Frenet 21. 3. Coordenadas curvilíneas 34. 4. Integrales de trayectoria y de línea 41

1. Extremos de funciones 2. 2. Parametrización, Triedro de Frenet 21. 3. Coordenadas curvilíneas 34. 4. Integrales de trayectoria y de línea 41 Índice general 1. Extremos de funciones. Parametrización, Triedro de Frenet 1 3. Coordenadas curvilíneas 34 4. Integrales de trayectoria y de línea 41 5. Integrales Iteradas 5 6. Teoremas Integrales 57

Más detalles

ESTALMAT-Andalucía. Geometría dinámica con Cabri. Sesión 16

ESTALMAT-Andalucía. Geometría dinámica con Cabri. Sesión 16 Geometría dinámica con Cabri Sesión 16 SAEM THALES Material recopilado y elaborado por: Encarnación Amaro Parrado Agustín Carrillo de Albornoz Torres Granada, 8 de marzo de 2008-2 - Actividades de repaso

Más detalles

LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO

LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO Si un hombre es perseverante, aunque sea duro de entendimiento se hará inteligente; y aunque sea débil se transformará en fuerte Leonardo Da Vinci TRASLACION DE

Más detalles

FUNCIONES DE VARIABLE REAL

FUNCIONES DE VARIABLE REAL CAPÍTULO II. FUNCIONES DE VARIABLE REAL SECCIONES A. Dominio e imagen de una función. B. Representación gráfica de funciones. C. Operaciones con funciones. D. Ejercicios propuestos. 47 A. DOMINIO E IMAGEN

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA CAPÍTULO VI. APLICACIONES DE LA DERIVADA SECCIONES A. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos locales. B. Concavidad. Puntos de inflexión. C. Representación gráfica de funciones. D. Problemas de

Más detalles

Teoremas de Stokes y Gauss

Teoremas de Stokes y Gauss Lección 9 Teoremas de Stokes y Gauss Presentamos a continuación los dos resultados principales del Cálculo Vectorial. Por una parte, el Teorema de Stokes generaliza la fórmula de Green, estableciendo la

Más detalles

S n = 3n + 2 n + 4. ln(1 + a n ) (3) Decidir, para cada una de las siguientes series, si es convergente o divergente.

S n = 3n + 2 n + 4. ln(1 + a n ) (3) Decidir, para cada una de las siguientes series, si es convergente o divergente. CÁLCULO HOJA 1 INGENIERO TÉCNICO EN INFORMÁTICA DE SISTEMAS GRUPO DE MAÑANA, MÓSTOLES, 2008-09 (1) De la serie a n se sabe que la sucesión de sumas parciales viene dada por: S n = 3n + 2 n + 4. Encontrar

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

MATEMÁTICA I, INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

MATEMÁTICA I, INGENIERÍA Y ARQUITECTURA MATEMÁTICA I, INGENIERÍA Y ARQUITECTURA CICLO 0 01 Sección 0. Prof. Ing. Marta Lidia Merlos Aragón HOJA DE EJERCICIOS ADICIONALES APLICACIONES DE LA DERIVADA PARTE I: SOBRE RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL

Más detalles

Capítulo 1. Mecánica

Capítulo 1. Mecánica Capítulo 1 Mecánica 1 Velocidad El vector de posición está especificado por tres componentes: r = x î + y ĵ + z k Decimos que x, y y z son las coordenadas de la partícula. La velocidad es la derivada temporal

Más detalles

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula:

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula: 1. Dada la función f(x) = : a) Encontrar el dominio, las AH y las AV. b) Intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos. c) Primitiva que cumpla que F(0) = 0. a) Para encontrar el

Más detalles

x y y x 2x y x y x 2y 2 5 x 2y 2 5 EJERCICIOS PROPUESTOS

x y y x 2x y x y x 2y 2 5 x 2y 2 5 EJERCICIOS PROPUESTOS Solucionario 6 CÓNICAS 6.I. Calcula las ecuaciones de los siguientes lugares geométricos e identifícalos. a) Puntos que equidistan de A(3, 3) y de B(, 5). b) Puntos que equidistan de r: y 0 y s: y 0. c)

Más detalles

Problemas de Campo eléctrico 2º de bachillerato. Física

Problemas de Campo eléctrico 2º de bachillerato. Física Problemas de Campo eléctrico 2º de bachillerato. Física 1. Un electrón, con velocidad inicial 3 10 5 m/s dirigida en el sentido positivo del eje X, penetra en una región donde existe un campo eléctrico

Más detalles

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás 30 de septiembre de 014 Índice general 1. Año 000 7 1.1. Modelo 000 - Opción A.................... 7 1..

Más detalles

PROBLEMAS MÉTRICOS. Página 183 REFLEXIONA Y RESUELVE. Diagonal de un ortoedro. Distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a una recta

PROBLEMAS MÉTRICOS. Página 183 REFLEXIONA Y RESUELVE. Diagonal de un ortoedro. Distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a una recta PROBLEMAS MÉTRICOS Página 3 REFLEXIONA Y RESUELVE Diagonal de un ortoedro Halla la diagonal de los ortoedros cuyas dimensiones son las siguientes: I) a =, b =, c = II) a = 4, b =, c = 3 III) a =, b = 4,

Más detalles

TRABAJO Y ENERGÍA Página 1 de 13

TRABAJO Y ENERGÍA Página 1 de 13 TRABAJO Y ENERGÍA Página 1 de 13 EJERCICIOS DE TRABAJO Y ENERGÍA RESUELTOS: Ejemplo 1: Calcular el trabajo necesario para estirar un muelle 5 cm, si la constante del muelle es 1000 N/m. La fuerza necesaria

Más detalles

TRABAJO Y ENERGÍA. Campos de fuerzas

TRABAJO Y ENERGÍA. Campos de fuerzas TRABAJO Y ENERGÍA 1. Campos de fuerzas. Fuerzas dependientes de la posición. 2. Trabajo. Potencia. 3. La energía cinética: Teorema de la energía cinética. 4. Campos conservativos de fuerzas. Energía potencial.

Más detalles

1. Funciones de varias variables

1. Funciones de varias variables Análisis Matemático II. Curso 2008/2009. Diplomatura en Estadística/Ing. Téc. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén TEMA 2: CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 1. Funciones de varias variables

Más detalles

TEMA 7 GEOMETRÍA ANALÍTICA

TEMA 7 GEOMETRÍA ANALÍTICA Nueva del Carmen, 35. 470 Valladolid. Tel: 983 9 63 9 Fax: 983 89 96 TEMA 7 GEOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos / Criterios de evaluación O.7. Concepto y propiedades de los vectores O.7. Operaciones con vectores:

Más detalles

a) Buscar dominio, crecimiento, decrecimiento y máximos absolutos. b) Buscar el área delimitada por la función y el eje '0X'.

a) Buscar dominio, crecimiento, decrecimiento y máximos absolutos. b) Buscar el área delimitada por la función y el eje '0X'. .- Dada la función: f(x) = x 9 x a) Buscar dominio, crecimiento, decrecimiento y máximos absolutos. b) Buscar el área delimitada por la función y el eje '0X'..a.- Lo primero que hacemos es buscar el dominio,

Más detalles

Ejercicios resueltos de cinemática

Ejercicios resueltos de cinemática Ejercicios resueltos de cinemática 1) Un cuerpo situado 50 metros por debajo del origen, se mueve verticalmente con velocidad inicial de 20 m/s, siendo la aceleración de la gravedad g = 9,8 m/s 2. a) Escribe

Más detalles

Movimiento oscilatorio

Movimiento oscilatorio Capítulo 13 Ondas 1 Movimiento oscilatorio El movimiento armónico simple ocurre cuando la fuerza recuperadora es proporcional al desplazamiento con respecto del equilibrio x: F = kx k se denomina constante

Más detalles

Ejercicios resueltos

Ejercicios resueltos Ejercicios resueltos oletín 6 Campo magnético Ejercicio Un electrón se acelera por la acción de una diferencia de potencial de 00 V y, posteriormente, penetra en una región en la que existe un campo magnético

Más detalles

CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL. ELEMENTOS Y MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO

CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL. ELEMENTOS Y MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL. ELEMENTOS Y MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO Estudiar el movimiento es importante: es el fenómeno más corriente y fácil de observar en la Naturaleza. Todo el Universo está en constante

Más detalles