1. INTRODUCCIÓN RESUMEN

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1 ANÁLISIS ESPECTRAL DE TEMPERATURAS MEDIAS PARA EL DEPARTAMENTO DE COCHABAMBA MARKO J. ANDRADE 1, IVAN E. FUENTES 1 & FRANCISCO CHOQUE 1 1 DEPARTAMENTO DE FISCA UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON COCHABAMBA BOLIVIA (cclmatcos@fcyt.umss.edu.bo) RESUMEN Se realzó el análss espectral de temperaturas medas para decnueve estacones del departamento de Cochabamba a partr de seres temporales provstas para cada una y prevamente valdadas. El análss consstó en la extraccón de la potenca espectral de cada sere por medo de la Transformada Dscreta de Fourer (DFT) pasando del domno del tempo al domno de frecuencas. La utldad de este procedmento radca en que permte observar característcas que pasan nadvertdas en las seres temporales pero que resaltan en el domno de frecuencas tales como la presenca de frecuencas domnantes relaconadas con perodos sobresalentes. Como resultado se observó que 6 de las localdades estudadas tenen un solo perodo domnante de 365 días, en tanto que un número mayor de ellas (13) presentan dos perodos domnantes: uno ben marcado de 365 días y otro menos sgnfcatvo de 178 días. En consecuenca, según el análss efectuado, no se puede hablar de cuatro estacones clmátcas ben defndas en todo el departamento puesto que en algunas regones solo se observa una estacón fría y otra calente. Palabras Clave: Transformada Dscreta de Fourer, Potenca espectral, Espectro de frecuencas. 1. INTRODUCCIÓN El análss espectral consste en el estudo de una sere temporal transformada al espectro de frecuencas con el objeto de detectar partculardades que pasan nadvertdas en el domno del tempo. El cambo del domno del tempo al de frecuencas depende del tpo de datos con que se cuenta. En el presente trabajo se consderan datos de temperatura meda de decnueve estacones stuadas en dstntas localdades del departamento de Cochabamba (Fgura 1). Los datos con que se cuenta corresponden a dstntos ntervalos de tempo, por ej. en el caso de la provnca Cercado corresponden al perodo Se vo por convenente el uso de la Transformada Dscreta de Fourer (DFT). Sn embargo el problema de la Transformada de Fourer es que devuelve valores complejos a pesar de que los datos de entrada sean reales [1,]. Para salvar esta dfcultad exsten varas posbldades. La que se utlzó consste en el cálculo prevo de la funcón de autocorrelacón de cada sere temporal aprovechando el hecho de que la DFT de la funcón de autocorrelacón es gual a la potenca espectral de la sere, es decr, es gual al módulo cuadrado de su Transformada de Fourer. Fg 1: Ubcacón de las estacones de montoreo en el departamento de Cbba.

2 En consecuenca, no se obtuvo la Transformada de Fourer propamente sno más ben la potenca espectral, la cual, del msmo modo que la DFT, pone de manfesto las frecuencas domnantes, por lo que su cálculo es equvalente para los objetvos del presente trabajo. Domno del tempo vs. Domno de frecuencas en Seres Temporales Exsten dos aproxmacones para el análss de seres temporales: una en el domno del tempo y otra en el domno de frecuencas [4]. Estos dos procedmentos operan de un modo claramente dferente y pueden parecer dstntos, pero en realdad no son ndependentes ya que son métodos complementaros vnculados matemátcamente. Los métodos en el domno del tempo tratan de caracterzar las seres de datos en los msmos térmnos en que fueron observados y reportados. Una herramenta básca para la caracterzacón de relacones entre datos en el domno del tempo es la funcón de autocorrelacón. Matemátcamente, los análss en el domno del tempo operan en el msmo espaco que los datos. Los análss en el domno de frecuencas representan las seres de datos en térmnos de contrbucones que ocurren a dferentes escalas de tempo, o frecuencas característcas. Cada escala de tempo es representada por pares de funcones seno y coseno. La sere temporal completa se consdera como los efectos combnados de una coleccón de ondas seno y coseno osclando a dferentes tasas. La suma de estas ondas reproduce los datos orgnales, pero son a menudo los pesos relatvos de los componentes ndvduales los que son de nterés prmaro. Los análss en el domno de frecuencas tenen lugar en un espaco matemátco defndo por esta coleccón de ondas seno y coseno. Es decr, el análss en el domno de frecuencas nvolucra la transformacón de los n datos orgnales en coefcentes que multplcan un número gual de funcones peródcas (seno y coseno). Los métodos en el domno de frecuencas son de aplcacón común en seres temporales de datos clmatológcos y se pueden sacar resultados muy útles a partr de ellos. [1]. METODOLOGÍA La metodología que se presenta a contnuacón fue desarrollada en [3] y se utlzó para cada una de las decnueve estacones de estudo. Los cálculos se realzaron con ayuda de un programa computaconal [6]. Ya que las seres de temperatura son temporales, x t se utlza de aquí en adelante la notacón ( ) para la sere orgnal y X ( f ) para su transformada hacendo alusón al domno del tempo y de frecuencas respectvamente. Para evtar el nconvenente de trabajar con espectros complejos se utlza la llamada potenca espectral, p que no es más que el módulo cuadrado de la transformada (y por tanto sempre real): ( ) = ( ) + ( ) real mag X f X f X f Por otro lado, un resultado mportante del Análss de Fourer es la relacón entre esta potenca espectral y la llamada funcón de autocorrelacón c : [] ( ) = F ( ) X f c Es decr, la potenca espectral es la Transformada de Fourer de la funcón de autocorrelacón. Para empezar se calcula la funcón de autocorrelacón c sguendo los sguentes pasos: 1. Se denota la sere temporal x( t ) como x{ } con = 1.. N donde N es el número total de datos. Los prmeros 37 datos corresponden al prmer año de estudo (consderando que todos los meses tenen 31 días), los sguentes al año y así sucesvamente. Los datos faltantes, ya sea por omsón en el regstro o porque no exsten en el mes respectvo se reemplazan por Esto con el fn de alertar al programa que

3 dcho dato no exste y no se tome en cuenta para futuros cálculos.. Se calcula el promedo de la sere x y se obtene otra sere con promedo cero y{ }: y = x x La dea de trabajar con seres de promedo cero vene del hecho de que se pretende expresar la sere en térmnos de senos y cosenos, msmos que tenen como promedo cero. Consstentemente se debe desplazar el eje de las temperaturas hasta que concda con el valor medo. 3. Se calcula la funcón de autocorrelacón medante la fórmula: c 1 k = N = yk yk+ N k = 0 La nterpretacón de la funcón c es la sguente. Correlaconar dos funcones sgnfca evaluar cuán relaconadas están entre sí, y en el caso de seres dscretas se pensa en cuánto se parecen los datos de una respecto de la otra para un msmo argumento. En el presente caso el argumento es el tempo. Ahora ben, la correlacón (generalmente) será máxma s no exste desplazamento en el tempo entre ambas seres. En nuestro caso sendo los datos daros esto mplcaría correlaconar una sere de N datos con otra de N datos. Sn embargo, s se ntroduce un desplazamento en el tempo (un lag ) entre ambas seres de por ejemplo un día, contaremos solo con N-1 datos para correlaconar (el prmer dato de la prmera sere quedará fuera al gual que el últmo de la segunda) como puede observarse en la Fgura. Utlzando la fórmula para c con gual al lag (que puede ser 0, 1,, ) se obtene la correlacón deseada. Se observa que en nuestro caso no exsten dos funcones sno una sola correlaconada consgo msma (de ahí el nombre autocorrelacón). Fg. Esquema de la funcón de autocorrelacón Entonces, reptendo el uso de la fórmula de c para dstntos lags se obtene la funcón de autocorrelacón deseada. No hay necesdad de calcular c para todos los datos, basta una fraccón de ellos. En este trabajo se tomaron un décmo de los datos [3]. A contnuacón se calcula la potenca espectral. 4. Se calcula la sere potenca espectral p cuyo número de térmnos es déntco al de la funcón de autocorrelacón. Denotemos por M este número de datos (gual a la décma parte del total). Entonces: M 1 1 π π 1 π p = c0cos 0 + cjcos j + c0cos M M j= 1 M M Se observa que y j son contadores enteros. La sere p nos permte vsualzar la sere temporal en el domno de las frecuencas. Adconalmente es buena práctca realzar el alsado de la sere para mejorar la caldad de los datos [3]. Para eso se calcula la sere a dada por: ( ) = 0.5 ( 1) ( ) ( + 1) a p p p Se grafca a en térmnos de la frecuenca y esa es la potenca espectral buscada. 3. RESULTADOS Y ANÁLISIS Los resultados se presentan, para cada estacón, en el formato de la Fg. 3. Comenzando por el extremo superor zquerdo y sguendo el sentdo horaro se tene: a) La ubcacón geográfca de la

4 estacón (lattud y longtud) b) La potenca espectral en funcón de la frecuenca en escala logarítmca c) La superposcón de los datos de temperatura meda correspondentes a todos los años del ntervalo de estudo. Se retera que el msmo varía de estacón a estacón, p. ej. para el Cercado se cuenta con datos de 1949 a 004 mentras que para la estacón Puerto Vllarroel se cuenta con datos de 1974 a 003. Se observa además el ajuste por el método de medas móvles. d) La sere temporal de temperatura meda. temperatura. Esto se apreca tambén en el gráfco (c) de la Fg. 3. Sn embargo lo que no se apreca en el domno temporal es la presenca del segundo perodo domnante, T, que corresponde a medo año, tempo en el cual tambén se completa un cclo, no tan marcado como el anteror, pero tambén sgnfcatvo. Como consecuenca, se puede decr que el comportamento de la temperatura en el Cercado corresponde a una estacón fría y una calente, pero que cada una se dvde a su vez en otras dos estacones en las que se apreca un ncremento y descenso de temperaturas completando un cclo en aproxmadamente 180 días. Un comportamento smlar se observa en los datos correspondentes a Aqule, donde las frecuencas domnantes concden con las encontradas para Cercado. Fg 3. Estacón Cercado: a) Ubcacón geográfca b) Potenca espectral c) Datos superpuestos ( ). La línea oscura corresponde al año tpo d) Sere temporal El gráfco (b) permte realzar el análss espectral. Se observan dos pcos en el espectro de frecuencas señalados por flechas y que corresponden a: 1 f1 = da 1 f = da con sus respectvos perodos: = y T [ das] T1 370[ das] y = 180. Este resultado es de nterés ya que por una parte el perodo T 1 corresponde a un año, tempo en el cual el cclo de temperaturas se repte, comenzando en Enero con valores altos, llegando a Juno a los mínmos y volvendo en Enero a los máxmos de Fg 4. Estacón Aqule: a) Ubcacón geográfca b) Potenca espectral c) Datos superpuestos d) Sere temporal Se ha vsto que del total de estacones estudadas, 13 presentan este comportamento (Tabla 1). No Estacón 1 Aqule Anzaldo 3 Aran 4 Capnota 5 Cercado 6 Mscun 7 Paruman 8 Parotan 9 Sacaba 10 Tarata

5 11 Traque 1 Torotoro 13 Totora Tabla 1. Estacones que presentan dos frecuencas domnantes: f1=0.007 [1/día] y f= [1/día] Este comportamento no se presenta en todas las localdades estudadas. Por ejemplo, en la estacón Puerto Vllarroel el análss espectral arroja el resultado mostrado en la Fg. 5. (p. ej. Sacaba y Chmboco) obtenéndose buenos resultados. CONCLUSIONES Se ha vsto que en la mayoría de las estacones estudadas en el departamento de Cochabamba se observan dos estacones clmátcas ben defndas (correspondentes a un perodo de un año) que a su vez se dvden en otras dos (correspondentes a un perodo de medo año) hacendo un total de 4 estacones clmátcas; en tanto que un porcentaje menor de localdades, ubcadas prncpalmente en la regón del trópco, presentan solo un perodo domnante cada 365 días dando como resultado solo una estacón fría y una calente. Además se vo que el análss espectral por medo de la DFT es apropado para comparar seres con dstnto número de datos puesto que no es sensble al tamaño de la sere temporal de entrada, y que permte detectar partculardades que pasan nadvertdas en el domno del tempo. Fg 5. Estacón Puerto Vllarroel: a) Ubcacón geográfca b) Potenca espectral c) Datos superpuestos d) Sere temporal Se observa solamente una frecuenca domnante correspondente a un perodo de un año. En consecuenca esta localdad presenta solo dos estacones clmatcas ben defndas: una estacón fría y otra calente. Un comportamento análogo se observa en las estacones lstadas en la Tabla. No Estacón 1 Chmboco Chprr 3 Puerto Vllarroel 4 San Bento 5 Santbáñez 6 Toralapa Tabla. Estacones que presentan una frecuenca domnante: f1=0.007 [1/día] Por otro lado, se observa que el análss espectral utlzado no es sensble al número de datos de entrada de las seres temporales. En consecuenca puede ser utlzado para seres de datos grandes (p. ej. Cercado, Aran) y tambén en seres pequeñas AGRADECIMIENTOS Los datos fueron facltados por SENAMHI en conveno con el PNCC para el Proyecto de Cambos Clmátcos del Departamento de Físca. Para esas dos nsttucones nuestro agradecmento. Además un agradecmento muy especal al Dr. N. Martnc por su valosa colaboracón en la elaboracón del artículo. REFERENCIAS 1. Bloomfeld, P. (00). Fourer Analyss of Tme Seres. nd Edton. Wley & Sons. New York, USA, p We, P. Hsu, (1994). Análss de Fourer. Ed. Fondo Educatvo; p Martnc Ncolas, (003). Banco de Datos Meteorológcos, Análss Armónco. Unversdad Mayor de San Andres, La Paz- Bolva. 4. Wlks, D. Statstcal Methods n the Atmospherc Scences, An Introducton, (1995); Academc Press; p Bracewell, Ronald (000). The Fourer Transform and ts Aplcatons. McGraw Hll; p Rutna de cálculo de potenca espectral escrta en C para Lnux. N. Martnc, Unversdad Mayor de San Andres, La Paz- Bolva.