PRÁCTICA SOLUCIÓN DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
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- Miguel Soto Ramírez
- hace 7 años
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1 Objetivos El alumo coocerá aplicará diversos métodos para la resolució de sistemas ecuacioes difereciales, implemetado programas orietados a objetos. Al fial de esta práctica el alumo podrá: Resolver ecuacioes difereciales por diferetes métodos. Usar u leguaje orietado a objetos para implemetar dichos métodos Atecedetes. Haber elaborado programas orietados a objetos e leguaje Java.. Haber maejado ecuacioes difereciales. Itroducció MÉTODO DE EULER Es u método secillo que se utiliza para la itegració de ecuacioes difereciales de primer orde. Sea d = f (, co la codició de etoro: d ( = Supogamos que ( es la solució eacta del problema. Si tomamos u valor de lo suficietemete próimo a, podemos tomar la siguiete aproimació: d ( ( + ( d X d ( ( + ( = + f ( d X Así, si por ejemplo, tomamos u valor = + h, podemos calcular el valor correspodiete = del siguiete modo: = + h o + f ( o, o h ( Si ahora quisiéramos calcular la solució e u puto superior, partiríamos de: d = f (,, co la ueva codició (aproimada de etoro: d ( Si se deota por,..., N los valores aproimados correspodietes a los valores eactos (,..., ( N, etoces quedaría como sigue: Ig. Laura Sadoval Motaño Viridiaa del Carme De Lua Boilla Programació Avazada Métodos Numéricos
2 dado se calcula mediate: = + hf,, mediate = + hf,, así ( N = N + hf ( N, N ( sucesivamete. De maera geeral se obtiee la siguiete epresió: = + hf (, =,,..., + N Ejemplo: Utilizar el método de Euler para aproimar el valor de la solució de la siguiete ecuació diferecial e el puto =, usado h =. h =.. d f (, = = + ; ( = d h=.: = + h = +.. = = 5 = = = 5 h=.: = + f (, + h =. +. =. + h =. +. =.6 + f (, + h =.6 +. =.8 + f (, + h =.8 +. =. + f (, h = + + f (, h =. + h =.5 + (. h =.98 +, h = h =.9 +. =. + f ( =. (.6. =.5 (.. (.8. h =.78 + =.98 =.68 (.8. =. 696 ( =. 787 Vemos que obteemos valores distitos de los que habíamos calculado para h =.. Cuato meor sea h, mejor será la aproimació (auque tambié más laboriosa. Para ua h costate el error será tato maor cuato más os alejemos del puto iicial, como puede apreciarse e la gráfica siguiete e la que comparamos las dos solucioes aproimadas co la solució eacta. Ig. Laura Sadoval Motaño Viridiaa del Carme De Lua Boilla Programació Avazada Métodos Numéricos
3 h=. h=. eacta Ig. Laura Sadoval Motaño Viridiaa del Carme De Lua Boilla ( = ( + + e Codificado el método aterior para resolver la misma ecuació diferecial, se tiee: public class Euler{ double h; it dec; double o; double o; double i; double i; double ii; double ii; double f; public static void mai (Strig[] args{ tr{ Redodear r = ew Redodear(; Euler euler = ew Euler(; euler.h = Double.parseDouble( args[] ; euler.dec = Iteger.parseIt(args[]; euler.o = Double.parseDouble( args[] ; euler.o = Double.parseDouble( args[] ; euler.f = Double.parseDouble(args[] ; euler.i = euler.o; euler.i = euler.o; //Se iicia las iteracioes for(it i = ;euler.i<euler.f;i++{ euler.ii = r.redodeo(euler.i + euler.h,euler.dec; euler.ii = euler.i + euler.fucio(euler.i,euler.i * euler.h; euler.i = euler.ii; euler.i = euler.ii; //Se imprime la solució Sstem.out.pritl("La aproimacio de la ecuacio diferecial Programació Avazada Métodos Numéricos
4 PRÁCTICA e "+euler.ii+" es : "+euler.ii; catch(arraideoutofboudseceptio aioobe{ Sstem.out.pritl("Faltaro parametros"; Sstem.out.pritl("Sitais: java Euler h decimales f"; public double fucio(double, double { double temp; temp = *+; retur temp; Como se puede observar, úicamete se utiliza u método que evalúe la fució a lo largo de las iteracioes. Del mismo modo, debido a la imprecisió de Java, se vuelve a utilizar la clase Redodear vista e la práctica aterior. Esta clase recibe como parámetros el valor de h, el úmero de decimales para el redodeo (es recomedable que e este úmero, si se tiee.5, el úmero de decimales para el redodeo sea de, o si se tiee., sea de, la codició iicial e,, el valor fial. MÉTODO DE RUNGE KUTTA El método de Ruge-Kutta o sigue eactamete la misma líea de los métodos de Euler. De hecho está basado e ua aplicació de los poliomios de Talor. El método de Ruge-Kutta sí cotiee como casos especiales los de Euler. Las fórmulas + = + [ ] 6 dode (, ( Se cooce como las reglas o fórmulas de Ruge-Kutta de orde cuatro para la ecuació diferecial: ' = f (, ( = Ig. Laura Sadoval Motaño Viridiaa del Carme De Lua Boilla Programació Avazada Métodos Numéricos
5 Ejemplo Usar el método de Ruge-Kutta para aproimar (.5 dada la siguiete ecuació diferecial: ' = ( = Solució Primero observamos que esta ecuació sí puede resolverse por métodos tradicioales de ecuacioes difereciales. Por ejemplo, podemos aplicar el método de separació de variables. Solució Aalítica. Sustituedo la codició iicial: d = d d = d d = l = d + c = = l = + c = c Por lo tato, teemos que la curva solució real está dada: l = e l = e = e Y por lo tato, el valor real que se pide es: (.5 = e (.5 =.8 Observamos que la distacia etre = =. 5 o es lo suficietemete pequeña. Si dividimos esta distacia etre cico obteemos u valor de h =. por lo tato, obtedremos la aproimació deseada e cico pasos. Si cotamos co los datos: Ig. Laura Sadoval Motaño Viridiaa del Carme De Lua Boilla Programació Avazada Métodos Numéricos
6 = = h =. f (, = Para poder calcular el valor de, debemos calcular primeros los valores de,,. Teemos etoces que: (, = + + =. =. ( (.5(. ( (.5(.5 ( + =. ( (.(.5 =. =.5 =. = + ( + (. + (.5 +. =. 5 6 Co el fi de u maor etedimieto de las fórmulas, veamos la siguiete iteració: = + h =. (, =. ( (.( =. =. =. ( (.5(. ( (.5(.55 ( + =. ( (.(.8 =. 6 =.6 =.76 = + [ ] =. 8 6 El proceso debe repetirse hasta obteer 5.Resumimos los resultados e la siguiete tabla: Cocluimos que el valor obteido co el método de Ruge-Kutta es: Ig. Laura Sadoval Motaño Viridiaa del Carme De Lua Boilla Programació Avazada Métodos Numéricos.
7 EJERCICIOS PROPUESTOS. Ejecutar el ejercicio de la práctica e el programa aterior, utilizado h=.,.... Resolver e el programa del ejercicio, la siguiete ecuació diferecial ' = + (= aproimar (. tomado h=. e cada paso del proceso iterativo.. Implemetar ua clase que resuelva el método de Ruge-Kutta.. Resolver la ecuació diferecial del ejercicio de la práctica. 5. Resolver la siguiete ecuació diferecial por el método de Euler: ' = + co h=., e u itervalo de.5 co (.5 = Ig. Laura Sadoval Motaño Viridiaa del Carme De Lua Boilla Programació Avazada Métodos Numéricos
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