Índice. Leyes de Newton Interacción Gravitatoria Reacción en Apoyos Leyes del Rozamiento. Ejemplos. Leyes de la Dinámica en SRNI.

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2 Índice Leyes de Newton Interacción Gravitatoria Reacción en Apoyos Leyes del Rozamiento Ejemplos Leyes de la Dinámica en SRNI Ejemplos Teorema de la Cantidad de Movimiento. Conservación. Teorema del Momento Cinético. Conservación. Percusión Fuerzas Centrales. Leyes de Kepler.

3 Índice Trabajo. Fuerzas Conservativas. Energía Potencial Teorema de la Energía Cinética. Conservación. Teorema de la Energía Mecánica. Conservación.

4 1ª Ley de Newton: Principio de Inercia Todos los cuerpos perseveran en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme salvo que se vean forzados a cambiar ese estado por fuerzas impresas. Toda partícula libre permanece en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme. F = 0 v = cte Sistema de referencia S S es inercial

5 ª Ley de Newton: Principio de Proporcionalidad El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza impresa y se hace en la dirección de ésta. F dp = = dt m a p es la cantidad de movimiento o momento lineal de una partícula m es la masa inercial a es la aceleración F es la resultante de fuerzas y depende en el caso más general de la posición y velocidad de la partícula y del tiempo

6 3ª Ley de Newton: Principio de Acción y Reacción Para toda fuerza de acción ejercida sobre un cuerpo hay siempre una fuerza de reacción (ejercida sobre otro cuerpo causante de la acción) igual pero de sentido opuesto. Ejemplo Tierra Fuerzas de Atracción Gravitatoria Fuerzas de Repulsión en el Apoyo Electromagnéticas Nota: las fuerzas de acción y reacción pueden ser (p. fuerte) o no colineales (p. débil)

7 Interacciones Básicas de la Naturaleza La fuerza es la cuantificación numérica que modela el concepto físico de interacción. Interacción Intensidad Alcance Sentido Fuente Fuerte Fuerte Corto Atractivo (repulsivo a cortas distancias) Estabilidad del núcleo Electromagnética Fuerte Largo Atractivo o repulsivo Carga eléctrica Débil Débil Corto No aplicable Reacciones entre partículas Gravitatoria Débil Largo Atractivo Masa

8 Interacción Gravitatoria Ley de Gravitación Universal Todos los cuerpos se atraen entre sí mediante fuerzas directamente proporcionales al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. mm 1 F = 1 G ( r r1) 3 r 1 F r r = 1 1 r r 1 mm 1 ( r r1) G = F 1 r r r r r G 1 mm r r 1 1 u 1 1

9 Campo Gravitatorio: mide como el cuerpo modifica el espacio r 1 1 1( ) m g r = G ( r 3 r1) r r 1 r r 1 g g 1 r 1 ( 1) m g r = G ( r 3 1 r) r r 1 Es central, radial y conservativo. Para r 1 =0 en un r genérico: r g 1 u r dv r g1( r) = g1( r) ur =,, V = G dr r m r 1

10 Principio de Superposición: g g 1 r g( r ) = g ( r ) + g ( r ) 1 r r 1 Campo Gravitatorio Terrestre: Peso y Energía Potencial mt R R P P= MgT ( R) = M G 9.81 ms R R R R mt EP = MV ( R) = M G = MgT( R) R R M9.81 R ( SI) M

11 Reacción en Apoyos Partícula sobre Superficie: Fuerzas de Acción y Reacción Partícula sobre Curva: Sin rozamiento Con rozamiento Fuerzas de Acción y Peso

12 Leyes del Rozamiento Seco Rozamiento Estático: Velocidad relativa entre objetos nula 1º) F μ N,, μ coeficiente de rozamiento estático Re e e º) F Re Límite = μ N e Sólo en el caso límite se conoce el sentido de la fuerza, que es opuesto al posible sentido de movimiento

13 Leyes del Rozamiento Seco Rozamiento Dinámico: Existe velocidad relativa v 3º) μ,, μ F = N coeficiente de rozamiento dinámico Rd d d F Rd tiene sentido opuesto a v En general, μ e μ d no dependen del área de contacto y sí de la naturaleza y forma microscópica del área de contacto.

14 d 0 (longitud natural) M 1 Ejemplo: Caso Estático x 1 M F Re debe verificar: T + F K( x d ) = 0 N Re M1g = 0 Re1 e1 1 Si el sistema está apunto de moverse: Valor mínimo del coef. de rozamiento: F μ N F T M g = = ±μ 0 N Re1 e1 1 μ = e 1 F N R e1 1

15 d 0 x 1 Ejemplo: Caso Dinámico M 1 M Condiciones iniciales: x 1 (0) = x 0 y (0) = y 0 v 1 (0) = V >0 v 1 (0) =-v (0) T μ N K( x d ) = M a d T Mg = Ma N1 M1g = 0 Ligadura: a1 = a El sentido del rozamiento se debe a la velocidad inicial. En el caso de V = 0 y que no se halle estático se debe suponer un sentido para el rozamiento y probar que la aceleración se opone a éste.

16 Leyes de la Dinámica en SRNI r r S no inercial S inercial F = ma a = a' + ao ' + α r' + ω ( ω r') + ω v' F mao' m α r' m ω ( ω r') m ω v' = ma' F+ F = ma' inercia F inercia esta compuesta por la fuerza de traslación del origen, tangencial y centrífuga (todas forman el arrastre) y de Coriolis.

17 Ejemplos En S: En S : S S O α a O N Mg = 0 R= Ma coche R Ma o ' = 0 R F = Re Ma tangencial F + Mα R= Re 0

18 Ejemplos ω R FRe = Ma normal FRe Mω R = 0 ω v y μ N = Ma d y' R = Ma x' μ + = N Mω y d ' Ma R+ Mωv' = 0 '

19 Impulso Mecánico de una Fuerza I = t t 1 Fdt Teorema de la Cantidad de Movimiento t I = Fdt= p p = mv mv t v 1 F Sistema de referencia inercial S F v

20 Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento La cantidad de movimiento de una partícula se mantiene constante si la resultante de las fuerzas exteriores es nula. dp Si F = 0 = 0 p( t) = p(0) = cte dt F = 0 v = cte Sistema de referencia inercial S

21 Momento Angular o Cinético en un Punto L = AP p= AP mv A A P v F Momento Angular o Cinético respecto a un Eje u e A P v L = L u = ( AP p) u e A e e F L A

22 Teorema del Momento Cinético en un Punto Fijo M = AP F = A dl Teorema del Momento Cinético en un Eje Fijo dt dl d( L u ) M = M u = e = A e e A e dt dt Conservación del Momento Cinético en un Punto Si M = 0 L ( t) = L ( t = 0) = cte A A A A

23 Percusión O Impulso Mecánico producido por una fuerza instantánea t0 +Δt P= F dt,, Δ t 0 t 0 Una percusión supone una discontinuidad en el momento lineal y cinético pero no en la posición. F r v(t 0 +Δt) v(t 0 ) pt ( +Δt) pt ( ) = Pt ( ) L ( t + Δt) L ( t ) = r P O 0 O 0

24 Fuerzas Centrales La recta soporte de la fuerza pasa por un punto fijo llamado centro del campo. O r F u F = F() r u r r Radial : F = F( r) u r M = r F = 0 L = cte o o Ejemplo: Fuerza Gravitatoria del Sol m m F = G Sol Planeta u r r

25 Leyes de Kepler 1ª) Las órbitas de los planetas son elipses en uno de cuyos focos está el Sol. L Sol =cte, por tanto, r y v están siempre en un plano perpendicular en el que se mueven los planetas. LSol = cte Trayectoria Plana ª) El vector de posición o radiovector de cualquier planeta con respecto al Sol barre áreas iguales en tiempo iguales. 1 da = r dr da L o = = dt m Sol cte dr r

26 Leyes de Kepler 3ª) Los cuadrados de los periodos de revolución son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las elipses que describen los planetas. T a 3 = cte a Para una órbita circular se demuestra usando que: m Solm plan. π G = m plan. a normal = m plan. R R T

27 1 Trabajo de una Fuerza r Sistema S dr C W = 1 F dr 1 Propiedades: F C W Curva C dr δ W = F dr = F dr dr Mide la efectividad de la fuerza: componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento por el desplazamiento = W C C 1 1 C C ' C cerrada : 0 En general W W y W

28 Fuerzas Conservativas El trabajo no depende del camino: W W curvas C y C entre y C C' 1 = 1 ' 1 El trabajo a lo largo de cualquier curva cerrada es cero: W C cerrada = F dr = 0 Existe una función energía potencial tal que: C C W1 = W1 = ( E () E (1)) = ΔE p p p r p 0 r0 Cálculo: Ep ( r ) = E ( r ) F dr

29 Energía Potencial a) Fuerza Gravitatoria Constante z E ( z) E ( z 0) ( mg) k dzk mg z p = p = = z = 0 b) Fuerza Gravitatoria r Mm Mm Ep() r = Ep( r= ) ( G ) u r drur = G r r c) Fuerza Elástica x 1 Ep( x) = Ep( x= d0) K( x d0) i dxi = K( x d0) d0 d 0 M x z r m m u r

30 Teorema de la Energía Cinética C W = 1 F dr = 1C 1C dv dr m dt= dt dt 1 mdv v = md( v v) = 1C 1C 1 1 mv () mv (1) 1 r dr Sistema S F Curva C

31 Conservación de la Energía Cinética Si el trabajo realizado por la resultante de fuerzas es nulo se conserva la energía cinética. C Si W = 1 0 E = cte Teorema de la Energía Mecánica El trabajo realizado por la resultante de fuerzas disipativas es igual a la energía mecánica del sistema. F = F + F conservativas c disipativas C W1 disipativas Δ Ep =ΔEc C W1 = Δ E +Δ E = E () E (1) =ΔE disipativas c p m m m

32 Conservación de la Energía Mecánica Si el trabajo realizado por la resultante de fuerzas disipativas es nulo se conserva la energía mecánica. Si W E cte C 1 disipativas = 0 m = Para el rozamiento dinámico W disipativas <0, por tanto, se pierde energía. Ejemplo: Fuerza elástica F = - k x x = acos( ωt ϕ ) π v = aω sen( t ϕ ) 1 1 T E c = mv, E p = kx El valor medio en un periodo de la energía cinética es igual al de la potencial 1 t + T c = t c = p E E d t E T