ANOVA. Análisis de la Varianza. Univariante Efectos fijos Muestras independientes

Transcripción

1 ANOVA Análisis de la Varianza Univariante Efectos fijos Muestras independientes

2 De la t a la F En el test de la t de Student para muestras independientes, aprendimos como usar la distribución t para contrastar la hipótesis de que no existen diferencias las medias de dos poblaciones. H 0 : µ 1 = µ

3 De la t a la F Supongamos que ahora queremos averiguar el efecto relativo de tres o más tratamientos diferentes. H 0 : µ 1 = µ = µ k = µ

4 De la t a la F Podríamos usar el test t para hacer todas las comparaciones posibles dos medias. Pero, este metodo no es apropiado por las siguientes razones: Es tedioso comparar todas las posibles combinaciones. Cualquier estadístico basado en parte de la evidencia (como ocurre cuando solo se comparan dos grupos) es menos estable que uno basado en toda la evidencia. Si se hacen muchas comparaciones aumenta la probabilidad de que alguna resulte significativa.

5 De la t a la F Lo que necesitamos es algún test que nos indique si alguno de los tratamientos presenta una diferencia significativa con respecto a los restantes. Si esto no ocurre, se concluye que los tratamientos no tienen efecto. Este test conjunto de significación es el test F del Análisis de la varianza, o ANOVA.

6 Planteamiento Tenemos k muestras independientes de poblaciones Normales con varianzas iguales N(µ 1, σ) N(µ, σ)... N(µ k, σ) H 0 : µ 1 = µ = µ k = µ H 1 : i / µ i µ

7 Notación N(µ 1, σ) (x 11 x 1... X 1n1 ) N(µ, σ) (x 1 x... X n )... N(µ k, σ) (x k1 x k... X knk ) Cada muestra: x i S i El total: x S

8 La lógica del ANOVA El contraste de hipótesis del ANOVA se basa en comprobar si las medias de las muestras difieren más de lo que cabe esperar cuando es cierta, la hipótesis nula. Esta cuestión acerca de las medias se responde analizando las varianzas. Nos fijamos en las varianzas, porque, cuando queremos saber si algunas medias difieren sí, tenemos que valorar la varianza estas medias.

9 Dos Fuentes de Variabilidad En ANOVA, un estimador de la variabilidad grupos se compara con la variabilidad dentro de los grupos. La variación Entre Grupos es la variacion las medias de los diferentes tratamientos debidas al azar (error de muestreo ) y al efecto de los tratamientos, si es que existe. La variación Dentro de los Grupos es la variacion debida al azar (error de muestreo) individuos a los que se ha dado el mismo tratamiento. n S i i i S = + n S x i

10 Variabilidad Entre Grupos Hay mucha variabilidad las medias. Las diferencias las medias de los grupos son demasiado grandes para atribuirlas al azar. Es difícil imaginar que los seis grupos son muestras aleatorias tomadas de la misma población. Se rechaza la hipótesis nula, es decir, existe efecto del tratamiento al menos en uno de los grupos.

11 Variabilidad Entre Grupos Hay variabilidad las medias de los grupos. Sin embargo, hay más variabilidad dentro de cada grupo. La mayor variabilidad dentro de los grupos, hace poco creible que tengamos muestras procedentes de poblaciones diferentes.

12 El estadístico F F = Variabilidad Entre Grupos Variabilidad Intra Grupos ANOVA (F) Variación Entre Puntuaciones Variación Intra-Grupos Variación debida al azar. Variación Entre-Grupos Variación debida al azar y al efecto de los tratamientos (si existe).

13 Dos Fuentes de Variabilidad F = VariabilidadEntre Grupos Variabilidad Intra Grupos F > 1

14 Dos Fuentes de Variabilidad F = VariabilidadEntre Grupos Variabilidad Intra Grupos F = 1

15 El estadístico F ANOVA (F) Variación Entre Puntuaciones Variación Intra-Grupos Variación debida al azar. Variación Entre-Grupos Variación debida al azar y al efecto de los tratamientos (si existe). Cuadrado Medio Intra Cuadrado Medio Entre F = CM CM cuadrado medio cuadrado medio

16 El estadístico F suma de cuadrados CM = SC gl grados de libertad F = CM CM suma de cuadrados CM = SC gle ntre grados de libertad s = (X X ) n 1 Suma de Cuadrados Grados de Libertad

17 El estadístico F CM = SC gl suma de cuadrados total SC = SC + total F = CM CM grados de libertad total CM = SC SC gl gl = gl + total gl

18 El estadístico F : SC Entre SC n ( X i X ) SC = Σ i Calcule el total de cada grupo, elévelo al cuadrado, y divida por el número de sujetos del grupo. = Σ T n i i G N Total General (Sume todas las puntuaciones y eleve al cuadrado ese total ) Número total de sujetos.

19 El estadístico F : SC Dentro SC = Σ( X ij X i ) Eleve al cuadrado cada puntuación y sume los cuadrados. SC = ΣX ij Σ T n i i Totales de grupo al cuadrado. Número de sujetos en cada grupo.

20 El estadístico F : SC Total SC total = Σ( X ij X ) = ( X i X ) + ( X ij X i ) SC total ij = X Eleve al cuadrado cada puntuación y sume los cuadrados. G N Total General (Sume todas las puntuaciones y eleve al cuadrado ese total ) Número total de sujetos.