Elementos Finitos Lineales en Dominios Curvos.

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1 UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemática Tesis de Licenciatura Elementos Finitos Lineales en Dominios Curvos. Analia Verónica Lagorio Director: Gabriel Acosta Rodríguez

2 Índice general 1. Consideraciones Generales Espacios de Sobolev El método de Galerkin Formulación variacional de poblemas de contorno Elementos nitos Elementos nitos de Lagrange Espacios de elementos nitos Análisis del método de elementos nitos en dominios suaves en R Mallas en Dominios Regulares Dominios convexos Resultados preliminares para dominios regulares generales Problema de Diriclet no omogéneo en dominio regular Ejemplo Numérico

3 Introducción El método de elementos nitos es uno de los más utilizados en problemas provenientes de diferentes disciplinas que involucren ecuaciones en derivadas parciales. Parte de su versatilidad se basa entre otras cosas en la capacidad que tiene, al menos en teoría, de incorporar de un modo computacional sencillo condiciones de contorno en dominios Ω con bordes arbitrarios. Esto último es particularmente cierto en el caso en que Ω pueda representarse con exactitud por el dominio discreto Ω generado por la malla de elementos nitos. En efecto, en ese caso y considerando problemas elípticos lineales la teoría de convergencia se reduce prácticamente al estudio de errores de interpolación o de proyección. Sin embargo, es importante observar que en la práctica la representación exacta del dominio por la malla discreta es generalmente imposible. Por ejemplo, en dimensión dos y en el caso de elementos lineales, de gran importancia y uso en las aplicaciones, eso sólo es factible en dominios poligonales. Estas cuestiones conducen a la pregunta de cómo afecta la diferencia Ω \ Ω Ω \ Ω al error de aproximación. Este trabajo repasa algunos resultados teóricos en esa dirección. En el Capítulo 1 se recuerdan resultados esenciales de espacios de Sobolev y ecuaciones diferenciales lineales elípticas, abarcando en el primer caso normas fraccionarias, negativas, y desigualdades clásicas, así como teoremas de existencia, regularidad y unicidad de soluciones en el segundo. El Capítulo 2 está dedicado a resumir y comentar la teoría básica de elementos nitos discutiendo los resultados clásicos de aproximación y en particular la convergencia en el caso Ω = Ω para problemas omogéneos. En el Capítulo 3 discutimos las distintas complicaciones que aparecen para el problema de Diriclet en dominios suaves Ω donde Ω Ω al utilizar elementos lineales. El caso de Diriclet omogéneo en dominios convexos admite un tratamiento sencillo que es discutido en particular (donde también se consideran elementos subparamétricos de grado más alto) siguiendo el texto clásico [5]. El problema general no omogéneo presenta varias dicultades y a ellos se dedica buena parte del capítulo siguiendo el enfoque de [1] aunque presentando una versión simplicada para mayor comprensión del tema ya que en el caso general no se visualizan con facilidad las ideas principales. 3

4 Capítulo 1 Consideraciones Generales El método de elementos nitos es un método numérico que permite resolver problemas que involucran ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Sus orígenes o ideas germinales pueden rastrearse asta el propio Leibnitz aunque el desarrollo moderno de esta técnica comienza mayormente en el campo de la ingeniería estructural a mediados del siglo XX impulsado por la evolución de las computadoras. Hoy en día es considerado como una de las erramientas más poderosas que se emplean para la resolución numérica de multitud de problemas gobernados por ecuaciones diferenciales en diferentes áreas de la ingeniería y la ciencia. Las ecuaciones en derivadas parciales tienen una gran importancia dentro de la física debido a la gran variedad de situaciones reales que modelizan. La determinación de soluciones explícitas no siempre es posible por lo que se recurre a los métodos numéricos, los cuales proporcionan una solución aproximada. El problema de existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones elípticas lineales puede plantearse [3] en un marco apropiado de análisis utilizando la formulación variacional o débil de las ecuaciones en cuestión. En esa dirección, las erramientas teóricas que permiten un tratamiento adecuado del problema brindan además las bases de potenciales técnicas de aproximación numérica de soluciones. Comencemos recordando algunos aspectos básicos de la teoría subyacente a este enfoque Espacios de Sobolev En esta sección se denirá los espacios de Sobolev y se enunciarán diferentes resultados que serán utilizados posteriormente. De aora en mas consideraremos Ω un abierto de R n. Denición Para 1 p < se designa por W r,p (Ω) al espacio de todas las funciones u L 1 Loc (Ω), tales que (a) D α u L p (Ω), para α k, cuando r = k es un entero no negativo, 4

5 (b) u W k,p (Ω) y Ω Ω D α u(x) D α u(y) p x y n+σp dx dy < + para α = k, cuando r = k + σ es no negativo y no es entero, siendo 0 < σ < 1. En donde D α u debe entenderse en el sentido de las distribuciones. Asimismo denimos la norma en W r,p (Ω) como 1/p u W k,p (Ω) = D α u p dx α k en el caso (a), y como u W r,p (Ω) = u p + W k,p (Ω) en el caso (b). α =k Ω Ω Ω D α u(x) D α u(y) p dx dy x y n+σp Observación En este trabajo nos enfocaremos en el caso p = 2, por lo que utilizaremos la notación usual H r (Ω) := W r,2 (Ω) y u W r,2 (Ω) = u r,ω. Con esta notación H 0 L 2. La seminorma en H k (Ω), con k N, viene dada por ( 1/2, u k,ω = D α u 2 L (Ω)) 2 α =k en H r (Ω), con r = k + σ no negativo y no entero, por D α u(x) D α u(y) 2 u r,ω = dx dy x y n+σ2 α =k Ω Ω Recordemos que para r R, H r (Ω) y H r 0(Ω) son espacios de Hilbert [6]. 1/2. 1/p Observación Si Ω = R n se puede denir H r (R n ), para todo 0 r, de forma alternativa [9], utilizando la transformada de Fourier, como donde H r (R n ) = {u L 2 (R n )/û(ξ)(1 + ξ 2 ) r/2 L 2 (R n )} û(ξ) = e 2πiξx u(x) dx R n 5

6 Denición Denotamos con W r,p 0 (Ω) a la clausura de C 0 (Ω) en W r,p (Ω), donde C 0 (Ω) es el espacio de funciones innitamente diferenciables de soporte compacto en Ω. Luego consideramos la notación H 1 0(Ω) := W 1,2 0 (Ω). La Denición se puede extender de la siguiente manera. Denición Para r < 0, denotamos W r,p (Ω) como el espacio dual de W r,q 0 (Ω), donde = 1. En particular para el caso p = 2 escribimos consitentemente W r,2 (Ω) = H r (Ω), p q como en el caso 0 r. Un caso de interés para nosotros es H 1/2 (Ω). En particular se tiene u 1/2,Ω = sup ψ H 1/2 (Ω) u, ψ ψ 1/2,Ω donde, denota la dualidad H 1/2, H 1/2 y cuando u, ψ L 2 (Ω) u, ψ = uψ ds. El siguiente teorema, dice que las funciones regulares son densas en H 1 (Ω) y da un sentido a los valores de las funciones de H 1 (Ω) sobre la frontera Γ = Ω. Teorema Sea Ω un abierto con frontera Lipscitz. Entonces 1. C ( Ω) es denso en H 1 (Ω). Ω 2. La aplicación γ 0 : v γ 0 v = v Γ de C ( Ω) en C 0 (Γ) se prolonga por continuidad a una aplicación lineal y continua de H 1 (Ω) en L 2 (Γ). En particular existe una constante C > 0, tal que v C ( Ω) γ 0 v 0,Γ C v 1,Ω. Observación Los espacios de Sobolev denidos sobre un abierto Ω de R n pueden generalizarse a variedades. Un caso que nos va a interesar es el dado por la curva Γ R 2. Considerando que la misma es de clase C 2, podemos decir que una función g H s (Γ) con 0 s 2 sí y solo sí g X : I R está en H s como función del parámetro, siendo X una parametrización C 2. Como la curva es cerrada, es necesario considerar la función periódica, es decir que gox es la restricción de una función periódica denida en R. Análogamente se denen las normas negativas, solo que por ser periódicas las funciones la dualidad se toma sobre el espacio H s, es decir H s = (H s ). En este caso, la norma se notará s,γ. Observación Como mencionamos en la Denición 1.1.3, es de interés el caso r = 1 2. Puede verse que para dominios sucientemente regulares H 1/2 (Γ) coincide con el espacio de trazas de H 1 (Ω). Más en general se tiene que si r = k 1 2 con k = 1, 2,..., entonces Hr (Γ) coincide con el espacio de trazas de H k (Ω). 6

7 Teorema (Desigualdad de Poincaré) Sea Ω un abierto acotado, existe una constante C(Ω) tal que u 0,Ω C(Ω) u 1,Ω u H0(Ω). 1 Observación Gracias a la desigualdad anterior se puede denir 1,Ω como una norma, en H 1 0(Ω). Por lo que 1,Ω y 1,Ω resultan normas equivalentes. Los siguientes teoremas son utilizados en los próximos capítulos. Teorema Sea Ω un abierto acotado de R n, con frontera Γ Lipscitz, C 1 a trozos. Entonces la inyección canónica de H 1 (Ω) en L 2 (Ω) es compacta, es decir, cada conjunto acotado de H 1 (Ω) es relativamente compacto en L 2 (Ω). Teorema Sea Ω un abierto acotado de R n con frontera Γ, Lipscitz. Entonces, si m > n 2, el espacio Hm (Ω) es un subespacio de C( Ω) y la inyección canónica de H m (Ω) en C( Ω) es continua. El siguiente teorema [9] será de suma importancia en el último capítulo. Teorema Sea Ω un abierto acotado de R n con frontera Lipscitz. Luego, para cada r > 0, existe un operador lineal y continuo E : H r (Ω) H r (R n ), tal que Eφ Ω = φ y donde C es una constante que depende de Ω. Eφ r,r n C φ r,ω 1.2. El método de Galerkin Sea V un espacio de Hilbert sobre R con norma, y denotemos con V a su dual (que no necesariamente identicamos con V ). En este contexto, sea a : V V R una forma bilineal continua (i.e. a(u, v) C 1 u v u, v V ) y L : V R, L V. Denición Llamamos problema variacional general, también llamado problema (P), a encontrar u V tal que (P) v V, a(u, v) = L(v). (1.2.1) Existen criterios que caracterizan las condiciones para las cuales existe y es única la solución para el problema (P). Por otro lado, una condición suciente se denominada coercividad de a, esto es: existe una constante C 2 > 0 tal que v V, a(v, v) C 2 v 2. En efecto, es bien conocido el siguiente resultado [3]: 7

8 Teorema (Lax-Milgram) Sea V un espacio de Hilbert, a : V V R una forma bilineal continua y coerciva y L : V R un funcional lineal y continuo sobre V, entonces el problema (P) admite solución única y además u V C L V. El teorema de Lax-Milgram proporciona una erramienta clave en el tratamiento adecuado de problemas de contorno como recordaremos en breve. Por otro lado, dentro del planteo abstracto del problema (P) puede proponerse un método sistemático de aproximación para la solución u. En efecto, consideremos V V un subespacio cerrado de V (en las aplicaciones suele ser de dimensión nita). El parámetro cobra sentido en un contexto posterior y se relaciona con la precisión de la aproximación buscada. Planteamos aora la siguiente variante de (P): Denición Dado un subespacio cerrado V V se dene el problema (P ) como: allar u V tal que (P ) v V, a(u, v ) = L(v ). (1.2.2) Cuando V es de dimensión nita, (P ) se denomina problema discreto y la solución u se llama solución discreta. Observación El método propuesto en la formulación P, se denomina Método de Galerkin. Observación En caso en que la forma bilineal sea simétrica, la solución discreta es caracterizada tambien por la propiedad J(u ) = min v V J(v ) donde el funcional J viene dado por J(v) = 1 a(v, v) L(v). Esta denición alternativa de 2 la solución discreta es conocida como el método de Ritz. Notemos que desde (P) y (P ) utilizando el eco de que V V se tiene que a(u u, v ) = 0 v V (1.2.3) identidad denominada ecuación del error y que dice que el error de aproximación e = u u guarda cierta ortogonalidad con V (en particular si a(u, v) deniera un producto interno). Gracias a ello, es de esperar que u se comporte como la mejor aproximación. En efecto, el lema siguiente [8, 4, 5] conrma esta sospeca. Lema (Lema de Cea) Sea V un espacio de Hilbert, a una forma bilineal continua y coerciva y L V. Sean u y u las soluciones de (P) y de (P ) respectivamente (que existen gracias al Teorema 1.2.1), entonces: u u C 1 C 2 inf v V u v 8

9 Demostración. Usando la coercividad y continuidad de a junto con la ecuación del error se tiene C 2 u u 2 a(u u, u u ) a(u u, u v ) C 1 u u u v de donde se sigue el lema Formulación variacional de poblemas de contorno Este trabajo se basa en la aproximación de soluciones de un problema elíptico clásico en un dominio regular Ω de R n, abierto y acotado. El procedimiento estandar consiste en llevar la ecuación diferencial a una forma variacional conveniente que en general adopta la forma del problema (P). En primer lugar comenzaremos analizando el problema de Diriclet omogéneo { u = f en Ω u = 0 en Γ. (1.3.1) donde Γ es la frontera de Ω. En este caso, si f L 2 (Ω) y Γ es de clase C 2 el problema tiene solución única en H 2 (Ω) y verica u 2,Ω C f 0,Ω. Este problema puede escribirse de manera estándar en la forma ( P). En efecto, multiplicando a ambos miembros de la primera ecuación (1.3.1) por una función test v C 0 (Ω), integrando por partes sobre Ω y usando la densidad de C 0 (Ω) en H 1 0(Ω) se obtiene que toda u solución clásica de (1.3.1) verica lo que se denomina formulación débil: Dada f L 2 (Ω), allar una función u H 1 0(Ω) que verique u H 1 0(Ω) y n i=1 Ω u v dx = fv dx v H x i x 0(Ω). 1 (1.3.2) i Ω Como emos observado, si u es solución de (1.3.1) entonces es solución de (1.3.2), pero recíprocamente, es fácil probar que si una función u verica (1.3.2) y además u H 2 (Ω) entonces es solución de (1.3.1). En el marco de la teoría de la sección anterior y tomado n = 2 observemos que el espacio V natural para este problema es H0(Ω), 1 la forma bilineal involucrada u v a(u, v) = x x + u v y y dx = u v dx y el funcional lineal Ω L(v) = Ω fv dx. Por lo tanto, el problema (P) en este caso corresponde a: encontrar u H 1 0(Ω) tal que Ω v H 1 0(Ω), a(u, v) = L(v). (1.3.3) 9

10 De forma elemental se prueba que a(, ) y L( ) son continuos, en efecto por la desigualdad de Scwartz, a(u, v) u v dx C u 0,Ω v 0,Ω = C u 1,Ω v 1,Ω, Ω L(v) f 0,Ω v 0,Ω f 0,Ω v 1,Ω C v 1,Ω. Además a(, ) es coerciva gracias a la Observación 1.1.5, pues a(u, u) = u 2 1,Ω C u 2 1,Ω. Por lo tanto, podemos concluir, por Lax-Milgram, que el problema (1.3.3) tiene solución única. Consideremos aora el siguiente problema general, { u = f en Ω R 2, (1.3.4) u = g en Γ que será objeto de estudio en este trabajo, donde Γ es de clase C 2. De forma análoga, aquí puede denirse una variante del problema (P) (no coincide estrictamente con este) que es equivalente para funciones sucientemente regulares al problema (1.3.4): Dada f L 2 (Ω) y g H r 1/2 (Γ), 1 r 2 encontrar una función u H r (Ω) tal que { a(u, v) = L(v) para todo v H 1 0 (Ω) u = g en Γ. (1.3.5) Utilizando la Observación se puede restar una función w H r (Ω) de traza g a u y pasar el problema (1.3.5) a la forma estándar (P) de donde se prueba existencia y unicidad de soluciones en Ω para (1.3.5) gracias a Lax-Milgram. Se puede observar [7], que si f L 2 (Ω) y g H r 1/2 (Γ), 1 r 2 el problema (1.3.4) tiene solución única débil en H r (Ω) y satisface u r,ω C( f 0,Ω + g r 1/2,Γ ), 1 r 2. (1.3.6) Es importante mencionar que en dominios menos regulares como los polígonos en dimensión 2 [6] y poliedros en dimensión 3 los teoremas de regularidad se modican pues las soluciones son en general menos regulares. 10

11 Capítulo 2 Elementos nitos En este capítulo damos una breve descripción de los espacios de elementos nitos. Principalmente nos concentramos en elementos triangulares en dimensión dos, dado que son los utilizados en el problema que estudiaremos mas adelante. De todos modos mucos resultados están enunciados con mayor generalidad, sobre todo cuando el costo de la escritura era equivalente al caso particular. Para esta presentación emos seguido el enfoque dado en [5] Elementos nitos de Lagrange Consideremos el problema (1.2.1), donde el espacio V, la forma bilineal a(, ) y L satisfacen los supuestos del teorema del Lax-Milgram. El método de elementos nitos, en su forma más simple, es un proceso especíco en la construcción de los subespacios V propuestos en el método P (1.2.2). Consideremos la terna (K, P, Σ) donde: K es un conjunto compacto de R 2, convexo y de interior no vacío; P es un espacio vectorial de dimensión nita de funciones con valores reales denidas sobre K, y Σ es una base de P, el espacio dual de P. Observación Notar que todas las normas son equivalentes en P, puesto que tiene dimensión nita. En ese sentido no se especica la norma en la que se trabaja. Asimismo, como veremos, Σ debe estar incluido en el dual de ciertos espacios de Sobolev apropiados. Como notaremos más adelante, eso se consigue a través de teoremas de inmersión apropiados. Denición Decimos que una terna (K, P, Σ) que cumple lo enunciado anteriormente es un elemento nito. Las funciones del espacio P se denominan funciones de forma, y los elementos de Σ variables nodales. 11

12 En los elementos nitos de Lagrange el conjunto Σ está formado por evaluaciones en N puntos distintos {a 1, a 2,..., a N } K. Por abuso de notación escribimos Σ = {a 1, a 2,..., a N }. Denición Decimos que el conjunto Σ P es P unisolvente si y sólo si dados N números reales α j, 1 j N, existe una única función p P tal que p(a j ) = α j, 1 j N. Observación Σ es P unisolvente si y sólo si la terna (K, P, Σ) es un elemento nito de Lagrange. Gracias a la observación anterior, dado un elemento nito de Lagrange (K, P, Σ), tenemos que para cualquier función continua v denida sobre K a valores reales, existe una única función p P que interpola a v sobre K, es decir: p(a j ) = v(a j ), 1 j N. (2.1.1) Denición Dado un elemento nito de Lagrange (K, P, Σ), llamamos funciones base o funciones nodales a las N funciones p i denidas como p i (a j ) = δ ij, 1 j N. Llamamos P-interpolador de Lagrange sobre Σ al operador que a cada función contínua v denida sobre K le asocia la función Πv denida por Πv = N v(a i )p i. (2.1.2) i=1 Si bien K es un compacto general convexo, en la práctica se utilizan elementos particulares. Para este trabajo nos restringiremos a triángulos en R 2, que son un caso particular de los llamados elementos simpliciales. Denición Consideremos 3 puntos a j = (a 1 j, a 2 j), 1 j 3, no colineales en R 2 y sea A la siguiente matriz a 1 1 a 1 2 a 1 3 A = a 2 1 a 2 2 a Llamamos 2-simplex K al triángulo de vértices a j. 12

13 Para observar que esta matriz es inversible, observemos que el determinante a la matriz A es equivalente a calcular el determinante de la siguiente matriz a 1 1 a 1 2 a 1 1 a 1 3 a 1 1 a 2 1 a 2 2 a 2 1 a 2 3 a el cual es distinto de cero debido a que los puntos a j no son colineales. Cualquier punto x R 2, de coordenadas cartesianas (x 1, x 2 ), está caracterizado por 3 escalares λ j = λ j (x), 1 j 3, denidos como la solución del sistema lineal 3 a i jλ j = x i, 1 i 2 j=1 3 λ j = 1 j=1 (2.1.3) cuya matriz es precisamente A. Estos escalares λ j (x) son llamados las coordenadas baricéntricas del punto x con respecto a los 3 puntos a j, 1 j 3. Las funciones x = (x 1, x 2 ) λ j (x), 1 j 3 son funciones de coordenadas baricéntricas en relación con los puntos a j. Se puede observar de (2.1.3), que cada una de las funciones de coordenadas baricéntricas es una función afín de R 2 en R y 3 x R 2, x = λ j (x)a j. Utilizando las coordenadas baricéntricas asociadas a los puntos a j, el triángulo K de vértices a j, está caracterizado por j=1 K = {x R 2 ; 0 λ j (x) 1, 1 j 3}. Por otra parte, para cada entero k 0, designaremos P k al espacio de funciones polinómicas de R 2 en R, de grado menor o igual que k, es decir, x R 2, p(x) = α i1,i 2 x i 1 1 x i 2 2 i 1 0, i 2 0 i 1 + i 2 k donde α i1,i 2 son números reales. En este trabajo, nos ocuparemos del análisis de elementos nitos mediante 2-simplex de tipo (k), fundamentalmente elementos de tipo (1) y tipo (2). Veamos entonces la siguiente 13

14 Denición Un 2-simplex K de vértices a 1, a 2 y a 3 se dice de tipo (1) cuando se considera el elemento nito de Lagrange dado por (K, P 1, Σ 1 ), con Σ 1 = {a i } 1 i 3 y de tipo (2) cuando se considera (K, P 2, Σ 2 ), siendo Σ 2 = {a i } 1 i 3 {a ij } 1 i<j 3 donde a ij es el punto medio del lado [a i, a j ]. Observación Para los elementos de tipo (1) y (2) es fácil ver que las funciones base son p i = λ i, 1 i 3. para el primer caso, y para el segundo. p i = λ i (2λ i 1), 1 i 3 p ij = 4λ i λ j, 1 i < j 3. Si (K, P, Σ) es un elemento nito de Lagrange, a cada función v de K se le asocia la función Πv, el P-interpolador de Lagrange de v sobre Σ. Es de interés acotar el error de interpolación v Πv en la norma H m (K). El siguiente es un resultado clásico de aproximación [4, 5] para operadores que dejan invariantes a los polinomios. Teorema Sea K un 2 simplex y sea Π un operador lineal y continuo de H k+1 (K) en H m (K), 0 m k + 1, tal que Entonces existe una constante c = c(k, Π) tal que p P k, Πp = p. (2.1.4) v H k+1 (K), v Πv m,k c v k+1,k. (2.1.5) A n de explicitar la dependencia de la constante c en función de las características geométricas de K, la teoría clásica introduce lo siguiente: K = diámetro de K ρ K = diámetro interior de K donde el diámetro de K es la máxima distancia euclideana entre dos puntos de K y el diámetro interior de K es el diámetro máximo de círculos contenidos en K. Usando (2.1.5) en un dominio de referencia jo y cambiando variables se prueba Corolario Sea (K, P, Σ) un 2-simplex de tipo (k). Existe una constante C que sólo depende de k tal que para cada entero m, 0 m k + 1, se cumple v H k+1 (K) v Πv m,k C k+1 K v ρ m k+1,k K donde Π, denota el interpolador de Lagrange correspondiente. 14

15 2.2. Espacios de elementos nitos Los elementos nitos que emos denido se ensamblan para construir espacios de elementos nitos generando aproximaciones de funciones denidas en principio en dominios arbitrarios. Estos espacios nalmente son los utilizados como los aproximantes en el método de Galerkin descripto en el Capítulo 1. Sea Ω un dominio de R 2, con frontera Γ, y supongamos que Ω admite la siguiente descomposición en elementos: Ω = K T K (2.2.1) donde 1. Cada elemento K de T es un 2 simplex de tipo (k). 2. El interior de dos elementos de T distintos es disjunto, es decir, Ki K j =. 3. Cada lado de un K j T corresponde al lado de otro K i T (salvo que el lado se encuentre en la frontera Γ de Ω). En este caso K j y K i se denominan adyacentes. Denición Cada descomposición T de Ω que verica las tres propiedades anteriores se denomina triangulación de Ω. El parámetro se dene como donde K es el diámetro del elemento K. Consideramos los siguientes espacios de dimensión nita y = max K T K (2.2.2) X = {v C( Ω); K T, v K P K } (2.2.3) X o = {v X ; v Γ = 0}. (2.2.4) X es un subespacio de H 1 (Ω) y por lo tanto X o es un subespacio de H 1 0(Ω). Como emos visto, la teoría de aproximación propuesta se basa en buscar una solución aproximada u en V del problema original, donde V = X si V = H 1 (Ω) o V = X o si V = H 1 0(Ω) (2.2.5) Para acotar la mejor aproximación inf v V u v 1,Ω, que interviene en el error de u u 1,Ω, se introduce el operador Π que a cada función v continua sobre Ω le ace corresponder la función Π v de L 2 (Ω) denida por K T, x K, Π v(x) = Π K v(x) (2.2.6) 15

16 donde Π K es el operador de P K -interpolación sobre Σ K. Sin ipótesis suplementarias sobre los elementos nitos, la función Π v generalmente no es continua sobre Ω y por lo tanto no pertenece a V de modo que no se podría elegir u = Π u. Sin embargo si tomamos en cada polígono K elementos nitos simpliciales del mismo grado (algo que supondremos de aora en mas) esto se verica. Luego el operador de interpolación Π, denido en (2.2.6) de C( Ω) en L 2 (Ω), toma valores en C( Ω) y naturalmente y X = {Π v; v C( Ω)} (2.2.7) X o = {Π v; v C( Ω), v Γ = 0} (2.2.8) donde X y X o son los subespacios de C( Ω) introducidos en (2.2.3) y (2.2.4). Se introduce el conjunto de nodos de elementos nitos Σ = K T Σ K con el n de clasicar a los últimos puntos distinguiremos aquellos que pertenecen a la frontera Γ de Ω Σ = {a i } 1 i I donde card(σ ) = I y reordenando adecuadamente Σ o def = Σ K Ω = {a i } 1 i I0 donde card(σ o ) = I 0 < I. Para cada entero i, 1 i I, sea ϕ i la función de X tal que Si v es una función continua sobre Ω, se cumple ϕ i (a j ) = δ ij, 1 j I. (2.2.9) Π v = I v(a i )ϕ i. i=1 Por lo tanto Observación El conjunto de funciones ϕ i, 1 i I, denidas en (2.2.9) constituyen una base del espacio X y cada función v de X se escribe como I v = v(a i )ϕ i. i=1 De manera similar, el conjunto de funciones ϕ i, 1 i I 0, constituye una base del espacio X o y cada función v de X o se escribe como v = I 0 i=1 v(a i )ϕ i. 16

17 Cabe señalar que las funciones ϕ i tienen una ventaja práctica fundamental en el método de elementos nitos y es la de tener un soporte pequeño, que resulta ser el conjunto de elementos K T en los que pertenece el nodo a i. Esto conduce nalmente a la resolución de sistemas ralos. Notemos además que la restricción de ϕ i a cada elemento K es una función de la base del elemento nito (K, P K, Σ K ). Denición Decimos que T es una familia regular de triangulaciones de Ω si existe una constante η 1 tal que, K T, K ρ K η (2.2.10) Para 2-simplex esta condición equivale a la existencia de un ángulo θ 0 > 0 tal que, K T, θ K θ 0 donde θ K es el ángulo menor del triángulo K. El siguiente teorema brinda un criterio para determinar si un método obtenido por elementos nitos es convergente. El mismo vale para elementos nitos generales (incluyendo elementos curvos que no son considerados en este trabajo) y un Ω R 2 abierto arbitrario que verique (2.2.1), ya que en este caso se tiene que los espacios discretos están incluídos en los correspondientes espacios continuos. En la demostración de teorema, la constante C puede cambiar línea a línea. Teorema Sea Ω un abierto poligonal de R 2 y T una familia regular de triangulaciones de Ω por 2 simplex de tipo (k). Consideremos los problemas (P ) y (P), donde los espacios asociados están dados respectivamente por V = X o, V = H 1 0(Ω). Entonces el método de elementos nitos es convergente, es decir, u del problema converge a u en H 1 (Ω): lím u u 1,Ω = 0. 0 Más aún, si la solución u H k+1 (Ω), este método es por lo menos de orden k. Es decir, existe una constante C independiente de tal que u u 1,Ω C k u k+1,ω. Demostración. Supongamos primero que la solución u H k+1 (Ω), entonces, por el Teorema 1.1.4, es continua sobre Ω y podemos construir la función Π u. Luego, debido a que consideramos elementos nitos simpliciales, Π u pertenece al subespacio V de V. Debido al Lema se deduce u u 1,Ω C u Π u 1,Ω. 17

18 Como la restricción de Π u a cada K T es, por denición el P k -interpolador Π K u de u sobre Σ K, se cumple y Por el Corolario u Π u 1,Ω = ( K T u Π K u 2 1,K u Π K u 1,K C k K u k+1,k u Π K u 0,K C k+1 K u k+1,k, ) 1/2 Donde la constante depende de la regularidad (2.2.10) de la malla η. Por lo tanto, u Π K u 1,K = ( u Π K u 2 0,K + u Π K u 2 1,K C {1 + K } 1/2 k K u k+1,k C {1 + diam(ω)} 1/2 k K u k+1,k. ) 1/2 Luego Entonces, u Π K u 1,K C k u k+1,k. u Π u 1,Ω C k ( K T u 2 k+1,k) 1/2 = C k u k+1,ω. (2.2.11) Por lo tanto u u 1,Ω C u Π u 1,Ω k u k+1,ω. Veamos aora que el método converge aunque la solución este solo en el espacio H 1 (Ω): Consideremos el subespacio denso de V, dado por V = C0 (Ω). Claramente Π es una aplicación de V en V que verica Por lo tanto v Π v 1,Ω C k v k+1,ω para cada v V. lím v Π v 1,Ω = 0. 0 Sea ɛ > 0, como V es denso en V, existe v V tal que u v 1,Ω donde C es la constante del lema de Cea. Por otro lado, como lím 0 v Π v 1,Ω = 0 existe (ɛ) > 0 tal que ɛ 2C (ɛ), v Π v 1,Ω 18 ɛ 2C.

19 Por el lema de Cea u u 1,Ω C u Π v 1,Ω C( u v 1,Ω + v Π v 1,Ω ) (ɛ) Por lo que concluimos que lím u u 1,Ω =

20 Capítulo 3 Análisis del método de elementos nitos en dominios suaves en R 2 En el análisis de convergencia clásico desarrollado previamente se utiliza fuertemente el eco de que Ω = K T K. Esto naturalmente no es cierto en numerosas aplicaciones. Por un lado los elementos mas simples poseen bordes rectos lo que implica que con ellos solo podrán representarse con exactitud bordes poligonales en R 2 o poliedrales en R 3. Este limitante puede rebajarse admitiendo elementos nitos con bordes curvos al costo de incrementar la complejidad computacional y de programación del método nal. Este capítulo es el núcleo central de este trabajo y en él discutimos las distintas complicaciones que aparecen en dominios suaves generales al utilizar elementos lineales. Comenzaremos el análisis en dominios convexos siguiendo una vez más [5] (en este caso extenderemos el análisis a elementos subparamétricos de grado mayor)y luego sobre bordes generales siguiendo el trabajo [1]. Para el primer caso nos centramos en el problema omogéneo de Diriclet, mientras que el segundo abarca el caso general no omogéneo. En todos los casos trabajamos en R 2 que presenta básicamente las dicultades intrínsecas del problema. De aora en más, C denotará a una constante que puede cambiar línea a línea e independiente de y de las funciones involucradas. Finalmente, la notación x y signica, como es usual, x Cy e y Cx Mallas en Dominios Regulares Supongamos que Ω R 2 es un conjunto abierto con frontera Γ de clase C 2. Sean x (0),..., x (N 1), N puntos de Γ e identiquemos los índices módulo N, en particular x (N) = x (0). Sea Ω el dominio poligonal con vértices x (0),..., x (N 1). Con Γ (j) denotamos el segmento delimitado por x (j) y x (j+1) y con Γ la frontera de Ω (ver Figura 3.1). De forma análoga, Γ (j) corresponde a la parte de Γ entre x (j) y x (j+1). 20

21 La siguiente es una ipótesis general que llamaremos (HA): Consideramos que la triangulación T correspondiente a Ω es regular y uniforme. Llamamos j = Γ (j) y = max 0 j N 1{ j }. Por lo tanto, gracias a (HA) j, para 0 j N 1. Observación Debido a considerar triangulaciones T regulares y uniformes la denición de presentada previamente y la dada en (2.2.2) son equivalentes. Para el estudio del caso no omogéneo ace falta la siguiente ipótesis suplementaria que denominaremos (HB): Consideramos que la triangulación T correspondiente a Ω verica que, si observamos aquellos triángulos K T que tienen por lo menos un vértice sobre Γ, entonces esos vértices son necesariamente algún x (j) con 0 j N 1. Figura 3.1: Detalle Malla Comenzamos por transferir de manera natural el dato de Diriclet de Γ a Γ. Para ello necesitaremos parametrizar Γ j y Γj para 0 j N 1: Notemos que podemos construir una aplicación x : [a; b] Γ asociada a una partición {[t j, t j+1 ]} 0 j N 1, del intervalo [a, b] (es decir (t j, t j+1 ) (t i, t i+1 ) = si i j y N 1 j=0 [t j, t j+1 ] = [a, b]) de modo tal que x sea continua, lineal en cada (t i ; t i+1 ), biyectiva en (a, b) y tal que x (a) = x (b). Más aún podemos suponer que x está parametrizada por longitud de arco, es decir x = 1. A partir de dica x se considera para cada 0 j N 1 la función x j : [t j, t j+1 ] Γ j tal que xj = x [tj,t j+1 ] (que es lineal por construcción) y parametriza a cada Γ j. Notemos en particular que xj (t j) = x (j) y x j (t j+1) = x (j+1). 21

22 Considerando ν (j) la normal unitaria exterior a Γ (j) se induce la siguiente parametrización en Γ (j) : X (t) = x (t) + δ x (t)ν (j), (3.1.1) donde δ x (t) es la distancia entre x (t) y Γ a lo largo de ν (j). Asumimos que es sucientemente cico de manera que X (t) esté bien denido. Además δ x (t) C 2 por ser de clase C 2 la frontera Γ. Por otra parte δ x (t) C 2, en efecto δ x (t) se anula en los extremos de cada [t j, t j+1 ] y su derivada allí tiene orden, ya que δ x ( t j ) = 0 en cierto t j (t j, t j+1 ), lo que implica δ x (t) C 2. Notemos que como Γ es de clase C 2 se tiene que para sucientemente cico, la distancia máxima entre Γ y Γ satisface donde dist(γ, Γ ) C 2 (3.1.2) dist(γ, Γ ) = max x Γ { x + tv : x + tv Γ} y v denota la normal unitaria exterior a Γ. Vamos a asociar funciones denidas en Γ y en Γ : dada g en Γ consideramos g en Γ del siguiente modo g(x (t)) = g(x (t)), x (t) Γ (j). (3.1.3) Observemos que g(x) = g(x) para x = x (j) o x = x (j+1) y que la asignación inversa también está bien denida. Lema Existen dos constantes c y C, independientes de, tal que c g 0,Γ g 0,Γ C g 0,Γ. (3.1.4) Demostración. De (3.1.1) se sigue que existen dos constantes positivas C 1 y C 2 tal que C 1 X C 2. Notemos que esto equivale a C 1 x X C 2 x pues x parametriza por longitud de arco. Entonces Γ j g(s) 2 ds = x (j+1) x (j) g(x (t)) 2 X (t) dt x (j+1) x (j) g(x (t)) 2 C 2 x (t) dt = C 2 Γ j g(s) 2 ds y sumando sobre j obtenemos que 1 C 2 g 0,Γ g 0,Γ, lo cual indica que c g 0,Γ g 0,Γ. La otra desigualdad se sigue análogamente. Para una función arbitraria w H r (Ω) con 1 r 2 denotaremos también con w a la función extendida a R 2 por el operador E denido en el Teorema Se precisarán estimaciones para funciones denidas en la región encerrada entre Ω y Ω. Sea Ω (j) la región delimitada por Γ (j) y Γ (j) (ver Figura 3.2). En los cálculos que siguen 22

23 asumiremos sin pérdida de generalidad que Γ (j) que puede escribirse como y análogamente con δ x C 2 2 y δ x C 3. Γ (j) = {(x, y) y = 0, 0 x C 1} Γ (j) = {(x, y) y = δ x 0, 0 x C 1 } tiene su extremo izquierdo en el origen y Figura 3.2: Región Ω (j) Lema Sea ϕ H 1 (Ω (j) ϕ 2 0,Ω (j) ). Luego se verican las siguientes desigualdades ( C 2 ϕ 2 0,Γ + 4 ϕ (j) y 2 0,Ω (j) ). (3.1.5) ϕ 2 0,Ω (j) C ( 2 ϕ 2 0,Γ (j) + 4 ϕ y 2 0,Ω (j) ). (3.1.6) y ϕ 2 0,Γ C 2 ϕ (j) y ϕ 2 0,Γ (j) C 2 ϕ y 2 0,Ω (j) 2 0,Ω (j) si ϕ = 0 en Γ (j) (3.1.7) si ϕ = 0 en Γ (j) (3.1.8) Demostración. Sea ϕ H 1 (Ω (j) ). Entonces Ω (j) div(0, yϕ 2 ) dx dy = Ω (j) yϕ 2 y dx dy = 23 Ω (j) ϕ 2 dx dy + 2 yϕ ϕ dx dy Ω (j) y

24 y por teorema de la divergencia div(0, yϕ 2 ) dx dy = Ω (j) Luego, como Γ (j) Ω (j) Ω (j) Γ(j) (0, yϕ 2 )η ds = yϕ 2 yϕ 2 dx + ds. Γ (j) 1 + δ 2 x yϕ 2 dx = 0 ya que y = 0 en Γ (j), obtenemos ϕ 2 dx dy = yϕ 2 (1 + δ 2 x ) 1/2 ds 2 Γ (j) Ω (j) yϕ ϕ y dx dy. (3.1.9) Utilizando la desigualdad de Scwarz, la de Young y sabiendo que y C 2 en Ω (j) ) 1/2 ( Ω (j) yϕ ϕ y dx dy ( Ω (j) ( C2 ε ε ( = C ε C 2 [ε 2 y 2 ϕ 2 dx dy Ω (j) Ω (j) Ω (j) ϕ 2 dx dy ϕ 2 dx dy Ω (j) ) 1/2 ( ) 1/2 ( ) 2 1/2 ϕ dx dy) y Ω (j) 2 ε ϕ 2 dx dy + 4 ε 2 Ω (j) ( ) 2 1/2 ϕ dx dy) y ( ( ϕ y Ω (j) ( ) ) 2 1/2 ϕ dx dy y ) 2 dx dy] y por lo tanto, usando (3.1.9) y tomando ε talque Cε 2 < 1/4,tenemos que ( ϕ 2 C 2 ϕ 2 0,Ω (j) 0,Γ + 4 ϕ ) (j) y por lo que se verica (3.1.5). 2 0,Ω (j) Ω (j) Análogamente div(0, (y δ x )ϕ 2 )dx dy = Ω (j) (y δ x )ϕ 2 dx dy = y Ω (j) ϕ 2 dx dy+2 Ω (j) (y δ x )ϕ ϕ dx dy y y aplicando nuevamente el teorema de la divergencia y observando que y = δ x en Γ (j) obtenemos div(0, (y δ x )ϕ 2 ) dx dy = (0, (y δ x )ϕ 2 )η ds = δ x ϕ 2 dx Luego Ω (j) Ω (j) ϕ 2 dx dy = Γ (j) Ω (j) δ x ϕ 2 dx 2 24 Ω (j) (y δ x )ϕ ϕ y Γ (j) dx dy (3.1.10)

25 Realizando un análisis análogo al anterior y observando que y δ x C 2 se obtiene (y δ x )ϕ ϕ ( ) 2 C dx dy [ε 2 ϕ 2 dx dy + 4 ϕ dx dy] Ω (j) y 2 Ω (j) ε 2 Ω (j) y Podemos concluir, utilizando (3.1.10), tomando ε talque Cε 2 < 1/4 y recordando que δ x C 2 ϕ 2 0,Ω (j) C ( 2 ϕ 2 0,Γ (j) + 4 ϕ y 2 0,Ω (j) que es precisamente (3.1.6). Aora, si consideramos ϕ H 1 (Ω (j) ) tal que ϕ = 0 en Γ(j) ϕ(x, δ x ) ϕ(x, 0) = ϕ(x, δ x ) = δx 0, ), ϕ (x, s) ds y utilizando la desigualdad de Hölder δx ( ) 2 ϕ ϕ 2 (x, δ x ) δ x (x, s) ds 0 y y multiplicando a ambos miembros por 1 + δ x2 e integrando entre 0 y tenemos, por lo que se cumple (3.1.7). ϕ 2 0,Γ C 2 ϕ (j) y 2 0,Ω (j) si ϕ = 0 en Γ (j) Realizando un análisis análogo al anterior se obtiene (3.1.8) El próximo lema se obtiene inmediatamente de (3.1.5) y (3.1.6), sumando sobre j. Lema Sea w H 1 (Ω ). Luego, existe una constante C tal que w 0,Ω \Ω C( w 0,Γ + 2 w 1,Ω ). Además si consideramos w H 1 (Ω) (extendida por el operador E), existe también una constante C tal que w 0,(Ω\Ω ) (Ω \Ω) C( w 0,Γ + 2 w 1,Ω ). Lema Sea w H r 0(Ω) con 1 r 2. Luego, existe una constante C tal que w 0,Γ C r w r,ω. 25

26 Demostración. Considerando Ω (j) y utilizando (3.1.8) tenemos que w 2 0,Γ (j) C 2 w y 2 0,Ω (j) Por lo tanto, para r = 1, sumando sobre j en la desigualdad anterior y utilizando el Teorema 1.1.5, se concluye que w 0,Γ C w 1,Ω. Luego, aplicando (3.1.5) a w, el Teorema y teniendo en cuenta la primera desigualdad y de esta demostración se puede observar que,. w 2 0,Γ (j) C 4 w 2. 2,Ω (j) Entonces, para r = 2, sumando nuevamente sobre j y volviendo a utilizar el Teorema observamos que w 0,Γ C 2 w 2,Ω. El resultado en 1 r 2 se consigue por interpolación. El siguiente lema generaliza al anterior. Lema Sea w H r (Ω) con 1 r 2 y g la traza de w en Γ. Luego, existe una constante C tal que w g 0,Γ C r w r,ω. donde g corresponde a la transferencia de g a Γ. Demostración. tenemos que Considerando Ω (j) w g 2 0,Γ (j) = ψ 2 0,Γ (j) y utilizando (3.1.8) para ψ = w(x, y) w(x, δ(x)) C 2 ψ y 2 0,Ω (j) = C 2 w y 2 0,Ω (j). (3.1.11) Por lo tanto, para r = 1, sumando sobre j en la desigualdad anterior y utilizando el Teorema 1.1.5, se concluye que w g (j) 0,Γ C w 1,Ω Luego, aplicando (3.1.5) a w, utilizando el Teorema 1.1.1, el Teorema y (3.1.11) se y puede observar que w g 2 4 w 2 0,Γ 2,Ω. (j) Luego, sumando sobre j, tenemos que w g 0,Γ (j) 2 w 2,Ω. El resultado en 1 r 2 se obtiene por interpolación. 26

27 Lema Existe una constante C tal que para cada función u H 2 (Ω), u 1,Ω\Ω C u 2,Ω. (3.1.12) Demostración. Debido al Lema v H 1 (Ω), v 0,Ω\Ω C( v 0,Γ + 2 v 1,Ω\Ω ). Tomando v = u x i, con i = 1, 2, y usando el Teorema 1.1.1, se obtiene (3.1.12). Lema Sea u H 1 (Ω ). Luego existe una constante C tal que u 1,Ω C( u 1,Ω + u 0,Γ ). Demostración. La demostración puede verse en [10]. Obviamente basta ver que u 0,Ω C( u 1,Ω + u 0,Γ ). Notemos, sin embargo, que para dominios cuyo borde pueden describirse como el gráco de una función regular la demostración es idéntica a la del Lemma Dominios convexos Sea Ω es un abierto, convexo de R 2, de frontera Γ de clase C 2. En esta sección analizaremos especícamente la aproximación al problema (1.3.1) donde como siempre supondremos que f L 2 (Ω). El problema que interesa es el estudio del efecto producido por la diferencia entre el borde verdadero y el generado por la malla de elementos nitos (ver Figura 3.3). Volvamos a la formulación variacional de (1.3.1), llamado problema (P) donde a(u, v) = u v dx Ω L(v) = fv dx (3.2.1) Ω V = H0(Ω). 1 En esta sección consideraremos las ipótesis denominadas (HA). Como Ω es convexo, se tiene Ω = K T K Ω (3.2.2) Para la construcción de un método de elementos nitos que permita allar una solución aproximada u, se considera, para cada entero k 1 el siguiente espacio de dimensión nita V = {v C( Ω ); v Γ = 0, K T, v K P k }. 27

28 Figura 3.3: Mallado de un convexo Notemos que 1) en sentido estricto V H 1 0(Ω), ya que de eco las funciones de v solo están denidas en Ω y 2) trabajar en este espacio es equivalente a asignar el dato de borde sobre Γ de acuerdo a (3.1.3). Se dene u V como la solución del problema variacional donde y v V, a (u, v ) = L (v ) (3.2.3) a (u, v ) = u v dx Ω L (v ) = fv dx. Ω Como V es un subespacio cerrado de H 1 0(Ω ) (3.2.3) tiene solución única en Ω. Para analizar este método en Ω, se introduce un subespacio Ṽ de H 1 0(Ω) formado por funciones continuas sobre Ω, nulas en Ω \ Ω y cuya restricción a Ω pertenece al espacio V, es decir Ṽ = {ṽ C( Ω); ṽ Ω\Ω = 0, ṽ Ω V }. Las funciones ṽ son la prolongación por cero en Ω \ Ω de v. Por lo tanto, si consideramos a ũ como la extensión por cero en Ω \ Ω de la solución u de (3.2.3), esta función es la solución en Ṽ del problema variacional: donde a(, ) y L( ) son los denidos en (3.2.1). ṽ Ṽ, a(ũ, ṽ ) = L(ṽ ) (3.2.4) 28

29 Como Ṽ es un subespacio de V, por el Lema u ũ 1,Ω C inf u ṽ 1,Ω (3.2.5) v V Por otro lado, usando que a(u, v) = L(v) v H0(Ω) 1 y Ṽ H0(Ω) 1 se tiene que a(u, ṽ ) = L(ṽ ) ṽ Ṽ lo que implica a (u, v ) = L (v ) v V. De lo observado previamente y (3.2.3) se obtiene Luego podemos deducir a (u u, v ) = 0 v V u u 1,Ω C inf v V u v 1,Ω. (3.2.6) Para analizar el orden de convergencia se introduce el operador de interpolación Π en Ω que a cada función u continua en Ω, le asocia la función Π u continua en Ω tal que Π u K T corresponde al interpolador de Lagrange de grado k. Si la función u es nula en Γ, la función Π u = 0 en los vértices de Γ. Esto implica Π u 0 en Γ si k = 1, por lo tanto Π u V. Por el contrario, si k 2, la función Π u no necesariamente es nula en Γ, es decir, Π u / V. Esto nos lleva a distinguir el caso k = 1 del caso k 2. Lema Si k = 1 entonces existe una constante C, tal que, para cada función u H 2 (Ω) H0(Ω) 1 ( ) K inf u v 1,Ω C máx u 2,Ω. v V K T ρ K Demostración. Sea u H 2 (Ω) H 1 0(Ω). Dica función es continua en Ω ya que estamos en dimensión 2. Como k = 1 la función Π u es continua en Ω. Por lo tanto inf v V u v 1,Ω u Π u 1,Ω Por Corolario 2.1.1, tomando m = k = 1, se obtiene K T, u Π u 1,K C 2 K ρ K u 2,K. 29

30 Por lo tanto Luego lo que demuestra el lema. u Π u 1,Ω C máx K T ( K ρ K ) u 2,Ω C máx K T inf u v 1,Ω u Π u 1,Ω C máx v V K T ( K ( K ρ K ρ K ) u 2,Ω. ) u 2,Ω Lema Sea k 2, entonces existe una constante C, tal que, para cada función u H 3 (Ω) H0(Ω) 1, tenemos que ( ) inf u v 1,Ω C 3/2 K max u 3,Ω. v V K T Demostración. Basta realizar la demostración para k = 2 ya que en ese caso se observa que el orden de convergencia no puede mejorarse independientemente de la regularidad de la función u. Sea u H 3 (Ω) H0(Ω). 1 La función Π u es continua en Ω, cuadrática en cada triángulo K T, e interpola a u en los vértices y puntos medios de cada K. Se puede observar que esta función no pertenece a V en general. Por lo tanto introducimos una nueva función Π 0 u V, que interpola a u en los puntos de Ω que son vértices y puntos medios de cada triángulo K salvo en los puntos medios ubicados en Γ donde Π 0 u vale cero. Las funciones Π u y Π 0 u sólo dieren en los triángulos K T que tienen algún lado sobre Γ. Supongamos, que todos los triángulos K T tienen como máximo un lado que se encuentra en Γ. Y sea T el conjunto de todos los triángulos K T con un lado que se encuentra en Γ (ver Figura 3.4). La función Π 0 u V por denición, por lo tanto inf v V u v 1,Ω u Π 0 u 1,Ω u Π u 1,Ω + Π u Π 0 u 1,Ω. (3.2.7) El Corolario 2.1.1, con m = k = 2, nos proporciona la siguiente cota ρ K u Π u 1,K C 3 K ρ K u 3,K. Por lo tanto u Π u 1,Ω C 2 máx K T ( K ρ K ) u 3,Ω. (3.2.8) Por otra parte la función Π u Π 0 u es no nula sólo para K T. Para cada triángulo K T valen las siguientes observaciones: 30

31 Figura 3.4: Triángulos del borde C1) Notaremos a i,k, con 1 i 3, a los vértices del triángulo K de modo tal que el lado [a 1,K ; a 2,K ] se encuentre sobre Γ. C2) Notaremos a i+3,k al punto medio de cada lado del triángulo K opuesto al vértice a i,k con 1 i 3. C3) p i,k P 2 corresponde a la función de base del triángulo K asociado al nodo a i,k con 1 i 6. C4) a 6,K es la intersección entre la mediatriz del segmento [a 1,K; a 2,K ] y el arco correspondiente a Γ subyacente a este segmento. { }} { C5) O K es el abierto delimitado por el lado [a 1,K ; a 2,K ] y el arco a 1,K a 6,Ka 2,K de Γ y (a 6,K, ξ K, η K ) es el eje ortonormal a 6,K a 2,K y a 6,K a 6,K. Sin riesgo a confusión se omitirá el índice K, y en la Figura 3.5 mostramos la notación descripta. La restricción de Π u Π 0 u al triángulo K T es la función cuadrática denida por: { (Π u Π 0 u)(a i) = 0 para 1 i 5 Es decir, (Π u Π 0 u)(a 6) = u(a 6 ) (Π u Π 0 u) K = u(a 6 )p 6 Debido a que u es nula en a 6, punto de la frontera Γ de Ω, y al teorema del valor medio u(a 6 ) a 6 a 6 sup u x [a 6 a 6 ] η (x). 31

32 Figura 3.5: Detalle notación. Por (3.1.2) y Teorema 1.1.4, u(a 6 ) C 2 K u η 2,Ω C 2 K u 3,Ω. Por otra parte, como p 6 es una función de base sobre el triángulo K de tipo (2), se deduce de las características geométricas de K y cambio de variables Resumiendo, obtenemos p 6 1,K C K ρ K. K T Π u Π 0 u 1,K C 3 K ρ K u 3,Ω. Entonces Π u Π 0 u 1,Ω = Además ( K T Π u Π 0 u 2 1,K ) 1/2 C ( K T 4 K ) 1/2 max K T ( K ρ K ) u 3,Ω. ( ) 1/2 3/2 ( ) 1/2 C 3/2 Γ 1/2 C 3/2 Γ 1/2. K T 4 K K T K Por lo tanto, para una constante C independiente de 32

33 Π u Π 0 u 1,Ω C 3/2 max K T Luego, el lema se deduce de (3.2.7), (3.2.8) y (3.2.9). ( K ρ K ) u 3,Ω. (3.2.9) Teorema Sea Ω un abierto convexo de R 2 con frontera C 2. Sea u la solución del problema (P) asociado a (3.2.1) y ũ la solución de (3.2.4). Supongamos que la familia de triangulaciones T es regular. Entonces existen constantes C independientes de tales que para k = 1 y para k 2 u ũ 1,Ω C u 2,Ω si u H 2 (Ω) H 1 0(Ω) (3.2.10) u u 1,Ω C 3/2 u 3,Ω si u H 3 (Ω) H 1 0(Ω). (3.2.11) Demostración. Utilizando el Lema y teniendo en cuenta que la familia de triangulaciones T es regular podemos observar que, para k = 1, inf u v 1,Ω C u 2,Ω. v V Considerando las características de ũ,(3.2.6), el Lema y el Lema se obtiene u ũ 2 1,Ω = u u 2 1,Ω + u 2 1,Ω\Ω C 2 u 2 2,Ω + C 2 u 2 2,Ω C 2 u 2 2,Ω. Entonces obtenemos (3.2.10) u ũ 1,Ω C u 2,Ω con u H 2 (Ω) H 1 0(Ω). Para k 2, (3.2.11) se deduce inmediatamente de (3.2.6) y del Lema Se concluye que, para k = 1 el error de aproximar a u, solución del problema (P) por ũ, solución de (3.2.4) es el mismo que en el capítulo anterior, donde Ω es un abierto poligonal. Sin embargo para k 2 no se logra mantener la cota del error Resultados preliminares para dominios regulares generales En lo que resta del trabajo, al igual que en la sección anterior, interesa estudiar el efecto producido por la diferencia entre el borde verdadero de Ω y el generado por la malla de 33

34 elementos nitos. Sin embargo analizaremos acá el caso general en el que Ω es un dominio abierto de R 2 con frontera regular y además trabajaremos con el problema general de Diriclet no omogéneo descripto en (1.3.4) y con su variante del probema (P) descripto también en (1.3.5). En esta sección surge la necesidad de utilizar las ipótesis denominadas HB. Con el n de denir y analizar nuestro método de elementos nitos se necesitará denir ciertos espacios de funciones polinómicas a trozos en Γ y Γ. Sea S (Γ ) = {f : Γ R/f C(Γ ), f x j (t) P 1[t], t [t j, t j+1 ], 0 j N 1}. Veamos que S (Γ ) es un espacio vectorial de dims (Γ ) = N donde N corresponde al número de nodos en el borde del dominio. Por propiedades elementales de álgebra se puede observar S (Γ ) es cerrado bajo combinaciones lineales. Recordemos que x es biyectiva: en particular para todo p Γ existe un único t [t 0, t N ) tal que x (t) = p. Consideremos para 0 j N 1 las funciones ϕ j : Γ R denidas del siguiente modo: Para cada p = x (t) denimos ϕ j (p) = 0 si p / Γ (j 1) t t j 1 t j t j 1 si t [t j 1, t j ] t j+1 t t j+1 t j si t [t j, t j+1 ] Γ (j) (3.3.1) donde el índice j se entiende módulo N. Notar que en particular ϕ i (x (j) ) = δ i j. Se puede observar que las funciones ϕ j S (Γ ) para cada 0 j N 1 y forman una base de S (Γ ). En efecto, por construcción son linealmente independientes y si además tomamos una función cualquiera f S (Γ ), entonces f(x (t)) restringida al intervalo [t j ; t j+1 ] se puede escribir como f(x j (t)) = f(xj (t j))ϕ j 1 (x j (t)) + f(xj (t j+1))ϕ j (x j (t)), ya que es lineal en ese intervalo. Llamando x j (t) = p Γ(j) Γ se tiene entonces f(p) = f(x (j) )ϕ j 1 (p) + f(x (j+1) )ϕ j (p). Análogamente denimos el espacio S (Γ) de la siguiente manera S (Γ) = {f : Γ R/f C(Γ), f X j (t) P 1[t], t [t j, t j+1 ], 0 j N 1}, y realizando un análisis similar al anterior se concluye que S (Γ) es un espacio vectorial de de dims (Γ ) = N. 34

35 Más aún, si f S (Γ), se verica que f(x (t)) = f(x (t)) con cierta única f S (Γ ): dico de otro modo la asignación es una biyección entre los espacios S (Γ) y S (Γ ). Observación Observemos un detalle técnico que es cómodo para estudiar propiedades de aproximación en el espacio H s (Γ) por funciones de S (Γ): si trabajamos con la parametrización X, en vez de utilizar una parametrización X : I Γ de clase C 2, notemos que solo puede esperarse que sus componentes estén en H s con s < 3/2 (esto verica la función módulo en la recta real), pero lo importante es que X [ti,t i+1 ] C 2 como ya se a eco notar. Ese eco nos permite utilizar X en vez de X para efectuar los cálculos que aparecen a continuación. Denimos las proyecciones ortogonales Q : L 2 (Γ ) S (Γ ) L 2 (Γ ) y como sigue: ˆQ : L 2 (Γ) S (Γ) L 2 (Γ) Q g, χ = g, χ χ S (Γ ) y ˆQ g, χ = g, χ χ S (Γ) donde f, g = fg ds y Γ f, g = fg ds. Γ Observación Considerando la construcción del espacio S (Γ) y la Observación 1.1.3, resulta claro que las propiedades de aproximacion de los espacios polinomiales sobre un intervalo (en particular en el intervalo donde se mueve el parámetro de la curva) se eredan al espacio S (Γ). Más especícamente vale lo siguiente: Para ρ H r (Γ) De (3.3.2) tenemos que inf { ρ ϕ 0,Γ + ρ ϕ 1,Γ } C r ρ r,γ 1 r 2. (3.3.2) ϕ S (Γ) (I ˆQ )ρ 0,Γ = inf ρ ϕ 0,Γ C 2 ρ 2,Γ. (3.3.3) ϕ S (Γ) Además, por propiedades de proyección tenemos la siguiente estimación (I ˆQ )ρ 0,Γ ρ 0,Γ. (3.3.4) 35

36 Se sigue, por interpolación entre (3.3.3) y (3.3.4), que (I ˆQ )ρ 0,Γ C s ρ s,γ 0 s 2. (3.3.5) Por otra parte, podemos ver que, utilizando la Observación y la desigualdad de Scwarz w 1/2,R n C w 1/2 0,R n w 1/2 1,R n con w H 1 (R n ): en lo que sigue aremos uso de la generalización de lo anterior a los espacios de Sobolev denidos sobre la curva Γ, esto es w 1/2,Γ C w 1/2 0,Γ w 1/2 1,Γ con w H 1 (Γ) (ver p.ej. [9]). Gracias a esto, (3.3.2) y Young se observa que inf { ρ ϕ 0,Γ + 1/2 ρ ϕ 1/2,Γ } C r ρ r,γ 1 r 2. (3.3.6) ϕ S (Γ) El siguiente lema presenta estimaciones inversas para funciones de S (Γ). Lema (a) Sea P P k [x] con k jo. Luego P 1,[0,] C 1 P 0,[0,] donde C=C(k). (b) Sea ϕ S (Γ). Luego ϕ 1,Γ C 1 ϕ 0,Γ Demostración. Para demostrar el item (a) recordemos primero que por estar en un espacio vectorial de dimensión nita se cumple P 1,[0,1] C P 0,[0,1] donde C=C(k). Aora reescalamos a [0, ]. Consideremos P ( x) P k [ x] denido en [0, ]. Luego denimos P (x) = P ( x) tal que x = x. Por lo tanto, teniendo en cuenta que P (x) = P ( x)., utilizando cambio de variable y la desigualdad anterior, P 2 1,[0,] = 1 P 2 1,[0,1] C 1 P 2 0,[0,1] = C 2 P 2 0,[0,] Entonces donde C = C(k). P 1,[0,] C 1 P 0,[0,] Para analizar el item (b) observemos primero que ϕ(x (t)) [tj,t j+1 ] P 1 ([t j, t j + 1]), aplicando el item anterior y observando que X (t) 1, tenemos que ϕ 1,Γj C 1 ϕ 0,Γj. 36