GEOMETRÍA DE LOS CRISTALES II

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1 CAPÍTULO PROYECCIÓN ESFÉRICA GEOMETRÍA DE LOS CRISTALES II Si de un punto cualquiera del espacio se trazan normales a todas las caras de un cristal, se obtiene un haz de rectas convergentes en dicho punto. ángulos entre estas rectas serán suplementarios de los ángulos centrales entre las caras. Describiendo una superficie esférica de centro en este punto de intersección de las normales mencionadas, ver Figura 5.1, y prolongando éstas hasta la intersección con la superficie esférica, obtendremos en la esfera un conjunto de puntos que determinan unívocamente la posición de las caras. Esto es la proyección esférica cristal. Estos puntos se denominan polos de las caras. Su lugar en la esfera se puede fijar mediante coordenadas esféricas, latitud y longitud, como se hace en geografía. En lugar de la la itud medida desde 0º en el ecuador EE hasta +90º en el polo norte y 90º en el sur de la esfera, es más cómodo usar otra coordenada, denominada distancia polar, medida según un meridiano cualquiera a partir del 0º en el polo norte hasta 180º en el polo sur. Con este sistema de notación todos los puntos del ecuador tienen una distancia polar igual a 90º. Para las coordenadas esféricas usadas en Cristalografía se han tomado las siguientes notaciones: ρ para la distancia polar y ϕ para la longitud. Esta última se mide según el ecuado a partir del meridiano que se toma como cero. En la Figura 5.2, se indican las coordenadas ρ y ϕ de la cara M. Figura Proyección esférica de un Figura Coordenadas r y j sobre una cristal esfera Para pasar de la esfera al dibujo plano hay varios pro edimientos. Los más cómodos para las diferentes representaciones y cálculos gráficos son dos: la proyección gnomónica y la proyección estereográfica. 5.2 PROYECCIÓN GNOMÓNICA Las características de la proyección gnomónica pueden renderse mejor considerando que se deriva de la proyección esférica. En el caso de la proyección gnomónica, plano de proyección generalmente se toma como el plano horizont que es tangente al polo norte de la 65

2 esfera de la proyección esférica. Se toman entonces lí eas imaginarias, desde el centro de la esfera a través de los polos de las caras de los crist les que están ubicados en su superficie, y se prolongan hasta que tocan el plano de proyección. Los n los que estas líneas tocan ese plano, constituyen la proyección gnomónica de las formas representadas. La Figura 5., muestra las relaciones entre las proyecciones gnomónic y esférica, empleando las mismas formas de cristales isométricos que se emplearán para ustrar los principios de la Proyección Estereográfica. La Figura 5.4 muestra la proyección gnomónica de la misma serie de formas. Figura Relación entre la proyección esférica y la gnomónica Los siguientes rasgos de la proyección gnomónica son i antes. Todos los círculos máximos en la proyección esférica se convierten en líneas rectas cuando se pasan a la gnomónica. Los polos de una serie de caras del cristal que p enecen a la misma zona estarán, por lo tanto, colocados en una línea recta en la proyección gnomónica. El polo de una cara horizontal del cristal, tal como la cara superior del cubo, caerá en el centro de la proyección. Los polos de las caras verticales del cristal estarán situados en el plano de proyección sólo a distancias infinitas del centro. Esto se ve haciendo un examen de la Figura 5.4. Esas caras generalmente se indican en la proyección por el uso de líneas radiales o flechas que indican las direcciones en las que están situados sus polos. Esto se ilustra en el caso de las caras verticales del cubo y del dodecaedro en la Figura 5.4. Las caras del cristal que tienen una inclinación pronunciada con el plano horizontal, deben frecuentemente indicarse de la misma manera. Figura Proyección gnomónica del cubo Generalmente, también la proyección gnomónica está rodeada por un límite cuadrado de dos líneas paralelas, en las que están indicadas las direc iones en que están ubicados los polos que no pueden aparecer en la proyección, por la posición vertical o muy inclinada de sus caras. Estas características se ven en la Figura

3 5.3 PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA Como plano de proyección se toma un plano diametral de la esfera, es decir, un plano que la corte por el centro y forme en ella un círculo máximo denominado círculo fundamental de proyección, como se muestra en la Figura 5.5. El punto de vista se ubica en uno de los polos de este círculo. Las rectas que unen el punto de vista O con los polos de las caras proyectados en la esfera, cortan el plano de proyección y estos puntos de intersección forman la proyección estereográfica del cristal. Los polos de las caras que se hallan en el círculo fundamental, son al mismo tiempo sus propias proyecciones. Respecto a las ventajas e inconvenientes de los tipos de proyección descritos, se puede decir lo siguiente. Figura Relación entre la proyección esférica y la estereográfica. Tanto la proyección estereográfica como la gnomónica, on muy cómodas para apreciar los resultados de medición de los cristales. En la proyección gnomónica los ángulos son centrales, mientras que en la proyección estereográfica los ángulos son inscritos, según se observa en la Figura 5.6. Si ambos ángulos comprenden un mismo arco de circunferencia, el ángulo inscrito será dos veces menor que el central. Por eso; si cerca del punto superior, polo N de la esfera, es d cir, en la cumbre del cristal, se concentra una gran cantidad e caras, la proyección estereográfica ofrece un cuadro m claro que la gnomónica, la cual representa el cristal como si distanciase los polos de estas caras. Por otro lado, las caras cuyos polos están a 90º del punto N, no caen en la proyección gnomónica, puesto que las rectas Figura Relación entre los ángulos en la proyección estereográfica y la proyección gnomónica. que las unen con el centro de la esfera, son paralelas al plano de proyección. Sin embargo, esto no causa dificultades en la proyección, ya que la dirección de las normales a estas caras puede representarse en el dibujo mediante rectas y flechas, mo se indicó en las Figuras 5.3 y 5.4. El análisis de los resultados de medir los cristales que se ha tratado, se reduce a hallar las constantes y el valor de los símbolos que caracterizan la posición de sus caras. Aquí nos detendremos brevemente en el método de hallar estos valores. Partiendo del valor obtenido al medir los ángulos, podemos calcular trigonométrica o gráficamente las constantes del cristal y los símbolos de sus caras. El primer método da unos resultados más exactos, pero exige mucho trabajo. El s gundo da unos resultados de menor precisión, pero en general bastante exactos. El método del cálculo gráfico fue elaborado por G. Wulff, quien inventó y usó la red estereográfica. Con a ayuda de esta red se realizan de manera fácil y sencilla los cálculos gráficos. 67

4 Para entender qué es una red estereográfica, imaginemo una esfera en la que, como en el globo geográfico, se han trazado círculos meridianos y paralelos. Está claro que la proyección estereográfica de esta esfera se puede hacer de la mis a manera como se proyectan los cristales. Si el centro de proyección se coloca en el ecuador, obtendremos la red de tipo ecuatorial que se muestra en la Figura 5.7. La red ecuatorial permite medir los ángulos entre puntos arbitrariamente elegidos en el interior de un círculo, el cual es un importantísimo problema en la cristalografía práctica. Por eso, en la actualidad, para todas las operaciones de cálculos gráficos se utiliza la red de proyección estereográfica de forma igual a la propuesta por G. Wulff, la cual tiene un diámetro de 20 cm. Las divisiones se hacen de dos en dos grados. Para comodidad de la lectura, los paralelos y meridianos que marcan las decenas de grados, son de trazo grueso. Figura Red de Wulff 5.4 PROPIEDADES DE LA PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA La proyección estereográfica posee dos propiedades que tienen gran importancia en la representación gráfica de los cristales: 1. Un círculo trazado en la esfera se representa en la pr cción estereográfica también por un círculo. 2. El ángulo entre dos arcos de círculos máximos de la esfera es igual al ángulo entre las proyecciones estereográficas de los mismos arcos. 5.5 CONSTRUCCIÓN DE PROYECCIONES ESTÁNDAR DE UN CRISTAL Para tratar con problemas de orientación del cristal una proyección estándar es de sumo valor, ya que muestra a simple vista la orientación relativa de todos los planos importantes en el cristal. Tal proyección se hace seleccionando algún plano importante del cristal de índices bajos como plano de proyección [por decir, (100), (110), (111), o (0001)] y proyectando los polos de varios planos del cristal sobre el plano seleccionado. La construcción de una proyección estándar de un cristal requiere del conocimiento de los ángulos interplanares para todos los planos principales del cristal. Un conjunto de valores aplicables a todos los cristales en el sist ma cúbico es dado en la Tabla N 3 del Anexo, pero aquéllos para los cristales de otros sistemas dependen de los cocientes axiales particulares implicados y deben Figura Proyección estándar (001) 68

5 calcularse para cada caso mediante las ecuaciones dada en la Tabla N 3 del Apéndice. Mucho tiempo puede ahorrarse al hacer proyecciones estándar haciendo uso de la relación zonal: las normales a todos los planos que pertenecen a una zona son coplanares y en ángulo recto a los ejes de zona. Consecuentemente, los polos de los planos de una zona se ubicarán sobre el mismo gran círculo en la proyección, y el eje de zona quedará a 90 de este gran círculo. Además, los planos importantes usualmente pertenecen a más de una zona y sus polos están por consiguiente ubicados en la intersección de los círculos de la zona. Es también útil recordar qué direcciones importantes, las cuales en el sistema cúbico son normales a los planos de los mismos índices, son usualmente los ejes de zonas importantes. La Figura 5.8 muestra los polos principales de un cristal cúbico pr yectado sobre el plano (001) del cristal o, en otras palabras, una proyección estándar (001). La ubicación de los polos {100} del cubo sigue inmediatamente de la Figura 5.9. Para ubicar los polos {110} primero notamos de la Tabla N 3 del Anexo, ángulos interplanares en cristales cúbicos, que ellos deben ubicarse a 45 de los polos {100}, los cuales están 90 aparte. De este modo localizamos (011), por ejemplo, sobre el gran círculo juntando (001) y (010) y a 45 de cada uno. Después que todos los polos { 110} son representados gráficamente, podemos encontrar los polos {111} en la intersección de los círculos de zona. La inspección de un modelo del cristal o el dibujo o el uso de la relación de la zona dada por la Ecuación 4.3 mostrará que (111), por ejemplo, pertenece a ambas zonas [ 101] y [ 011]. El polo de (111) es así localizado en la intersección del círculo de zona a Figura Polos {100} de un cristal cúbico través de ( 010), (101), y (010) y el círculo de zona a través ( 100), (011) y (100). Esta localización puede ser comprobada midiendo su distancia angular desde (010) o (100), la cual debería ser

6 LABORATORIO 11 CÁLCULOS CRISTALOGRÁFICOS Y PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA Usar el programa aplicativo CaRIne Crystallography 3.1 en la simulación de un cristal cúbico, para: Calcular determinadas dimensiones lineales, angulares y volumétricas. Determinar listas de distancias interplanares. Obtener proyecciones estereográficas estándar específicas. OBJETIVOS.- TEORÍA.- Las redes son conjuntos de puntos imaginarios que tienen una relación fija en el espacio constituyendo un armaz n sobre el cual se construye el cristal. En la Figura 1 res conjuntos de planos - cada uno de ellos paralelos e igualmente espaciados - dividen el espacio en un conjunto de celdas idénticas en tamaño, forma y orientación: celda unitaria. Cada celda es un paralelepípedo. Los planos que dividen el espacio se interceptarán unos con otros en n conjunto de líneas y éstas a su vez se interceptarán e un conjunto de puntos: puntos de la red. Figura 1.- Red puntual El tamaño y forma de una celda unitaria es descrito por tres r r r vectores a, b y c dibujados desde una esquina de la celda tomada como origen, como se muestra en la Figura 2. Los tres vectores definen los ejes cristalográficos de la celda y pueden ser descritos en términos de sus longitudes a, b y c y los ángulos α, β y γ entre ellos. El volumen V de la celda unitaria queda definido por el triple producto escalar de la forma: r r r V = a.b c (1) Figura 2.- Celda unitaria N 4π 3 La densidad ρ de la celda unitaria se determina según: ρ = r 3V i (2) i= 1 Según Bravais existen catorce redes puntuales posibles en las que cada punto tiene alrededores idénticos, las cuales pueden ser celdas simples o primitivas y celdas no primitivas. Las celdas primitivas tienen sólo un punto de red por celda mient as que las celdas no primitivas tienen más de uno. N N El número de puntos de red por celda es dado por: N = N f c i + + (3) 2 8 Donde: N i = número de puntos interiores en la celda, N f = número de puntos en las caras y N c = número de puntos en las esquinas. La dirección de cualquier línea en una red puede ser descrita por las coordenadas de cualquier punto sobre una línea paralela a la línea dada y que p e por el origen del sistema de ejes cristalográficos. Así [uvw] son los índices de la dirección de la línea, donde los valores de u, v y w son el conjunto de los más pequeños números enteros en los que se pueden expresar las 70

7 coordenadas del punto sobre la línea. Índices negativo son escritos con una barra sobre el número. Los índices de Miller de un plano se representan por l enteros de la forma ( hkl), e indican que el plano hace interceptos fraccionales 1/h, 1/k y 1 / l con los ejes, y, si las longitudes axiales son a, b, y c, el plano hace interceptos a/h, b/k y c / l, como se mostró en la Figura 4.5. Los planos de un cristal están arreglados en zonas. Los planos de una zona son planos que son todos paralelos a una línea el eje de zona y la zona se especifica dando los índices del eje de la zona. Si el eje de una zona tiene índices [uvw], entonces cualquier plano de índices ( hkl) que pertenece a esa zona satisface la relación: h u + k v + lw = 0 (4) El principio fundamental de la estructura cristalina es que los átomos de un cristal son puestos en el espacio ya sea sobre los puntos de una red de Bravais o en alguna relación fija a esos p ntos. Los átomos de un cristal serán arreglados periódicamente en tres dimensiones y este arreglo de átomos exhibirá muchas de las propiedades de una red de Bravais, en particular muchos de sus elementos de simetría. Los cristales más simples son aquellos formados al ubi r átomos de la misma clase en los puntos de una red de Bravais. Las estructuras cristalinas más complejas pueden tener dos o más átomos de la misma clase asociados con cada punto de la red de Bravais. La proyección estereográfica es usada para mostrar la simetría de las caras extern s del cristal y la de la estructura interna y se determina a partir de la proyección esférica. La proyección estereográfica también se usa para orientar un cristal. Todos los planos de un cristal se pueden representar por un conjunto de normales al plano trazados desde un punto al interior del cristal. Si una esfera de referencia se dibuja alrededor de este punto, las normales a los planos interceptarán a la superficie de la esfera en un conjunto de puntos llamados polos. Esta es la proyección esférica del cristal y se muestra en la Figura 3. El lugar de los polos en la esfera se puede fijar mediante las siguientes coordenadas esféricas: la distancia polar ρ - medida según un meridiano cualquiera a partir del 0º en el polo norte hasta 180º en el polo sur - y la longitud ϕ, que se mide según el ecuador a partir del meridiano que se toma como cero. Figura 3.- Proyección esférica Para pasar de la esfera al dibujo plano el procedimien o más cómodo para las diferentes representaciones y cálculos gráficos es la proyección tereográfica. Si los polos de una proyección esférica se proyectan sobre un plano paralelo a un plano tangente a la esfera de referencia se obtiene una proyección estereográfica, como se muestra en la Figura 4. Como plano de proyección se toma un plano diametral de la e fera, es decir, un plano que la corte por el centro y forme en ella un círculo máximo denominado círculo fundamental de proyección. El punto de vista se ubica en uno de los polos de este círculo. Las rectas que unen el punto de vista O con los polos de las caras proyectados en la esfera, cortan el plano de proyección y estos puntos de intersección forman la proyección estereográfica del cristal. Los polos de las caras que se hallan en el círculo fundamental, son al mo tiempo sus propias proyecciones. 71

8 La proyección estereográfica posee dos propiedades que tienen gran importancia en la representación gráfica de los cristales: 1. Un círculo trazado en la esfera se representa en la proyección estereográfica también por un círculo. 2. El ángulo entre dos arcos de círculos máximos de la esfera es igual al ángulo entre las proyecciones estereográficas de los mismos arcos. Un instrumento muy útil para la solución de problemas que incluyen la proyección estereográfica es la Net de Wulff, que es la proyección de una esfera escalada con paralelos de latitud y longitudes sobre un plano paralelo al eje norte-sur de la esfera. Las líneas de latitud sobre una Net de Wulff son Figura 4.- Proyecciones esférica y estereográfica. círculos pequeños que se extienden de lado a lado y las líneas de longitud meridianos - son círculos grandes que conectan los polos norte y s r de la net. Computadora personal Programa CaRIne Crystalloghraphy 3.1 EQUIPOS Y MATERIALES.- PROCEDIMIENTO.- 1. Cargar el programa CaRIne Crystalloghraphy 3.0 y usand el comando Open cell del menú File, abrir el archivo de la celda del ClNa. Figura 5.- Comandos del menú Calcul 72

9 2. Ubicando el puntero en el menú Calcul. y haciendo click con el botón izquierdo del mouse, desplegar los comandos que ofrece el software, como se observa en la ventana de la Figura 5 y elegir la acción que desea realizar a continuación. 3. Seleccionar Distance between atoms, hacer click con el botón izquierdo del mouse en un átomo y luego repetir la acción para otro átomo. Aparecerá un cuadro de mensaje presentando las coordenadas de los átomos seleccionados y el valor de la distancia en Anstromgs. Para salir hacer click en OK. 4. Seleccionar angle between 2 directions, escribir las direcciones deseadas en el cuadro y hacer click en OK. Aparecerá un cuadro de mensaje presentando las direc s seleccionadas y el ángulo entre ellas. Si selecciona angle between 2 directions with mouse, deberá hacer click con el botón izquierdo del mouse en dos átomos cualesquiera de una irección determinada y luego repetir la acción para otros dos átomos cualesquiera de otra dirección. Aparecerá un cuadro de mensaje presentando las direcciones seleccionadas y el ángulo entre ellas. 5. Seleccionar angle between 2 planes, escribir los índices de los planos deseados en el cuadro y hacer click en OK. Aparecerá un cuadro de mensaje presentando los plano seleccionados y el ángulo entre ellos. 6. Seleccionar Unit cell volume para obtener el volumen de la celda unitaria. 7. Seleccionar Unit cell density para obtener la densidad de la celda unitaria. 8. Seleccionar Plane spacing list, elegir una radiación determinada y hacer click en Create List. Definir el rango y hacer click en OK. Creada la lista, hacer click en Compute Imprimir o anotar los valores de dhkl, (hkl), h + k + l, Teta, Fs 2, P e I%. 9. Cargar el programa CaRIne Crystallography 3.1 y usando el comando Open cell del menú File, aperturar el archivo correspondiente a la celda del ClNa. 10. Seleccionar el comando Stereo Projection del menú Specials para desplegar la ventana de funciones, como se muestra en la Figura 6. Figura 6.- Ventana de funciones del comando Stereo Projection 11. Hacer click izquierdo en la opción Parameters y el software le mostrará la ventana Stereographics Projection Prefs que se muestra en la Figura 7, donde podrá definir las direcciones, los polos y las trazas de la proyección. 73

10 12. Hacer click en el botón Directions y definir el rango de direcciones u, v, w (h, k, l) que desea considerar. Hacer click en OK. 13. Hacer click en el botón Poles y definir el rango de los polos u, v, w (h, k, l) que desea considerar. Hacer click en OK. 14. Hacer click en Traces y definir el rango de las trazas u, v, w (h, k, l) que desea considerar. Hacer click en OK. 15. Definidas las direcciones, los polos y las trazas en l ventana Stereographics Projection Prefs hacer click en OK. CUESTIONARIO.- Figura 7.- Ventana Stereographics Projection Pref 1. Para la celda del ClNa, haciendo uso del programa CaRIne 3.0, realizar y presentar los siguientes cálculos: Distancias entre átomos ángulos entre dos direcciones del cristal. volumen de la celda unitaria densidad de la celda unitaria 2. Usando fórmulas geométricas determinar la distancia entre dos átomos para la celda del ClNa y comparar con la hallada en la pregunta Usando fórmulas geométricas determinar el ángulo entre dos direcciones del cristal de ClNa y comparar su valor con el hallado en la pregunta Mediante la ecuación 1, determinar el volumen de la celda unitaria del ClNA y contrastar su valor con el hallado en la pregunta Determinar la densidad de la celda unitaria usando la ecuación 2 y contrastar su valor con el hallado en la pregunta Obtener la lista del espaciado entre planos arbitrarios de la celda del ClNa y calcular los valores correspondientes de dhkl, (hkl), h + k + l, Teta, Fs 2, P e I%, para las longitudes de onda de las radiaciones de Fe, Co, Cu y Mo. 7. Para la celda del CsCl, haciendo uso del programa CaRIne 3.0, realizar y presentar los siguientes cálculos: Distancias entre átomos ángulos entre dos direcciones del cristal. volumen de la celda unitaria densidad de la celda unitaria 74

11 8. Usando fórmulas geométricas determinar la distancia entre dos átomos del Cs Cl y comparar con la hallada en la pregunta Usando fórmulas geométricas determinar el ángulo entre dos direcciones del cristal de CsCl, y comparar su valor con el hallado en la pregunta Mediante la ecuación 1, determinar el volumen de la celda unitaria del CsCl y contrastar su valor con el hallado en la pregunta Determinar la densidad de la celda unitaria del CsCl usando la ecuación 2 y contrastar su valor con el hallado en la pregunta Obtener la lista del espaciado entre planos arbitrarios de la celda del CsCl y calcular los valores correspondientes de dhkl, (hkl), h + k + l, Teta, Fs 2, P e I%, para las longitudes de onda de las radiaciones de Fe, Co, Cu y Mo. 13. Obtener la proyección estándar (001) del cristal cúbico ClNa, mostrando todos los polos de la forma {100}, {110}, {111} y los círculos de zona entre ellos. 14. Obtener la proyección estándar (011) del cristal cúbico ClNa, mostrando todos los polos de la forma {100}, {110}, {111} y los círculos de zona entre ellos. 15. Obtener la proyección estándar (010) del cristal cúbic CsCl, mostrando todos los polos de la forma {100}, {110}, {111} y los círculos de zona entre ellos. 16. Obtener la proyección estándar (111) del cristal cúbico CsCl, mostrando todos los polos de la forma {100}, {110}, {111} y los círculos de zona entre ellos. 17. Describir la función de cada uno de los elementos de la ventana Ster. Proj. que se muestra en la Figura 8. Mostrar ejemplos ilustrados de la Figura 8.- Ventana Ster. Proj. aplicación de estas funciones. 75