Material sobre Diagramas de Fase

Transcripción

1 Maerial sobre Diagramas de Fase Ese maerial esá dedicado a los esudianes de Conrol 1, para inroducirse a los diagramas de fase uilizados para el Análisis de Esabilidad de los punos de equilibrio del sisema descrio por la ecuación homogénea:. En primer lugar, recuérdese que se razan los diagramas de fase de la ecuación homogénea a parir de la definición de disinas condiciones iniciales, de forma de obener rayecorias de fase ales que permian esudiar la esabilidad del sisema respeco de las condiciones iniciales. Trayecorias de fase: represenación gráfica que relaciona el comporamieno del (de los) esado(s) en el iempo, sobre la reca (1er orden: x()), el plano (2do orden: x 2 () vs x 1 ()) o, el espacio en forma general (sisemas de n esados: espacio n (que no abordaremos)) En el caso de un sisema lineal, para el razado del diagrama de fase y el análisis de esabilidad basa con enconrar rayecorias de fase pariendo de pocas condiciones iniciales alrededor del único puno de equilibrio (de(a) 0) (las rayecorias de fase son similares en forma); si de(a)=0 mariz singular, odos los esados son punos de equilibrio, por lo que el sisema nunca saldrá del esado inicial. Para un sisema no lineal, por el conrario, la canidad de punos de equilibrio la define la forma de la función no lineal de la ecuación de esado y, las rayecorias de fase podrán cambiar su forma de acuerdo a las condiciones iniciales, con lo cual, la esabilidad de los punos de equilibrio no es la misma para odas las condiciones iniciales. El razado del diagrama de fase se fundamena en el significado de las ecuaciones de esado: ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, que modelan la velocidad de cada esado. Así, por ejemplo, la ecuación homogénea de primer orden:, describe el cambio en el iempo del esado x() en, cuyo único esado de equilibrio es el cero ( ). Enonces, puede obenerse el vecor velocidad que sale de y enconrar vecores angenes a lo que sería luego, la rayecoria de fase del sisema. Asignándoles coordenadas sobre la reca x(), cada uno de esos vecores se originan en y erminan en el puno, siendo x un puno del espacio de esado. Se puede obener así, la dirección y el senido del vecor velocidad.

2 x() ( ) x() ( x () + ) ( ) ( x () + ) Trazado de un vecor velocidad que inicia en el esado inicial, sobre la respuesa de un esado esable ( x + < ) Trazado de un vecor velocidad que inicia en el esado inicial, sobre la respuesa de un esado inesable. ( x + > ) Véase para el ejemplo, si: se obiene el par de punos de inicio y fin del vecor, respecivamene: y. Si probamos con un valor de x=1 ( qué dirección endrá el vecor, si probamos con x=3?, por ejemplo, se obendría el vecor definido enre los punos: y. Si lo observamos en la reca, que es donde razaríamos un diagrama de fase de primer orden: Espacio de soluciones x() Que no es más que converir la represenación geomérica siguiene:

3 x() x () + Vecor con pendiene x () en una represenación sobre la reca x(), que es el espacio de esado del sisema de primer orden propueso en el ejemplo. En forma equivalene, si la condición inicial fuese ahora: Los punos que definen el vecor en la reca serían: y, para x=-2, por ejemplo. Si lo razamos sobre el diagrama obenido aneriormene, en conjuno con el mismo procedimieno, ahora para =0: =-5 =0 = Nóese que un sisema lineal de primer orden nunca sobrepasará su valor final, con lo cual, si la dinámica que revelará será solo la dinámica libre, nunca sobrepasará el esado de equilibrio, y así, como el valor x es un valor solución de la ecuación homogénea, deberá saberse seleccionar. Para ese ejemplo, si >0, enonces x>0; si <0, enonces x<0. Puede generarse por generalización para ese sisema lineal de primer orden, un diagrama de fase, como lo muesra la figura:

4 Que se corresponde con un sisema de primer orden asinóicamene Esable, como lo muesra la respuesa emporal obenida para el esado x(), ane disinas condiciones iniciales: Todos los esados finales de las dinámicas que se originan en un esado cualquiera, apunan al esado de equilibrio. En el caso de un sisema inesable, donde para x () = ax(), diagrama de fase: x( 0 ) =, a>0, se iene un Y, si ahora la ecuación homogénea es al que a=0, enonces odos los esados iniciales serán esados de equilibrio la velocidad siempre es cero (la solución para x () = ax() = 0, son odos los esados x(), dado que a=0).

5 Sisemas de Segundo Orden: Si, en forma equivalene, se preende realizar el bosquejo de las rayecorias de fase de un sisema de segundo orden, se obendrá un campo vecorial, que no es más que un conjuno de vecores razados en el plano X-Y que nacen en un conjuno de condiciones iniciales seleccionado esraégicamene para esudiar la esabilidad alrededor de los punos de equilibrio. Ese procedimieno de consrucción de los campos vecoriales aplica ano para los sisemas lineales, como para los no lineales, con la diferencia que en los primeros se endrá un solo puno de equilibrio si la mariz A del sisema es no singular (o infinios si es singular) y el conjuno de condiciones iniciales no es difícil de seleccionar, basará con seleccionar punos sobre el eje X, sobre el eje Y, y sobre las recas Y=X e Y=-X, para darse una idea de cómo esarán descrias las rayecorias para el diagrama de fase del sisema de segundo orden. El sisema lineal de segundo orden, escrio como: x 1 () = a 11 x 1 () + a 12 x 2 (), x 1 ( 0 ) = 1 x 2 () = a 21 x 1 () + a 22 x 2 (), x 2 ( 0 ) = 2 Puede ener por solución, por ejemplo, la que se muesra en la siguiene figura (simulado para los disinos valores de (1, 2 )), dependiendo de cómo sean los coeficienes a ij y las condiciones iniciales. En ese caso, se ha seleccionado: a 11 =a 22 =-1; a 12 =-a 21 =2, de manera que los auovecores de la mariz A que ellos definen, sean perpendiculares y definan el plano X-Y común (verifique la forma de A). Siendo A no singular, enonces ese sisema lineal iene un único puno de equilibrio: (x 1eq, x 2eq )=(0, 0).

6 x 1 () vs. x 2 () vs. Respuesas esas que evidencian la esabilidad del puno de equilibrio para las condiciones iniciales empleadas en la simulación. Esa información sobre esabilidad, como ya se dijo, en los sisemas lineales, se exiende para odas las condiciones iniciales del espacio de esado. Su diagrama de fase x 2 () vs. x 1 (), simulado para los mismos valores de (1, 2 ), es el que sigue:

7 X1() Diagrama de Fase x 2 () vs. x 1 (). Evidencia la caracerísica del puno de equilibrio como un Foco Esable (espiral esable)- Ver abla al final del documeno. En el diagrama de fase anerior, las punas de flecha azul indican la dirección de las rayecorias. Las flechas negras, angenes a una de las rayecorias, son las que se obendrían uilizando las ecuaciones de esado del sisema para definir las coordenadas de los vecores cuyo puno de inicio es la coordenada del plano X-Y (1, 2 ), y puno de fin ( x 1 () + 1, x 2 () + 2 ). Calculando las coordenadas de los vecores velocidad y razándolos en el plano para un conjuno de condiciones iniciales, se puede hacer una descripción del campo vecorial. Nóese que las punas de flecha azul pueden pensarse como los vecores velocidad apoyados en, de longiud infiniesimal. FORMA DE LA RESPUESTA TEMPORAL DE UN SISTEMA LINEAL DE PRIMER ORDEN: Ecuación de Esado: Salida: Las disinas respuesas emporales ane una enrada en escalón, que pueden obenerse cuando la condición inicial en 0 =0seg es igual a 0 ( =0, 0 =0), ienen las formas que se muesran en la siguiene figura, de acuerdo a la ubicación del polo del sisema. Recuerde lo que sucede en la salida si D es disino de cero (ransmisión direca de la señal de enrada sobre la señal de salida función de ransferencia bipropia, qué efecos produce sobre la señal de salida dicha ransmisión?)

8 y() Im Plano s x x Re y() y() Mapa de ubicación de polos de un sisema de primer orden y forma de las respuesas del sisema, ane condición inicial nula y señal de exciación en escalón (obviamene la forma del esado x() es muy similar a la forma de y()). EJERCICIOS 1. Según el mapa de la figura anerior, ubique el diagrama de fase sobre el plano s para cada caso posible de un sisema de primer orden, ane señal de enrada nula. 2. Ahora realice el mismo ejercicio para un sisema de segundo orden, apoyándose en el concepo de las rayecorias de fase y de los polos del sisema (forma de la ecuación de esado en la FCJ), así como en las simulaciones en Malab visas en clase. En el caso de segundo orden, haga uso de la siguiene noación: Clasificación de los Diagramas de Fases - Noación =================================================== Puno de Ensilladura (U, S) Nodo propio repulsor (U, U) Nodo impropio repulsor (U, U) Nodo propio esable (S, S) Nodo impropio esable (S, S)

9 Foco o Espiral inesable (@, U) Foco o Espiral esable (@, S) Cenro (@,C) Puno críico degenerado (C,.) LEYENDA: ======== U= Componene Re de auovalor(es) posiiva S = Componene Re de auovalores(es) = Presencia de complejos conjugados C = Componene Re de auovalor(es) nula