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1 Aj j... j z z zm G( j). (3.6) r ( j) j j... j p p p n G( j) 0log G( j) db 0 log A 0 log j/ z 0 log j/ z... 0 log j/ zm 0r log j 0 log j/ p... 0 log j/ p. 4. Obtener expreión del ángulo de fae : G( j) A( j/ z) ( j/ z )... ( j/ zm ) (3.8) r ( j) ( j/ p) ( j/ p )... ( j/ pn ). 5. Determinar frecuencia de corte para cada uno de lo término de G () de expreión (3.3). 6. Evaluar tendencia generale, para baja y alta frecuencia, de magnitud logarítmica y de fae, uando ecuacione (3.7) y (3.8). 7. Trazar aproximación aintótica en el diagrama de amplitud logarítmica, a travé de aíntota calcuda para cada uno de lo término de G ( ). 8. Trazar aproximación aintótica en el diagrama de fae, a travé de contribución angur calcuda para cada uno de lo término de G ( ). n (3.7) EJEMPLO : Contrucción del diagrama de Bode de un itema de tercer orden. Etabilidad retiva. Contruir el diagrama de Bode aproximado del itema decrito por función de tranferencia (3..). Calcur lo márgene de ganancia y de fae, y analizar cómo cambian lo mimo al variar ganancia k. La función de tranferencia del itema en zo abierto e: G (). (3..) ( )( ) R() + - k G () Y() Figura 3.. Diagrama de un itema realimentado unitariamente (Ejemplo ) 78

2 Capítulo 3. Contrucción del Diagrama de Bode Solución Ejemplo La función de tranferencia en cadena abierta del itema de Fig. 3.. e: G () kg(). (3..) Conidéree, en primer lugar, que k, lo que ignifica que G ( ) G( ). La contrucción del diagrama de Bode e decribe en el iguiente apartado. i. Contrucción del Diagrama de Bode Para realizar el diagrama de Bode de magnitud y fae de G ( ) e neceario comenzar por normalizar función de tranferencia en zo abierto: 0,5( ) G(). (3..3) ( )( ) ( 0,5 )( ) Ahora, en (3..3) e utituye por j : 0,5( j) G( j). j( j0,5 )( j) (3..4) La magnitud de G ( j ) etá dada por: G 0,5 0,5 ( j). 0,5 0,5 (3..5) La amplitud logarítmica e: G j G j (3..6) ( ) 0 log ( ) 0 log(0,5) 0 log( ) 0 log 0,5. db La expreión de fae e determina coniderando contribución en fae de cada término que compone función de tranferencia: El número real poitivo 0,5 aporta 0º El término aporta una fae dada por tan ( ) El polo imple en el origen aporta 90º 79

3 El término El término 0,5 aporta una fae dada por aporta una fae dada por tan ( /) tan ( ) tan ( 0,5 /) tan (0,5 ). Por coniguiente, fae e: 0º tan 90º tan ( ) tan (0,5 ) 90º tan tan (0,5 ). (3..7) La frecuencia de corte para cada uno de lo término de G ( ) on: - Para un cero imple en -: corte rad. ; - Para un polo imple en : corte rad. ; - corte Para un polo imple en : rad.. La tendencia de magnitud y de fae para baja y alta frecuencia on: En baja frecuencia, 0, 0log G ( j), 90º. En alta frecuencia,, 0log G ( j), 80º. Trazado de aíntota del diagrama de magnitud Para hacer el trazado de aíntota del diagrama de magnitud, el procedimiento e lleva a cabo haciendo una tab reumen donde e repreenta contribución en pendiente de cada uno de lo término de G (), dependiendo de lo intervalo de frecuencia evaluado, delimitado por frecuencia de corte, para finalmente obtener contribución total de todo lo término de función de tranferencia para (0, ) (véae Tab 3..). La contribución total e dibujada en una gráfica emilogarítmica, dando como reultado el diagrama de magnitud de Fig Dado que no e parte de una aíntota horizontal (con pendiente 0 db/década) e neceario calcur, para algún valor de frecuencia, el correpondiente valor de magnitud logarítmica que irva de referencia en el eje de ordenada. Por ejemplo, para e tiene: 0 log G( j ) 0 log(0,5) 0 log() 0 log( 0,5 ) 6,99 db. Ete reultado e indicado en el diagrama de magnitud de Fig Obérvee que aproximación aintótica, en línea continua, e batante cercana a curva real, obtenida por imución en Matb, trazada en línea dicontinua, por lo que primera puede er coniderada una repreentación apropiada de eta última. 80

4 Capítulo 3. Contrucción del Diagrama de Bode Tab 3.. Contribución en pendiente de lo término de G () para contrucción del Diagrama de Magnitud de Bode (Ejemplo ) Intervalo de frecuencia (en rad. - ) Término de G () ,5 Pendiente total por década: ,99 db -0 db/década Aproximación aintótica Magnitude (db) -50 Curva real -40 db/década Frequency (rad/ec) Frecuencia (rad. - ) Figura 3.. Diagrama de magnitud del Ejemplo El comando para obtener el diagrama de Bode en Matb e: bode(0.5*[ ],conv([-0.5 0],[- ])); grid y, obre figura obtenida, e puede eleccionar inditintamente i e deea olo el diagrama de magnitud, el de fae o ambo. Para obtener omente el diagrama de magnitud e puede ejecutar: y=tf(0.5*[ ],conv([-0.5 0],[- ])); bodemag(y) y e grafica automáticamente curva de amplitud logarítmica. 8

5 Trazado de aíntota del diagrama de fae (primer método) Para hacer el trazado de aíntota del diagrama de fae, un primer procedimiento conite en hacer una tab donde e calcu contribución en pendiente de cada uno de lo término de G (), para un conjunto de intervalo de frecuencia, y finalmente obtener contribución total de todo lo término de función de tranferencia para (0, ). Para calcur el aporte en pendiente de fae para lo término de primer orden, e conideran cambio de +45º ó -45º por década. El igno dependerá de ubicación del cero o polo imple etudiado en el pno (i e un cero en el emipno izquierdo, el aporte e de +45º/década; i e un cero en el emipno derecho, el aporte e de -45º/década; i e un polo en el emipno izquierdo, el aporte e de -45º/década; i e un polo en el emipno derecho, el aporte e de +45º/década). Para lo término de egundo orden (cero o polo complejo conjugado) el cambio e de +90º ó -90º por década, dado que e trata de un par de raíce; el igno de eta contribución angur dependerá nuevamente de ubicación de lo cero o polo complejo conjugado en el pno, de manera análoga a explicada para lo término de primer orden. Lo intervalo de frecuencia para evaluación de lo aporte de fae on obtenido al coniderar un valor de frecuencia a una década por debajo y a una década por arriba de cada frecuencia de corte del itema. Eto e: - - Para corte rad. : lo valore de frecuencia on 0, y 0 rad. ; - - Para rad. : lo valore de frecuencia on 0, y 0 rad.. corte En tab 3.. e ordenan lo intervalo de frecuencia en forma acendente y e hace el aporte en fae de cada término, pero omente para el intervalo comprendido entre una década ante hata una década depué de u repectiva frecuencia de corte. Fuera de ete intervalo, el aporte de un término e conidera nulo. La contribución total e dibuja en una gráfica emilogarítmica, dando como reultado el diagrama de fae de Fig La curva comienza con pendiente nu en -90º (que equivale a 450º, al tradar en 360º ) y termina con pendiente nu en 80º (equivalente a 80º, al tradar en 360º ). La Fig muetra lo diagrama de fae real, en trazo dicontinuo, y aproximado, en trazo continuo; aunque preentan entre í mayore diferencia en comparación con lo reultado del diagrama de magnitud, eta aproximación uele coniderare muy atifactoria. NOTA: En general, ete primer método propueto para obtención de un Diagrama de Bode genera aproximacione uficientemente buena. Cramente, a medida que función de tranferencia 8

6 Capítulo 3. Contrucción del Diagrama de Bode etudiada ea má complicada, el cálculo de aíntota en particur para el diagrama de fae erá má tedioo y podrá preentar alguna diferencia notoria. Tab 3.. Contribución en pendiente de lo término de G () para contrucción Término de G () del Diagrama de Fae de Bode del Ejemplo (primer método) Intervalo de frecuencia (en rad. - ) (0;0,] 0,;0, 0,;0 (0;0] (0; ) ,5 Pendiente total por década: Curva real +45º/década Phae (deg) º/década Aproximación aintótica º/década Frequency (rad/ec) Frecuencia (rad. - ) Figura 3..3 Diagrama de fae del Ejemplo (primer método) Trazado de aíntota del diagrama de fae (egundo método) El egundo procedimiento que e propone para trazar rápidamente aíntota de un diagrama de fae e diferente al anterior y muy imple de aplicar. En primer lugar, e calcu 83

7 contribución en fae de cada término de función de tranferencia a partir de frecuencia de corte. Para cada término, contribución angur del mimo ante del corte e nu y depué del corte aporta el máximo valor que le correponde: ya ea +90º ó -90º, para término de primer orden, ya ea +80º ó -80º para término de egundo orden. La aíntota iempre on recta horizontale que forman ecalone, a diferencia del método anterior en el que aíntota on recta con pendiente unida entre í. Eta aíntota recogen curva aproximada del itema, pue repreentan el mínimo o máximo valor de fae poible. Jutamente, el hecho de trazar aíntota ecalonada y contante, por intervalo de frecuencia, le confiere al método una implicidad in igual, aunque podría preentar diferencia notoria con curva real. El egundo pao e el trazado de una curva aproximada de fae; para ello uele tomare como reg hacer paar dicha curva por ditancia media entre cada par de aíntota conecutiva y, luego, trazar curva haciéndo partir de aíntota para baja frecuencia hata hacer llegar a aíntota de alta frecuencia, amba calcuda previamente. Otro dato para mejorar el dibujo de curva aproximada e que mima debe empalmare con aíntota horizontal de baja frecuencia durante década ante de frecuencia de corte má baja, y no fuera de ete intervalo; también debe empalmare con aíntota horizontal de alta frecuencia durante década poterior a frecuencia de corte má alta, y no fuera de ete intervalo; de eta manera curva reultante repreentará una aproximación uficientemente buena de curva real de fae. En tab 3..3 e muetra el cálculo de lo aporte en fae para cada término del Ejemplo, aí como contribución total en fae cual indica el valor de aíntota para cada intervalo analizado de frecuencia. Lo valore correpondiente a ditancia media entre cada par de aíntota horizontale (juto en frecuencia de corte) on: : ( 90º 90º ) / 0º; : (90º 80º ) / 35º. En Fig e obervan aíntota horizontale en trazo continuo, curva real en trazo dicontinuo, y curva aproximada en línea punteada. Obérvee que curva aproximada paa por lo valore medio de fae calcudo en el párrafo anterior, para frecuencia y rad. -. Aunque hay diferencia entre curva aproximada y curva real, tendencia generale e reflejan en el diagrama obtenido. 84

8 Capítulo 3. Contrucción del Diagrama de Bode Tab 3..3 Contribución angur de lo término de G () para contrucción del Diagrama de Fae de Bode del Ejemplo (egundo método) Intervalo de frecuencia (en rad. - ) Término de G () , Fae total: Phae (deg) -35 Aíntota horizontale Curva real Aproximación aintótica Frequency (rad/ec) Frecuencia (rad. - ) Figura 3..4 Diagrama de fae del Ejemplo (egundo método) ii. Márgene de ganancia y de fae Para calcur el margen de ganancia e procede a bucar el valor de frecuencia para cual 80º. Según lo obervado en Fig. 3..4, curva de fae alcanzan lo 80 olo cuando. (Recuérdee que Matb ha trazado el diagrama de fae de Fig defaado en 360, por lo que el valor de ordenada -80 correponde realmente a 80 y el valor de ordenada -450 correponde a -90.) Lo anterior ignifica que en expreión (3..7) e hace: 85

9 80º 90º tan tan (0,5 ) 70º tan tan (0,5 ) olo i! El margen de ganancia e obtiene haciendo el iguiente cálculo: MG 0log G ( ). j Para calcur el margen de fae e buca el valor de frecuencia para el cual curva de amplitud logarítmica interecta el eje de 0 db. En Fig. 3.. e oberva que eta frecuencia etá comprendida entre 0,4 y 0,5 rad. -. Analíticamente, e buca frecuencia en que G ( ) j, eto e: 0,5-0,486 rad.. 0,5 Al utituir en expreión del ángulo de fae ete valor de frecuencia e tiene: 90º tan 0,486 tan (0,5 0,486) 4,50º. Finalmente, el margen de fae e: MF 80º 80º 4,50º 55,5º. En Fig e indican márgene de ganancia y de fae calcudo. El diagrama motrado e obtiene ejecutando en Matb el comando: margin(0.5*[ ],conv([-0.5 0],[- ])) el cual dibuja a vez lo diagrama de magnitud y fae y eña en el diagrama lo márgene de ganancia y de fae. Dado que eto valore e pueden calcur analíticamente, e puede ejecutar iguiente ecuencia de comando en Matb in neceidad de apoyare en ningún diagrama frecuencial: y=tf(0.5*[ ],conv([-0.5 0],[- ])) allmargin(y) obteniéndoe información olicitada: GMFrequency: Inf GainMargin: Inf PMFrequency: PhaeMargin: DMFrequency:

10 Capítulo 3. Contrucción del Diagrama de Bode DeyMargin: Stable: 0 donde GainMargin y PhaeMargin on lo márgene de ganancia y fae calcudo, repectivamente, GMFrequency e frecuencia para cual e calculó el margen de ganancia (o frecuencia de cruce de fae), PMFrequency e frecuencia para cual e calculó el margen de fae (o frecuencia de cruce de ganancia), y condición Stable:0 indica que el itema no e etable en zo cerrado. Cuando e obtiene Stable: el itema e etable en zo cerrado. La Fig ha ido obtenida con un valor de ganancia k. Para cualquier valor poitivo de ganancia k, expreión de amplitud logarítmica e: G ( j) 0 log G ( j) 0 log( k) 0 log(0,5) 0 log( ) 0 log 0,5 db (3..8) mientra que fae igue expreándoe por (.7). Un valor de k agrega a amplitud una cantidad poitiva, en decibele, tradando toda curva de amplitud hacia arriba. Un valor de ganancia 0k agrega a amplitud una cantidad negativa, en decibele, haciendo depzar toda curva de amplitud hacia abajo. 50 Bode Diagram Gm = Inf db (at Inf rad/ec), Pm = 55 deg (at rad/ec) Magnitude (db) Phae (deg) Frequency (rad/ec) Figura 3..5 Márgene de ganancia y de fae del Ejemplo (k=) 87

11 Ahora bien, el margen de ganancia erá iempre infinito, dado que no hay frecuencia finita para cual curva de fae cruce el eje de 80º (indicado en Fig en el valor de 80º ). El margen de fae aumenta a medida que k aumenta, k, pueto que curva de magnitud e depza hacia arriba y frecuencia de ganancia unitaria e depza a derecha. Si k diminuye, 0k, el margen de fae diminuye hata tender a 90º, ya que curva de amplitud e depza hacia abajo y frecuencia de ganancia unitaria e depza hacia izquierda. Si ganancia e negativa, el diagrama de Bode no cambia u forma. E má, curva de magnitud no cambia en aboluto; para ello, compare expreione (3..8), cuando k 0, y (3..9), cuando k 0. La curva de fae no cambia u forma pero etá tradada en 80º debido al aporte adicional del número real negativo, como e oberva en ecuacione (3..0) ó (3..). La expreión de magnitud, para cualquier valor de k negativo, e: G ( j) 0 log G ( j) 0 log k 0 log(0,5) 0 log( ) 0 log 0,5 db (3..9) y expreión de fae e: 80º tan 90º tan ( ) tan (0,5 ) 70º tan tan (0,5 ) (3..0) i e mide contribución angur del número real negativo en entido horario, o e exprea por: 80º tan 90º tan ( ) tan (0,5 ) 90º tan tan (0,5 ) (3..) i dicha contribución e medida en entido antihorario. La tendencia de nueva curva de fae para baja y alta frecuencia, empleando expreión (3..0), on: En baja frecuencia, 0, 70º. En alta frecuencia,, 0º. Para k e calcun lo márgene de ganancia y de fae. Para calcur el margen de ganancia e procede a bucar el valor de frecuencia para cual 80º (medido en entido antihorario). Lo anterior ignifica que en expreión (3..) e hace: 80º 90º tan tan (0,5 ) - 90º tan tan (0,5 ) cuando 0, 707 rad.. También e puede bucar el valor de frecuencia para el margen de ganancia haciendo 80º (medido en entido horario). Lo anterior ignifica que en expreión (3..0) e hace: 88

12 Capítulo 3. Contrucción del Diagrama de Bode 80º 70º tan tan (0,5 ) - 90º tan tan (0,5 ) cuando 0, 707 rad., reultado idéntico al calcudo en el párrafo previo. El margen de ganancia e obtiene ahora haciendo el iguiente cálculo: MG 0 log G ( j 0,707) 0log(0,666) 3,5 db. Para halr el margen de fae e buca el valor de frecuencia para el cual G( j), eto e: 0,5-0,486 rad.. 0,5 Al utituir en expreión del ángulo de fae (3..0) ete valor de frecuencia e tiene: 70º tan 0,486 tan (0,5 0,486) 04,5º. Si e utiliza expreión del ángulo de fae (3..), midiendo lo ángulo en entido antihorario, el valor de frecuencia que e obtiene e: 90º tan 0,486 tan (0,5 0,486) 55,50º que equivale a 04,5º medido en entido horario. Finalmente, el margen de fae e: MF 80º 80º 04,5º 4,5º. En Fig e muetra el diagrama de Bode y lo márgene de ganancia y de fae para k. Lo reultado arrojado por Matb con ecuencia de comando: y=tf(-*0.5*[ ],conv([-0.5 0],[- ])) allmargin(y) on: GMFrequency: GainMargin:.5000 PMFrequency: PhaeMargin: DMFrequency: DeyMargin:.059 Stable: 0 89

13 lo cuale coinciden con lo motrado en el diagrama de Fig Nótee que el valor: GainMargin:.5000 e medida del margen de ganancia adimenional, margen de ganancia ya calcudo en db. Eto e: G ( 0,707) j MG 0 log 0 log 0 log,50 3,5 db. G ( j 0,707) 0,666, equivalente al valor de Si ganancia aumenta en magnitud, k, curva de amplitud e depza hacia arriba. Por coniguiente, el margen de fae mejora ignificativamente pero el margen de ganancia empeora. Si ganancia diminuye en magnitud, 0 k, el margen de ganancia mejora pero e entonce el margen de fae el que e ve demejorado. 50 Bode Diagram Gm = 3.5 db (at rad/ec), Pm = -4.5 deg (at rad/ ec) Magnitude (db) Phae (deg) Frequency (rad/ec) Figura 3..6 Márgene de ganancia y de fae del Ejemplo (k=-) 90

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