Definición 13.1 Llamamos serie trigonométrica a una serie de funciones reales, de la forma. + n +ib n

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Definición 13.1 Llamamos serie trigonométrica a una serie de funciones reales, de la forma. + n +ib n"

Transcripción

1 ema 3 Series de Fourier. Hemos visto, e el tema 8, que alguas fucioes reales puede represetarse mediate su desarrollo e serie de potecias, lo que sigifica que puede aproximarse mediate poliomios. Si embargo, cuado las fucioes preseta propiedades especiales como la periodicidad, que los poliomios o posee, o so los mejores aproximates. E este tema, cosideraremos otros desarrollos e serie más adecuados para fucioes periódicas. 3. Series trigoométricas. Defiició 3. Llamamos serie trigoométrica a ua serie de fucioes reales, de la forma f (x) = (a cos x + b se x) = a 0 + (a cos x + b se x), 3. y deotaremos por S(x) = f (x) a la fució suma de la serie e su cojuto de covergecia. Observació 3. Las fucioes f (x) = a cos x + b se x, so periódicas de periodo π, por tato, S(x) es ua fució periódica de periodo π. 3.. Las series trigoométricas e modo complejo. Usado los úmeros complejos, como e ix = cos x + i se x, se tiee que e ix + e ix e ix e ix a ib S(x) = a 0 + a + b = a 0 + e ix + a + ib e ix i [] a = a 0 + ib e ix a + +ib e ix co la covergecia de ambas y reidexado, podemos escribirlo e la forma c 0 = a 0 = c e ix dode c = a ib, si > 0 3. c = c, si < 0 []: Si las dos series siguietes coverge. Como a +ib e ix = a ib e ix ambas coverge o o simultáeamete. Proposició 3.3 Sea S(z) = c e iz, co c 0 = a 0, c = a ib, si > 0, y c = c, si < 0, siedo a, b IR. Etoces, si z = x IR se tiee que S(z) = S(x) IR. Demostració: Es claro, pues etoces S(x) puede expresarse como 3. que es ua serie real. eoría de variable compleja. 54

2 3. Series trigoométricas. Proposició 3.4 Las series uméricas sólo si, la serie Además, la serie a y c e ix coverge absolutamete e IR. c e ix coverge uiformemete e IR. b so absolutamete covergetes sí, y Demostració: } a Es imediato ya que, para cada IN, se tiee b c e ix = c a + b. Como la acotació aterior es válida para todo x IR, el criterio M de Weierstrass asegura la covergecia uiforme e IR. Proposició 3.5 La fució real S(x) = 3., es π -periódica. c e ix, co las codicioes idicadas e Demostració: E efecto, para todo x IR, S(x + π) = c e i(x+π) = c e ix e iπ = c e ix = S(x). 3.. Itegració de ua serie trigoométrica. Supogamos que la serie trigoométrica S(x) = el itervalo [, π]. Etoces, c e ix es uiformemete covergete e S(x) dx = c e ix dx = c e ix dx = c e ix dx + c 0 dx + c e ix dx e ix ] π e ix ] π = c + c 0 π + c = 0 + c 0 π + 0 = πc 0. i i Por tato, si m 0, se tiee que e imx S(x) dx = = = m m c e i( m)x dx c e i( m)x dx πc m + =m+ E cosecuecia, para todo Z, se tiee que c m dx + 0 = πc m. =m+ c e i( m)x dx c = S(x)e ix dx. 3.3 π eoría de variable compleja. 55

3 3. Series de Fourier luego Desde el puto de vista real, para cada IN, se tiee que a ib = c = π a 0 = π S(x) dx a = π S(x)e ix dx = π S(x) cos x dx i π S(x) cos x dx b = π S(x) se x dx, S(x) se x dx. 3.4 De lo aterior, es claro que los coeficietes de ua serie trigoométrica está ítimamete ligados co la fució suma. Así, asociada a cada fució real periódica se puede costruir ua serie trigoométrica asociada (siempre que se pueda calcular las itegrales ateriores). 3. Series de Fourier Defiició 3.6 si f es ua fució real π -periódica, tal que existe las itegrales de 3.3 (o de 3.4 ), etoces la serie se llama serie de Fourier de f. c e ix = a 0 + (a cos x + b se x) Pero, bajo qué codicioes ua fució periódica es expresable mediate su serie de Fourier? Es decir, cuádo ua fució periódica coicide co su serie de Fourier? Defiició 3.7 Ua fució f: [a, b] IR se dice moótoa a trozos si se puede dividir el itervalo e u úmero fiito de subitervalos, de forma que sea moótoa e cada uo de ellos. eorema 3.8 Si ua fució real f π -periódica es moótoa a trozos y acotada e [, π], etoces la serie de Fourier de f coverge e todos los putos de IR. Además, si S(x) es la suma de la serie de Fourier, se tiee que S(c) = f(c) si f es cotiua e c y lim f(x) + lim f(x) x c + x c S(c) = = f(c+ ) + f(c ) si f o es cotiua e c. Nota: Es claro que si la fució es moótoa por trozos y acotada e el segmeto [a, b], etoces puede teer sólo putos de discotiuidad de primera especie, es decir de salto fiito, por lo que tiee setido el valor que toma la serie e los putos de discotiuidad. Ejemplo 3.9 Sea f: IR IR co f(x + π) = f(x) para todo x IR y siedo f(x) = x cuado x (, π]. La represetació gráfica de f es: 5π 3π π 3π 5π eoría de variable compleja. 56

4 3. Series de Fourier La serie de Fourier de f tiee por coeficietes c 0 = π x dx = 0 y, para > 0, } u = x c = π = π = xe ix dx = dv = e ix dx ( ) πe iπ i ()e i() 0 = i i cos π = () i. : du = dx v = e ix i π πi = π ( e iπ + e iπ) = i Como a 0 = c 0 = 0, a = Re(c ) = 0 y b = Im(c ) = () moótoa creciete e (, π], por el teorema 3.8 aterior, la serie S(x) = () + se x xe ix ] π e ix i π i dx e iπ + e iπ = ()+, y f es coverge e (, π] (por la periodicidad e todo IR). Además, S(x) = x e (, π) y e π se tiee S(π) = f(π+ )+f(π ) = ()+π = 0. Fig. 3.. Aproximacioes de f(x) k= () k+ k se kx, para =,, 3, Fucioes de periodo arbitrario Si f es ua fució -periódica, > 0, tambié puede costruirse su serie de Fourier y los resultados correspodietes so aálogos a los ateriores. Para ello, basta tomar x = π y, obteiédose ( ) f(x) = f π y = g(y) 3.5 ua fució g que será π -periódica. Si f es moótoa a trozos e [, ] tambié lo será g e [, π]. Proposició 3.0 Sea f real -periódica y moótoa a trozos e [, ]. Etoces, la fució g(x) = f( π x) es: 3. periódica de periodo π, y 3. moótoa a trozos e [, π]. Demostració: eoría de variable compleja. 57

5 3. Series de Fourier 3. E efecto, ( ) g(x + π) = f π (x + π) = f []: Por ser -periódica la fució f. ( ) π x + [] ( ) = f π x = g(x) 3. Sea [, ] = [, t ] [t, t ] [t m, ] y f moótoa e cada uo de los [t k, t k ]. Etoces, tomado [, π] = [, π t ] [ π t, π t ] [ π t m, π], e cada itervalo de la forma [ π t k, π t k] la fució g tiee la misma mootoía que f e [t k, t k ]. E efecto, para cualesquiera x y x co π t k x x π t k, se verifica que g(x ) = ( ( f π ) x y g(x ) = f π ) x, pero como t k π x π x t k será g(x ) g(x ) ó g(x ) g(x ) segú que f sea moótoa creciete o decreciete e [t k, t k ]. Como cosecuecia, de los resultados ateriores, si f e -periódica, usado la fució g costruida e 3.5, se tiee f(x) = g(y) = c e iy = c e i π x dode c = π = g(y)e iy dy = π ( ) f π π y e iy π dy = y = x π i f(x)e x dx. E su versió real os queda: f(x) = a 0 + a cos( π x) + b se( π x) co π dy = dx } = π i f(x)e x π π dx a 0 = f(x) dx a = b = Ejemplo 3. Sea f ua fució -periódica, co f(x) = x e [, ]. La represetació gráfica de f es: f(x) cos( π x)dx f(x) se( π x)dx La serie de Fourier de f tiee por coeficietes c 0 = c = = iπ = x π i e x u = x dx = dv = e iπx dx (e iπ e iπ) + iπ } u = x dv = e iπx dx : du = dx v = e iπx iπ : du = xdx v = e iπx iπ 3 5 } xe iπx dx = se(π) π = 0 + iπ xe iπx iπ = π (e iπ ()e iπ ) + 0 = cos(π) π = () π. x dx = 3 = ] x e iπx iπ + iπ iπ y, para > 0, ] xe iπx dx e iπx iπ dx xe iπx iπ dx eoría de variable compleja. 58

6 3. Series de Fourier Como a 0 = c 0 = 3, a = Re(c ) = () 4 y b π = Im(c ) = 0, y f es moótoa creciete e (, ], por el teorema 3.8 aterior, la serie S(x) = 3 + coverge e [, ] y S(x) = x e [, ]. () 4 π cos(πx) Fig. 3.. Aproximacioes de f(x) 3 + k= () k 4 k π cos(kπx), para = 0,,, 3. Si ua fució es -periódica, para calcular c es obligatorio usar el itervalo [, ]? Dada la periodicidad de las fucioes parece razoable pesar que o, pues la fució toma los mismos valores e cualquier itervalo del tamaño del periodo, y el siguiete resultado os asegura que o es así. Lema 3. Sea f ua fució -periódica e itegrable, etoces f(x)dx = λ+ λ f(x) dx, para todo λ IR. Demostració: Por ser f periódica de periodo, se tiee que f(t ) = f(t), luego haciedo el cambio x = t, etoces c, d se puede escribir d c f(x)dx = d+ c+ f(t )dt = E particular, si c = y d = λ, obteemos λ f(x)dx = luego f(x)dx = para todo λ IR. λ d+ c+ λ+ f(t)dt = f(x)dx, d+ c+ f(x)dx. λ+ λ+ f(x)dx + f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx = f(x)dx, λ λ λ Ejemplo 3.3 Sea f ua fució -periódica tal que f(x) = x e (0, ]. Como = y la expresió de f e el itervalo [, x +, si x [ ] es f(x) =, 0] x, si x (0, ], si el resultado aterior, los coeficietes se obtedría calculado c = ( 0 ) (x + )e iπx dx + xe iπx dx, mietras que c = xe iπx dx 0 permite u cálculo más secillo. Comprobar la igualdad de ambas expresioes y obteer la serie de Fourier. 0 eoría de variable compleja. 59

7 3. Series de Fourier 3.. Desarrollo de ua fució o periódica e serie de Fourier. Sea f: [a, b] IR ua fució cualquiera moótoa por trozos. Podemos represetar esta fució f e los putos de su cotiuidad por ua serie de Fourier, si cosideramos ua fució f periódica de periodo b a, moótoa por trozos y que coicida co la fució f e el itervalo [a, b]. Etoces, desarrollado la fució f (x) e la serie de Fourier, la suma de esta serie e todos los putos del segmeto [a, b] (excepto e los de discotiuidad) coicide co la fució dada f, lo que sigifica que hemos desarrollado f e serie de Fourier e el itervalo [a, b]. Ejemplo 3.4 Desarrollar e serie de Fourier la fució f(x) = x e el itervalo [, ]. Podemos itetarlo de dos maeras: Cosiderar g que sea 3 -periódica co g(x) = x e (, ] Por ser g moótoa por trozos y 3 4 -periódica, coicide co su serie de Fourier S(x) = c e i 4π 3 x e (, ), pero o e los putos de discotiuidad y dode la serie vale S( ) = S() = + = 3 4. Si cosideramos h que sea -periódica co h(x) = x e [, ], se tiee que f(x) = h(x) e [, ] y, por ser h cotiua, coicide co su serie de Fourier S(x) = c e iπx e todo IR, luego h(x) = S(x) e IR y, e particular, f(x) = c e iπx e [, ] Casos particulares. Proposició 3.5 E la expresió real de la serie de Fourier ( 3. ) de ua fució par solo puede apararecer los térmios de los coseos y e la de ua fució impar solo puede aparecer los térmios de los seos. Demostració: Sea f(x) = c e i πx, co c = c, etoces: Si f es par se verifica que f( x) = f(x), es decir, f( x) = c e i π( x) = luego c = c y para, c = a c e i π( )x = c e i πx = IR. Es decir, f(x) = a 0 + c e i πx a cos( πx ). = f(x) eoría de variable compleja. 60

8 3.3 Ejercicios Si f es impar debe ser f( x) = f(x). Como e el apartado aterior, f( x) = c e i π( x) = c e i πx = f(x) = c e i πx luego c = c de dode c = i b iir. Es decir, f(x) = b se( πx ). Ejemplo 3.6 La fució usada e el ejemplo 3., f(x) = x e [, ] es par, pues f( x) = ( x) = x = f(x), y su serie de Fourier obteida S(x) = 3 + cos(πx) sólo () 4 π está formada por térmios de coseos. La fució del ejemplo 3.9, f(x) = x e [, π] es impar, pues f( x) = x = f(x), y su serie de Fourier S(x) = se(x) sólo está formada por térmios de seos. () + Sea f(x) dada e el itervalo [0, ]. Completado la defiició de esta fució de modo arbitrario e el segmeto [, 0] (coservado la mootoía por trozos), podemos desarrollar esta fució e la serie de Fourier. No obstate: Si completamos la defiició de modo que f(x) = f( x) si x < 0, obteemos ua fució par. Etoces esta fució se desarrolla e la serie de Fourier de forma que solamete cotiee coseos. De esta forma la fució f(x), dada e [0, ], la hemos desarrollado e serie de coseos. Si completamos la defiició de la forma f(x) = f( x) si x < 0, obteemos ua fució impar que se desarrolla e serie de seos. De este modo, si e el itervalo [0, ] está dada cierta fució moótoa por trozos f, podemos desarrollarla tato e la serie de Fourier de coseos, como e la serie de Fourier de seos. 3.3 Ejercicios 3. Sea f ua fució periódica de periodo π defiida de la forma siguiete f(x) =, si π < x < 0, si 0 x π. Calcular la serie de Fourier de dicha fució y utilizar dicha serie para demostrar que () + = π Sea f ua fució periódica de periodo π defiida por f(x) = 0, si π x 0 x, si 0 < x π. Hallar su serie de Fourier y demostrar que () = π 8 (dado x = 0). eoría de variable compleja. 6

9 3.3 Ejercicios 3.3 Hallar los coeficietes de Fourier para la fució f defiida por 0, si 5 < x < 0 f(x) = 3, si 0 < x < 5 sabiedo que es periódica de periodo 0. Escribir la serie de Fourier correspodiete. Cómo habría que defiir f e x = 5, x = 0 y x = 5 para que la serie de Fourier coverja hacia f(x), para todo x [ 5, 5]? 3.4 Desarrollar la fució y = e x e el itervalo (, ) e ua serie de Fourier. 3.5 Desarrollar la fució y = se x e el itervalo (0, π) e ua serie de coseos. 3.6 Desarrollar la fució y = cos x e el itervalo (0, π) e ua serie de seos. 3.7 Dada la fució f(x) = x, si 0 x π, prologarla de maera que sea par y de periodo π. Desarrollarla e serie de Fourier y aprovechar este desarrollo para demostrar que π 8 = Dada la fució: f(x) = x(π x), si 0 x π, prologarla de maera que sea par y de periodo π. Desarrollarla e serie de Fourier y aprovechar este desarrollo para demostrar que = π 6 y () + = π. eoría de variable compleja. 6

una sucesión de funciones de A. Formemos una nueva sucesión de funciones {S n } n=1 de A de la forma siguiente:

una sucesión de funciones de A. Formemos una nueva sucesión de funciones {S n } n=1 de A de la forma siguiente: Tema 8 Series de fucioes Defiició 81 Sea {f } ua sucesió de fucioes de A Formemos ua ueva sucesió de fucioes {S } de A de la forma siguiete: S (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + + f (x) = f k (x) Al par de sucesioes

Más detalles

Series de números reales

Series de números reales Tema 6 Series de úmeros reales 6. Series de úmeros reales. Defiició 6. Sea {a } ua sucesió de úmeros reales y cosideremos la sucesió {S }, defiida por S = a + a + + a, para cada IN, que llamaremos sucesió

Más detalles

EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES

EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. Determiar el campo de covergecia de la serie 2 se x. Aplicado el criterio de la raíz, la serie es absolutamete covergete cuado:

Más detalles

Sucesiones y series de números reales

Sucesiones y series de números reales 38 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR Capítulo Sucesioes y series de úmeros reales Sucesioes Defiició 37- Llamaremos sucesió de úmeros reales a cualquier aplicació f: N R y la represetaremos por { a,

Más detalles

α β la cual puede presentar

α β la cual puede presentar 5.4 Covergecia de ua serie de Fourier 8 5.4 Covergecia de ua serie de Fourier Teorema de covergecia de las series de fourier Ua serie de Fourier es ua fució ( ) f x cotiua e [, ] α β la cual puede presetar

Más detalles

Este documento es de distribución gratuita y llega gracias a El mayor portal de recursos educativos a tu servicio!

Este documento es de distribución gratuita y llega gracias a  El mayor portal de recursos educativos a tu servicio! Este documeto es de distribució gratuita y llega gracias a Ciecia Matemática www.cieciamatematica.com El mayor portal de recursos educativos a tu servicio! Cálculo: Series Fucioales. Taylor y Fourier Atoio

Más detalles

Trabajo Práctico Nro. 9 ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y SERIES DE FOURIER

Trabajo Práctico Nro. 9 ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y SERIES DE FOURIER F.I.U.B.A AÁLISIS AEÁICO III rabajo Práctico ro. 9 rabajo Práctico ro. 9 ECUACIOES DIFERECIALES E DERIVADAS PARCIALES Y SERIES DE FOURIER I.- Itroducció a las Ecuacioes Difereciales e Derivadas Parciales

Más detalles

Hoja de Problemas Tema 3. (Sucesiones y series)

Hoja de Problemas Tema 3. (Sucesiones y series) Depto. de Matemáticas Cálculo (Ig. de Telecom.) Curso 23-24 Hoja de Problemas Tema 3 (Sucesioes y series) Sucesioes de úmeros reales. Sea {a } N, {b } N sucesioes de úmeros reales. Demostrar o refutar

Más detalles

SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES

SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES CAPÍTULO XV. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES SECCIONES A. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. B. Series de potecias. Itervalos de covergecia. C. Desarrollo de fucioes e series de potecias. D. Aplicacioes

Más detalles

RESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES

RESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES RESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES MATE 3032 - DR. UROYOÁN R. WALKER. Sucesioes Teorema.. Sucesioes mootóicas acotadas coverge. Ejemplo.2. Sea {a } la sucesió deida recursivamete

Más detalles

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de

Más detalles

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de

Más detalles

Series alternadas Introducción

Series alternadas Introducción Sesió 26 Series alteradas Temas Series alteradas. Covergecia absoluta y codicioal. Capacidades Coocer y aplicar el criterio para estudiar series alteradas. Coocer y aplicar el teorema de la covergecia

Más detalles

SERIES E INTEGRALES DE FOURIER

SERIES E INTEGRALES DE FOURIER Uiversidad de Satiago de Chile Autores: Miguel Martíez Cocha Facultad de Ciecia Carlos Silva Corejo Departameto de Matemática y CC Emilio Villalobos Marí Part I SERIES E INTEGRAES DE FOURIER (Ejemplar

Más detalles

Funciones de variable compleja

Funciones de variable compleja Tema 10 Fucioes de variable compleja 10.1 Fucioes complejas de variable compleja Defiició 10.1 Ua fució compleja de variable compleja es ua aplicació f: A C dode A C. Para cada z A, fz) C, luego fz) =

Más detalles

5.6 Serie de Fourier de funciones pares e impares (desarrollo cosenoidal o senoidal)

5.6 Serie de Fourier de funciones pares e impares (desarrollo cosenoidal o senoidal) 5.6 Serie de Fourier de fucioes pares e impares (desarrollo coseoidal o seoidal) 46 5.6 Serie de Fourier de fucioes pares e impares (desarrollo coseoidal o seoidal) Fucioes Pares e Impares E el maejo de

Más detalles

4.- Series. Criterios de convergencia. Series de Taylor y Laurent

4.- Series. Criterios de convergencia. Series de Taylor y Laurent 4.- Series. Criterios de covergecia. Series de Taylor y Lauret a) Itroducció. Series de fucioes reales. b) Covergecia de secuecias y series. c) Series de Taylor. d) Series de Lauret. e) Propiedades adicioales

Más detalles

4. Sucesiones de números reales

4. Sucesiones de números reales 4. Sucesioes de úmeros reales Aálisis de Variable Real 2014 2015 Ídice 1. Sucesioes y límites. Coceptos básicos 2 1.1. Defiició de sucesió... 2 1.2. Sucesioes covergetes... 2 1.3. Sucesioes acotadas...

Más detalles

INTEGRALES DE RIEMANN

INTEGRALES DE RIEMANN NOTAS PARA LOS ALUMNOS DE ANALISIS MATEMATICO III INTEGRALES DE RIEMANN Ig. Jua Sacerdoti Departameto de Matemática Facultad de Igeiería Uiversidad de Bueos Aires 00 INDICE.- INTEGRAL..- INTRODUCCIÓN..-

Más detalles

Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP. Universidad de Santiago de Chile. Series

Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP. Universidad de Santiago de Chile. Series Programa de Acceso Iclusivo, Equidad y Permaecia PAIEP Uiversidad de Satiago de Chile Series Sea {a } N ua sucesió de úmeros reales, etoces a la expresió a + a 2 + a 3 + + a + se le deomia serie ifiita

Más detalles

CAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS

CAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS CAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS SECCIONES A. Series de térmios de sigo variable. B. Series depedietes de parámetros. C. Ejercicios propuestos. 193 A. SERIES DE TÉRMINOS DE SIGNO VARIABLE. E

Más detalles

6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES

6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES 6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas 6... DEFINICIONES Sucesioes de úmeros reales Se llama sucesió de úmeros reales a cualquier lista ordeada de úmeros reales: a, a 2, a 3,..., a,...,

Más detalles

Sucesiones de números reales

Sucesiones de números reales Sucesioes de úmeros reales Defiició y propiedades Sucesioes de úmeros reales 4 4 Defiició y propiedades 47 4 Sucesioes parciales 49 43 Mootoía 50 44 Sucesioes divergetes 53 45 Criterios de covergecia 54

Más detalles

Introducción básica a series

Introducción básica a series Itroducció básica a series Gearo Lua Carreto * 2 Noviembre de 206, 8 pm. Series: u caso particular de sucesió Supoga que tiee ua sucesió cualquiera a. Explicaremos la forma de geerar ua sucesió s, muy

Más detalles

6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES

6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES 6. Sucesioes y Series uméricas 6.2. Series uméricas 6.2.. DEFINICIONES Y PROPIEDADES Series de úmeros reales Se llama serie umérica o de úmeros reales a la suma idicada de los ifiitos térmios de ua sucesió:

Más detalles

1. Serie de Potencias

1. Serie de Potencias . Serie de Potecias Recordemos que dada ua sucesió {b } N, podemos defiir ua serie: E el caso particular e que b = a (x c) b la serie tedría la forma b = a (x c) y es llamada serie de potecias cetrada

Más detalles

SERIES POTENCIALES. 1.- Hallar el campo de convergencia de la serie potencial: 3 2 n. n n. 2 n = = ( ) ( 1)

SERIES POTENCIALES. 1.- Hallar el campo de convergencia de la serie potencial: 3 2 n. n n. 2 n = = ( ) ( 1) Escuela de Igeieros de Bilbao Departameto Matemática Aplicada SERIES POTENCIALES.- Hallar el campo de covergecia de la serie potecial: ( + ) 3 y Realizado el cambio de variable, + 3 = y, teemos la serie:

Más detalles

SERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos.

SERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos. CAPÍTULO IX. SERIES NUMÉRICAS SECCIONES A. Series de térmios o egativos. B. Ejercicios propuestos. 40 A. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. Dada ua sucesió {a, a 2,..., a,... }, se llama serie de térmio

Más detalles

4 - DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV- LEY DE LOS GRANDES NUMEROS

4 - DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV- LEY DE LOS GRANDES NUMEROS arte Desigualdad de Chebyshev rof. María B. itarelli 4 - DESIGULDD DE CHEBYSHE- LEY DE LOS GRNDES NUMEROS La desigualdad de Chebyshev es ua importate herramieta teórica. Etre otras aplicacioes costituirá

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Matemáticas II - º Bachillerato INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Método de itegració por cambio de variable Cosiste e sustituir por ua fució adecuada para que la epresió resultate sea más secilla

Más detalles

LOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En

LOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En LOS NUMEROS REALES Cojuto o vacío desigado como R y deomiado cojuto de los úmeros reales. E él se defie ua relació de igualdad = y dos operacioes algebraicas + y. Relació de igualdad Defiició: R = (a,b)

Más detalles

TEMA IV. 1. Series Numéricas

TEMA IV. 1. Series Numéricas TEMA IV Series uméricas. Ídice. Series uméricas. 2. Propiedades geerales de las series. 3. Series de térmios positivos. Covergecia. 4. Series alteradas. 5. Series de térmios arbitrarios. 6. Ejercicios

Más detalles

SERIES E INTEGRALES DE FOURIER

SERIES E INTEGRALES DE FOURIER Uiversidad de Satiago de Chile Autores: Miguel Martíez Cocha Facultad de Ciecia Carlos Silva Corejo Departameto de Matemática y CC Emilio Villalobos Marí Part I SERIES E INTEGRAES DE FOURIER (Edició de

Más detalles

TEMA 4. Series de números reales. Series de Potencias.

TEMA 4. Series de números reales. Series de Potencias. TEMA 4 Series de úmeros reales. Series de Potecias.. Sucesió de úmeros reales Las sucesioes de úmeros reales so ua buea herramieta para describir la evolució de ua magitud discreta, y el ite surge al estudiar

Más detalles

Límite y Continuidad de Funciones.

Límite y Continuidad de Funciones. Límite Cotiuidad de Fucioes. Eleazar José García. eleagarcia9@hotmail.com. Límite de ua fució.. Defiició de límite de ua fució.. Ifiitésimo.. Ifiitésimos equivalete.. Límite por la izquierda.. Límite por

Más detalles

R = a) En el caso de la primera serie, 1/n sines impar a n = 0 sines par

R = a) En el caso de la primera serie, 1/n sines impar a n = 0 sines par 298 Series de potecias y fucioes elemetales 8.4. Ejercicios 8.4.. Ejercicios resueltos 8.4. Calcule las sumas de las siguietes series: a) x + x3 3 x5 5 +x7 7... b) x 3 3 x5 3 5 + x7 5 7 x9 7 9... Solució:

Más detalles

Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 9. Límite y continuidad

Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 9. Límite y continuidad Evaluació NOMBRE APELLIDOS CURSO GRUPO FECHA CALIFICACIÓN Calcula el térmio geeral de ua progresió geométrica que tiee de térmio a y por razó /. a) b) c) El 6 es: a) b) 0 c) / 6 7 El es: a) b) c) 0 El

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 2 1+ x dx

INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 2 1+ x dx INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Método de itegració por cambio de variable Cosiste e sustituir por ua fució adecuada para que la epresió resultate sea más secilla de itegrar que la primera.

Más detalles

8. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS DEFINICIÓN Y EJEMPLOS SUCESIÓN CONVERGENTE TEOREMAS Y EJEMPLOS

8. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS DEFINICIÓN Y EJEMPLOS SUCESIÓN CONVERGENTE TEOREMAS Y EJEMPLOS ÍNDICE 8. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 6 8.. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS......................... 6 8.. SUCESIÓN CONVERGENTE........................ 6 8.3. TEOREMAS Y EJEMPLOS......................... 63 8.4.

Más detalles

Sucesiones. f : {1,2,...,r} S. Por ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10: 2,3,5,7

Sucesiones. f : {1,2,...,r} S. Por ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10: 2,3,5,7 Sucesioes. Defiició Sucesió Matemática Ua sucesió fiita (a k ) (de logitud r) co elemetos perteecietes a u cojuto S, se defie como ua fució y e este caso el elemeto a k correspode a f(k). f : {,,...,r}

Más detalles

1 Ejercicios Resueltos

1 Ejercicios Resueltos Uiversidad de Satiago de Chile Autores: Miguel Martíez Cocha Facultad de Ciecia Carlos Silva Corejo Departameto de Matemática y CC Emilio Villalobos Marí Ejercicios esueltos (ejemplar de prueba) Mediate

Más detalles

( ) 1.8 CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES (1.8_CvR_T_061, Revisión: , C8, C9, C10) INTRODUCCIÓN. Forma general de una serie: + a 1

( ) 1.8 CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES (1.8_CvR_T_061, Revisión: , C8, C9, C10) INTRODUCCIÓN. Forma general de una serie: + a 1 .8 CRITERIOS DE COVERGECIA PARA SERIES (.8_CvR_T_6, Revisió: -9-6, C8, C9, C).8.. ITRODUCCIÓ. Forma geeral de ua serie: S = = a = a + a + a +...+ a Suma de térmios. Si es fiito, la suma (S ) tambié es

Más detalles

Tema 8 Límite de Funciones. Continuidad

Tema 8 Límite de Funciones. Continuidad Tema 8 Límite de Fucioes. Cotiuidad 1. Operacioes co límites. Los límites de las sucesioes a b, c, d y e so los idicados e la tabla siguiete:, a b c d e - 0 1 Di cual es el límite de: a) lim( a b ) c)

Más detalles

Construcción de los números reales.

Construcción de los números reales. B Costrucció de los úmeros reales. E el cojuto C de las sucesioes de Cauchy de úmeros racioales defiimos la relació siguiete: si (x ) =1 e (y ) =1 so dos sucesioes de C etoces (x ) =1 (y ) =1, si lím (x

Más detalles

Series infinitas de números reales. Series convergentes

Series infinitas de números reales. Series convergentes Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Las sucesioes de úmeros reales se itrodujero co la iteció de poder cosiderar posteriormete sus sumas

Más detalles

1. a) Mostrar que los siguientes conjuntos están acotados. x b) Mostrar que los siguientes conjuntos no están acotados superiormente

1. a) Mostrar que los siguientes conjuntos están acotados. x b) Mostrar que los siguientes conjuntos no están acotados superiormente FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES COMPLEMENTOS DE ANÁLISIS MAESTRíA EN ESTADíSTICA MATEMÁTICA SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 PRÁCTICA 3 1. a) Mostrar que los siguietes cojutos

Más detalles

- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura

- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura - Ferado Sáchez - - 5 Números Cálculo I complejos 14 10 2015 E el cuerpo de los úmeros reales ecuacioes como x 2 + 1 = 0 o tiee solució: el poliomio x 2 + 1 o tiee raíces reales. Hace falta exteder el

Más detalles

Funciones Exponencial y Logaritmo

Funciones Exponencial y Logaritmo . 9th May 2007 La fució expoecial Itroducció. Recuerdo Sabemos lo siguiete para la sucesió a = + h ) Si lim h 2, 0) etoces lim a = 0. 2 Si lim h / [ 2, 0] etoces lim a o existe. 3 Si lim h = 0 y lim h

Más detalles

LIMITES DE FUNCIONES. Ejemplo: Sea la función F(x) = 3X 2, evalúe la función para valores de X cercanos a 2, es decir

LIMITES DE FUNCIONES. Ejemplo: Sea la función F(x) = 3X 2, evalúe la función para valores de X cercanos a 2, es decir PRECONCEPTO. LIMITES DE FUNCIONES. Ejemplo: Sea la fució F() = X, evalúe la fució para valores de X cercaos a, es decir X se acerca hacia el umero por la izquierda ( - ) X,,7,5,47,68,89,9,96,99,99,995,

Más detalles

Unidad 1: Las Ecuaciones Diferenciales y Sus Soluciones

Unidad 1: Las Ecuaciones Diferenciales y Sus Soluciones Uidad : Las Ecuacioes Difereciales y Sus Solucioes. Itroducció. Tato e las ciecias como e las igeierías se desarrolla modelos matemáticos para compreder mejor los feómeos físicos. Geeralmete, estos modelos

Más detalles

Cálculo de límites Criterio de Stolz. Tema 8

Cálculo de límites Criterio de Stolz. Tema 8 Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que

Más detalles

El tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números.

El tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números. Capítulo 3 Sucesioes 3 Defiicioes Geerales El tema de este capítulo es el estudio de las sucesioes de úmeros reales Ua sucesió o es más que u cojuto ordeado de úmeros Por ejemplo, 2, 4, 6, 8, 0, 2,, 2,

Más detalles

si G es abierto. La función del conjunto m tiene las siguientes propiedades: de partes de se dice que es una , entonces E.

si G es abierto. La función del conjunto m tiene las siguientes propiedades: de partes de se dice que es una , entonces E. LA INTGRAL D LBSGU PARA FUNCIONS D UNA SOLA VARIABL RSULTADOS TÓRICOS LA MDIDA D LBSGU CONJUNTOS MDIBLS Dado u couto abierto o vació G de la recta real, existe ua amilia iita o umerable {V: œl}, ormada

Más detalles

Set de Ejercicios N 4. Ayudantías MAT-022.

Set de Ejercicios N 4. Ayudantías MAT-022. Set de Ejercicios N 4. Ayudatías MAT-. Departameto de Matemáticas, UTFSM *. Semestre 6. Ates de comezar, u breve relato extraído del libro El curioso mudo de las matemáticas de David Wells (p. 4): Hay

Más detalles

Sucesiones de funciones

Sucesiones de funciones Tem 7 Sucesioes de fucioes Defiició 7. Se A IR y F A, IR el cojuto de ls fucioes de A e IR. Llmremos sucesió de fucioes de A culquier plicció de IN F A, IR, y l deotremos por f } = ó f } =. 7. Covergeci

Más detalles

Series de números reales

Series de números reales Series de úmeros reales Covergecia de series uméricas Ejercicio. series: a) ) + b) 3 3 ) c) +) Aplicar el criterio de la raíz para estudiar la posible covergecia de las siguietes Solució. a) Aplicamos

Más detalles

( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7

( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7 LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS Límites de ua fució costate f k, k El límite de ua fució costate es la misma costate f k f k k k a a Límites de la fució idetidad I I a a a I I Límites e u puto fiito.

Más detalles

EXÁMENES PARCIALES Y FINALES DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANUAL - Primer Parcial TURNO MAÑANA APELLIDO NOMBRE:...CURSO:...

EXÁMENES PARCIALES Y FINALES DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANUAL - Primer Parcial TURNO MAÑANA APELLIDO NOMBRE:...CURSO:... EXÁMENES PARCIALES Y FINALES DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANUAL - Primer Parcial TURNO MAÑANA APELLIDO NOMBRE:CURSO: CORRIGIÓ:REVISÓ: 4 5 NOTA Todas sus respuestas debe ser justificadas

Más detalles

EJERCICIOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL (Asignatura VCAF) HOJA 2

EJERCICIOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL (Asignatura VCAF) HOJA 2 EJECICIOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL (Asigatura VCAF) HOJA Ejercicio : Idicar u ejemplo de la sucesió x () (x (),x (),...) que perteezca a cada uo del par cosiderado de los espacios y que: a) Coverja e l,peroocoverjael.

Más detalles

Probabilidad y Estadística 2003 Intervalos de Confianza y Test de Hipótesis paramétricos

Probabilidad y Estadística 2003 Intervalos de Confianza y Test de Hipótesis paramétricos Probabilidad y Estadística 3 Itervalos de Cofiaza y Test de Hipótesis paramétricos Itervalos de Cofiaza Defiició Dada ua muestra aleatoria simple es decir, u vector de variables aleatorias X co compoetes

Más detalles

Funciones Medibles e Integración

Funciones Medibles e Integración Capítulo 3 Fucioes Medibles e Itegració 3.1. Itroducció Sea X : Ω Ω dode Ω es el recorrido de X, es decir, para todo ω Ω existe ω Ω co X(ω) = ω. X determia la fució X 1 : P(Ω ) P(Ω) defiida por para A

Más detalles

Ejemplos de análisis de varios tipos de convergencia

Ejemplos de análisis de varios tipos de convergencia Ejemplos de aálisis de varios tipos de covergecia Objetivos Apreder a aalizar varios tipos de covergecia Requisitos Varios tipos de la covergecia, descripció e térmios de los cojutos auxiliares Se propoe

Más detalles

Prueba Integral Lapso / Área de Matemática Fecha: MODELO DE RESPUESTA (Objetivos del 01 al 11)

Prueba Integral Lapso / Área de Matemática Fecha: MODELO DE RESPUESTA (Objetivos del 01 al 11) Prueba Itegral Lapso 016-1 175-176-177 1/7 Uiversidad Nacioal Abierta Matemática I (Cód 175-176-177) Vicerrectorado Académico Cód Carrera: 16 36 80 508 51 54 610 611 61 613 Fecha: 19 11 016 MODELO DE RESPUESTA

Más detalles

Tema 5 Series numéricas

Tema 5 Series numéricas Tema 5 Series uméricas Objetivos 1. Defiir series co wxmaxima. 2. Calcular sumas parciales de ua serie. 3. Iterpretar la defiició de suma de ua serie. 4. Calcular la suma de ua serie geométrica. 5. Calcular

Más detalles

1. Propiedades de los estimadores

1. Propiedades de los estimadores . Propiedades de los estimadores.. Eficiecia relativa. Defiició: Dados dos estimadores isesgados, ˆ y ˆ, de u parámetro, co variazas V ( ˆ ) y V ( ˆ ), etoces la eficiecia (eff) de ˆ respecto a ˆ, se defie

Más detalles

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0 Tema 4 Series de Potecias Ua expresió de la forma a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c) 2 +... + a (x c) +... = recibe el ombre de serie de potecias cetrada e c. a (x c) Ua serie de potecias puede ser iterpretada

Más detalles

Axioma 1 (Principio de inducción matemática) Sea S N con la propiedad que: a) 1 S. b) k R, k S k + 1 S. Entonces S = N.

Axioma 1 (Principio de inducción matemática) Sea S N con la propiedad que: a) 1 S. b) k R, k S k + 1 S. Entonces S = N. Iducció matemática A meudo deseamos probar proposicioes de la forma N, p. Por ejemplo: 1 N, 1 + + 3 + + 1 + 1. N, + 4. 3 N, par implica par. Proposicioes y 3 se puede probar usado la técica de variable

Más detalles

Curso: 3 E.M. ALGEBRA 8

Curso: 3 E.M. ALGEBRA 8 Colegio SSCC Cocepció - Depto. de Matemáticas Uidad de Apredizaje: POLINOMIOS Capacidades/Destreza/Habilidad: Racioamieto Matemático/ Aplicació / Calcular, Resolver Valores/ Actitudes: Respeto, Solidaridad,

Más detalles

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11 IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como

Más detalles

Números Complejos. Capítulo Los números complejos. 1.2 El plano complejo. 2 Matemáticas 1 : Preliminares

Números Complejos. Capítulo Los números complejos. 1.2 El plano complejo. 2 Matemáticas 1 : Preliminares 2 Matemáticas 1 : Prelimiares Capítulo 1 Números Complejos Este tema de úmeros complejos es más iformativo que recordatorio, siedo el uso explícito de los complejos escaso e las asigaturas de Matemáticas

Más detalles

Función Logaritmo. 1 t dt, x > 0. ln x =

Función Logaritmo. 1 t dt, x > 0. ln x = Uidad 3 Fució Logaritmo Epoecial 3. Logaritmo a través de la itegral propiedades Fució Logaritmo Deició. Deimos la fució Logaritmo Natural l : (0, + R l = t dt, > 0 Observacioes: (a l = 0 Demostració.

Más detalles

con operacion inversa la resta (suma de opuestos) y una operacion producto escalar, que no es interna,

con operacion inversa la resta (suma de opuestos) y una operacion producto escalar, que no es interna, Tema 9 El plao complejo 9. Números complejos E IR, las operacioes suma producto de úmeros reales so operacioes iteras (el resultado de operar es otro úmero real) que permite la existecia de operacioes

Más detalles

Coeficientes binomiales

Coeficientes binomiales Coeficietes biomiales (Ejercicios Objetivos Defiir coeficietes biomiales y estudiar sus propiedades pricipales Coocer su aplicació e la fórmula para las potecias del biomio y su setido combiatorio (si

Más detalles

MATEMÁTICA D Módulo I: Análisis de Variable Compleja

MATEMÁTICA D Módulo I: Análisis de Variable Compleja MATEMÁTICA D Módulo I: Aálisis de Variable Compleja Uidad 4 Series Mag. María Iés Baragatti - Sucesioes Sea A u cojuto o vacío, ua sucesió defiida e A es simplemete u cojuto de elemetos de A escritos e

Más detalles

L lim. lim. a n. 5n 1. 2n lim. lim. lim. 1 Calcula: Solución: a) 2

L lim. lim. a n. 5n 1. 2n lim. lim. lim. 1 Calcula: Solución: a) 2 Calcula: L L a Dada ua sucesió que tiede a idica a partir de qué térmio se cumple la codició que se idica: a a Si a a Si 7 Si a partir del térmio 9 Si Hallar: d) 7 a partir del térmio 97 d) Deduce los

Más detalles

EJERCICIOS DE RECURRENCIA

EJERCICIOS DE RECURRENCIA EJERCICIOS DE RECURRENCIA (co alguas solucioes) Resolver la recurrecia = 5 6 =, = y tambié ésta: = =, = Resolvamos la primera E primer lugar otamos que es ua recurrecia lieal, pues pasado todos los térmios

Más detalles

Apuntes sobre series numéricas: preguntas frecuentes y ejemplos resueltos. 1) Preguntas frecuentes. Conceptos, teoremas y ejemplos básicos

Apuntes sobre series numéricas: preguntas frecuentes y ejemplos resueltos. 1) Preguntas frecuentes. Conceptos, teoremas y ejemplos básicos Cálculo I ( o de Grado e Iformática, 202-3) Aputes sobre series uméricas: pregutas frecuetes y ejemplos resueltos ) Pregutas frecuetes. Coceptos, teoremas y ejemplos básicos P-. Ua serie ifiita es ua suma

Más detalles

Práctica 3 Sucesiones y series

Práctica 3 Sucesiones y series Práctica 3 Sucesioes y series El programa Mathematica os sirve de ayuda para estudiar el comportamieto de sucesioes y series de úmeros reales, mediate las istruccioes Limit y Sum que os permitirá, e la

Más detalles

Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series.

Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series. CÁLCULO Igeiería Idustrial. Curso 2009-200. Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Lecció 5. Series. Resume de la lecció. 5.. Sucesioes y series. Sucesió covergete. Se de e ua sucesió

Más detalles

Problemas de Sucesiones

Problemas de Sucesiones Capítulo Problemas de Sucesioes Problema. Calcular los siguietes ites: l se i e + 3 ii 5 iii l iv + + + Solució: l se i [ escala de iitos se acotada ] 0 acotada 0. e + e ii 5 + [ úmero meor que uo 5 ]

Más detalles

SERIES DE FOURIER Y PROBELMA DE LA CUERDA VIBRANTE. Complementos de análisis. I.P.A. Trabajo final Profesor: Federico de Olivera

SERIES DE FOURIER Y PROBELMA DE LA CUERDA VIBRANTE. Complementos de análisis. I.P.A. Trabajo final Profesor: Federico de Olivera SERIES DE FOURIER Y PROBEMA DE A CUERDA VIBRANTE Complemetos de aálisis. I.P.A. Trabajo fial Profesor: Federico de Olivera César Roqueta Febrero de 9 Ídice. Defiició de serie de Fourier de ua fució Defiició

Más detalles

Criterios de Convergencia

Criterios de Convergencia Semaa - Clase 3 0/0/0 Tema : Series Criterios de Covergecia La preguta que os plateamos es la siguite: Si hacemos que N etoces la suma N k= a k, tiee u límite? Existe alguas formas de averiguarlo, a pesar

Más detalles

INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA. GUIA Nº 3: Sucesiones, Límite de Sucesiones y Límite de Funciones en R

INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA. GUIA Nº 3: Sucesiones, Límite de Sucesiones y Límite de Funciones en R P á g i a INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA GUIA Nº 3: Sucesioes, Límite de Sucesioes y Límite de Fucioes e R GRADO: º AREA: MATEMÁTICAS PROFESORA: Ebli Martíez M. ESTUDIANTE: PERIODO: III

Más detalles

Tema 1.4: Series de potencias. Concepto de función analítica

Tema 1.4: Series de potencias. Concepto de función analítica Tema 1.4: Series de potecias. Cocepto de fució aalítica Facultad de Ciecias Experimetales, Curso 2008-09 E. de Amo Este tema está dedicado a la itroducció de u método expeditivo de creació de fucioes holomorfas

Más detalles

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Ua ecuació diferecial es ua ecuació que cotiee las derivadas de ua o más variables depedietes co respecto de ua ó mas variables idepedietes. Clasificació

Más detalles

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO / TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como ua fució que asiga

Más detalles

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n) 1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :

Más detalles

TEMA 25 (Oposiciones de Matemáticas)

TEMA 25 (Oposiciones de Matemáticas) TEMA 25 (Oposicioes de Matemáticas) LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD. TEOREMA DE BOLZANO.. Itroducció. 2. Límites de fucioes. 2.. Límite de ua fució e u puto. 2.2. Límites laterales.

Más detalles

6. Integrales dobles impropias.

6. Integrales dobles impropias. 82 Itegrales paramétricas e itegrales dobles y triples. Eleoora Catsigeras. 9 Julio 26. 6. Itegrales dobles impropias. 6.. Itegrales impropias covergetes y o covergetes. La teoría de itegrales dobles,

Más detalles

Convergencia absoluta y series alternadas

Convergencia absoluta y series alternadas Tema 11 Covergecia absoluta y series alteradas Ua vez que dispoemos de diversos criterios de covergecia para series de térmios o egativos, abordamos el estudio de la covergecia de series de úmeros reales

Más detalles

La sucesión de Lucas

La sucesión de Lucas a sucesió de ucas María Isabel Viggiai Rocha Cosideramos la sucesió umérica { } defiida por: - - si 3 y y 3. Esta sucesió es coocida como la sucesió de ucas y a sus térmios se los llama úmeros de ucas.

Más detalles

Problemas de Matemáticas (2016/2017). 1. Preliminares.

Problemas de Matemáticas (2016/2017). 1. Preliminares. Problemas de Matemáticas (6/7.. Prelimiares... Comprobar visualmete co diagramas de Ve las siguietes igualdades etre cojutos: a A B = (A B (B A (A B b A (B C = (A B (A C.. Sea f : L L la fució defiida

Más detalles

SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES

SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES www.matesxroda.et José A. Jiméez Nieto SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. TÉRMINO GENERAL E las siguietes figuras observa el proceso que lleva a la creació de uevos

Más detalles

Álgebra I Práctica 3 - Números enteros (Parte 1)

Álgebra I Práctica 3 - Números enteros (Parte 1) FCEyN - UBA - 1er cuatrimestre 015 Divisibilidad y algoritmo de divisió Álgebra I Práctica 3 - Números eteros (Parte 1 1. Decidir cuáles de las siguietes afirmacioes so verdaderas a, b, c Z i a b c a c

Más detalles

Solución del Examen Extraordinario de Algebra y Matemática Discreta, Primer Curso, Facultad de Informática

Solución del Examen Extraordinario de Algebra y Matemática Discreta, Primer Curso, Facultad de Informática Solució del Exame Extraordiario de Algebra y Matemática Discreta, 0-09-2008. Primer Curso, Facultad de Iformática Putuació Máxima Posible: 20 putos Ejercicio Primero (Grafos, etc). a) ( puto) Defia Grafo

Más detalles

Composición de fundamental con tercera armónica Onda fundamental. Onda resultante

Composición de fundamental con tercera armónica Onda fundamental. Onda resultante Fució POLARMÓNCAS ENSONES Y CORRENES POLARMÓNCAS 7. troducció E los aálisis ateriores, hemos trabajado co geeració de tesioes alteras del tipo seoidal, y circuitos co características lieales, lo cual se

Más detalles

EJERCICIOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL (Asignatura VCAF) HOJA 4

EJERCICIOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL (Asignatura VCAF) HOJA 4 EJECICIOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL (Asigatura VCAF) HOJA 4 Ejercicio : Demostrar que los siguietes operadores so lieales, acotados y hallar sus ormas (para el puto h sólo estimar la orma) a) A : C[, ] C[,

Más detalles

Series de términos no negativos

Series de términos no negativos Tema 0 Series de térmios o egativos Vamos a presetar aquí alguos criterios útiles para estudiar la covergecia de series de térmios o egativos. Empezamos co u método básico que cosiste e comparar la serie

Más detalles

Álgebra I Práctica 2 - Números naturales e inducción

Álgebra I Práctica 2 - Números naturales e inducción FCEyN - UBA - Segudo Cuatrimestre 203 Álgebra I Práctica 2 - Números aturales e iducció. Reescribir cada ua de las siguietes sumas usado el símbolo de sumatoria (a) + 2 + 3 + 4 + + 00, (b) + 2 + 4 + 8

Más detalles

La integral doble sobre rectángulos

La integral doble sobre rectángulos La itegral doble sobre rectágulos ISABEL MARRERO Departameto de Aálisis Matemático Uiversidad de La Lagua imarrero@ull.es Ídice 1. Itroducció 1 2. La itegral de fucioes escaloadas 1 3. La itegral de fucioes

Más detalles