Definición 13.1 Llamamos serie trigonométrica a una serie de funciones reales, de la forma. + n +ib n

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1 ema 3 Series de Fourier. Hemos visto, e el tema 8, que alguas fucioes reales puede represetarse mediate su desarrollo e serie de potecias, lo que sigifica que puede aproximarse mediate poliomios. Si embargo, cuado las fucioes preseta propiedades especiales como la periodicidad, que los poliomios o posee, o so los mejores aproximates. E este tema, cosideraremos otros desarrollos e serie más adecuados para fucioes periódicas. 3. Series trigoométricas. Defiició 3. Llamamos serie trigoométrica a ua serie de fucioes reales, de la forma f (x) = (a cos x + b se x) = a 0 + (a cos x + b se x), 3. y deotaremos por S(x) = f (x) a la fució suma de la serie e su cojuto de covergecia. Observació 3. Las fucioes f (x) = a cos x + b se x, so periódicas de periodo π, por tato, S(x) es ua fució periódica de periodo π. 3.. Las series trigoométricas e modo complejo. Usado los úmeros complejos, como e ix = cos x + i se x, se tiee que e ix + e ix e ix e ix a ib S(x) = a 0 + a + b = a 0 + e ix + a + ib e ix i [] a = a 0 + ib e ix a + +ib e ix co la covergecia de ambas y reidexado, podemos escribirlo e la forma c 0 = a 0 = c e ix dode c = a ib, si > 0 3. c = c, si < 0 []: Si las dos series siguietes coverge. Como a +ib e ix = a ib e ix ambas coverge o o simultáeamete. Proposició 3.3 Sea S(z) = c e iz, co c 0 = a 0, c = a ib, si > 0, y c = c, si < 0, siedo a, b IR. Etoces, si z = x IR se tiee que S(z) = S(x) IR. Demostració: Es claro, pues etoces S(x) puede expresarse como 3. que es ua serie real. eoría de variable compleja. 54

2 3. Series trigoométricas. Proposició 3.4 Las series uméricas sólo si, la serie Además, la serie a y c e ix coverge absolutamete e IR. c e ix coverge uiformemete e IR. b so absolutamete covergetes sí, y Demostració: } a Es imediato ya que, para cada IN, se tiee b c e ix = c a + b. Como la acotació aterior es válida para todo x IR, el criterio M de Weierstrass asegura la covergecia uiforme e IR. Proposició 3.5 La fució real S(x) = 3., es π -periódica. c e ix, co las codicioes idicadas e Demostració: E efecto, para todo x IR, S(x + π) = c e i(x+π) = c e ix e iπ = c e ix = S(x). 3.. Itegració de ua serie trigoométrica. Supogamos que la serie trigoométrica S(x) = el itervalo [, π]. Etoces, c e ix es uiformemete covergete e S(x) dx = c e ix dx = c e ix dx = c e ix dx + c 0 dx + c e ix dx e ix ] π e ix ] π = c + c 0 π + c = 0 + c 0 π + 0 = πc 0. i i Por tato, si m 0, se tiee que e imx S(x) dx = = = m m c e i( m)x dx c e i( m)x dx πc m + =m+ E cosecuecia, para todo Z, se tiee que c m dx + 0 = πc m. =m+ c e i( m)x dx c = S(x)e ix dx. 3.3 π eoría de variable compleja. 55

3 3. Series de Fourier luego Desde el puto de vista real, para cada IN, se tiee que a ib = c = π a 0 = π S(x) dx a = π S(x)e ix dx = π S(x) cos x dx i π S(x) cos x dx b = π S(x) se x dx, S(x) se x dx. 3.4 De lo aterior, es claro que los coeficietes de ua serie trigoométrica está ítimamete ligados co la fució suma. Así, asociada a cada fució real periódica se puede costruir ua serie trigoométrica asociada (siempre que se pueda calcular las itegrales ateriores). 3. Series de Fourier Defiició 3.6 si f es ua fució real π -periódica, tal que existe las itegrales de 3.3 (o de 3.4 ), etoces la serie se llama serie de Fourier de f. c e ix = a 0 + (a cos x + b se x) Pero, bajo qué codicioes ua fució periódica es expresable mediate su serie de Fourier? Es decir, cuádo ua fució periódica coicide co su serie de Fourier? Defiició 3.7 Ua fució f: [a, b] IR se dice moótoa a trozos si se puede dividir el itervalo e u úmero fiito de subitervalos, de forma que sea moótoa e cada uo de ellos. eorema 3.8 Si ua fució real f π -periódica es moótoa a trozos y acotada e [, π], etoces la serie de Fourier de f coverge e todos los putos de IR. Además, si S(x) es la suma de la serie de Fourier, se tiee que S(c) = f(c) si f es cotiua e c y lim f(x) + lim f(x) x c + x c S(c) = = f(c+ ) + f(c ) si f o es cotiua e c. Nota: Es claro que si la fució es moótoa por trozos y acotada e el segmeto [a, b], etoces puede teer sólo putos de discotiuidad de primera especie, es decir de salto fiito, por lo que tiee setido el valor que toma la serie e los putos de discotiuidad. Ejemplo 3.9 Sea f: IR IR co f(x + π) = f(x) para todo x IR y siedo f(x) = x cuado x (, π]. La represetació gráfica de f es: 5π 3π π 3π 5π eoría de variable compleja. 56

4 3. Series de Fourier La serie de Fourier de f tiee por coeficietes c 0 = π x dx = 0 y, para > 0, } u = x c = π = π = xe ix dx = dv = e ix dx ( ) πe iπ i ()e i() 0 = i i cos π = () i. : du = dx v = e ix i π πi = π ( e iπ + e iπ) = i Como a 0 = c 0 = 0, a = Re(c ) = 0 y b = Im(c ) = () moótoa creciete e (, π], por el teorema 3.8 aterior, la serie S(x) = () + se x xe ix ] π e ix i π i dx e iπ + e iπ = ()+, y f es coverge e (, π] (por la periodicidad e todo IR). Además, S(x) = x e (, π) y e π se tiee S(π) = f(π+ )+f(π ) = ()+π = 0. Fig. 3.. Aproximacioes de f(x) k= () k+ k se kx, para =,, 3, Fucioes de periodo arbitrario Si f es ua fució -periódica, > 0, tambié puede costruirse su serie de Fourier y los resultados correspodietes so aálogos a los ateriores. Para ello, basta tomar x = π y, obteiédose ( ) f(x) = f π y = g(y) 3.5 ua fució g que será π -periódica. Si f es moótoa a trozos e [, ] tambié lo será g e [, π]. Proposició 3.0 Sea f real -periódica y moótoa a trozos e [, ]. Etoces, la fució g(x) = f( π x) es: 3. periódica de periodo π, y 3. moótoa a trozos e [, π]. Demostració: eoría de variable compleja. 57

5 3. Series de Fourier 3. E efecto, ( ) g(x + π) = f π (x + π) = f []: Por ser -periódica la fució f. ( ) π x + [] ( ) = f π x = g(x) 3. Sea [, ] = [, t ] [t, t ] [t m, ] y f moótoa e cada uo de los [t k, t k ]. Etoces, tomado [, π] = [, π t ] [ π t, π t ] [ π t m, π], e cada itervalo de la forma [ π t k, π t k] la fució g tiee la misma mootoía que f e [t k, t k ]. E efecto, para cualesquiera x y x co π t k x x π t k, se verifica que g(x ) = ( ( f π ) x y g(x ) = f π ) x, pero como t k π x π x t k será g(x ) g(x ) ó g(x ) g(x ) segú que f sea moótoa creciete o decreciete e [t k, t k ]. Como cosecuecia, de los resultados ateriores, si f e -periódica, usado la fució g costruida e 3.5, se tiee f(x) = g(y) = c e iy = c e i π x dode c = π = g(y)e iy dy = π ( ) f π π y e iy π dy = y = x π i f(x)e x dx. E su versió real os queda: f(x) = a 0 + a cos( π x) + b se( π x) co π dy = dx } = π i f(x)e x π π dx a 0 = f(x) dx a = b = Ejemplo 3. Sea f ua fució -periódica, co f(x) = x e [, ]. La represetació gráfica de f es: f(x) cos( π x)dx f(x) se( π x)dx La serie de Fourier de f tiee por coeficietes c 0 = c = = iπ = x π i e x u = x dx = dv = e iπx dx (e iπ e iπ) + iπ } u = x dv = e iπx dx : du = dx v = e iπx iπ : du = xdx v = e iπx iπ 3 5 } xe iπx dx = se(π) π = 0 + iπ xe iπx iπ = π (e iπ ()e iπ ) + 0 = cos(π) π = () π. x dx = 3 = ] x e iπx iπ + iπ iπ y, para > 0, ] xe iπx dx e iπx iπ dx xe iπx iπ dx eoría de variable compleja. 58

6 3. Series de Fourier Como a 0 = c 0 = 3, a = Re(c ) = () 4 y b π = Im(c ) = 0, y f es moótoa creciete e (, ], por el teorema 3.8 aterior, la serie S(x) = 3 + coverge e [, ] y S(x) = x e [, ]. () 4 π cos(πx) Fig. 3.. Aproximacioes de f(x) 3 + k= () k 4 k π cos(kπx), para = 0,,, 3. Si ua fució es -periódica, para calcular c es obligatorio usar el itervalo [, ]? Dada la periodicidad de las fucioes parece razoable pesar que o, pues la fució toma los mismos valores e cualquier itervalo del tamaño del periodo, y el siguiete resultado os asegura que o es así. Lema 3. Sea f ua fució -periódica e itegrable, etoces f(x)dx = λ+ λ f(x) dx, para todo λ IR. Demostració: Por ser f periódica de periodo, se tiee que f(t ) = f(t), luego haciedo el cambio x = t, etoces c, d se puede escribir d c f(x)dx = d+ c+ f(t )dt = E particular, si c = y d = λ, obteemos λ f(x)dx = luego f(x)dx = para todo λ IR. λ d+ c+ λ+ f(t)dt = f(x)dx, d+ c+ f(x)dx. λ+ λ+ f(x)dx + f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx = f(x)dx, λ λ λ Ejemplo 3.3 Sea f ua fució -periódica tal que f(x) = x e (0, ]. Como = y la expresió de f e el itervalo [, x +, si x [ ] es f(x) =, 0] x, si x (0, ], si el resultado aterior, los coeficietes se obtedría calculado c = ( 0 ) (x + )e iπx dx + xe iπx dx, mietras que c = xe iπx dx 0 permite u cálculo más secillo. Comprobar la igualdad de ambas expresioes y obteer la serie de Fourier. 0 eoría de variable compleja. 59

7 3. Series de Fourier 3.. Desarrollo de ua fució o periódica e serie de Fourier. Sea f: [a, b] IR ua fució cualquiera moótoa por trozos. Podemos represetar esta fució f e los putos de su cotiuidad por ua serie de Fourier, si cosideramos ua fució f periódica de periodo b a, moótoa por trozos y que coicida co la fució f e el itervalo [a, b]. Etoces, desarrollado la fució f (x) e la serie de Fourier, la suma de esta serie e todos los putos del segmeto [a, b] (excepto e los de discotiuidad) coicide co la fució dada f, lo que sigifica que hemos desarrollado f e serie de Fourier e el itervalo [a, b]. Ejemplo 3.4 Desarrollar e serie de Fourier la fució f(x) = x e el itervalo [, ]. Podemos itetarlo de dos maeras: Cosiderar g que sea 3 -periódica co g(x) = x e (, ] Por ser g moótoa por trozos y 3 4 -periódica, coicide co su serie de Fourier S(x) = c e i 4π 3 x e (, ), pero o e los putos de discotiuidad y dode la serie vale S( ) = S() = + = 3 4. Si cosideramos h que sea -periódica co h(x) = x e [, ], se tiee que f(x) = h(x) e [, ] y, por ser h cotiua, coicide co su serie de Fourier S(x) = c e iπx e todo IR, luego h(x) = S(x) e IR y, e particular, f(x) = c e iπx e [, ] Casos particulares. Proposició 3.5 E la expresió real de la serie de Fourier ( 3. ) de ua fució par solo puede apararecer los térmios de los coseos y e la de ua fució impar solo puede aparecer los térmios de los seos. Demostració: Sea f(x) = c e i πx, co c = c, etoces: Si f es par se verifica que f( x) = f(x), es decir, f( x) = c e i π( x) = luego c = c y para, c = a c e i π( )x = c e i πx = IR. Es decir, f(x) = a 0 + c e i πx a cos( πx ). = f(x) eoría de variable compleja. 60

8 3.3 Ejercicios Si f es impar debe ser f( x) = f(x). Como e el apartado aterior, f( x) = c e i π( x) = c e i πx = f(x) = c e i πx luego c = c de dode c = i b iir. Es decir, f(x) = b se( πx ). Ejemplo 3.6 La fució usada e el ejemplo 3., f(x) = x e [, ] es par, pues f( x) = ( x) = x = f(x), y su serie de Fourier obteida S(x) = 3 + cos(πx) sólo () 4 π está formada por térmios de coseos. La fució del ejemplo 3.9, f(x) = x e [, π] es impar, pues f( x) = x = f(x), y su serie de Fourier S(x) = se(x) sólo está formada por térmios de seos. () + Sea f(x) dada e el itervalo [0, ]. Completado la defiició de esta fució de modo arbitrario e el segmeto [, 0] (coservado la mootoía por trozos), podemos desarrollar esta fució e la serie de Fourier. No obstate: Si completamos la defiició de modo que f(x) = f( x) si x < 0, obteemos ua fució par. Etoces esta fució se desarrolla e la serie de Fourier de forma que solamete cotiee coseos. De esta forma la fució f(x), dada e [0, ], la hemos desarrollado e serie de coseos. Si completamos la defiició de la forma f(x) = f( x) si x < 0, obteemos ua fució impar que se desarrolla e serie de seos. De este modo, si e el itervalo [0, ] está dada cierta fució moótoa por trozos f, podemos desarrollarla tato e la serie de Fourier de coseos, como e la serie de Fourier de seos. 3.3 Ejercicios 3. Sea f ua fució periódica de periodo π defiida de la forma siguiete f(x) =, si π < x < 0, si 0 x π. Calcular la serie de Fourier de dicha fució y utilizar dicha serie para demostrar que () + = π Sea f ua fució periódica de periodo π defiida por f(x) = 0, si π x 0 x, si 0 < x π. Hallar su serie de Fourier y demostrar que () = π 8 (dado x = 0). eoría de variable compleja. 6

9 3.3 Ejercicios 3.3 Hallar los coeficietes de Fourier para la fució f defiida por 0, si 5 < x < 0 f(x) = 3, si 0 < x < 5 sabiedo que es periódica de periodo 0. Escribir la serie de Fourier correspodiete. Cómo habría que defiir f e x = 5, x = 0 y x = 5 para que la serie de Fourier coverja hacia f(x), para todo x [ 5, 5]? 3.4 Desarrollar la fució y = e x e el itervalo (, ) e ua serie de Fourier. 3.5 Desarrollar la fució y = se x e el itervalo (0, π) e ua serie de coseos. 3.6 Desarrollar la fució y = cos x e el itervalo (0, π) e ua serie de seos. 3.7 Dada la fució f(x) = x, si 0 x π, prologarla de maera que sea par y de periodo π. Desarrollarla e serie de Fourier y aprovechar este desarrollo para demostrar que π 8 = Dada la fució: f(x) = x(π x), si 0 x π, prologarla de maera que sea par y de periodo π. Desarrollarla e serie de Fourier y aprovechar este desarrollo para demostrar que = π 6 y () + = π. eoría de variable compleja. 6

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