ÍNDICE Capítulo 2 La transformada de Laplace 1 Capítulo 2 Series de Fourier 49 Capítulo 3 La integral de Fourier y las transformadas de Fourier 103

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1 ÍNDICE Capítulo 2 La transformada de Laplace Definición y propiedades básicas Solución de problemas con valores iniciales usando la transformada de Laplace Teoremas de corrimiento y la función de Heaviside El primer teorema de corrimiento La función de Heaviside y los pulsos El segundo teorema de corrimiento Análisis de circuitos eléctricos Convolución Impulsos unitarios y la función delta de Dirac Solución de la transformada de Laplace de sistemas Ecuaciones diferenciales con coeficientes polinomiales Capítulo 2 Series de Fourier Por qué las series de Fourier? La serie de Fourier de una función Funciones pares e impares Convergencia de series de Fourier Convergencia en los extremos Un segundo teorema de convergencia Sumas parciales de la serie de Fourier El fenómeno de Gibbs Series de Fourier en senos y cosenos La serie de Fourier en cosenos de una función La serie de Fourier en senos de una función Integración y diferenciación de series de Fourier La forma de ángulo fase de la serie de Fourier Serie de Fourier compleja y el espectro de frecuencia Revisión de los números complejos Serie de Fourier compleja Capítulo 3 La integral de Fourier y las transformadas de Fourier La integral de Fourier Integrales de Fourier en cosenos y senos La integral de Fourier compleja y la transformada de Fourier Propiedades adicionales y aplicaciones de la transformada de Fourier La transformada de Fourier de una derivada Diferenciación respecto a la variable de frecuencia La transformada de Fourier de una integral Convolución Filtrado y la función delta de Dirac La transformada de Fourier ventaneada El teorema de muestreo de Shannon Filtros de paso bajo y ancho de banda Transformadas de Fourier en cosenos y senos Las transformadas finitas de Fourier en senos y cosenos La transformada discreta de Fourier

2 3.7.1 Linealidad y periodicidad La TDF inversa de N puntos TDF aproximación de los coeficientes de Fourier Series de Fourier muestrales Aproximación de una transformada de Fourier por una TDF de N puntos Filtrado La transformada rápida de Fourier Uso de la TRF en el análisis de densidades de potencia espectral de señales Filtrando ruido de una señal Análisis de las mareas en la bahía del Morro Capítulo 4 Funciones especiales, desarrollos ortogonales y onduletas Polinomios de Legendre Una función generadora para los polinomios de Legendre Una relación recursiva para los polinomios de Legendre Ortogonalidad de los polinomios de Legendre Series Fourier-Legendre Cálculo de los coeficientes de Fourier-Legendre Los ceros de los polinomios de Legendre Fórmulas de la derivada y la integral para P n (x) Funciones de Bessel La función gamma Funciones de Bessel de la primera clase y soluciones de la ecuación de Bessel Funciones de Bessel de segunda clase Funciones de Bessel modificadas Algunas aplicaciones de las funciones de Bessel Una función generadora para J n (x) Una fórmula integral para J n (x) Una relación recursiva para J v (x) Ceros de J v (x) Desarrollos de Fourier-Bessel Coeficientes de Fourier-Bessel Teoría de Sturm-Liouville y desarrollos en funciones propias El problema de Sturm-Liouville El teorema de Sturm-Liouville Desarrollo en funciones propias Aproximación en la media y la desigualdad de Bessel Convergencia en la media y el teorema de Parseval Completez de las funciones propias Las onduletas La idea detrás de las onduletas Las onduletas de Haar Un desarrollo en onduletas El análisis de multirresolución con las onduletas de Haar La construcción general de onduletas y el análisis de multirresolución Las onduletas de Shannon

3 Capítulo 5 La ecuación de onda La ecuación de onda y las condiciones inicial y en la frontera Soluciones de la serie de Fourier de la ecuación de onda Cuerda vibrante con velocidad inicial cero Cuerda vibrante con velocidad inicial dada y desplazamiento inicial cero Cuerda vibrante con desplazamiento y velocidad inicial Verificación de las soluciones Transformación de problemas con valores en la frontera que involucran la ecuación de onda Efectos de las condiciones iniciales y las constantes en el movimiento Solución numérica de la ecuación de onda Movimiento de onda a lo largo de cuerdas infinitas y semi-infinitas Movimiento de onda a lo largo de una cuerda infinita :3.2 Movimiento de onda a lo largo de una cuerda semi-infinita Solución mediante la transformada de Fourier de problemas en dominios no acotados Características y la solución de d' Alembert Una ecuación de onda no homogénea Ondas hacia adelante y hacia atrás Modos normales de vibración de una membrana circular elástica Vibraciones de una membrana circular elástica, vuelta a visitar Vibraciones de una membrana rectangular Capítulo 6 La ecuación de calor La ecuación de calor y las condiciones iniciales y de frontera Soluciones en serie de Fourier de la ecuación de calor Extremos de la barra mantenidos a temperatura cero Temperatura en una barra con extremos aislados Distribución de temperatura en una barra con extremos que irradian Transformaciones de los problemas con valores en la frontera que involucran la ecuación de calor Una ecuación de calor no homogénea Efectos de las condiciones en la frontera y las constantes en la conducción de calor Aproximación numérica de soluciones Conducción de calor en un medio infinito Conducción de calor en una barra infinita Conducción de calor en una barra semi-infinita Métodos de transformadas integrales para la ecuación de calor en un medio infinito La conducción de calor en un cilindro infinito La conducción de calor en una placa rectangular Capítulo 7 La ecuación del potencial Las funciones armónicas y el problema de Dirichlet Problema de Dirichlet para un rectángulo El problema de Dirichlet para un disco La fórmula de la integral de Poisson para el disco Los problemas de Dirichlet en regiones no acotadas

4 7.5.1 El problema de Dirichlet para el semiplano superior El problema de Dirichlet para el primer cuadrante Un problema del potencial electrostático El problema de Dirichlet para un cubo La ecuación de calor en estado estacionario para una esfera sólida El problema de Neumann El problema de Neumann para un rectángulo El problema de Neumann para un disco El problema de Neumann para el semiplano superior Capítulo 8 Geometría y aritmética de los números complejos Los números complejos El plano complejo Magnitud y conjugado División compleja Desigualdades Argumento y forma polar de un número complejo Orden Lugares geométricos y conjuntos de puntos en el plano complejo Distancia Círculos y discos La ecuación z - a = z - b Otros lugares geométricos Puntos interiores, puntos frontera y conjuntos abiertos y cerrados Puntos límite Sucesiones complejas Subsucesiones Compactibilidad y el teorema de Bolzano-Weierstrass Capítulo 9 Funciones complejas Límites, continuidad y derivadas Límites Continuidad La derivada de una función compleja Las ecuaciones de Cauchy-Riemann Series de potencias Series de números complejos Series de potencias Las funciones exponencial y trigonométricas El logaritmo complejo Potencias Potencias enteras Z l/n para n entero positivo Potencias racionales Potencias Z w Capítulo 10 Integración compleja Curvas en el plano La integral de una función compleja La integral compleja en términos de integrales reales Propiedades de las integrales complejas Integrales de series de funciones

5 10.3 Teorema de Cauchy Prueba del teorema de Cauchy para un caso especial Consecuencias del teorema de Cauchy Independencia de la trayectoria El teorema de deformación Fórmula de la integral de Cauchy La fórmula de la integral de Cauchy para derivadas superiores Cotas en las derivadas y el teorema de Liouville Un teorema de deformación extendido Capítulo 11 Representación en serie de una función Representación en serie de potencias Ceros aislados y el teorema de la identidad El teorema del módulo máximo Desarrollo de Laurent Capítulo 12 Singularidades y el teorema del residuo Singularidades El teorema del residuo Algunas aplicaciones del teorema del residuo El principio del argumento Una fórmula de inversión para la transformada de Laplace Evaluación de integrales reales Capítulo 13 Mapeos conformes Funciones como mapeos Mapeos conformes Transformaciones lineales racionales Construcción de mapeos conformes entre dominios Transformación de Schwarz-Christoffel Funciones armónicas y el problema de Dirichlet Solución a problemas de Dirichlet mediante mapeos conformes Modelos de funciones complejas de flujo de fluido plano Respuestas y soluciones a problemas seleccionados... R1 Índice... I1