SERIES DE FOURIER Y PROBELMA DE LA CUERDA VIBRANTE. Complementos de análisis. I.P.A. Trabajo final Profesor: Federico de Olivera

Transcripción

1 SERIES DE FOURIER Y PROBEMA DE A CUERDA VIBRANTE Complemetos de aálisis. I.P.A. Trabajo fial Profesor: Federico de Olivera César Roqueta Febrero de 9

2 Ídice. Defiició de serie de Fourier de ua fució Defiició de poliomios trigoométricos Coeficietes de u poliomio trigoométrico... 3 Período de ua fució.. 3 Itegració de fucioes periódicas.. 4 Coeficietes de Fouriery serie de Fourier de ua fució 4 Propiedades de los coeficietes de Fourier de ua fució.. 5. Covergecia de la serie de Fourier de ua fució Núcleo de Dirichlet 6 Propiedades del úcleo de Dirichlet.. 7 Pricipio de localizació de Riema 9 Covergecia putual de la serie de Fourier. Aplicació a series uméricas... Medias de Cesaro.. 3 Núcleo de Fejer. 4 Propiedades de úcleo de Fejer. 4 Teorema de Fejer Itegració y derivació de la serie de Fourier de ua fució Itegració de la serie de Fourier de ua fució. 8 Derivació de la serie de Fourier de ua fució Desarrollo e series de seos y coseos Fucioes de período arbitrario. Desarrollo e serie de coseos y e series de seos.. 5. Ecuació de la cuerda vibrate Plateamieto del problema... Solució de la ecuació por el método de separació de variables... 3

3 Itroducció. Detrás de ua image que vemos e uestro televisor, de u soido que escuchamos por la radio, detrás de la cabeza del bebé que vemos e el seo matero mediate ua ecografía, del hallazgo del petróleo que cosumimos o de la detecció de u cardume de peces co los que os alimetaremos y detrás de muchas aplicacioes más se ecuetra los pricipios que Fourier utilizó para platear sus series y resolver co ella la ecuació diferecial que es satisfecha por la fució de difusió del calor que la propia serie represeta. a motivació pricipal del trabajo es hacer u primer cotacto co u área de la matemática que presete aplicacioes e varios campos del coocimieto. Si lugar a dudas el aálisis de Fourier es ua de ellas, sus aplicacioes las podemos ecotrar e diversas disciplias como la física y la propia matemática. os cimietos de esta rama de la matemática so las series de Fourier cuyo ombre hace hoor al matemático fraces Jea Baptiste Joseph Fourier, quie les dio orige e sus ivestigacioes sobre la difusió del calor. a idea básica de estas series es que toda fució periódica puede ser expresada como la suma ifiita de seos y coseos. Este trabajo cueta de cico partes. Primero se itroduce la defiició de serie de Fourier y la de sus coeficietes, partiedo de la defiició de poliomios trigoométricos. E la seguda parte se estudia el comportamieto de dichas series buscado pricipalmete codicioes suficietes para que ua fució periódica pueda efectivamete ser expresada como ua suma ifiita de seos y coseos. E la tercera se muestra dos resultados que os permite derivar e itegrar térmio a térmio la serie de Fourier de alguas fucioes. E la cuarta se explica el desarrollo e series de coseos y e series de seos de ua fució; para luego e la quita parte poder dar ua solució al problema de la cuerda vibrate. Para termiar ésta itroducció quiero dejar e claro que este trabajo es ua primera exploració detro de u campo, que como se muestra e la cita iicial, parece ser muy amplio. Co este trabajo solo se pretede abrir ua vetaa y dar u vistazo iicial. Cristóbal R. Sata María

4 . Defiició de serie de Fourier de ua fució. Ates de comezar el desarrollo de la teoría se eucia ua proposició que será de utilidad e esta primera parte. Proposició. Sea p y dos úmeros aturales positivos, etoces: i) ii) si p q se ( px) se ( x) dx = si p = q si p q cos ( px) cos ( x) dx = si p = q ( ) ( ) iii) cos px se x dx = para todo p y as itegrales ateriores se calcula utilizado las siguietes propiedades: se( x) se( y) = cos( x y) cos ( x + y) cos( x) cos( y) = cos( x y) + cos( x + y) se ( x) [ cos( x) ] = e iii e i e ii Poliomios trigoométricos. Defiició. U poliomio trigoométrico es ua fució de R e R de la siguiete forma a co = (.) P( x) = + ( a cos x + b sex) a, a,..., a, b,... y b úmeros reales Defiició.3 Si P es u poliomio trigoométrico, el grado de P es el mayor atural para el cual a ó b.

5 Proposició.4 Si P es u poliomio trigoométrico etoces: i) a = P( x) dx ii) iii) a = P( x) cos xdx b = P( x)s exdx Demostració: liealidad a a i. P( x) dx = + a cosx + b sex dx dx a cosxdx b sexdx = + + = = a Calculado la suma aterior se obtiee que P( x) dx = = a, ya que para todo la [ ] itegral de las fucioes sex y cos x es cero e el itervalo,. ii. Sea N, etoces a P x xdx xdx a jx xdx b jxsexdx liealidad ( ) cos = cos cos cos cos + + j= Aplicado la proposició. resulta que P( x)cosxdx = a cos xdx = a. Aálogamete se prueba la propiedad iii. Período de ua fució. Defiició.5 Sea f : R R ua fució. Decimos que f es periódica cuado existe u úmero real T; o ulo; tal que f ( x + T ) = f ( x) para todo x R. E este caso se dice que T es u período para f. Observació: Si T es u período para f etoces ± T, ± T,..., ± T,... tambié so períodos para f. 3

6 Defiició.5. Sea f : R R ua fució periódica. El período fudametal de f se defie como { } T = if T > ; T es u príodo para f Desde ahora e adelate al hablar de período se hará referecia al período fudametal; a o ser previas aclaracioes. Proposició.8 Sea f : R R ua fució de período T. Si f es itegrable sobre u itervalo de logitud T etoces f es itegrable sobre cualquier itervalo de logitud T y para cualquier úmero real a se tiee que; Demostració: T a T a f ( x) dx = f ( x) dx Cosideremos el siguiete cambio de variable: u = x + T x = u T uego al ser T período de f se cumple que f ( x + T ) = f ( x T ) = f ( x) Etoces T T T f ( x) dx = f ( u T ) du = f ( u) du = f ( x) dx a T a T a T a Fialmete T a o T a T T a T f ( x) dx = f ( x) dx + f ( x) dx = f ( x) dx + f ( x) dx = f ( x) dx. regló a a ateriort a Serie de Fourier de ua fució. Defiició.9 Sea f : R R ua fució de período ; itegrable e el itervalo [ ; ]. os coeficietes de Fourier de f so: (.) a = f ( x) dx (.3) a serie Fourier de f es: a = f ( x)cos xdx (.4) b = f ( x)sexdx (.5) a + a cos x + b sex dode a N y b N so los coeficietes de Fourier de f. = * ( ) ( ) ( ) 4

7 Notació: S f ( x ) represeta la suma parcial -ésima de la serie de Fourier de f para x [ ; ] a es decir que S f ( x) = + ( a cosx + b sex). (.6) = ; Proposició. (Propiedades de los coeficietes de Fourier de ua fució) a y b i) ( ) ( ) N N * so sucesioes acotadas. ii) a ( f + g ) = a ( f ) + a ( g ) ( f + g ) = b ( f ) + b ( g ) y b (iealidad) iii) ( ) ( ) ( ) * b f a f Si f existe y es cotiua; a f = y b ( f ) = N 5

8 . Covergecia de la serie de Fourier de ua fució. Hasta aquí hemos visto como dada ua fució periódica e itegrable, se puede descompoer e su serie de Fourier. Ahora debemos pregutaros qué relació existe etre ua fució y su serie, si es posible recuperar la fució a partir de su serie de Fourier. Cómo veremos a cotiuació e alguos casos bastará co sumar, e otros habrá que realizar otros procedimietos y e otros o será posible. Núcleo de Dirichlet Coviee represetar la suma parcial de ua serie de Fourier de maera que facilite alguos cálculos que se hará más adelate. Recordemos que S f ( x) = + ( a cosx + b sex) a = Al sustituir e esta expresió los coeficietes por la formulas (.), (.3)y (.4) se obtiee: S f ( x) = f ( t ) dt f ( t )( cost cosx setsex) dt + + = = f ( t ) ( cos t cos x setsex) dt f ( t ) cos ( x t ) dt + + = + = = E se aplico liealidad por tratarse de ua suma fiita de fucioes itegrables. E se aplico la fórmula trigoométrica ( ) Sea D ( t) = + cos t = + cost + cos t cos t = cos x ± y = cos x cos y sexsey. t t t t t luego si D ( t) = si + si cost + si cos t si cos t Aplicado formulas trigoométricas t t t si cos t = si t + si + t = si t + si + t = si t + si + t Por lo tato t si D ( t) = si t si t + si t si t + si t... si t + si + t 6

9 si + t ( ) t Operado adecuadamete se obtiee la igualdad, D t = t;si t si Defiició. Se llama úcleo de Dirichlet a la sucesió de fucioes de fiida por si + t t D = t;si t si (.) ( t) Observacióes: Por la deducció aterior tambié es válido defiir el úcleo de Dirichlet como sigue; ( ) D t = + cos t = + cost + cos t cos t (.) = Proposició. (propiedades del úcleo de Dirichlet) i. D ( t) es ua fució períodica de período. ii. D ( t) es par, D ( t) = D ( t) iii. D ( ) t dt = A partir de (.) y observado que la fució seo tiee período se demuestra la propiedad i. Además, al ser sex ua fució par ( sex = se( x) ), partiedo tambié de (.) se llega a que D ( t) = D ( t) lo que prueba que el úcleo de Dirichlet es ua fució par. Por último calculemos la itegral de la propiedad iii partiedo de (.). D ( t) dt cost cos t... cos tdt = = = * * E (*) se usa que cos tdt =, N, además de liealidad. 7

10 Ates de cotiuar busquemos expresioes para las sumas parciales de la serie de Fourier de ua fució que será usadas más adelate. Por la defiició de úcleo de Dirichlet, teemos que S f x f t D x t dt (.3) ( ) = ( ) ( ) Mediate el cambio de variable x t = u e la formula aterior, se obtiee la igualdad S f ( x) = f ( x u) D ( u) du f ( x u) D ( u) du f ( x u) D ( u) du al ser f y D = = fucioes co período x x x+ x uego obteemos la formula S f x f x u D u du (.4) ( ) = ( ) ( ) Por otra parte si el cambio de variable es x t = u se obtiee S f ( x) = f ( x + u) D ( u) du y teiedo ecueta que D es par resulta S f ( x) = f ( x + u) D ( u) du. Partiedo de esta última igualdad y haciedo u = u e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), resulta que S f ( x) = f x + u D u du = f x + u D u du f x u D u du y como D es par f ( x + u) f ( x u) D ( u) du. Fialmete obteemos las formulas S f x f x u D u du (.5) ( ) = ( + ) ( ) S f x f x u f x u D u du (.7) ( ) = ( + ) ( ) ( ) 8

11 A cotiuació se eucia u lema que es fudametal para estudiar el comportamieto de la serie de Fourier de ua fució. ema de Riema-ebesgue Sea f : R R ua fució itegrable. b Etoces; ( ) ( λ ) ( ) ( λ ) lim f x se x dx = lim f x cos x dx = λ + a b λ + a Como hemos visto e.9 los coeficietes de Fourier se obtiee por medio de itegrales e u período. uego si dos fucioes coicide e el etoro de u puto, pero o e el resto del período sus coeficietes y series o tiee porque ser iguales. Esto podría implicar que el comportamieto de ambas series puede ser distito e dicho puto. Si embargo como se demuestra e la siguiete proposició o es así ya que ambas series tiee el mismo comportamieto. Proposició.3 (Pricipio de localizació de Riema). i. Sea f ua fució itegrable co período, y x u elemeto de su domiio. ( ) ( + ) Si f x = para x x δ ; x δ y algú δ > etoces, ( x ) lim S f =. ( ) = ( ) ( δ δ ) ( ) ( ) ii. Si f y g so dos fucioes itegrables co período tales que f x g x para x x, x +, etoces existe lim S f x, existe lim S g x y ambos so iguales; o o existe iguo de los dos. Demostració: S f x f x t D t dt, luego aplicado la hipótesis i. Recordemos que ( ) = ( ) ( ) resulta que ( ) ( ) ( ) def. úcleo Dirichlet f ( x t) S f x = f x t D t dt = se( ( + ) t) dt t δ t δ t t Observemos que la fució si cumpla δ t.. si es cotiua y o se aula para todo valor de t que 9

12 uego al ser f ( x t) itegrable la fució g ( t) ( ) f x t si δ t = se si t t es itegrable. Ahora os ecotramos e las hipótesis del ema de Riema- ebesgue lo que os asegura que S f ( x ) como se quería probar. ii. Para demostrar debemos observar que S ( )( ) f g x (*) por parte. Como para todo atural S ( )( ) f g x lim S f = S f ( x ) - S g ( x ) ( x ), debe existir y ser el mismo el S g ( x ) lim lim Ahora si o existe S f ( x ) tampoco existe S g ( x ) lim, etoces si existe el por (*)., ya que de existir tedríamos al ser la resta de ambos límites igual a cero etoces despejado llegaríamos a la igualdad lim S g ( x ) lim S f ( x ) = lo que es absurdo. El siguiete teorema da ua codició suficiete para la covergecia putual de la serie de Fourier. Proposició.4 Sea f ua fució itegrable e (, ) que tiee derivadas laterales e el puto x e el setido mecioado. Etoces la serie de Fourier de f coverge e x a Demostració: + ( ) + ( ) f x f x. Sea x R. Cosideremos ahora la sucesió de sumas parciales de la serie de Fourier de S f x f x t D t dt f ; etoces ( ) = ( + ) ( )

13 + ( ) + ( ) f x f x Probemos que S f ( x) utilizado el ema Riema-ebesgue. + + f ( x ) + f ( x ) f ( x ) f ( x ) S f ( x) = f ( x t) D ( t) dt D ( t) dt D ( t) dt + = + ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x + t f x D t dt f x + t f x D t dt = ( ) ( ) + f x + t f x f x + t f x se( ( ) t) dt se (( ) t) dt (*) t t si si + ( + ) ( ) + ( ) + ( ) f x f x Recordemos que el objetivo era probar que S f ( x), para lo que se demuestra que cada uo de los térmios de la suma (*) tiede a cero. f x t f x Ahora para t [, ], sea g ( t) =. t se Múltiplicado y dividiedo por t resulta, g t t ( ) + ( + ) ( ) ( ) + ( + ) ( ) f x t f x t itegrable ya que por hipótesis lim y la discotiuidad de t t t se e es evitable. uego existe el lim g t y etoces g es itegrable e,. f x t f x t = que es t t se [ ] aplicado el lema Riema- ebesgue se prueba que el primer térmio tiede a.

14 Aalogamete se prueba que el segudo termio tiede a lo que permite afirmar que + ( ) + ( ) f x f x la serie de Fourier de f coverge putualmete a e x. No es meor observar que si a las hipótesis le agregamos la cotiuidad de f e x la serie de ( ) Fourier coverge putualmete a f x e x. Como se muestra e siguiete ejemplo la proposició aterior es ua herramieta para calcular series uméricas. Ejemplo.4: Clasifiquemos la serie umérica ( i ) i= + Sea la fució :(, ) R ; ( ) g g x = x, luego su serie de Fourier es 4 cos3x cos5x cos 7x cos x y por el teorema aterior coverge putualmete a g e (, ) y podemos escribir 4 Evaluado e cero queda = y despejado cocluimos que = uego la serie es covergete y i= ( i + ) = 8

15 Si os deteemos a pesar u istate sobre el teorema aterior podría surgir la preguta, al meos parece haber sucedido tiempo atrás, sobre si la cotiuidad de ua fució es suficiete para asegurar la covergecia putual de su serie de Fourier a ella. Cómo dice Javier Duoadioetxea e sus otas: Ua cuestió a la que durate mucho tiempo se trató de respoder fue la de si la cotiuidad de la fució era codició suficiete para la covergecia de la serie de Fourier hacia la fució. os idicios parecía sugerir ua respuesta positiva, de modo que se puede cosiderar que fue ua sorpresa etre los matemáticos el resultado que P. du Bois-Reymod demostró e 873. El euciado del teorema que demostró P. du Bois Reymod es el siguiete: Existe ua fució cotiua cuya serie de Fourier diverge e u puto E el cotexto descrito ateriormete el resultado que sigue (Teorema de Fejer) cobra u valor sigificativo, ya que demuestra como mediate u cambio e el procedimieto de asigar a la serie u valor suma, se puede ampliar la clase de fucioes cotiuas que se recupera coociedo su serie de Fourier y además co covergecia uiforme. Pero ates del teorema es ecesario camiar u poco más. Defiició.5 Sea λ, λ,... ua sucesió de úmeros reales. a sucesió de las medias de Cesaro, o... medias aritméticas, de la sucesió ( λ ) N es la sucesió ( σ ) : σ = λ + λ + + λ. + Sea f : ( ) S N R R ua fució de período ; itegrable e el itervalo [ ; ] y sea la sucesió de sumas parciales de las serie de Fourier de f. Cosideremos sus medias de Cesaro para x [, ]. (.7) σ ( x) ( ) + ( ) + + ( ) S x S x... S x = + E la pág. 9 de las otas de Javier Duoadiotxea se ecuetra ua demostració del teorema. 3

16 De la formula (.5) se deduce (.8) σ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D t + D t D t x = f x t dt + + Defiició.6 El úcleo de Fejer es la sucesió de fucioes ( K ) (.9) K ( t) ( ) + ( ) + + ( ) D t D t... D t = + dode ( D ) N defiida por N es el úcleo de Dirichlet. Observació: Al sustituir (.9) E (.8) se obtiee la fórmula x f x t K t dt (.) σ ( ) = ( + ) ( ) Proposició.7 (Propiedades de úcleo de Fejer) Sea( K ) N el úcleo de Fejer. Etoces: i. K ( t) dt = ii. K ( t) ( ) ( + ) t se = ( + ) t se iii. K t y es par. Demostració: * ( ) = N i. Es imediato ya que D t ;. 4

17 t si t si si t t + + cos t cos( ( + ) t) ii. sabemos que t / si D ( t ) = = = t t cost si si de dode, K ( t) + t si D ( t) + D ( t) D ( t) cos( + ) t + ( + ) cos t ( + ) t si = = = ( ) iii. De la propiedad ii se deduce que pares. K es positivo y es par por ser el promedio de fucioes 5

18 Ahora si veamos el teorema al que me referí ates. Teorema de Fejer.8 Sea f : R R ua fució cotiua de período, sea ( σ ) N la sucesió de las medias de Cesaro de las sumas parciales de la serie de Fourier de f. Etoces ( σ ) coverge uiformemete a f e R. Demostració: Sea ε > f ( ) [ ] es cotiua por lo tato es uiformemete cotiua y acotada e, por tratarse de u itervalo compacto. Etoces existe M > tal que f x M para todo x R y por ε la cotiuidad uiforme para ε dado; existe δ > tal que f ( x) f ( x ) < ; si x, x R y x x < δ. Ahora sea x R, etoces σ ( ) ( ) ( ) ( ) ( x) f x f x = f x t K t dt K ( ) ( ( ) ( )) ( ) t dt f x t f x K t dt + = + * K ( ) ( ) ( ) f x + t f x K t dt = δ δ = f ( x t) f ( x) K ( t) dt f ( x t) f ( x) K ( t) dt f ( x t) f ( x) K ( t) dt δ δ ε > c.u. δ δ Fejer es positivo y se t ε M M K ( t) dt K ( t) dt K ( t) dt + + δ δ Fejer δ es par ε M M ε M K ( t) dt dt dt dt + + = + ( + ) t ( ) t ( ) t δ se + se + δ se E * se utilizo (.9) y la propiedad i del úcleo de Fejer. Hasta aquí teemos que 6

19 ε M σ ( x) f ( x) + dt ( + ) t δ se t Observemos que se es creciete si t, etoces si < δ t t δ se se uego dt ( δ ) t δ δ δ se se se ε M M Por lo tato σ ( x) f ( x) + = ( + ) δ se ( + ) se ecotrada o depede de x. y observemos que la cota δ M M Como lim =, existe j N tal que si j etoces δ δ ( + ) se ( + ) se E sítesis, ε ε dado ε > ; j N tal que j σ ( x) f ( x) + = ε x R lo que implica que σ coverge uiformemete a f e R. Nota: Observemos que lo que se ha probado es que la cotiuidad es codició suficiete para que las medias de Cesaro de las sumas parciales de la serie de Fourier de ua fució periódica coverja uiformemete a la fució e R. o que o quiere decir que la serie de Fourier coverja a la fució. Como ates se mecioó existe cotraejemplos que prueba lo cotrario. 7

20 3. Itegració y derivació de la serie de Fourier de ua fució. Proposició 3. ( ) cos = ( ) [ ] Sea f : R R ua fució de período ; cotiua e, co serie de Fourier Etoces para a y b R, se cumple que b a a f ( t) dt = ( b a) + a f x = + a x + b sex = a seb sea b cos b cos a ( ) ( ) Ates de demostrar esta propiedad observaremos que dado u itervalo I R cerrado y acotado, y ua fució f : I R cotiua, etoces la fució x ( ) ( ) F : I R ; F x f t dt (co x I ) es cotiua y derivable e I. Además F es = primitiva de f. x Demostració: F F x = f t dt que tiee período ya que por la proposició.8 Sea : ( ) ( ) x a o x+ x x+ a a a F ( x + ) = f ( t) dt = f ( t) dt + f ( t) dt = a F x f t dt F x f t dt a F x ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = ( ) Además por la observació aterior es cotiua y derivable e [, ], lo que permite aplicar la proposició.5 para afirmar que la serie de Fourier de F coverge putualmete a la dicha fució e R. Ahora si la serie de Fouirier de F es + ( A cos x + B sex) A coeficietes itegrado por partes si. = x calculemos sus 8

21 sex a A F( x) cos xdx F ( x) f ( x) sexdx b = = = Aálogamete se llega Por lo tato B a =. x A asex b cosx ax A asex b cosx = + f t dt = + + ( ) lo que implica ( ) F x = = para obteer el resultado evaluamos la fórmula aterior e x = b, e x = a y restamos aplicado liealidad de series. Ates de cotiuar observemos que e el teorema aterior la covergecia de la serie de Fourier de F o depede del comportamieto de la de f ; además de que el resultado implica que la serie de Fourier se puede itegrar térmio a térmio. Proposició 3. Sea f : R R ua fució derivable de período ; co serie de Fourier a + + = ( a cos x b sex) Si f ' es cotiua a trozos, etoces la serie de Fourier de f ' es = ( b cos x a sex) Es decir, que la serie de Fourier de ua fució se deriva térmio a térmio. Demostració: Sea a y b los coeficietes de Fourier de f. es período de f uego, a = f ( t) dt f ( ) f ( ) = = a = f ( t) cos tdt f ( x) cos x f ( t) setdt b = + = Aalogamete se prueba que b = a. Ua ves que calculados los coeficietes se puede escribir la serie de Fourier de f = ( b x a sex) que es cos, lo que demuestra la proposició. 9

22 4. Desarrollo e series de seos y coseos. Fucioes de período arbitrario. Sea f : R R ua fució de período ( > ), si defiimos x ϕ : R R tal que ϕ ( x) = f, etoces ϕ tiee período. Este cambio de variable permite trasladar los resultados ates estudiados para fucioes de período a fucioes de período. a serie de Fourier de ua fució de período e itegrable es de la forma: a x x + a cos b se + = Dode (4.) (4.) x a = f ( x) cos dx,. N y x b = f x e dx N * ( )s,. Desarrollo e serie de coseos y e series de seos. Sea f : R R ua fució de período ( ) a x x co serie de Fourier: + a cos b se + = Ahora si f es par por? [ ] >, itegrable e el itervalo [ ] c. v. x= x e, f es par x x x b = f ( x)s e dx f ( x)s e f ( x)s e dx = + = x x f x e e dx * ( ) s s =, N. Por otra parte, [ ] c. v. x= x f y cos so e, fucioes par x x x a = f ( x) cos dx f ( x)cos f ( x)cos dx = + = x f ( x)cos dx N.,,

23 Resumiedo si f es ua fució de período ( > ), itegrable e el itervalo [, ] y además es par sus coeficietes de Fourier so: (4.3) * x, N y ( )cos. N b = a = f x dx Ahora bie, si partimos de las hipótesis ateriores cambiado el hecho de que f sea ua fució par por el de que sea impar, mediate u razoamieto aálogo se prueba que (4.4) x b = f x se dx a N = N * ( ), y,. Supogamos etoces que teemos ua fució f itegrable defiida e u itervalo [, ] para algú mayor que cero. Si defiimos ( ), si [, ] ( ), si [,] f x x g : g ( x) = etoces g es ua extesió par de f al itervalo [, ]. f x x uego, siguiedo lo ates aalizado la serie de Fourier de g sólo tiee coseos y se llama serie de Fourier de coseos de f o desarrollo e serie de coseos de f y sus coeficietes se calcula co la formula (4.3). Por otro lado si defiimos ( ), si [, ] f ( x), si x [,] f x x h : h( x) = etoces h es ua extesió impar de f al itervalo [, ]. E este caso la serie de Fourier de g sólo tiee seos y se llama serie de Fourier de coseos de f o desarrollo e serie de seos de f y sus coeficietes se calcula co la formula (4.4).

24 5. Ecuació de la cuerda vibrate. A cotiuació se cosidera la ecuació de la cuerda vibrate y la ecuació del calor e dos situacioes secillas y se resuelve co el método de separació de variables combiado co el método de expasió e series trigoométricas. Plateamieto del problema. Cosideremos ua cuerda de logitud, fija e sus extremos y que vibra e u plao xu libre de fuerzas exteras. Además la logitud de la cuerda es lo suficietemete pequeña como para cosiderar que cada puto de la misma se mueve e solamete e direcció vertical y su posició de equilibrio queda a lo largo del eje x. Etoces este movimieto se puede describir mediate ua fució de dos variables u ( x, t ). Esta fució expresa el desplazamieto del puto de la abscisa x e el istate t ; es decir que si fijamos t y cosideramos el gráfico de la fució u ( x ) (pues ahora solo depede de la variable x ), resulta que su gráfico es la forma de la cuerda e el istate t. u (x, t) u(x,t ) u(x,t ) x uego la fució u ( x, t ), que describe el movimieto de la cuerda, satisface la ecuació e derivadas parciales (5.) u u =, x a t dode a es ua costate positiva, que depede de la tesió y otras características físicas de la cuerda.

25 (5.) a solució de la ecuació (5.) se hará sujeta a las siguietes codicioes de borde: u (, t) = u (, t) ; t (sigifica que los extremos de la cuerda siempra está fijos) u ( x, ) = f ( x) (sigifica que la forma iicial de la cuerda es coocida y está dada por el gráfico de f ) u ( x,) = g ( x) (tambié se cooce la velocidad iicial e cada puto de la cuerda y está dada por g) t Solució de la ecuació por el método de separació de variables. Comecemos buscado solucioes o triviales de la ecuació (5.) que tega la forma y que cumpla ( ) ( ) (, ) = v( x) p ( t) u x t u, t = u, t para t. Observemos etoces que si derivamos primero segú x y luego segú t obteemos las u x u t siguietes igualdades = v ''( x) p( t) y = v( x) p ''( t) Al sustituir e (5.) resulta v ''( x) p( t) v( x) p ''( t) (5.3) = que equivale a la ecuació a ( ) ( ) ( ) ( ) v '' x p '' t = v x a p t Si prestamos ateció a la ecuació (5.3) podemos ver que uo de los miembros depede x mietras que el otro depede de t por lo que ambos cocietes debe ser igual a ua costate a la que llamaremos λ obteiedo el siguiete sistema de ecuacioes difereciales que equivale a la ecuació (5.3) (5.4) ( ) λ ( ) v '' x v x = ( ) λ ( ) p '' t a p t =. Primero aalicemos la ecuació v ( x) λv( x) '' = (4.5) Recordemos que pedimos que ( ) ( ) ( ) v( ) v = = (*) u, t = u, t para t lo que implica que Ahora discutamos la solució de (5.5) segú el sigo de λ. 3

26 Caso : Si λ = E este caso (5.5) es v ''( x ) = y su solució geeral es v( x) C Cx, co C y C pero por (*) C y C debe ser ; obteiedo así solo la solució trivial. = + R, Caso : Si λ > v x = C e + C e, co C y C R, pero λ x λ x E este caso la solució geeral de (5.5) es ( ) uevamete por (*) C y C debe ser ; obteiedo así solo la solució trivial. Caso 3: Si λ < E este caso la solució geeral de (5.5) es v x = C cos x + C se x, co C y C R. (5.6) ( ) ( λ ) ( λ ) = debe ser = y como = debe ser =, lo que implica Como v( ) C v( ) Cse( λ) que para que la solució o sea trivial se debe cumplir se( ) λ =, siedo u etero positivo. λ =, de dode De la solució geeral (5.6) obteemos que para cada etero positivo, la fució v : v ( x) = h se x, co h ua costate real, es ua solució de la ecuació (5.5) uego podemos sustituir el valor de λ hallado e la seguda ecuació del sistema (5.4) obteiedo la ecuació diferecial p ( t) a p( t) '' + =, cuya solució geeral es de la forma p ( t) = α cos at + βse at, dode α y β so costates reales. Fialmete para cada etero positivo, teemos ua solució de la ecuació (5.) de la forma u ( x, t) = A cos at + Bse at se x, dode A y B so costates reales. Hasta aquí hemos ecotrado u solució para la ecuació (5.) sujeta a la primer codició de las tres que se pide (5.), faltaría cosiderar las últimas dos. 4

27 Ahora bie, supogamos que la solució de la ecuació (5.) sujeta a las codicioes (5.) se puede expresar como sigue u ( x, t) u ( x, t) a térmio. uego por (5.) tedríamos que u ( x,) = f ( x) A se x = f ( x) ( x,) = g x abse x = g x t = = = = ( ) ( ) = y que es posible derivar la serie térmio = Fialmete por el desarrollo e serie y coseos tedríamos que A y B A = f ( x) se x dx y B g ( x) se x dx = a Ua ves que hallamos u valor de A y B se podría decir que ecotramos ua solució de la ecuació (5.) sujeta a las codicioes (5.); pero faltaría probar que uestras suposicioes so ciertas y para ello euciaremos el siguiete teorema. 3 Proposició. Sea u úmero real positivo y sea f, g :[, ] R fucioes tales que i. f f f [ ] f ( ) f ( ) f ( ) f ( ), ', '' so cotiuas e, y = '' = = '' = ii. g g [ ] g ( ) g ( ) y ' so cotiuas e, y = = A f x se x dx B g x se x dx a ugo si, = ( ) y = ( ) que la serie ( ) se cumple u x, t = A cos at + Bse at se x = coverge uiformemete y absolutamete a ua solució de la ecuació u u = x a t 3 Se puede ver ua demostració del teorema e D. Kreider, R. Kuller, D. Otsberg y F. Peris. Itroducció al Aálisis ieal, Parte. Fodo Educativo Iteramericao, , 57. 5

28 Observemos que si pesamos e uestro problema, al estar los extremos de la cuerda fijos la hipótesis i de la proposició aterior se cumple y por la misma razó la velocidad iicial e x = y x = es y por lo tato la hipótesis ii tambié se cumple. Quizás ahora, después de chequear ciertas codicioes y co u croómetro e mao te aimes a hacer acrobacias e ua cuerda. 6

29 Bibliografía Bruzual Ramó, Domíguez Marisela. Series de Fourier. Caracas-Veezuela, marzo 3. Carl B. Boyer. Historia de la matemática. Versió de Mariao Martíez Pérez. Aliaza Editorial. Cristóbal R Sata María. Series de Fourier. Aspectos Históricos UNAM Bueos Aires. (Material bajado de Iteret). de Olivera, Federico. Notas del curso de Aálisis I. IPA 8 Duoadioetxea Javier. eccioes sobre las series y trasformadas de Fourier. UNAN-Maagua, 3 Tom M. Apostol. Calculus Volume I y II seguda edició. Reverté, s.a. 7