Unidad III: Series de Fourier

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Unidad III: Series de Fourier"

Álvaro Padilla Cortés
hace 7 años
Vistas:

1 // Uia III: Series e Fourier Fuioes ortogoales. Series e Fourier. Series e Fourier e oseos y seos. Forma omleja e la serie e Fourier. eorema e Parseval. Esetro e freueia isreta. Esetro e oteia. FVC- Reaso Series e Fourier (Cálulo e varias variables Sea f (x efiia e itervalo (-, Se eomia serie e Fourier e f a la serie trigoométria Doe π x π x f ( x a + a.os + b. se a a b f ( x x πx f ( xos x πx f ( x se x ( Coefiietes e Fourier FVC- Coiioes sufiietes e overgeia e la serie e Fourier (Cálulo e varias variables Reformulaió y extesió al amo omlejo Sea f y f otiuas or artes e(, ( FVC- ( Etoes la serie trigoométria overge a f ( x x, oe f es otiua f ( x+ + f ( x y a e los utos e isotiuia 3 Reemlazamos x or t (tiemo Fuioes erióias f : D R R f ( t + m f ( t ara m Z π f erióia e eríoo ω FVC- 4

2 // Series e Fourier (FVC Sea f (t erióia e erioo Se eomia serie e Fourier e f a la serie trigoométria El ojuto ifiito e fuioes {,os( ωt, se( ωt,...,os( ωt, se( ωt...} f ( t a + a.os( ωt + b. se( ωt ( es u ojuto ortoormal e el itervalo Doe a a b f ( t f ( t os f ( t se ( ωt π oe ω ( ωt,,... FVC- 5 t + FVC- 6 Series e Fourier f ( t a + a.os( ωt + b. se( ωt a A, a A. se( φ, b A.os( φ b. se( ωt + a.os( ωt A.os( φ. se( ωt + A. se( φ.os( ωt A se( ωt + φ a A a + b, φ arta b FVC- 7 Series e Fourier Sea f ua fuió erióia e eríoo. Se eomia serie e Fourier e f a la serie trigoométria f ( t A + Ase( ωt + φ + A se( ωt + φ A se( ωt + φ +... f ( t A + A. se( ωt + φ FVC- (4 8

3 // Doe π ω es la freueia e f ( t A i y φ i so ostates A. se( ωt + φ Primer armóio o moo fuametal A φ A. se( ωt + φ -ésimo armóio f ( t A + A. se( ωt + φ Amlitu el -ésimo armóio. Agulo e fase: retraso o aelato ω Freueia el -ésimo armóio FVC- 9 Forma omleja e la serie e Fourier f ( t a + a.os( ωt + b. se( ωt ( jωt jωt se( ωt ( e e j jωt jωt os( ωt ( e + e FVC- Forma omleja o exoeial e la serie e Fourier Forma omleja e la serie e Fourier a jωt jωt b jωt jωt f ( t a + ( e + e +.( e e j ( a jb jωt ( a + jb jωt a + e + e (4 a ( a jb C * ( a + jb C C ( 5 FVC- jωt f ( t + e +. e jωt + e +. e jωt f ( t e (4 osierao: FVC- jωt jωt j. ω. e e 3

4 // Coefiietes e Fourier omleja a + f ( t a jb + + f ( t(os f ( t e jωt ( ωt jse( ωt Forma omleja o exoeial e la serie e Fourier Sea f ua fuió erióia e erioo. La serie e Fourier e la forma omleja e f está aa or j t f ( t. e ω (4 o oefiietes + jω t f ( t. e (7 Z FVC- 3 FVC- 4 eorema e la multiliaió (Forma omleja Sea f ( t y g( t os fuioes erióias e igual eríoo, etoes: + * f ( t g( t ( 8 oe y so los oefiietes e las exasioes e series e Fourier omlejas e f ( t y g( t resetivamete. FVC- 5 Imortaia el teorema e la multiliaió Nos ermite relaioar el valor meio el routo e os fuioes erióias e u erioo, e fuió e los oefiietes e Fourier e la forma omleja. Caso artiular g(t f (t ( teorema e Parseval que veremos FVC- 6 4

5 // eorema e la multiliaió (forma trigoométria Sea f ( t y g( t os fuioes erióias que tiee el mismo eríoo, etoes: + f ( t g( t a ( a b ( 9 α + α + β 4 Doe a, b, α y β so los oefiietes reales e las series e Fourier trigoométrias e f ( t y g( t resetivamete. FVC- 7 Parto e la forma omleja el teorema + f ( t g( t + + * De la relaió etre los oefiietes se tiee: + f t g t αa + aα + b β 4FVC- 8 ( ( ( eorema e Parseval (Forma omleja Sea f ( t ua fuió erióia e eríoo, etoes + [ ] * f ( t ( oe los so los oefiietes e la exasió e serie e Fourier omleja e f ( t. eorema e Parseval (Forma trigoométria Sea f ( t es ua fuió erióia e eríoo, etoes [ f t ] a + ( a + b + ( ( 4 oe a. y b so los oefiietes e la serie e Fourier trigoómetria e f ( t FVC- 9 FVC- 5

6 // El valor raíz uarátia meia (RCM e ua fuió erióia f (t simbolizao or f RCM Coseueia imortate el teorema e Parseval está ao or: f RCM + Ejemlo e eletriia: valor efiaz e ua orriete altera [ f ( t] ( Relaioa f RCM e ua fuió erióia f(t o los oefiietes e la serie e Fourier f RCM + [ f ( t] (3 FVC- FVC- Forma omleja e la serie e Fourier f ( t. e Sieo Si jωt. e ( ω t+ φ j e jφ FVC- 3 Series e Fourier. 4 Esetros e freueias isretas o esetros e líea e ua fuió erióia La serie e Fourier os ermite obteer ua reresetaió e el omiio e la freueia ara fuioes erióias f(t. Esetro e amlitu reresetaió gráfia e vs ω ω Esetro e fase reresetaió gráfia e φ vs ω ω FVC- 6

7 // Esetro e amlitu y e fase se obtiee a artir e los oefiietes a + b Z + A a b (amlitu el -ésimo armóio FVC- 5 Poteia romeio e f(t La oteia romeio P e ua señal erióia f(t e eríoo está efiia omo el valor uarátio meio e f P + Por teorema e Parseval P [f(t] FVC- (4 (5 6 O bie P P P + [ f(t ] ( a + b 4 a + ( a + b La oteia el -ésimo armóio es ( sumo la orres.a y a - Esetro e Poteia La oteia romeio P asoiaa o ua señal f(t está efiia omo: P + [ f(t ] (6 FVC- 7 FVC- 8 7

8 // Ejemlo Si f(t rereseta el voltaje v(t aliao a u resistor, etoes P rereseta la oteia romeio, meia e watts, que isia u resistor RΩ P + [v(t] eorema e Parseval Valor raíz uarátia meia e f(t: f RCM (Valor efiaz Poteia romeio asoiaa a f(t: P FVC- 9 FVC- 3 8

Documentos relacionados

1. Diagramas Frecuenciales Respuesta en Frecuencia 2

1. Diagramas Frecuenciales Respuesta en Frecuencia 2 04 a Diagramas Frecueciales.doc 1 1. Diagramas Frecueciales 1. Diagramas Frecueciales 1 1.1.1. Respuesta e Frecuecia 1.. Presetació de la Respuesta e Frecuecia - Diagramas de Bode 8 1..1. Caso Particular: