Una función es una correspondencia única entre dos conjuntos numéricos.
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- Pablo Ramírez Cano
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1 FUNCIONES Qué es una función? Una función es una correspondencia entre dos conjuntos de números de modo que a cada valor del conjunto inicial, llamado dominio, se le hace corresponder un valor del conjunto final, llamado imagen o recorrido. Cómo puedo identificar una función? Para ser función debe cumplir dos condiciones: 1. La correspondencia debe ser numérica, es decir, tanto el conjunto inicial como el conjunto final deben ser numéricos. 2. A cada valor del conjunto inicial le corresponde un único valor del conjunto final. Una función es una correspondencia única entre dos conjuntos numéricos. Cómo se define una función? Para definir una función necesitamos saber el conjunto inicial y final. La función f entre A y B, donde A es el conjunto inicial y B es el conjunto final, se define como: f: A B Esto se lee como la función f está definida de A en B. Ejemplo: Sea una función f definida como f: Z R, Podría pertenecer al dominio un número decimal? Y al conjunto imagen o recorrido? Si observamos la definición de la función, el dominio es Z y la imagen es R. Así, un número decimal pertenece a los números reales, pero no a los enteros. Por tanto, sí puede ser de la imagen, pero nunca del dominio. Qué es una variable? Una variable es un valor que varía, es decir, que cambia. Esta variable al ir cambiando, por tanto puedo tomar distinto valores. A diferencia de una constante que un valor inmutable y que no varía a lo largo del tiempo. Qué es la variable independiente? Es una variable que representa a los valores del conjunto inicial, es decir, del dominio. Se le denomina variable independiente por dos motivos. Primero por ser un valor cambiante, de ahí lo de variable. Segundo, porque su valor no depende de nadie, de ahí lo de independiente. Normalmente se suele usar la letra x para nombrarla. Qué es la variable dependiente? Es una variable que representa a los valores del conjunto final, es decir, de la imagen o recorrido. Se le denomina variable dependiente por dos motivos. Primero por ser un valor cambiante, de ahí lo de variable. Segundo, porque su valor depende, de ahí lo de dependiente, del valor que haya tomado la variable independiente: para conocer el valor de la variable dependiente debo partir de un valor de variable independiente, es decir, del dominio. Normalmente se suele usar la letra y para nombrarla. 1
2 Cómo se representa una función? Existen diversas formas de representar una función. A continuación se presentan algunas de ellas: Diagrama de Venn El diagrama de Venn es una representación gráfica de los conjuntos que sirve para establecer la relación o correspondencia entre los elementos de cada uno de ellos. La principal ventaja que presenta que es nos aporta claridad en la comprensión de la relaciones entre elementos. x 1 y 1 x 2 x n correspondencia y 2 y n Dominio Imagen Modelo de caja de números Una función puede entenderse como una caja que genera números. Dicha caja va a proporcionar un número a su salida a partir del número que hay a la entrada. Así cuando a la caja o función entra el número x a la salida no tenemos x sino otro número que la caja habrá calculado, es decir, y. Expresión o ecuación e de una función Se denomina ecuación de una función a una expresión algebraica, es decir, formada por números y letras que permite obtener el valor de la variable dependiente y a partir del valor de la variable independiente x. Dicha expresión se escribe como y= f x y se lee y igual a f de x o y es función de x. Ejemplo: f x = x 2 Ejemplo: 2 Tabla de valores x Función y= f ( x ) Una función se puede representar como un conjunto de valores dispuestos en una tabla. 2
3 Ejemplo: Construir una tabla de valores de la función = 2. Para ello, tenemos que dar valores a la variable independiente x y ver qué resulta para la variable dependiente y. x y 0 =0 2= =1 2= =2 2= =3 2=7 1 1 Representación gráfica g o Gráfica de una función Es una representación gráfica sobre los ejes cartesianos de los valores de la función. En dicho plano cartesiano se representa las parejas de números, o dicho de otra forma,. Cada función tendrá una gráfica característica que nos aporta mucha información sobre esta. Ejemplo: Representar gráficamente la función = 2. Aprovechando la tabla de valores del ejercicio anterior podemos representar los puntos A, B, C, D. Repitiendo el proceso para más puntos y uniéndolos obtenemos una gráfica como la que se puede ver a la derecha. Monotonía Se denomina monotonía al comportamiento de la función en cuanto al crecimiento o decrecimiento de las imágenes de la función en un intervalo del dominio. Así, se pueden distinguir tres tipos de comportamiento: Monótona creciente. Cuando las imágenes de la función aumentan a medida que aumenta la variable independiente. Monótona decreciente. Cuando las imágenes de la función disminuyen a medida a medida que aumentan la variable independiente. Constante. Cuando la función ni crece ni decrece. Sean y dos valores cualesquiera del dominio de tales que cumplen que >, si: > la función es monótona creciente. < la función es monótona decreciente. = la función es constante. 3
4 Función monótona creciente Función monótona decreciente Puntos extremos Son aquellos puntos en los que la función alcanza valores extremos, es decir, valores muy grandes o valores muy pequeños. Aquí podemos distinguir dos tipos de puntos extremos: Extremos absolutos. Extremos relativos. El máximo absoluto de una función es el punto de mayor ordenada. El mínimo absoluto de una función es el punto de menor ordenada. El máximo relativo de una función es un punto cuya ordenada es mayor que los puntos que lo rodean, es decir, es el punto mayor de los puntos del entorno del punto. El mínimo relativo es el punto menor de los puntos que le rodean. Los máximos relativos son aquellos puntos donde la función pasa de ser creciente a ser decreciente. Los mínimos relativos son aquellos puntos donde la función pasa de ser decreciente a ser creciente. Ejemplo: Encontrar los extremos absolutos y relativos de la siguiente función. Máximo absoluto: 2,4 Mínimo absoluto: 1, 2 Máximo relativo: 3,2 Mínimo relativo: 4, 1 4
5 Puntos de corte Son aquellos puntos en los que la función corta a los ejes de coordenadas. Así tendremos dos tipos de puntos corte: Eje de abscisas o eje OX. Eje de ordenadas o eje OY. Los puntos de corte con el eje OX son aquellos puntos que tienen como ordenada cero, es decir, = =0. Así, para obtener dichos puntos habrá que resolver la ecuación correspondiente. Así, los puntos tendrán la forma,0 donde =0. Los puntos de corte con el eje OY son aquellos puntos que tiene como abscisa cero, es decir, =0. Así para obtenerlos, habrá que sustituir en la expresión de la función por =0. Así, los puntos tendrán la forma 0,, donde: = 0. A los puntos de corte con el eje OX también se le denominan raíces o ceros de la función. Simetría Una función es simétrica si existe una correspondencia exacta en la forma que tiene su representación gráfica. Se pueden distinguir dos tipos de simetría: Simetría par o respecto del eje de ordenadas Simetría impar o respecto del origen. Función con simetría par Función con simetría impar Sea un valor del dominio de la función si se cumple que: = Simetría par = Simetría impar. Ejemplo: Demostrar qué simetría tiene la función = 2. Calculamos y dependiendo de lo que obtengamos será par o impar. = 2= 2= Por tanto, como ha resultado que = podemos concluir que la función tiene simetría par. 5
6 Continuidad Una función es continua si se puede trazar sin levantar el lápiz del papel. Dicho de otra forma, es continua si tiene todos los puntos uno a continuación del otro, es decir, no presenta ni huecos ni saltos. Se denominan puntos de discontinuidad a aquellos puntos en los que la función no es continua. Ejemplo: Encuentra los puntos de discontinuidad de la función =1/ Si representamos gráficamente la función obtenemos la figura de la derecha. Se observa que la función es continua excepto cuando x = 0. En este punto se produce una discontinuidad. Se dice, pues, que la función tiene una discontinuidad en x = 0. Periodicidad Una función es periódica si los valores de las ordenadas se van repitiendo cada cierto tiempo llamado periodo. En una función periódica se cumple que = + donde T recibe el nombre de periodo. Asíntotas Ilustración: Ejemplo de una función periódica Se denominan asíntota a la recta a las que se aproxima la función a medida que la función se acerca a infinito o cuando se aproxima a un punto de discontinuidad. Cabe destacar que la función, en la zona de comportamiento asintótico, no va a alcanzar nunca a la recta asíntota. Existen tres tipos de asíntotas: 6
7 Horizontales. Verticales. Oblicuas. Asíntota horizontal Es una recta horizontal, es decir, paralela al eje OX, a la que se aproxima la función cuando x tiende a ±. Si ±, entonces la función tiende a un número a. La ecuación de la asíntota horizontal es: y = a. El símbolo se lee como tiende a. Así, x +, se lee como x tiende de infinito y x, x tiende a menos infinito. Cuando x tiende infinito, eso indica que x va tomando valores cada vez más grandes, acercándose a infinito, pero nunca puede llegar a valer infinito, pues infinito es un valor no alcanzable. Ejemplo: Encuentre la asíntota horizontal de la función =1/ Si representamos gráficamente la función obtenemos la figura de la derecha. Cuando +, entonces observamos que la función se acerca a y = 0. Cuando, entonces observamos que la función se acerca a y = 0. Asíntota horizontal: y = 0. Se puede definir como: lim x + lim x f x = a Asíntota horizontal: y = a f x = a Asíntota horizontal: y = a La palabra lim se lee como limite es indica el valor al que se aproxima la función cuando la variable independiente x tiene una cierta tendencia, indicada en el pie del límite. Note, que el valor del límite también es un valor no alcanzable, pues no estamos acercando al valor pero nunca llegamos, pues se trata de una tendencia. Asíntota vertical Es una recta vertical, es decir, paralela al eje OY, a la que se aproxima la función cuando x tiende un punto de discontinuidad. La asíntota vertical ocurre si sucede alguna de las siguientes condiciones: Si, entonces ± : 7
8 o La ecuación de la asíntota vertical por la derecha de es: x = a. Si, entonces ± : o La ecuación de la asíntota vertical por la izquierda es: x = a. Si, entonces ± : se lee como si x tiende al punto a por la derecha, entonces la función tiende a más o menos infinito. Si, entonces ± : se lee como si x tiende al punto a por la izquierda, entonces la función tiende a más o menos infinito. Se puede definir como: lim f x + x a lim x a f x =± Asíntota vertical por la derecha: x = a =± Asíntota vertical por la izquierda: x = a Ejemplo: Encuentre la asíntota vertical de la función =1/ Si representamos gráficamente la función obtenemos la figura de la derecha. Observamos que tenemos un punto de discontinuidad en el punto x = 0. Cuando 0, entonces observamos que +, entonces tenemos una asíntota vertical en x = 0. Cuando 0, entonces observamos que, entonces tenemos una asíntota vertical en x = 0. Asíntota vertical: x = 0. 8
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