REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

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1 REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL CORRESPONDENCIA. Se llama CORRESPONDENCIA entre dos conjuntos A y B a toda ley que asocia elementos del conjunto A con elementos del conjunto B. Se denota por f : A B A es el conjunto inicial de la correspondencia. B es el conjunto final de la correspondencia. Los elementos de A que se transforman mediante la correspondencia forman el CONJUNTO ORIGEN: Or(f) Los elementos de B que son transformados de los de A forman el CONJUNTO IMAGEN: Im(f) Se llama GRAFO de una correspondencia a un subconjunto G del producto cartesiano de A B formado por los pares (a, b) tal que b = f(a). APLICACIÓN. Se llama APLICACIÓN entre dos conjuntos A y B a toda correspondencia que verifica las siguientes condiciones: Todos los elementos del conjunto A se transforman en elementos del conjunto B La imagen de cada elemento es única. En general cuando tanto el conjunto inicial como el final son numéricos, la aplicación se llama: FUNCIÓN. Si ambos conjuntos son de números reales la función es real de variable real. Nuestro objetivo es el estudio de las funciones reales de variable real, es decir, funciones donde el conjunto final es el conjunto de números reales (funciones reales) y el conjunto inicial también es R o un subconjunto D de R (variable real). Se representan por: f : R ---R / x D ; y = f(x) R x representa la variable independiente y toma valores en el conjunto origen D y representa la variable dependiente y toma valores en el conjunto imagen R Una función se puede definir de varias maneras: Por medio de un cuadro de valores: FUNCIONES TABULADAS. Por medio de una expresión o fórmula matemática (criterio). Por medio de su gráfica. 1

2 En toda función debemos distinguir: DOMINIO: Se llama dominio o campo de existencia de una función al conjunto de valores x para los cuales está definida la ecuación y=f(x) es decir, al conjunto de elementos del conjunto inicial que tienen imagen; se representa por D(f) Dom(f) = D(f) = x R fx=y R El dominio está en el eje X. RECORRIDO: Se llama recorrido de una función al conjunto de valores reales que son imagen de algún original, es decir, al conjunto de valores que toma la variable y. Se representa por Im(f) Im(f) = y R/y=fxcon x D(f) El Recorrido está en el ej Y. Ejemplo1: La función f : R --- R definida de la forma f(x)= x 2 (función cuadrática) tiene por dominio R puesto que cualquier número real tiene cuadrado y su recorrido es R + ya que el cuadrado de cualquier número real es positivo. Ejemplo2: La función: definida de la forma: f(x)= x x 2-1, existe para todos los valores que no anulan el denominador, es decir, todos los valores x tales que x Como los únicos valores que anulan el denominador son x= 1 y x=1, el dominio máximo de la función será: D(f)= R - {-1,1 } Ejemplo3: La función definida de la forma f(x)= 1-x 2, tiene sentido para todos los valores que hagan que el radicando sea mayor o igual que cero, es decir, para los valores x que verifiquen: 1-x 2 0. En consecuencia, el dominio máximo de nuestra función será el intervalo [-1,1]. es decir: D(f)= [-1,1] IGUALDAD DE FUNCIONES. Sean f: D 1 R y g: D 2 R dos funciones. Se dice que f es igual a g, y se escribe f=g cuando se verifican las dos condiciones siguientes: a) Tienen el mismo dominio: D 1 =D 2 b) f(x)= g(x) para cualquier x del dominio D 1 =D 2 Ejemplo 4: Las funciones f(x)= (x-1) 2 y g(x)= x 2-2x+1, son iguales ya que tienen el mismo dominio R y además se verifica que. f(x)=g(x) x R 2

3 Ejemplo 5: Las funciones f(x) =x-1 y g(x)= x2-1 x+1 no son iguales ya que no tienen el mismo dominio máximo, se diferencia en un punto: la función f tiene por dominio R y la función g tiene por dominio máximo R- {-1} REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN La representación gráfica de una función pretende visualizar la correspondencia entre las variables x e y de forma que se vean fácilmente sus propiedades. De aquí la gran importancia de la gráfica: da una información rápida y amplia de la función. La figura del plano afín (origen de coordenadas + sistema de ejes perpendiculares) determinada por los puntos (x, f(x)) recibe el nombre de GRÁFICA de la función. Es decir, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas coordenadas verifican la ecuación y=f(x). Si el dominio de la función f es finito podemos representar todos los pares (x, f(x)) y obtener la gráfica completa. Si el dominio de la función f es infinito es imposible representar todos los pares del grafo. En la práctica, se representan los puntos necesarios de forma que al unirlos por un trazo continuo (siempre que se pueda), se obtenga una gráfica que se aproxime a la real. Es importante señalar, que los valores de x que no pertenecen al dominio, no tienen su correspondiente punto del plano por lo que en ellos no existe gráfica. ALGUNAS FUNCIONES MÁS UTILIZADAS FUNCIONES POLINÓMICAS Están definidas de la forma: y=f(x) =a 0 +a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x an x n Todas ellas tienen en común las siguientes características: Su dominio es el conjunto de números reales. Son continuas y derivables en R. No tienen asíntotas, es decir: según sea el coeficiente del término de mayor grado y la paridad de éste. Los puntos de corte con el eje OX (ceros de la función) los obtenemos resolviendo la ecuación f(x) = 0. Los puntos críticos los obtenemos aplicando la teoría de derivadas, es decir: * f '(x) = 0 máximos y mínimos relativos. * f ''(x) = 0 puntos de inflexión. 3

4 Merecen estudio particular las funciones polinómicas de grado uno y de grado dos. FUNCIÓN AFÍN. Se llaman funciones funciones afines a las que se representan mediante rectas. Su expresión en forma explícita es y = f (x) = ax + b. donde a es la pendiente de la recta y b, la ordenada en el origen. Si a>0, la inclinación es positiva Si a<0, la inclinación es negativa : El dominio y el recorrido de cualquier función afín es el conjunto de números reales: Dom(f) = R e Im(f) = R. Las funciones afines son continuas y derivables en todo R. Se llaman funciones lineales, sólo a las funciones que se representan mediante rectas que pasan por el origen de coordenadas y su forma explícita será y = ax FUNCIONES CUADRÁTICAS (PARÁBOLAS). Son funciones en las que la imagen nos viene dada mediante un polinomio de segundo grado y=f (x) = ax 2 + bx+ c y su gráfica es una parábola. Partiendo de la gráfica de la función cuadrática más elemental (y = x 2 ) el efecto de cada uno de los coeficientes es el siguiente: El coeficiente a de x 2, determina que la curva sea más o menos abierta. Si a>0 el vértice de la parábola es un mínimo y si a<0, el vértice es un máximo. Si a > 1, las ramas se cierran respecto de y = x 2. Si 0 < a < 1, las ramas se abren respecto de y = x 2. El coeficiente c hace que la curva se desplace hacia arriba o hacia abajo. El coeficiente b desplaza la gráfica hacia la derecha (b negativo) o hacia la izquierda (b positivo). El vértice de la parábola: (X v, Y v ) lo podemos calcular fácilmente sabiendo que X v = -b 2a y que Y v = f(x v ) Una vez conocida la función derivada, podemos hallar el vértice sin más que calcular el máximo/mínimo de la función. FUNCIONES RACIONALES. Son funciones definidas mediante el cociente de dos funciones polinómicas: f(x)= P(x) Q(x) 4

5 Donde P(x) y Q(x) son funciones polinómicas. Dado que en matemáticas no se puede dividir por cero, el dominio de una función racional de este tipo, será el conjunto de todos los reales menos los valores de x que anulan el denominador, ya que tanto P(x) como Q(x) tienen existencia para cualquier valor real. D(f)= x R Q(x) 0 R- x R /Q(x)=0 Las funciones racionales son continuas y derivables en su dominio. FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA Es un caso particular de función racional donde el numerador es una constante y está definida de la forma: y=f(x)= k x El dominio de esta función es R-0 por lo que no existe imagen para este valor. Pero si nos acercamos por la derecha y por la izquierda, observamos que: además, estudiando el comportamiento de la función en los extremos de la recta real, tenemos que: Es decir, esta función tiene dos asíntotas, una vertical (eje 0Y) y otra horizontal (eje 0X) y su gráfica será de la forma: (Recordemos que una asíntota es una recta tangente a la gráfica de la función, en el infinito). La influencia del parámetro k se manifiesta de la siguiente manera: Si k>0 las ramas de la hipérbola están en el primer y tercer cuadrante. Si k<0 las ramas de la hipérbola están en el segundo y cuarto cuadrante Si k > 1 la gráfica se aleja del origen de coordenadas. Si 0<K<1 la gráfica se acerca al origen de coordenadas. Si en lugar de f(x)= k x, tenemos f(x)= k x ± a, 5

6 la gráfica se desplazará hacia la izquierda (+a) o hacia la derecha (-a). Si en lugar de f(x)= k x, Tenemos f(x)= k x ± b, la gráfica se desplazará hacia arriba (+b) o hacia abajo (-b). Sus gráficas son Hiperpérbolas equiláteras. fx= 1 x+3 FUNCIONES RADICALES. Son funciones donde la variable se encuentra bajo el signo radical (dentro de una raíz). El dominio de estas funciones dependerá del índice de dicha raíz: Si el índice es par, el dominio es el conjunto de puntos que hace el radicando positivo. Si el índice es impar, el dominio de nuestra función será el mismo de la función que tengamos en el radicando. Ejemplo 6: f(x)= x 2-4, el dominio será el conjunto de valores de x que hagan positivo el radicando es decir: D(f)= x / x x (-,-2 2, ) FUNCIÓN EXPONENCIAL. Definimos la función exponencial en base a>0 y a 1, como una función real de variable real tal que a cada x R le hacemos corresponder otro número real dado por a x, es decir: f: R (0, ) x y = a x Propiedades: El dominio de la función exponencial es R y su recorrido es el intervalo: (0, ). Se verifica que f(0) = 1 y f(1) = a para cualquier a > 0. Si a > 1, f es estrictamente creciente. Si a < 1, f es estrictamente decreciente. Si a > 1, se verifica que: 6

7 Si a < 1, se verifica que: Tiene una asíntota horizontal en y=0 (eje X) Si a = 1, tenemos f (x) = 1 x = 1 : nos queda la función unidad (constante). Las funciones exponenciales son continuas y derivables en su dominio ( R). FUNCIÓN LOGARÍTMICA Definición: Llamamos logaritmo en base a de x y lo denotamos como: log a x al número real b que verifica: b= log a x a b =x Ejemplo 7: log 2 32=5 ya que 2 5 =32 Definimos la función logarítmica en base a>0 y a 1, como una función real de variable real tal que a cada x R le hacemos corresponder otro número real dado por log a x, es decir: f: R----R x-----y= log a x Está claro que, así definida, el logaritmo es la función inversa de la exponencial y sus propiedades se derivan de las de la exponencial. Propiedades: El dominio de la función logarítmica es el intervalo (0, ) y su recorrido es R Se verifica que f(1) = 0 y f(a) = 1 para cualquier a > 0. Si a > 1, f es estrictamente creciente. Si a < 1, f es estrictamente decreciente lim x log x= -, a + a 0 tiene una asíntota vertical en x=0 (eje Y) La función logarítmica es continua y derivable en su dominio: (0, ) FUNCIONES CIRCULARES. Son funciones que están definidas mediante las razones trigonométricas de los ángulos: f (x) = sen x = función seno 7

8 f (x) = cos x = función coseno f (x) = tg x = función tangente Propiedades de las funciones y=sen x e y=cos x Su dominio es todos los reales R y su recorrido el intervalo [-1,1] Son funciones periódicas de período: T =2π.( f(x) =f(x+2π)) Son continuas y derivables en todo su dominio. Propiedades de la función y = tg x Dado que la tangente es el cociente entre el sen x y el cos x, su dominio será todos los reales salvo donde cos x=0. Como cos x =0 si x= π 2 ;3π 2 ;5π 2. Su dominio es R - {(2n-1) π 2 n N} y su recorrido todos los reales R Es una función periódica de periodo: T= π. (f(x)=f(x+π) Es continua y derivable en su dominio: R - {(2n-1) π 2 n N} FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. Son funciones en las que, en cada tramo (intervalo), están definidas mediante una función cualquiera. Para definir este tipo de funciones es imprescindible indicar el tramo o intervalo que corresponde a cada función. Para representar gráficamente las funciones definidas a trozos, tendremos que representar en cada trozo la función mediante la que esté definida. Ejemplo 8: 8

9 Su dominio es el intervalo cerrado [-2,5] y su gráfica la de la figura. Ejemplo 9: Su dominio es todos los reales, su recorrido el intervalo [-1, ) y su gráfica la de la figura De entre las funciones definidas a trozos, son especialmente importantes: Función PARTE ENTERA de un número. Es una función entera de variable real definida de la siguiente forma: f: R----Z x----y =f (x) = Ent(x)= E(x) parte entera de un número real x es el mayor entero menor o igual que x, es decir: E(6,345)= 6; E(-1,17)=-2 Su dominio es todos los reales y su recorrido los números enteros Es continua en R-Z Función PARTE DECIMAL. f: R----[0,1) x----y = f (x) = Dec(x)= x - E(x) Mant(6,345)= 6,345 6 =0,345 Su dominio es todos los reales y su recorrido el intervalo [0,1) Es continua en R-Z 9

10 Función VALOR ABSOLUTO La función valor absoluto de x es una función real de variable real en la que a cada número le hacemos corresponder su valor absoluto. Nos queda definida de la siguiente forma: x si x 0 f(x)= x = -x si x<0 Su dominio es todos los reales y su recorrido, los reales positivos. Si en lugar de x tenemos el valor absoluto una función: f(x) si fx 0 f(x) = -f(x) si fx<0 en la gráfica, se manifiesta convirtiendo en positivas las partes negativas de la función. Ejemplo 10: f(x)=x 2-1= x2-1 si x x 2 si x 2-1<0 Ejemplo 11: f(x)= 1 x = 1 x - 1 x si si 1 0 x 1 <0 x El recorrido en las funciones valor absoluto, es siempre R + 10

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