DISEÑO DE UN SISTEMA AUTOMÁTICO DE INVERSIÓN EN BOLSA BASADO EN TÉCNICAS DE PREDICCIÓN DE SERIES TEMPORALES

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1 UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI) INGENIERO EN ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL PROYECTO FIN DE CARRERA DISEÑO DE UN SISTEMA AUTOMÁTICO DE INVERSIÓN EN BOLSA BASADO EN TÉCNICAS DE PREDICCIÓN DE SERIES TEMPORALES ANTÓN ASTUDILLO ZULUETA JUNIO DE 2009

2 Auorizada la enrega del proyeco del alumno: ANTÓN ASTUDILLO ZULUETA DIRECTORES DEL PROYECTO ALBERTO MIGUEL CRUZ GARCÍA Fdo.: Fecha: 29 / 06 / 2009 JAVIER ARROYO GALLARDO Fdo.: Fecha: 29 / 06 / 2009 Vº Bº del Coordinador de Proyecos Prof. SUSANA ORTIZ MARCOS Fdo.: Fecha: 29 / 06 / 2009

3 UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI) INGENIERO EN ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL PROYECTO FIN DE CARRERA DISEÑO DE UN SISTEMA AUTOMÁTICO DE INVERSIÓN EN BOLSA BASADO EN TÉCNICAS DE PREDICCIÓN DE SERIES TEMPORALES ANTÓN ASTUDILLO ZULUETA JUNIO DE 2009

4 DISEÑO DE UN SISTEMA AUTOMÁTICO DE INVERSIÓN EN BOLSA BASADO EN TÉCNICAS DE PREDICCIÓN DE SERIES TEMPORALES Auor: Asudillo Zuluea, Anón. Direcores: Cruz García, Albero Miguel. Arroyo Gallardo, Javier Enidad Colaboradora: ICAI Universidad Ponificia Comillas. RESUMEN DEL PROYECTO Hoy en día, los mercados de valores ejercen una gran influencia sobre la economía mundial y así se ha demosrado en los úlimos aconecimienos recienemene ocurridos. Concreamene, las bolsas de valores son una pare muy imporane de los mercados financieros y a la vez un gran vehículo de especulación. Predecir su comporamieno fuuro apora imporanes venajas compeiivas a los acores del mercado pero es una difícil area en la que se esán veriendo coninuamene grandes esfuerzos de invesigación sin obener resulados definiivos. En ese proyeco se ha diseñado un sisema auomáico de inversión en bolsa que predice el comporamieno fuuro de un conjuno de valores y en base a la esimación obenida realiza operaciones de compra-vena de acciones. Dado que la evolución de los precios de las acciones a lo largo del iempo forman series emporales, se han consruido diferenes modelos basados en écnicas de predicción de series emporales. En el mercado de valores diario exisen una gran canidad de parámeros asociados a una acción (Precio de aperura, Volumen, Máximo, Mínimo ec), sin embargo, en ese caso se ha rabajado principalmene con el precio de cierre diario. Se han seleccionado 6 valores del Ibex 35 con los que se ha desarrollado el esudio: BBVA, FCC, Iberdrola, Repsol, Sanander y Telefónica, y se han recopilado los daos correspondienes a dichos valores durane un periodo de 4 años aproximadamene (del 2003 al 2007). Una pare muy imporane del proyeco es el análisis écnico. En la acualidad, el análisis écnico usa una gran variedad de gráficos que muesran disinas variables financieras a lo largo del iempo, así como indicadores écnicos y superposiciones que ransforman los daos originales para faciliar la búsqueda de parones. Precisamene, dichos indicadores y superposiciones se han uilizado como enradas a los diferenes modelos consruidos a lo

5 largo de odo el proyeco y ese hecho es ineresane e innovador ya que, por lo general, la mayoría de los indicadores y superposiciones se calculan para ser analizados o inerpreados de manera gráfica. Por ano, se han ido esudiando y consruyendo a lo largo del proyeco una serie de modelos, ano con écnicas basadas en el análisis de series emporales como con écnicas de ineligencia arificial, para predecir cómo se va a comporar el precio de cierre de una acción concrea en el fuuro. En primer lugar, se probó a esimar el valor de los precios de cierre diarios. Se esudió la posibilidad de usar un modelo ARIMA para comprobar si era posible predecir los cierres diarios solamene con los daos de la propia serie y el resulado no fue posiivo. Después se opó por inenarlo con un modelo de regresión dinámica para predecir ambién los cierres diarios pero en ese caso a parir de un conjuno de indicadores écnicos y superposiciones calculados para los diferenes valores del Ibex 35 seleccionados. Como con los modelos ARIMA, el resulado no fue posiivo ya que se comprobó que no hay correlación enre los indicadores calculados y los precios de cierre diarios. Por úlimo, se decidió cambiar de enfoque y se probó a predecir la dirección de los precios de cierre, en vez del valor concreo. Es decir, se opó por inenar esimar el signo de los rendimienos de los precios de cierre diarios (ln(c) - ln(c-1)) y a ravés de un conjuno de reglas decidir si el rendimieno fuuro va a ser posiivo, negaivo o irrelevane. Para ello se uilizaron árboles de decisión. Dado que los resulados eran más esperanzadores que los obenidos con los esudios realizados aneriormene, se decidió escoger esa écnica de ineligencia arificial para crear el modelo final. Anes de comenzar con el modelo final, se analizaron varias combinaciones de árboles y se eligieron las mejores en base a un crierio esablecido adecuadamene para las caracerísicas del proyeco. Para el modelo final, se han definido dos alernaivas con dos esraegias de inversión disinas. En la primera se consruye un modelo denominado modelo direco, en el que se uiliza una esraegia básica en la que ane una esimación de que el rendimieno fuuro va a ser posiivo se compran odas las acciones posibles de un valor en concreo con el capial disponible. Si dicha esimación indica que el rendimieno fuuro va a ser irrelevane no se hace nada y, si en cambio, la esimación indica que el rendimieno fuuro va ser negaivo se venden odas las acciones que se ienen en carera. En la ora alernaiva, se consruye un modelo denominado modelo refinado, en el que se ha uilizado una esraegia más elaborada pero más conservadora. En dicho modelo además de predecir la dirección de los

6 precios de cierre, se iene en cuena el facor riesgo y se hace una esimación de una medida de volailidad, que se calcula con las bandas de Bollinger (Diferencia enre la banda de Bollinger superior y la inferior). Para ello se ha consruido un modelo auorregresivo con el que se esima la diferencia enre las bandas para el fuuro. Así pues, primero se esima el signo del rendimieno fuuro con un árbol de decisión, como en el modelo direco. Si la predicción sale irrelevane no se hace nada pero si sale posiivo o negaivo se pasa a predecir la medida de volailidad a ravés del modelo auorregresivo indicado aneriormene. Con la esimación de la medida de volailidad fuura se calcula un coeficiene de riesgo y en función de dicho coeficiene se compran o se venden acciones de un valor concreo. Adicionalmene, se ha consruido un modelo aleaorio para uilizarlo como referencia frene a los modelos propuesos. Tras ejecuar y comparar los modelos conemplados en el modelo final (modelo direco, refinado y aleaorio) en un periodo de validación de 165 días se han sacado una serie de conclusiones imporanes. En primer lugar, no se han obenido los resulados deseados en los esudios realizados con los modelos ARIMA y de regresión dinámica definidos para la esimación del valor de los precios de cierre diarios. En segundo lugar y a raíz de la conclusión anerior, se ha comprobado que se obienen mejores resulados con los modelos que predicen la dirección de los precios de cierre (signo del rendimieno) que con los modelos que predicen el valor de dichos cierres. Por úlimo, en la mayoría de los casos ano con el modelo direco como con el refinado, las renabilidades alcanzadas son superiores a la media de los reornos obenidos con el modelo aleaorio.

7 DESIGN OF AN AUTOMATIC STOCK MARKET INVESTMENT SYSTEM BASED ON FINANCIAL TIME SERIES FORECASTING TECHNIQUES. ABSTRACT Nowadays, sock markes play an imporan role in he global economy and i has been shown over he las evens. Specifically, sock markes are one of he mos imporan par in financial markes. Sock markes rae forecasing provides imporan compeiive advanages for all he marke players, currenly being a challenging ask for boh academic researchers and business praciioners. In his Projec, i has been designed an auomaic sock exchange invesmen sysem ha forecas he behaviour of a securiies se and based on his esimae i makes buying and selling shares ransacions. Since he developmen of share values over he ime form financial ime series, differen models based on ime series forecasing echniques have been developed. In daily sock markes here are several parameers relaed o a share (daily open, volume, maximum, minimum ), however, in his case he daily close has been he main one. Six securiies of he Ibex 35 have been seleced o do he sudy: BBVA, FCC, Iberdrola, Repsol, Sanander and Telefónica. The daa relaed o hese securiies have been colleced during a period of 4 years approximaely (from 2003 ill 2007). One essenial par of his projec is he echnical analysis. Currenly, echnical analysis uses a wide range of chars ha shows differen financial variables over he ime, and also echnical indicaors and overlays ha ransform he original daa o make easier he paern searching. Jus his overlays and indicaors have been used as he inpus of mos he models developed along he projec. This fac is ineresing and innovaor because normally he majoriy of overlays and indicaors are calculaed o be analyzed in a graphical way. So, several models have been sudied and developed along his projec wih arificial inelligence and ime series analysis based echniques, o forecas how i is going o be he daily close value of one share in he fuure. Firsly, i was esed he level esimaion of he daily close. I was sudied he chance o use an ARIMA model o forecas he daily close values only wih he own elemens of he financial ime serie bu he resul was no posiive. Afer ha, he same sudy was ried bu in his case wih a dynamic regression model using a se of overlays and indicaors calculaed for he differen securiies as inpus

8 of he models bu he resul was also no posiive. The reason was ha he se of indicaors used as inpus are no correlaed wih he daily close values. Finally, i was decided o change he approach and focus on he daily close direcion insead of he daily close value. Now he objecive was he esimaion of he nex daily close reurn (ln(c) - ln(c-1)) and decide wih a se of rules if ha reurn was going o be posiive, negaive o irrelevan. Decision rees were chosen o do i. Since he resuls were more encouraging han he oher sudies, i was decided o use his echnique o build up he final model. Before he final model developmen, differen combinaions of decision rees were evaluaed and only he bes were seleced aending o specific crieria. Regarding o he final model, wo differen alernaives have been defined wih wo differen invesmen sraegies. The firs one, called direc model uses a basic sraegy. If he esimaion suggess ha he nex daily close reurn is going o be posiive, he sysem buys all he shares as possible wih he available money. If he esimaion suggess ha he nex daily close reurn is going o be irrelevan, he sysem do no do anyhing, and finally if he esimaion suggess ha he nex daily close reurn is going o be negaive, he sysem sells all he shares available. In he oher alernaive, called refined model he sraegy is more hough, since here is a risk facor. So, he forecasing of he daily close reurn for each securiy is he same, bu in his case, when he forecas is posiive or negaive here is an esimaion of a volailiy measuremen. This measuremen is calculaed wih difference beween he superior Bollinger band and he lower Bollinger band. Once he volailiy measuremen is esimaed a risk coefficien is calculaed and he number of shares o buy or o sell depends on his facor. Addiionally, a random model has been developed o compare wih he proposed alernaives. Afer execuing and comparing he considered alernaives in he final model during a 165 days validaion period some conclusions have been aken. Firsly, he resuls obained wih he ARIMA and dynamic regression sudies are no saisfacory. Secondly, i is beer o forecas he daily close direcion han he daily close value. And finally, in mos of he cases boh considered alernaives (direc and refined model) are more profiable han he random one.

9 ÍNDICE I Inroducción y objeivos Moivación Descripción Objeivos... 5 II Esado del are Mercados y bolsas de valores Inroducción a los mercados y bolsas de valores Acciones Comisiones de las operaciones en bolsa Comisiones de compra-vena Comisión de cusodia y correaje Análisis écnico Arículos y eorías Indicadores écnicos y superposiciones Técnicas de predicción de series emporales Modelos ARIMA Media y varianza esacionarias Auocorrelación Procesos ARIMA Idenificación del modelo ARIMA Predicción Modelos de Regresión Dinámica ARIMA Y MODELOS DE REGRESIÓN DINÁMICA Inroducción de los modelos de regresión Modelos racionales de reardo disribuido Árboles de decisión

10 Consrucción de un árbol Algorimo C III Aplicación de diversas écnicas de predicción sobre las series emporales financieras Conjuno de daos ARIMA para la predicción de los precios de cierre Preprocesado Resulados Regresión Dinámica para la predicción de los precios de cierre Preprocesado Resulados Árboles de Decisión para la predicción de la dirección de los precios de cierre Enradas del modelo Salida del modelo Consrucción del modelo Resulados Regresión Dinámica para la predicción de la volailidad Preprocesado Enradas del modelo Salida del modelo Consrucción de los modelos Modelo de Regresión Dinámica Modelo Auorregresivo (AR) Resulados Modelo de Regresión Dinámica Modelo Auorregresivo Conclusiones

11 IV Esraegias de inversión uilizadas en el modelo final del sisema y simulación Premisas y suposiciones Canidad de dinero a inverir Selección de los valores para la inversión Cose de gesión Modelo direco Venajas del modelo Inconvenienes del modelo Resulados Análisis de los resulados Modelo refinado Venajas del modelo Inconvenienes del modelo Resulados Análisis de los resulados Caso deallado Modelo aleaorio Comparaiva de modelos Resulados de la comparaiva V Conclusiones generales del proyeco y fuuras líneas de rabajo Conclusiones generales del proyeco Fuuras líneas de rabajo VI Planificación emporal y esimación del presupueso Planificación Esimación presupueso VII Bibliografía

12 I Inroducción y objeivos 1. Moivación El principal moivo por el cual he decidido realizar ese proyeco es el gran inerés que engo por las maerias en las que se va a rabajar, además de la posible uilidad y rascendencia que puede ener en el fuuro. A lo largo de dicho proyeco se ha profundizado en dos campos muy relacionados en las úlimas décadas y que esán en pleno auge, como son los mercados bursáiles por un lado y la esadísica e ineligencia arificial por el oro. Oro facor que me ha animado a llevarlo a cabo, es que se raa de un proyeco ineresane desde el puno de visa de las dos iulaciones que esoy cursando; Ingeniería en Informáica e Ingeniería en Organización Indusrial. Por ulimo, ese proyeco me podría servir de ayuda en el mundo laboral, en el caso de orienar mi carrera profesional al secor financiero. 2. Descripción El proyeco, como su propio nombre indica, consise en el diseño de un sisema que de forma auomáica sea capaz de inverir en Bolsa (comprando y vendiendo acciones) basándose en un modelo consruido a ravés de écnicas basadas en el análisis de series emporales y écnicas de ineligencia arificial. Dado que en bolsa, se dispone de una gran canidad de daos hisóricos, una pare que iene mucha imporancia en el rading es lo que se conoce como análisis écnico, que consise en realizar esimaciones de daos para el fuuro a parir de los daos disponibles del pasado. En el análisis écnico se usan una gran variedad de gráficos así como indicadores écnicos y superposiciones (en inglés overlays) que ransforman los daos originales para faciliar la búsqueda de parones. El hecho de inroducir esos indicadores écnicos o superposiciones en un modelo para predecir el comporamieno de los precios de cierre fuuros puede resular ineresane y novedoso ya que, por lo general, la mayoría de ellos se calculan para ser analizados e inerpreados de manera gráfica. La finalidad a gran escala de ese sisema sería la de ayudar, ano a pequeños inversores inexperos con inención de paricipar en el mercado de valores, como a grandes enidades financieras. En cualquiera de los dos casos, se podría uilizar el 4

13 sisema para crear nuevos marcos o referencias con los que comparar diferenes esraegias de inversión. 3. Objeivos Con la elaboración de ese proyeco no se ha preendido obener un sisema compleo que sea capaz de obener unos beneficios económicos. Lo que se que se ha perseguido como objeivo general es diseñar un sisema que, a ravés de la compravena de acciones, sea capaz de obener unos resulados para luego analizarlos y compararlos con oras esraegias de inversión en bolsa. Si dichos resulados se miden como renabilidad económica a lo largo de un periodo deerminado de iempo, ésa podría ser negaiva. Denro de dicho objeivo global, se han esablecido una serie subobjeivos: Esudiar el funcionamieno básico de los mercados bursáiles. Es imporane conocer con que parámeros se opera en el mercado de valores diario y su significado ya que alguno de ellos o se va a uiliza direcamene en el modelo, o bien, se va a uilizar en el cálculo de indicadores. Analizar y seleccionar los indicadores écnicos con mayor éxio. Hay una gran canidad de indicadores que se pueden uilizar en el análisis écnico. Sin embargo, no odos se usan con frecuencia. Hay una serie de ellos que ienen una mayor acepación enre los experos por su eficacia o por su simplicidad. Profundizar en las écnicas de predicción esadísica y de ineligencia arificial de series emporales uilizadas en el análisis écnico. Probablemene sea uno de los objeivos más imporanes y más cososos del proyeco. Debido a la complejidad de los mercados bursáiles es muy difícil enconrar modelos que los expliquen de forma adecuada. Por ello, se ha enido que rabajar con disinas écnicas de predicción hasa enconrar la más apropiada eniendo en cuena los daos y las variables que se han uilizado en el proyeco. Realizar un esudio de la renabilidad que se obendría usando el modelo con mejores resulados a ravés de la simulación. Una vez se obienen los resulados el úlimo paso es analizar la renabilidad real que se obendría con daos no uilizados hasa el momeno, incluyendo el riesgo asumido y diferenes coses de gesión y de ransacciones en bolsa. Además, es 5

14 imporane realizar una comparaiva enre diferenes esraegias de inversión en disinos escenarios. II Esado del are 1. Mercados y bolsas de valores 1.1. Inroducción a los mercados y bolsas de valores El Mercado de Valores es el que esá formado por aquellos mercados en los que se emien valores de rena fija y rena variable, ano a medio como a largo plazo. Se subdivide en: - Mercado de Valores Primario: Es aquel en el que se colocan por primera vez los íulos que se emien, ofreciendo al público nuevos acivos financieros, se le llama ambién "mercado de nuevas emisiones". Se da cuando una empresa necesia capial y emie valores, ya sea en forma de acciones, bonos u obligaciones de cualquier ipo, ofreciéndoselas a los ineresados en las Bolsas de Valores. - Mercado de Valores Secundario: Es aquel en el que los propiearios de nuevos acivos, los inercambian con nuevos compradores. Ese Mercado esá formado por las negociaciones que se realizan con íulos que se han emiido y colocado previamene, siendo como una prolongación del Mercado de Valores Primario. Esas negociaciones se realizan, habiualmene, en las Bolsas de Valores. La Bolsa de valores es un mercado organizado en donde se realiza la compra-vena de acivos de rena variable, rena fija y odo ipo de acivos financieros (ver [NUÑO04]). En España hay 4 bolsas de valores: Madrid, Bilbao, Barcelona y Valencia. Rena variable es la denominación que usualmene se da a la inversión en acivos que no garanizan la percepción de una deerminada rena, ni en cuanía ni en iempo. Las acciones son el acivo financiero de rena variable por excelencia y con el cual se rabaja en ese proyeco. 6

15 1.2. Acciones Una acción represena una pare del capial social de la sociedad que la ha emiido. Las acciones son íulos-valores que represenan una paricipación alícuoa en la que se divide el capial de una compañía y son represenaivas de la propiedad de la misma. Es decir, son las pares iguales en las que esá dividido el capial social de la empresa. El iular de una acción se conviere en propieario, en el porcenaje que le corresponda, de la sociedad. Así, cuando un inversor compra acciones de una sociedad, se conviere en propieario de una pare de la misma (ver [NUÑO04]). Como propieario, el accionisa obendrá los derechos económicos y políicos que le oorga dicha condición: - derecho a paricipar en la disribución de los beneficios (dividendos). - derecho preferene de suscripción de nuevas acciones. - derecho de asisencia y voo en las Junas Generales de Accionisas. - derecho a poder ransmiir las acciones. - derecho de información sobre la siuación de la empresa, ec. Para la elaboración de los disinos modelos conemplados en ese proyeco se opera con una serie de valores del IBEX 35. El IBEX 35 es el índice formado por los 35 valores más líquidos y represenaivos del mercado español bursáil, porque concenran más de las res cuaras pares del negocio habiual en la Bolsa española. Es el índice de referencia de las cuaro Bolsas españolas, usado como referene nacional e inernacional y se elabora por la Sociedad de bolsas. En el Ibex 35, no odas las empresas que forman pare de él ienen el mismo peso, es decir, las empresas con mayor capialización bursáil, ienen más peso denro del índice Comisiones de las operaciones en bolsa La compra y vena de acciones acarrea una serie de comisiones. Esos gasos varían en función del impore efecivo que se negocie, de los gasos de los inermediarios, y 7

16 del mercado en que se opere. La canidad desinada al pago de comisiones depende ambién de la modalidad escogida para operar (Inerne, eléfono o a ravés de la sucursal), ya que al inverir a ravés de la Red se consigue abaraar las comisiones en más del 50% con respeco a lo que se cobra por realizar las gesiones en una sucursal bancaria Comisiones de compra-vena Las comisiones de compra-vena se aplican ano en las operaciones de compra como en las de vena de acciones, y cuano mayor sea la canidad inverida, mayor será ambién la comisión. Dichas comisiones, además, varían dependiendo del mercado bursáil en el que se opere. No cuesa lo mismo realizar esas operaciones en el Mercado Coninuo español que en alguno de los principales mercados inernacionales. El canon de bolsa es el gaso más conocido en las operaciones bursáiles, un concepo fijo que no varía de una enidad a ora. Se raa de una canidad que percibe la Bolsa correspondiene por las operaciones que se realizan, y se esablece en función del impore efecivo que se negocia. La comisión de inermediación es la arifa que aplica el propio inermediario financiero. Hoy en día exisen muchas fórmulas. En el caso del pequeño y mediano inversores para que pueda ahorrar en la compra de acciones, puede acogerse a una "arifa plana" que permie realizar cuanas operaciones de bolsa se deseen, aunque no odas la enidades financieras disponen de ese servicio Comisión de cusodia y correaje Las comisiones de compra y vena no son las únicas que aplican los inermediarios financieros, sino que exisen oras que reducen la posible renabilidad obenida. Se raan de las comisiones de cusodia y correaje, aunque en ambos cánones la canidad que cobran bancos y cajas de ahorro es mínima, e incluso hay enidades que no la cobran. La comisión de cusodia es aquella que cobran las enidades financieras por manener acciones en carera, y se devenga por la posición de valores y por la enrada de íulos nuevos. Puede cobrarse mensual, rimesral, semesral o anualmene. Si además el inversor da la orden a ravés de un banco o caja de ahorros, a la comisión de inermediación deberá añadirse la de correaje. Ello se debe a que sólo 8

17 las sociedades y agencias de valores pueden ser miembros de bolsa, y los bancos y las cajas ienen que raspasar la orden del cliene a ésos para que pueda ejecuarse, de modo que el banco o caja aplica realmene una doble comisión: una por rasladar la orden al miembro del mercado, y ora por la ejecución de la propuesa 1.4. Análisis écnico Una de las bases del sisema diseñado en el proyeco es lo que se conoce hoy en día como análisis écnico. El análisis écnico se puede definir como la predicción de fuuros movimienos financieros, como son las endencias en el precio de las acciones, basándose en precios hisóricos o pasados. Ora definición más general y muy exendida para ese érmino es la de méodo o écnica de los mercados financieros que consise en evaluar íulos (en inglés securiies ), como por ejemplo las acciones ordinarias, a ravés del análisis de los daos generados por el mercado en el pasado (sobre odo precio y volumen), para poder idenificar parones que puedan ayudar a predecir la acividad en el fuuro. En cualquier caso, el análisis écnico no se uiliza para esimar el precio o el volumen de una acción en el fuuro de forma precisa. En el análisis écnico lo que se preende es anicipar al inversor el comporamieno de deerminadas variables en el iempo. Para ello se aplican una serie de modelos y reglas sobre los daos financieros. Dichos daos pueden ser ransformados previamene para desacar aspecos relevanes. En la acualidad, el análisis écnico usa una gran variedad de gráficos que muesran disinas variables financieras a lo largo del iempo, así como indicadores écnicos y superposiciones que ransforman los daos originales para faciliar la búsqueda de parones (ver [EDWA95]) Arículos y eorías Hoy en día, exise muchísima lieraura acerca del análisis écnico. La mayoría de los esudios académicos y de invesigación esadísica concluyen que el análisis écnico iene un poder de predicción limiado y no se pueden obener reornos significaivos a largo plazo y de forma coninuada. Muchos auores manienen que el análisis écnico es inconsisene con la hipóesis de los mercados eficienes. Timmermann y Granger [TIMM03] analizan dicha inconsisencia poniendo en duda ano la eficiencia de los mercados como la búsqueda del éxio con la predicción. Según Olson [OLSO02] los casos en los que se obienen beneficios a ravés del análisis écnico se deben a 9

18 ineficiencias emporales del mercado que acaba solucionándolas por si sólo mienras que oros auores defienden que hay periodos en los que las coizaciones de las acciones siguen un parón aleaorio. Sin embargo, exisen muchos oros esudios que demuesran que es posible ener éxio con la predicción de precios a parir de daos hisóricos. Es el caso de Surajaras y Sweeney [SURA92] o LeBaron [LEBA99]. Concreamene, para ese proyeco se ha enido muy en cuena, a la hora de consruir el modelo final, un arículo publicado en el año 2000 por Mark T. Leung, Hazem Daouk y An-Sing Chen [LEUN00], que analiza los modelos que predicen el valor de los precios frene a los modelos que esiman la dirección de dichos precios. Dicho arículo se resume a coninuación PREDICIENDO ÍNDICES BURSÁTILES: COMPARACIÓN ENTRE MODELOS DE CLASIFICACIÓN Y MODELOS DE ESTIMACIÓN DEL VALOR. LEUNG DAOUK & CHEN En los úlimos años ha incremenado de forma considerable la uilización de insrumenos o herramienas de Trading en los mercados de índices bursáiles. Ese éxio se explica principalmene por dos razones; en primer lugar, dichos insrumenos proporcionan a los inversores un modo de limiar el riesgo en sus operaciones. En segundo lugar, se crea beneficio y, por ano, se abren nuevas oporunidades para la especulación y el arbiraje. Según Leung, Daouk y Chen [LEUN00], exisen innumerables arículos que esudian la predicabilidad de los mercados bursáiles basándose en modelos de predicción del valor o rendimieno del índice en esudio. En la mayoría de los casos, los resulados de dichos esudios se miden por el error o las desviaciones enre los valores esimados y los valores observados. Sin embargo, el hecho de que un modelo enga un error muy bajo en la predicción no se raduce en ganancias o beneficios necesariamene. Es por ello que Leung, Daouk y Chen [LEUN00] defienden que el Trading basado en la predicción de la dirección del movimieno de un índice (signo del rendimieno) es más renable que el Trading basado en méodos que minimizan el error de predicción. Hoy en día, ya hay basane lieraura sobre la dirección o la endencia de los movimienos de disinos ipos de insrumenos financieros (como Maberly [MABE86] o Wu y Zhang [ZHAN97]). En Leung, Daouk y Chen [LEUN00] se demuesra y se verifica la predicibilidad de la dirección de los índices bursáiles uilizando una serie modelos 10

19 de clasificación. Además, se compara los resulados de dichos modelos de predicción basados en écnicas de clasificación mulivariane con oros anos modelos paraméricos y no paraméricos que predicen el nivel (valor) de los rendimienos. Por úlimo, se desarrollan esraegias de Trading basadas en las predicciones direccionales para probar la renabilidad en diferenes escenarios de inversión. Anecedenes Predicibilidad de los rendimienos en los mercados bursáiles En Leung, Daouk y Chen [LEUN00] se cia una gran canidad de publicaciones que demuesran que los precios de la bolsa no siguen un parón aleaorio (MacKinlay [MACK88]). En numerosos arículos (como por ejemplo Fama y French [FAMA93] o Lakonishok, Shleifer y Vishny [SHLE94]) se realizan esudios cruzados a ravés de los cuales se encuenra una relación clara enre los rendimienos de los mercados bursáiles y diferenes variables económicas (dividendos por acción, flujos de caja, amaño, inflación, nivel de producción indusrial ec). Según Ferson y Harvey [FERS91], eniendo en cuena dicha relación y dado que la mayoría de dichas variables son predecibles, los rendimienos de la bolsa ambién lo endrían que ser. Predicibilidad de la dirección de los rendimienos de los índices bursáiles Como ya se ha comenado aneriormene, hay un conjuno de esudios que sugieren que las esraegias de Trading basadas en la dirección del cambio en el nivel del precio son más eficaces y más renables que las que se basan en la predicción del nivel de dicho precio. Además, en muchos de esos esudios se demuesra la predicibilidad de la dirección de los rendimienos, así como su uilidad (O'Connor, Remus y Griggs. [OCON97]), al poder clasificar un rendimieno fuuro en ganancia o pérdida. Enradas al modelo A coninuación se muesra las variables macroeconómicas que se uilizan en Leung, Daouk y Chen [LEUN00] como enradas a los modelos de predicción analizados. Dichas variables pueden ser obenidas u observadas fácilmene por cualquier inversor. 11

20 Variables de Enrada: - Tipo de inerés a coro plazo. - Tipo de inerés a largo plazo. - Reardos y rendimieno acual del índice. - Índice de precios del consumo - Nivel de producción indusrial Variables de Salida: - Rendimieno fuuro del índice - Probabilidad de que el signo del rendimieno fuuro sea posiivo (es decir, que el precio del índice aumene en el siguiene periodo) Predicción de los rendimienos del índice Daos En Leung, Daouk y Chen [LEUN00] se lleva a cabo el experimeno con el valor mensual de los índices bursáiles de diferenes países (S&P 500 para EE.UU., FTSE 100 para UK y Nikkei 225 para Japón). Se recogen un oal de 348 observaciones mensuales por cada índice, desde enero de 1967 hasa Diciembre de De esas 348 observaciones, 288 se uilizan para la consrucción de los disinos modelos, mienras que las 60 resanes se desinan para esear los resulados. La variable esimada es el rendimieno de exceso (R ) compueso de forma coninua durane un mes del índice correspondiene (en inglés, excess reurn). Dicho rendimieno de exceso de un índice se define de la siguiene forma: R P ln r = ln( P ) ln( P ) r = P 1 Donde, - P es el valor del índice (precio) en el periodo. 12

21 - r es el inerés que obiene un inversor por meer su dinero en leras del esoro durane el periodo, o, dicho de ora forma, la renabilidad que obiene dicho inversor por inverir su dinero sin asumir ningún riesgo. El objeivo que se persigue en Leung, Daouk y Chen [LEUN00] es obener una predicción de la dirección del movimieno del valor del índice, o lo que es lo mismo, una predicción del signo del rendimieno. Dado que en el arículo se rabaja con dos ipos de modelos diferenes, las variables de salida de cada ipo no son las mismas. Por un lado, con los modelos de clasificación el resulado que se obiene es la probabilidad de que el rendimieno en el periodo +1 sea posiivo ( C 1 ). Si C 1 > 0.5 el rendimieno esimado se clasifica como posiivo (ganancia) y si C 1 < 0.5 enonces se clasifica como negaivo (pérdida). A parir de dicha probabilidad se pueden seguir disinas esraegias a la hora de inverir. Por el oro lado, con los modelos de predicción del nivel del índice, el resulado es el rendimieno en el periodo +1 ( R 1 ). En ese caso, se aiende al signo del valor esimado que deerminar si se raa de ganancia o pérdida. ˆ + ˆ + ˆ + ˆ + Modelos de Clasificación más relevanes ANÁLISIS DISCRIMINANTE LINEAL Hay disinos ipos de análisis discriminane. En Leung, Daouk y Chen [LEUN00] se opa por el de Fisher. Como ya se ha indicado aneriormene, las predicciones se clasifican en dos grupos: - Rendimieno de exceso posiivo. - Rendimieno de exceso negaivo. El modelo en cuesión esaría formado por dos ecuaciones o variables resulado: Z Z POS NEG = φ R θ r K = φ R θ r K

22 Donde, - φ 1, θ 1, K 1, φ 2, θ 2 y K 2 son los parámeros o coeficienes del modelo. Uilizando los daos adecuados, meiendo las variables descrias previamene como enradas al modelo y ras uilizar el sofware apropiado se obendría la esimación de los parámeros del modelo. Una vez consruidas las dos variables resulado para un periodo deerminado +1, la predicción del signo de R +1 sería la siguiene: C ˆ +1 se calcula con Z POS con Z NEG. MODELOS DE ELECCIÓN BINARIOS (LOGIT Y PROBIT) Ese ipo de modelos ambién se incluyen en el esudio. Como su propio nombre indica, raan de predecir si la variable de salida es 1 o 0. Adapándolo a la publicación de Leung, Daouk y Chen [LEUN00], se raa de predecir si el rendimieno de exceso fuuro es posiivo o negaivo. El resulado es direcamene C 1. LOGIT Y PROBIT se diferencian exclusivamene en la función que uilizan para realizar la esimación: ˆ + P ( R 1 > 0 X ) = F( X β) + i i Donde, - Xi es el conjuno de variables de enradas. - β es el conjuno de parámeros esimados del modelo. 14

23 Simulación, esudio y esraegias de rading Evaluación de resulados Tras comprobar empíricamene los resulados obenidos con los modelos de clasificación y los modelos de predicción del nivel (se evalúa el numero de acieros obenidos con los diferenes modelos), en Leung, Daouk y Chen [LEUN00] se llega a la conclusión de que los modelos de clasificación son más eficienes a la hora de predecir el signo de los rendimienos de los diferenes índices ya que los resulados son mejores. No obsane, los modelos de predicción del nivel ambién son válidos y se obienen unos resulados acepables. Esraegias de Trading (con umbrales) Una vez comparado los disinos modelos, el siguiene paso que se lleva a cabo en Leung, Daouk y Chen [LEUN00] es el desarrollo de dos ipos de esraegias de inversión basándose en los modelos de clasificación (ya que son los que mejores resulados obienen) para poseriormene comparar la renabilidad obenida con cada una de ellas. Esraegia de rading simple Es la más inuiiva. Un inversor iene dos opciones; 1.- Meer su dinero en leras del esoro (obiene un renabilidad reducida (r ) y no asume casi ningún riesgo) y 2.- Inverir su dinero en uno de los índices bursáiles con los que se rabaja en Leung, Daouk y Chen [LEUN00] (puede obener una mayor renabilidad pero ambién asume un mayor riesgo). Con esa esraegia se oma la primera o la segunda alernaiva ˆ + dependiendo del valor de C 1 : ˆ + - Si C 1 > 0.5 Inverir en el índice bursáil ˆ + - Si C Inverir en leras del esoros Esraegia de rading múliple Esa esraegia es parecida a la anerior, pero se añade un nuevo parámero y una nueva alernaiva. La nueva alernaiva es no hacer nada, es decir, ni inverir en leras 15

24 del esoro ni inverir en fondos de los índices bursáiles, mienras que, el nuevo parámero que se inroduce es γ (1 γ 0.5). Se raa del nivel que a un inversor le gusaría manener en las predicciones, o dicho de ora forma, el riesgo que le gusaría adopar. Un valor de γ muy próximo a 0.5 viene a decir que el inversor no quiere adopar prácicamene ningún riesgo y por lo ano casi nunca inveriría su dinero en nada. Por el conrario, un valor de γ muy próximo a 1 significa que el inversor quiere adopar prácicamene los mismos riesgos que con la esraegia de Trading simple. Para desarrollar esa esraegia en Leung, Daouk y Chen [LEUN00] se recomienda adopar el valor de γ = 0.7. Las alernaivas a omar quedan definidas por las siguienes reglas: ˆ + - Si C 1 > 0.5/γ Inverir en el índice bursáil ˆ + - Si C 1 < 1 (0.5/γ ) Inverir en leras del esoros - Sino No hacer nada. Al realizar la simulación con ambas esraegias, en Leung, Daouk y Chen [LEUN00] se llega a que se obiene una mayor renabilidad con la esraegia de Trading múliple (omando valores de γ cercanos a 0.7) que con la simple. La diferencia enre los rendimienos de exceso obenidos con la múliple y la simple es de un 0.7 % mensual que se raduce en un 8.4 % anual. Conclusión Según Leung, Daouk y Chen [LEUN00], los modelos de clasificación funcionan mejor que los de predicción del nivel en la esimación de la dirección del movimieno de los rendimienos de diferenes índices bursáiles. Los resulados de los modelos de clasificación mejoran los de predicción del nivel en acieros y en renabilidad. Además, los modelos de clasificación se pueden uilizar de una manera más saisfacoria si se acompañan con una esraegia de Trading múliple. 16

25 Indicadores écnicos y superposiciones Un indicador écnico puede ser cualquier clase de mérica cuyo valor proviene de una acividad en el precio de una acción o acivo (en inglés asse ). Los indicadores écnicos raan de predecir los niveles fuuros de un precio, o simplemene su dirección uilizando parones aneriores. Normalmene, dichos indicadores suelen ser líneas represenadas encima, debajo o apare de la información del precio en un gráfico écnico. Los indicadores que usan la misma escala que el precio se suelen pinar en la pare superior del gráfico y reciben el nombre de superposiciones (en inglés Overlays ). Hay una gran canidad de indicadores écnicos y superposiciones, sin embargo hay unos que son más comunes que oros. A coninuación se describen algunos de los que los que más se uilizan hoy en día y que se han uilizado para el diseño del sisema auomáico de inversión en bolsa SUPERPOSICIONES (OVERLAYS) Medias Móviles Las medias móviles son la herramiena disponible más fácil de uilizar en análisis écnico. Las medias móviles suavizan los daos y facilian la labor de idenificar endencias, eliminando las flucuaciones a coro plazo. Además, son la base de la mayor pare de los oros indicadores. Los dos ipos más comunes y más usados son; la media móvil simple (en inglés Simple Moving Average (SMA)) y la media móvil exponencial (en inglés Exponenial Moving Average (EMA)) Media móvil simple (SMA) Se calcula haciendo, para cada precio de una coización, la media con los precios de un número de periodos aneriores. El número de periodos que se uiliza es el amaño de la SMA. Así, para un conjuno de observaciones recogidas diariamene, la media móvil simple con un amaño de k periodos se calcula de la siguiene forma: SMA( k) k p = k+ 1 = 17

26 Donde: - De p en la mayoría de los casos represena el precio de cierre diario de una acción en el periodo. Ejemplo de una media móvil simple (Figura 2.1) con precios de cierres diarios: Día Cierre diario SMA(10) 1 66, , , , , , , ,5-9 58, ,05 59, ,15 59, ,32 58, ,65 58, ,14 58, ,31 57, ,86 57, ,92 57, ,74 56, ,8 56, ,86 55,78 Tabla 2.1: La abla incluye 20 observaciones de cierres diarios en la columna cenral y la SMA de 10 días en la columna de la derecha. (hp://sockchars.com/school/doku.php?id=char_school:echnical_indicaors:moving_averages) 18

27 Figura 2.1: En esa figura se represena los valores de la serie emporal formada por los cierres diarios de la abla (en rojo) y la media móvil simple de 10 días (en azul), que comienza a parir del décimo día. Como se puede apreciar en el gráfico, mienras los cierres diarios siguen una endencia descendene, la SMA permanece derás. hp://sockchars.com/school/doku.php?id=char_school:echnical_indicaors:moving_averages Debido a que las medias móviles son indicadores de reardos, se enmarcan denro de los indicadores de seguimieno de la endencia. Cuando los precios siguen una endencia las medias móviles funcionan bien. Sin embargo, cuando no siguen una endencia concrea esos indicadores pueden conducir a error. Media móvil exponencial (EMA) También se les llama medias móviles ponderadas exponencialmene. En las EMA s los precios más recienes ienen mayor peso que los menos recienes. Por lo ano una EMA reacciona más rápido que una SMA ane los cambios en los precios. Su cálculo es mas complejo que el de las SMA s. Una media móvil exponencial se puede expresar como porcenaje o basada en el número de periodos (k): EMA( k) = (( p EMA( k) )* Muliplicador ) + EMA( k)

28 Siendo: - p en la mayoría de los casos represena el precio de cierre diario de una acción en el periodo. - El muliplicador en el caso del EMA expresado como porcenaje: Muliplicador = % _ especificado - En el caso del EMA basado en el número de periodos (k): 2 Muliplicador = 1 + k (*) La primera media móvil exponencial se calcula como una media móvil simple del mismo amaño: p =1 EMA( k) = SMA( k) = = k k Ejemplo de una EMA (Figura 2.2) basada en el número de periodos con precios diarios de cierre: Día Cierre diario EMA(10) -1 EMA(10) 1 66, , , , , , , , , ,05-59, ,15 59,439 59, ,32 59,023 58, ,65 58,713 58, ,14 58,52 58, ,31 58,087 57, ,86 57,582 57, ,92 57,269 56,842 20

29 18 53,74 56,842 56, ,8 56,278 56, ,86 56,009 55,8 Tabla 2.2: La abla coniene las mismas 20 observaciones del ejemplo anerior en la columna cenral pero la columna de la derecha coniene una EMA de 10 días. Aquí se puede ver como la EMA del día 10 (es el primer cálculo de la EMA) es una SMA (10). Las EMA s para el reso de días se calculan con la fórmula explicada aneriormene. hp://sockchars.com/school/doku.php?id=char_school:echnical_indicaors:moving_averages Figura 2.2: En ese caso, se iene además de la secuencia de los cierres diarios de la abla (en rojo) la EMA de amaño 10 (en azul). Se puede ver como dicha EMA reacciona más rápido ane cambios que la SMA (sobre odo se aprecia en el úlimo pico o mínimo de la serie). hp://sockchars.com/school/doku.php?id=char_school:echnical_indicaors:moving_averages Las Medias móviles pueden ser herramienas efecivas para idenificar y confirmar endencias, idenificar niveles de sopore y de resisencia y para desarrollar sisemas de Trading. Sin embargo, los inversores y raders deben idenificar aquellas coizaciones que son adecuadas para aplicar las medias móviles. 21

30 Bandas de Bollinger (Bollinger Bands) Desarrolladas por John Bollinger, son un indicador que permie comparar la volailidad con los niveles de precio relaivo sobre un periodo de iempo. Dicho indicador esa formado por res bandas diseñadas para abarcar la mayor pare de la garanía del precio de una acción: 1. Una media móvil simple (SMA) en el medio. 2. Una banda superior (SMA más un número de desviaciones esándar). 3. Una banda inferior (SMA menos un número de desviaciones esándar). El cálculo de la desviación esándar es el siguiene: σ N i= 1 = ( p µ ) i N i Donde: - i p represena el precio de cierre diario de una acción en el periodo i. (*) N es el número de precios observados hasa el periodo. - µ i es la media de los precios observados hasa el periodo. La desviación esándar proporciona una buena evaluación de la represenación gráfica de la volailidad del precio. De esa forma, se asegura la reacción de las bandas ane rápidos movimienos del precio, reflejándose periodos de ala y baja volailidad. Generalmene, se suelen uilizar los precios de cierre para calcular las bandas de Bollinger, pero se pueden uilizar oros como los precios ponderados o los precios ípicos. Tano el amaño de las medias móviles como el número de desviaciones esándar pueden variar dependiendo del caso. Bollinger recomienda una media móvil de 20 días para la banda cenral y 2 desviaciones esándar para las bandas exeriores, sin embargo, lo mejor es deerminar esos parámeros mediane prueba y error. 22

31 Ejemplo de las bandas de Bollinger (Figura 2.3) aplicadas a precios de cierre diarios: Día Cierre Banda Banda Banda SMA(20) SdDev 2*SdDev diario superior cenral inferior 1 103, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 111,33 6,64 13,28 124,61 111,33 98, ,50 112,30 6,79 13,58 125,88 112,30 98, ,00 112,75 6,85 13,70 126,45 112,75 99, ,00 113,70 6,75 13,50 127,20 113,70 100, ,19 114,62 6,45 12,90 127,52 114,62 101, ,63 115,40 6,54 13,08 128,48 115,40 102, ,75 116,16 6,47 12,94 129,10 116,16 103, ,13 117,06 6,13 12,26 129,32 117,06 104, ,13 117,78 5,82 11,64 129,42 117,78 106, ,00 118,30 5,44 10,88 129,18 118,30 107, ,69 118,58 4,97 9,94 128,52 118,58 108, ,63 118,66 4,82 9,64 128,30 118,66 109,02 Tabla 2.3: En esa abla se presenan los valores de 31 cierres diarios en la primera columna y a coninuación los cálculos necesarios (3 siguienes columnas) para obener las bandas de Bollinger para dichos precios (3 úlimas columnas). hp://sockchars.com/school/doku.php?id=char_school:echnical_indicaors:bollinger_bands 23

32 Figura 2.3: El gráfico incluye las res bandas de Bollinger explicadas aneriormene. La banda cenral es una SMA de 20 días para los precios de cierre de abla, mienras que las bandas exeriores son dicha SMA +- 2 desviaciones esándar. hp://sockchars.com/school/doku.php?id=char_school:echnical_indicaors:bollinger_bands 24

33 Aunque ese indicador puede ayudar a generar señales de compra y vena, no esa diseñado para predecir la dirección de la acción. Las bandas por sí solas sirven básicamene para: 1. Deecar periodos de ala y baja volailidad, observando la disancia enre las bandas exeriores (Figura 2.4). Cuando las bandas se junan (se esrecha el espacio que hay enre ellas) hay una volailidad baja mienras que si se produce lo conrario la volailidad es baja. Se pueden producir cambios pronunciados en los precios después de una volailidad baja, sin embargo, con las bandas de Bollinger no se puede deerminar la dirección de dichos cambios. Para ello se endrían que uilizar oros indicadores. Figura 2.4: Se muesra un cambio pronunciado después de una baja volailidad. hp://sockchars.com/school/doku.php?id=char_school:echnical_indicaors:bollinger_bands 2. Idenificar periodos en los que los precios esán en niveles exremos, y probablemene insosenibles. Básicamene, se pueden idenificar dos señales significaivas con ese indicador: - Señal de compra del doble mínimo (en inglés Double boom buy ) (Figura 2.5): se produce cuando la serie esa por debajo de la banda inferior, la araviesa hacia arriba y a coninuación se produce un mínimo maneniéndose la serie denro de las bandas. La confirmación de esa señal alcisa se produce cuando después de dicho mínimo, los precios pasan la banda cenral. 25

34 Figura 2.5: ejemplo gráfico de Double boom buy hp://sockchars.com/school/doku.php?id=char_school:echnical_indicaors:bollinger_bands - Señal de vena del doble máximo (en inglés Double op sell ): se produce de manera conraria a señal de compra del doble mínimo. La señal de vena del doble máximo iene lugar en la banda superior y con máximos, en vez de mínimos. Las bandas de Bollinger se pueden combinar con el precio de una acción y con oros indicadores para generar señales y augurar movimienos significaivos INDICADORES (INDICATORS) Todos los indicadores que se presenan a coninuación son osciladores de momeno. Se les llama osciladores porque el precio se mueve de manera direccional durane un iempo en donde hay un impulso, y poco a poco, con el iempo pierde esa direccionalidad. Es decir, durane un movimieno direccional hay un incremeno de momeno, y a medida que se alcanza el puno más alo, ese momeno comienza a perder aceleración o direccionalidad, hasa que el precio se gira y vuelve a comenzar el mismo proceso en senido conrario (oscila). El momeno puede ser medido en érminos de aceleración y desaceleración. Por lo ano, los siguienes indicadores miden esa aceleración y desaceleración de dicho momeno. 26

35 Índice de Fueraza Relaiva (Relaive Srengh Index (RSI)) Fue desarrollado por J. Welles Wilder en El Índice de Fuerza Relaiva es un oscilador de momeno muy exendido y exremadamene úil. El RSI compara las ganancias con las pérdidas más recienes de una acción y conviere esa información en un número del 1 al 100. Sólo se necesia un parámero de enrada, el número de periodos (k) que se va a conemplar para el cálculo. J. Welles Wilder recomienda uilizar 14 periodos. Se calcula de la siguiene forma: RSI( k) 100 = RS( k) Donde: G( k) RS( k) = P( k) G ( k) = Media de Ganancias en el periodo de k periodos. - ( G( k) 1 *( k 1)) + G G( k) = k - k = Nº de periodos con el que se va a rabajar. - G = Ganancia acual. Su fórmula es la siguiene: 0 si = 1 G = p p si p > p 0 si p p En ese caso p represena el precio de cierre diario de una acción en el periodo. 27

36 (*) La primera Media de Ganancias se calcula de la siguiene forma: Gi i=1 G( k) = = k k P ( k) = Media de Pérdidas en el periodo de k periodos - P( k) ( P( k) = *( k 1)) + P k - k = Nº de periodos con el que se va a rabajar. - P = Pérdida acual. Su fórmula es la siguiene: 0 si = 1 P = 0 si p p p p si p < p En ese caso p represena el precio de cierre diario de una acción en el periodo. (*) La primera Media de Perdidas se calcula de la siguiene forma: Pi i=1 P( k) = = k k El RSI, al igual que la mayoría de los indicadores, se suele consruir con los precios de cierre diarios de las acciones. Ese indicador se pina encima o debajo de la serie emporal formada por las observaciones en cuesión y se incluyen dos bandas o límies. Una banda superior consane de valor 70 que represena la sobre-compra y ora inferior de valor 30 que represena la sobre-vena. 28

37 Ejemplo de RSI: Figura 2.6: En ése grafico se represena el RSI para los precios de cierre de una acción durane un iempo deerminado. También se puede ver el límie de sobre-compra y el de sobre-vena. hp://sockchars.com/school/doku.php?id=char_school:echnical_indicaors:relaive_srengh_in Ese indicador se usa para: 1. Deecar la sobre-compra y la sobre-vena. Si el RSI crece por encima de 30 enonces se considera un periodo de alza para la acción en cuesión. Si por el conrario desciende por debajo de 70 es una señal de endencia a la baja. 2. Generar señales de compra y vena aendiendo a las divergencias posiivas y negaivas enre el RSI y acción. Una divergencia posiiva se produce cuando el RSI crece mienras que el precio de la acción decrece y una negaiva se produce cuando el RSI decrece mienras que el precio de la acción crece. Una divergencia posiiva se puede inerprear como una señal de compra ya que probablemene la dirección de la serie cambie de forma inminene (al alza). Una divergencia negaiva, por el conrario, se puede inerprear como una señal de vena. 3. Confirmar señales de alza y de baja eniendo en cuena la banda cenral del RSI. Si en el cómpuo global del periodo analizado el RSI esa más veces por encima de 50 la media de ganancias es mayor que la de pérdidas y viceversa. 29

38 Índice del Flujo del Dinero (Money Flow Index (MFI)) Es oro oscilador de momeno parecido al RSI en su cálculo e inerpreación. Sin embargo, el MFI es una buena medida de la fuerza del dinero hacia denro o hacia fuera en una acción. El MFI compara el flujo de dinero posiivo con el flujo de dinero negaivo para obener un indicador que se puede conrasar con el precio de la acción e idenificar la foraleza o la debilidad de la endencia. Al igual que el RSI es un número del 1 al 100 y se requiere el número de periodos (k) que se va a conemplar para su cálculo. También se recomienda uilizar 14 periodos. Su fórmula es la siguiene: MFI( k) 100 = MR( k) Donde: MR ( k) es el raio del dinero, en inglés Money Raio, y se calcula así: - MR( k) = PMF( k) NMF( k) PMF ( k) es el flujo posiivo del dinero en el periodo para k periodos o días, - en inglés Posiive Money Flow, mienras que NMF ( k) es el negaivo, en inglés Negaive Money Flow.Sin embargo, para conocer esos parámeros, anes es necesario calcular oros dos raios: TP Max + Min + p = 3 - TP es el precio ípico de una acción en el periodo, en inglés Tipical Price. Max es el precio máximo de la acción, p el precio de cierre de la acción en dicho periodo. Min el precio mínimo y MF = TP * Vol 30

39 - (*) MF es el flujo del dinero de una acción en el periodo, en inglés Money Flow. Vol es el volumen de dicha acción en el mismo periodo. - Una vez que se ha definido precio ípico y flujo del dinero, se iene que el flujo posiivo acual del dinero y el flujo negaivo acual del dinero se calculan de la siguiene forma: 0 si = 1 PMF = MF MF si MF > MF 0 si MF MF si = 1 NMF = 0 si MF MF MF MF si MF < MF Por úlimo el flujo posiivo y negaivo del dinero en el periodo para k periodos salen de las siguienes fórmulas: PMF( k) = PMF i i= k+ 1 NMF( k) = NMF i i= k+ 1 La represenación gráfica del MFI ambién es muy parecida a la del RSI. La única diferencia es que el límie superior que deermina la sobre-compra es 80 y el inferior que deermina sobre-vena es 20. Al igual que el RSI el MFI sirve para: 1. Generar señales de compra y vena aendiendo a las divergencias posiivas y negaivas enre el MFI y acción. A menudo esas divergencias indican un inminene cambio en la endencia (Figura 2.7). 31

40 Figura 2.7: Se muesra un ejemplo del MFI en el que es fácil apreciar dichas divergencias y los respecivos cambios de endencia. hp://sockchars.com/school/doku.php?id=char_school:echnical_indicaors:money_flow_index_mfi 2. Deecar si hay demasiado volumen asociado a la acción o demasiado poco (Figura 2.8). Una acción se considera sobre-comprada si el MFI alcanza el valor de 80 (endencia a la baja). Y por el conrario, Una acción se considera sobre-vendida si el MFI desciende por debajo de 20 (endencia al alza). Figura 2.8: En la figura se ve claramene la relación que hay enre sobre-compra y endencia a la baja y enre sobre-vena y endencia al alza. hp://sockchars.com/school/doku.php?id=char_school:echnical_indicaors:money_flow_index_mfi 32

41 Oscilador Esocásico (Sochasic Oscilaor) Ese indicador fue desarrollado por George C. Lane a finales de los 50. Se raa de un indicador de momeno que muesra la posición acual relaiva de un precio de cierre con respeco a su máximo / mínimo a lo largo de un número de periodos (x). Cuando los precios de cierre esán cerca de su máximo quiere decir que hay acumulación y por lo ano presión de compra. Si por el conrario, los precios de cierre esán cerca de su mínimo, enonces hay dispersión o presión de vena. Normalmene, primero se calcula el oscilador esocásico (Ecuación 2.4.1) y poseriormene se consruye una media móvil simple (SMA) de y periodos con los valores obenidos (Ecuación 2.4.2). % K( x) = 100* max p min{ Mini } { Max } min{ Min } i i Ecuación 2.1.1: Oscilador Esocásico %K rápido % D ( y) = SMA( y) (de % K ( x) Ecuación 2.1.2: SMA del Oscilador esocásico %K rápido Donde: - p es el precio de cierre de la acción en el periodo. - { Min i } represena odos los precios mínimos desde el periodo -k+1 hasa el periodo. i = x + 1, x + 2,......,. - { Max i } represena odos los precios máximos desde el periodo -k+1 hasa el periodo. i = x + 1, x + 2,......,. Hay res ipos de osciladores esocásicos; el rápido, el leno y el compleo. Para el rápido sólo se necesian 2 parámeros; el número de periodos uilizado para el cálculo de %K (rápido) (x) y número de periodos uilizados para el cálculo de %D (rápido) (y). A parir de esos mismos parámeros ambién se consruye el oscilador esocásico leno. Sin embargo, para el compleo se necesia un parámero adicional (z). La razón por la que hay res ipos de osciladores esocásicos no es ora que la de suavizar ese 33

42 indicador y así poder idenificar mejor las diferenes señales. El cálculo de los res ipos de osciladores se dealla a coninuación: %K (rápido) = %K calculada en la fórmula inicial para x periodos. %D (rápido) = SMA de y días sobre %K (rápido) (ambién se calcula en la fórmula inicial) %K (leno) = SMA de 3 días sobre %K (rápido) %D (leno) = SMA de y días sobre %K (leno) %K (compleo) = SMA de y días sobre %K (rápido) %D (compleo) = SMA de z días sobre %K (compleo) Ejemplo del Oscilador esocásico: Figura 2.9: En esa figura se presenan el oscilador rápido y el leno. Como se puede ver el leno esa más suavizado que el rápido y por lo ano se puede analizar de una manera más sencilla. hp://sockchars.com/school/doku.php?id=char_school:echnical_indicaors:sochasic_oscillao 34

43 La uilidad que iene ese indicador, es muy similar a la de los aneriores osciladores de momeno: 1. Se puede uilizar para idenificar sobre-vena (por debajo de 20) y sobrecompra (por encima de 80). Si el indicador esa en la región de sobre-vena y desciende por debajo de 80, enonces, la acción esa sobre-comprada con la consiguiene posibilidad de que se produzca un cambio de dirección y el precio empiece a descender. Consecuenemene, si el indicador esa en la región de sobre-vena y asciende por encima de 20, la acción esa sobre-vendida y probablemene la endencia del precio de l acción pase a ser alcisa. 2. Sin embargo, el oscilador esocásico para lo que se uiliza principalmene es para deecar señales de compra y vena, observando las divergencias en dichos periodos de sobre-vena o sobre-compra. Se esperará una endencia a la baja, cuando esando el indicador en la región de sobre-vena, se produce una divergencia negaiva (el indicador decrece mienras que el precio de la acción crece) y desciende por debajo de 80. Además, para confirmar esa señal se suele requerir un doble pico en dicha divergencia negaiva y que el segundo pico se dé cuando el precio de la acción ya ha comenzado a bajar (Figura 2.10). Se esperará una señal de compra en caso conrario. 35

44 Figura 2.10: En ese gráfico se puede observar cómo después de la divergencia posiiva (y cumpliéndose los requisios adicionales deallados en el párrafo anerior) el precio de la acción comienza a subir. También se puede ver como se da el caso conrario. hp://sockchars.com/school/doku.php?id=char_school:echnical_indicaors:sochasic_oscillao Convergencia / Divergencia de la Media Móvil (Moving Average Convergence / Divergence (MACD)) Desarrollada por Gerald Appel, la MACD es uno de los indicadores más simples y más fiables que se uilizan acualmene. Se basa en la uilización de medias móviles para incluir caracerísicas sobre el seguimieno de endencias. Dicho indicador conviere las medias móviles en un oscilador de momeno susrayendo una media móvil grande de ora más pequeña. El gráfico resulane oscila por encima y debajo de 0 sin ener limie superior e inferior. Se raa, por ano, de un oscilador cenrado. La formula de la MACD esándar más común y uilizada es la diferencia enre una media móvil exponencial (en inglés Exponenial Moving Average (EMA)) de 26 días de 36

45 los precios de cierre de una acción y ora de 12 días, aunque se pueden uilizar oros diferenes amaños. De las dos EMA s que forman la MACD esándar, la de 12 días es la rápida y la de 26 es la lena. Adicionalmene, se suele represenar ora media móvil exponencial de la MACD con un amaño de 9 días, que suaviza dicho indicador y a su vez acúa de línea generadora de señales. Cuando la MACD cora de forma ascendene a su EMA de 9 días, se produce un core alcisa y cuando cora descendenemene uno bajisa. Por ulimo, ambién se suele consruir un hisograma que es posiivo cuando la MACD es mayor que su EMA de 9 días y negaivo cuando es menor. Ejemplo de MACD: Figura 2.11: Esa figura incluye por un lado (gráfico superior) los precios de cierre para un deerminado conjuno de periodos y por oro (gráfico inferior), la correspondiene MACD. Sobre los precios de cierre se pina la EMA de 12 días (azul) y la de 24 días (rojo) con las que se consruye la MACD. A su vez, juno con la MACD (azul oscuro) ambién esa represenada la EMA de la MACD de 9 días (gris). hp://sockchars.com/school/doku.php?id=char_school:echnical_indicaors:moving_average_conve 37

46 Con la MACD, a diferencia de oros indicadores, se pueden esudiar un mayor número de figuras y siuaciones: Se pueden inerprear las siguienes señales como alcisas: 1. Divergencia posiiva (Figura 2.12). Figura 2.12: En esa figura se puede apreciar que después de producirse la divergencia posiiva (La MACD adopa una dirección al alza mienras que los precios coninúan descendiendo), hay un cambio en la dirección de la serie que comienza a ascender. hp://sockchars.com/school/doku.php?id=char_school:echnical_indicaors:moving_average_conve 38

47 2. Core alcisa de las medias móviles (Figura 2.13). Figura 2.13: En el gráfico se represenan odos los cores de la MACD con su EMA de 9 días. El core es al alza cuando la MACD esa por debajo de su EMA y pasa e esar por encima. Sin embargo, esa señal es común por lo que no es demasiado fiable por sí sola. hp://sockchars.com/school/doku.php?id=char_school:echnical_indicaors:moving_average_conve 39

48 3. Core de la MACD con la línea cenral de forma ascendene (Figura 2.14). Figura 2.14: Por úlimo, se presena un ejemplo en el que se produce la úlima señal alcisa. Cuando la MACD cruza el eje que represena el 0, es una indicación de que el momeno de la serie pasa de ser negaivo a ser posiivo, y por lo ano, puede significar el paso de una endencia bajisa a una alcisa. Esa señal probablemene es la segunda más común, después del core de las medias móviles. hp://sockchars.com/school/doku.php?id=char_school:echnical_indicaors:moving_average_conve 40

49 Consecuenemene, las señales conrarias se pueden inerprear como bajisas: 1. Divergencia negaiva (Figura 2.15) Figura 2.15: Divergencia negaiva hp://sockchars.com/school/doku.php?id=char_school:echnical_indicaors:moving_average_conve 2. Core bajisa de las medias móviles (Figura 2.16). Figura 2.16: Core bajisa de las medias móviles hp://sockchars.com/school/doku.php?id=char_school:echnical_indicaors:moving_average_conve 41

50 3. Core de la MACD con la línea cenral de forma descendene (Figura 2.17). Figura 2.17: Core descendene de la MACD con la línea cenral hp://sockchars.com/school/doku.php?id=char_school:echnical_indicaors:moving_average_conve Sin embargo, es cuando se producen odas las señales (ya sean alcisas o bajisas) de forma conjuna cuando más robusas son. Aunque muchos raders juegan con las señales aneriores individualmene, es más seguro que se produzca un cambio de endencia al alza cuando se dan odas las señales alcisas simuláneamene que con solo una de ellas (Figura 2.18). 42

51 Figura 2.18: En la figura, ras producirse una divergencia posiiva y un core alcisa de las medias móviles, el core de la MACD con la línea cenral de forma ascendene confirma la endencia al alza de los precios de cierre. hp://sockchars.com/school/doku.php?id=char_school:echnical_indicaors:moving_average_conve Por lo ano, la MACD es simple, sencilla de calcular y muy úil ya que combina aspecos del momeno de los precios, así como aspecos de la endencia de dichos precios en un único indicador. Como inconvenienes, no es un buen indicador para idenificar periodos de sobre-compra o sobre-vena y puede presenar algún reraso. 2. Técnicas de predicción de series emporales Una serie emporal es una sucesión de observaciones de una variable en disinos momenos del iempo. Cuando la variable bajo esudio se puede conocer en cualquier insane emporal, se raa de una serie emporal coninua. Si por el conrario, la serie esa consiuida por valores de la variable recogidos en inervalos de iempo igualmene espaciados, enonces se denomina serie emporal discrea. El objeivo del esudio de las series emporales es conocer una variable a lo largo del iempo para realizar predicciones de la misma en el fuuro. 43

52 2.1 Modelos ARIMA Según Pankraz [PANK91], un modelo ARIMA (Auoregressive Inegraed Moving Average) es una forma de describir como los valores de una serie emporal esán relacionados linealmene con sus valores pasados. Cualquier predicción de un modelo ARIMA es una media ponderada de los valores aneriores. Un proceso ARIMA es el mecanismo de población que genera la serie emporal. Si un modelo es una buena aproximación de un proceso, enonces ése iende a imiar el comporamieno de dicho proceso, y por lo ano, las predicciones que se hagan a ravés de ese modelo proporcionarán una información muy úil sobre los valores fuuros de la serie. La ecuación represena un modelo ARIMA básico. z = C + ϕ z + a 1 1 Ecuación 2.2.1: Modelo ARIMA básico En donde, - C es una consane y φ 1 es el coeficiene de ese modelo. - z y z-1 son valores de la serie emporal en el periodo y en el -1 - a es el residuo o error enre la esimación realizada y valor observado Media y varianza esacionarias El análisis ARIMA esándar se basa en la suposición de que los procesos que generan una serie emporal son esacionarios. Un proceso esacionario es aquel cuya media, varianza y función de auo-correlación son consanes a lo largo del iempo. Por lo que si los daos de una serie emporal no son esacionarios hay que ransformarlos para obener una serie emporal que si lo sea. Poseriormene, ras consruir el nuevo modelo ARIMA y obener las correspondienes predicciones, se ienen que deshacer las ransformaciones aplicadas a los daos originales para obener unos resulados correcos. Las ransformaciones que se aplican a las series emporales en Pankraz [PANK91] son las siguienes: 44

53 ESTABILIZADO DE LA VARIANZA Se uiliza cuando la varianza es proporcional al nivel de la serie, es decir, crece a medida que avanza el iempo o al revés. El resulado que se obiene ras realizar dicha operación es una serie emporal con varianza consane a lo largo del iempo. Las ransformaciones Box-Cox [Box and Cox, 1964] son las mas uilizadas. Denro de esa familia de ransformaciones, la más común es la del logarimo naural (Ecuación 2.2.2). z = ln( z ) Ecuación 2.2.2: Transformación del logarimo naural DIFERENCIADO DE LA MEDIA También denominado diferenciado regular o no esacional, se aplica a series emporales que no se manienen en una media consane (Ecuación 2.2.3). Se debe realizar anos diferenciados (d) como sean necesarios para obener una serie emporal que a pesar de su variación a lo largo del iempo, vuelva rápidamene a una media consane. w = z z 1 Ecuación 2.2.3: Diferencia regular DIFERENCIADO ESTACIONAL Ese diferenciado se emplea cuando la serie emporal muesra un parón que se repie de forma fija cada ciero número de periodos (cada 12 meses, cada 4 años ec.). La manera en que se calcula la nueva serie es muy parecida a la del diferenciado de la media. En ese caso, en vez de resar la observación del periodo anerior se resa la observación de X periodos aneriores (o esaciones) (Ecuación 2.2.4). El número de diferenciados esacionales se denomina D. w = z z s Ecuación 2.2.4: Diferencia esacional 45

54 Auocorrelación En una serie emporal ineresa conocer los parones de auo-correlación; como esa relacionado un valor de la serie (z ) con sus valores fuuros (z +1, z +2, ) o, equivalenemene, con sus valores pasados (z -1, z -2, ). La auo-correlación mide la dirección (posiiva o negaiva) y la fuerza a lo largo de las observaciones denro de una única serie emporal z cuando dichas observaciones esán separadas por k periodos de iempo, para k = 1, 2, 3..K. Se raa la serie z como una variable aleaoria y la serie z +k como ora COEFICIENTES DE AUTOCORRELACIÓN Se uilizan los daos de la muesra para calcular el coeficienes de auo-correlación de la muesra y para obener información sobre el coeficiene de auo-correlación de la población a varios niveles k = 1, 2, 3..K. El coeficiene de auo-correlación de la población eórico es: cov( z, z + k ρ k = 2 σ z ) El coeficiene de auo-correlación de la muesra, con el que obenemos una esimación de ρ k, es: r k n k = 1 = n ( z z)( z = 1 + k 2 ( z z) z) Por ano, para saber si los valores de una serie emporal esán relacionados con sus valores inmediaamene aneriores (z con z -1 ), se debería calcular el coeficiene de correlación r 1 ya que, en ese caso, el reardo es 1 (k = 1). El conjuno formado por los valores de r k para k = 1, 2, 3..K forma lo que se llama Función de Auo-correlación de la Muesra (FAS), en inglés, Sample Auocorrelaion Funcion (SACF). 46

55 Tes de significación para Coeficiene de Auo-correlación Para conocer si el coeficiene de auo-correlación r k es significaivo (y por lo ano la esimación de ρ k es significaiva) primero hay que conocer su error esándar (Ecuación 2.2.5). s( r ) k k 1 2 1/ 2 1/ 2 = (1 + 2 rj ) n j= 1 Ecuación 2.2.5: Error esándar del Coeficiene de Auocorrelación A coninuación, y una vez calculado el error esándar del coeficiene de auocorrelación r k, se comprueba la hipóesis nula H 0 : ρ k = 0, para ver si exise una relación lineal en la población enre z y z -k. Para ello, se calcula el -valor (Ecuación 2.2.6), que es un esadísico que represena el número de errores esándar que separan r k de 0. = rk s r ) ( k Ecuación 2.2.6: -valor Si para k = 1, 2, 3..K, -valor > 2, enonces se puede decir que el coeficiene de auocorrelación calculado es significaivo a un 5% de significación y por lo ano que z esa relacionado linealmene con z -k. Forma gráfica de la Función Auo-correlación de la Muesra (FAS) Es conveniene represenar gráficamene la FAS (Figura 2.19) y así se recomienda en Pankraz [PANK91], ya que ayuda a saber si la media es esacionaria. Si es así la FAS iende a 0 muy rápidamene. A coninuación se muesra como ejemplo la represenación grafica de una FAS para los reardos k = 1, Las dos bandas disconinuas represenan la disancia de 2 errores esándar para r k desde 0: 47

56 Figura 2.19: Función de auocorrelación de la muesra (FAS) hp://addicedor.free.fr/graphiques/rgraphgallery.php?graph=64 En ese ejemplo, los valores de la serie emporal z solamene esán relacionados con sus dos valores inmediaamene aneriores (z -1 y z -2 ) ya que r 1 > 2*s(r 1 ) y r 2 > 2*s(r 2 ) COEFICIENTES DE AUTOCORRELACIÓN PARCIAL Son ora medida muy úil para medir la auo-correlación. Si se considera el conjuno de las K ecuaciones de regresión como: z z.. z = C + φ z 1 = C 2 = C k φ z φ z k1 1 + e 1. + φ z φ z k e φ z kk k + e k. Enonces, el coeficiene de auo-correlación parcial de la población con reraso de k = 1, 2, 3..K es el úlimo érmino ( φ kk ) de cada ecuación. Cada coeficiene de auocorrelación parcial de la población se esima por su correspondiene coeficiene de auo-correlación parcial de la muesra φˆ kk. Para conocer la significación de φˆ kk se puede comparar como en el caso anerior con su error esándar s ( φˆ kk ) (Ecuación 2.2.7). 48

57 s( ˆ φ ) = n kk 1/ 2 Ecuación 2.2.7: Error esándar del Coeficiene de Auocorrelación Parcial Al igual que pasa con los coeficienes de auo-correlación, el conjuno de los coeficienes de auo-correlación parcial que resulan para k = 1, 2, 3..K, forman lo que se llama la Función de Auo-correlación Parcial de la Muesra (FAP), en inglés Sample Parial Auocorrelaion Funcion (SPACF). También es conveniene represenar gráficamene dicha función (Figura 2.20). A coninuación se muesra la represenación grafica de FAS equivalene a la FAS del aparado anerior. Como en el caso anerior las dos bandas disconinuas represenan la disancia de 2 errores esándar para r k desde 0: Figura 2.20: Función de auocorrelación parcial de la muesra (FAP) hp://addicedor.free.fr/graphiques/rgraphgallery.php?graph= Procesos ARIMA Por lo ano, un modelo ARIMA se basa en los daos de la muesra que se dispone. Su equivalene eórico es un proceso ARIMA. Cada proceso ARIMA iene asociado una función eórica de auo-correlación (FAC) y una función eórica de auo-correlación parcial (FACP) PROCESOS ARIMA MÁS CONOCIDOS A coninuación se presenan algunos de los procesos ARIMA, con sus FAC s y FACP s eóricas, que en Pankraz [PANK91] se consideran más comunes. 49

58 Procesos auorregresivos (AR(p)) Dos procesos simples y muy comunes de ese ipo son: [ 1.2.8] [ 1.2.9] z = C + ϕ z + a z = C + ϕ z + ϕ z + a Ecuación 2.2.8: Proceso AR (1). Ecuación 2.2.9: Proceso AR (2). Los valores aneriores de z (z -1, z -2.) con sus coeficienes asociados (φ ) de denominan érminos auo-regresivos o de auo-regresión, en inglés auoregressive (AR) erms. Se define el orden (p) de un proceso o modelo AR como la mayor longiud de reardo de los érminos AR. Por oro lado, C es una consane que esa relacionada ano con la media ( µ ) de la serie z como con los coeficienes AR ( φ ' s ) de la siguiene forma: z C = µ (1 z p i= 1 φ ) i Funciones eóricas de auo-correlación (FAC) y de auo-correlación parcial (FACP): Los procesos AR de orden p ienen las siguienes caracerísicas: 4. La FAC eórica disminuye exponencialmene, con forma de onda senoidal, o con ambos parones. 5. La FACP eórica iene picos hasa el reardo p y después odo ceros. (Algunos valores anes del reardo pueden ser cero; lo imporane es que el úlimo valor disino de cero ocurre en el reardo p. Condiciones de esacionaridad Los coeficienes φ saisfacen cieras condiciones si la media del proceso es esacionaria. Para que un proceso AR (1) sea esacionario se debe cumplir: φ 1 < 1 50

59 Para un proceso AR (2): φ < 1 2 φ + φ < 1 2 φ φ < Procesos de media móvil (MA(q)) Dos procesos MA muy comunes son: [ ] [ ] z = C θ a + a 1 1 z = C θ a + θ a + a Ecuación : Proceso MA (1). Ecuación : Proceso MA (2). Los componenes aleaorios pasados (a -1, a -2.) con sus coeficienes asociados (θ ) se denominan érminos de media móvil, en inglés Moving Average (MA) erms. Dichos érminos son negaivos por convención. Se define el orden (q) de un proceso o modelo MA como la mayor longiud de reardo de los érminos MA. La consane C en los procesos MA, solamene esa relacionada con la media ( µ ) de la serie z ya que no hay érminos AR, de forma que C= µ. z z Funciones eóricas de auo-correlación (FAC) y de auo-correlación parcial (FACP): Los procesos MA de orden q ienen las siguienes caracerísicas: 6. La FAC eórica iene picos hasa el reardo q y después odo ceros. (Algunos valores anes del reardo pueden ser cero; lo imporane es que el úlimo valor disino de cero ocurre en el reardo q. 7. La FACP eórica disminuye. Inverivilidad Un proceso MA es inverible cuando (1) iene una forma AR equivalene. (2) La Inveribilidad asegura que los valores absoluos de los pesos asociados a pasadas z s 51

60 en dicha forma AR equivalene disminuyen a medida que la longiud del reardo aumena. Al igual que con los procesos AR, los procesos MA deben de cumplir una serie de requisios para que se de la inveribilidad. Por ano, si un proceso MA es inverible los coeficienes θ deben cumplir las siguienes condiciones: Para un proceso MA (1): θ 1 <1 Para un proceso MA (2): θ < 1 2 θ + θ < 1 2 θ θ < Procesos mixos (ARMA(p, q)) El proceso mixo más común es: z + a = C + φ 1z 1 θ 1a 1 Ecuación : Proceso ARMA (1, 1). Ese ipo de procesos iene ano érminos AR como MA. En ese caso, C esa relacionada con la media ( µ ) de la serie z y con los coeficienes AR ( φ ' s ) si los hay. z Funciones eóricas de auo-correlación (FAC) y de auo-correlación parcial (FACP): Los procesos ARMA de orden p, q ienen las siguienes caracerísicas: 8. La FAC eórica disminuye. 9. La FACP eórica disminuye. 52

61 Procesos inegrados (ARIMA(p, d, q)) Los procesos ARIMA son procesos ARMA que describen series emporales a las que previamene se les ha aplicado uno o más procesos de diferenciado, ya que originalmene no eran esacionarias. Así, si se iene una serie emporal no esacional diferenciada (no se le ha aplicado ningún proceso de diferenciado esacional, solamene procesos de diferenciado de la media) que esa descria por un proceso ARMA (p, q), se obendría un proceso ARIMA (p, d, q), siendo d el número de procesos de diferenciado de la media que ha sufrido la serie para ser esacionaria. Un ejemplo muy uilizado es el proceso ARIMA (0, 1, 1). Cada predicción de dicho proceso es una media móvil ponderada exponencialmene. En ese caso, la serie emporal diferenciada w esa descria por un proceso ARMA (0, 1). Dado que d=1, la serie solo ha sufrido un proceso de diferenciado de la media. Considerando w, con d=1, como: w = z z 1 Con p=0 y q=1, el proceso se escribe de la siguiene forma: w θ + a = C 1a 1 Uilizando la definición de w = z z 1 y despejando z, se obiene: z + a = z 1 + C θ 1a 1 Ecuación : Proceso ARIMA (0, 1, 1). C se calcula exacamene igual que en los procesos ARMA. Según Pankraz [PANK91], a un proceso que incluye un diferenciado se le llama proceso inegrado ya que para volver al proceso de la serie original hay que inegrar. La función de auo-correlación de la muesra (FAS) de una serie inegrada disminuye muy lenamene, y eso hace que sea muy difícil deecar el reso de parones que podrían esar presenes. El diferenciado, permie descubrir dichos parones. 53

62 NOTACIÓN CON EL OPERADOR DE RETARDO B Para simplificar la escriura de procesos y modelos ARIMA se uiliza la noación de reardo, en inglés Backshif noaion. En dicha noación se uiliza el operador B i que se define de la siguiene forma; cuando B i muliplica a una variable con un índice emporal, dicho índice se rerasa i periodos. Enonces se iene que B i z = z -i, B i a = a -i y B i C = C. Un proceso AR (1) con noación de reardo se escribiría: 1 φ B ) z = C + ( 1 a Proceso ARIMA (p, d, q) general Uilizando las siguienes definiciones: d = (1 B) φ( B) = (1 φ B φ B θ( B) = (1 θ B θ B d φ B p... θ B q p q ) ) Un proceso ARIMA (p, d, q) general es: φ ( + θ d B ) z = C ( B) a MODELOS ESTACIONALES Los modelos ARIMA ambién pueden represenar parones esacionales o periódicos. Los órdenes de un proceso ARIMA esacional puro se expresan como ARIMA (P, D, Q) s, donde Ps es la máxima longiud de reardo en los érminos AR y donde Qs es la máxima longiud de reardo en los érminos MA. El modelo ARIMA (0, 1, 1) s se presena en Pankraz [PANK91] como el modelo esacional más común. Dicho modelo se puede escribir con las siguienes ecuaciones equivalenes: z = z s + C sa s s z = C + ( 1 θ B ) a s θ s + a 54

63 Funciones eóricas de auo-correlación (FAC) y de auo-correlación parcial (FACP): Los procesos esacionales puros de orden P y Q ienen FAC s y FACP s eóricas idénicas a los procesos no esacionales de orden p y q con una excepción: en los procesos esacionales puros los parones ocurren en los reardos s, 2s, 3s..ec PROCESOS ESTACIONALES Y NO ESTACIONALES COMBINADOS Un proceso ARIMA debería ener elemenos esacionales y no esacionales. Proceso ARIMA (p, d, q)(p, D, Q) S general Si la pare no esacional se escribe: φ ( + θ d B ) z = C * ( B) b Y la pare esacional: φ ( = θ s D s B ) s b ( B ) a El proceso ARIMA (p, d, q) (P, D, Q) s combinado es: φ ( + θ s D d s B ) φ( B) s z = C θ ( B ) ( B) a De forma análoga se puede uilizar la noación con desplazamieno hacia arás para expresar la ecuación para el cálculo de C: C = φ ( B s ) C* = µ (1 p i= 1 φ )(1 i p i= 1 φ ) is Esacionaridad e Inveribilidad s Considerando φ (B) y φ ( B ) como polinomios en B, para que se de esacionaridad, s odas las soluciones de las ecuaciones caracerísicas φ (B) =0 y φ ( B ) =0 deben no 55

64 ser complejas (no pueden ener pare imaginaria). De forma análoga, para que se de s inveribilidad, odas las soluciones de las ecuaciones caracerísicas θ (B) y θ ( B ) deben no ser complejas (no pueden ener pare imaginaria) Idenificación del modelo ARIMA En Pankraz [PANK91] se proponen los siguienes pasos para idenificar un modelo ARIMA en la prácica: - Primero se consruye las funciones de auo-correlación (FAS) y de auocorrelación parcial (FAS) de la muesra con los daos de la serie emporal disponible. - A coninuación, se comparan las funciones de auo-correlación (FAS) y de auo-correlación parcial (FAS) de la muesra con las FAC s y las FACP s eóricas más comunes y se idenifica un modelo ARIMA (AR, MA...ec.) como un modelo preliminar represenaivo para los daos disponibles. De enre odos los procesos, se elige aquel cuya FAC y FACP eóricas mejor se adecuen a la FAS y FAS que se obienen con dichos daos. En ese proceso de idenificación se aplica el principio de parsimonia. Según ese principio, si hay varios modelos que explican adecuadamene el comporamieno de los daos, se ha de elegir el modelo con el menor número de coeficienes posible, es decir, el más sencillo. - Por úlimo, se valida el modelo ARIMA seleccionado. Si dicho modelo no se ajusa correcamene a los daos de la muesra se vuelve a repeir el proceso VALIDACIÓN DEL MODELO Si un modelo ARIMA represena adecuadamene el parón de auo-correlación en una serie emporal, no debería haber ningún parón de auo-correlación significane en la serie de residuos â. Eso se puede comprobar de varias formas: - La primera es de forma gráfica. Se consruye la FAS de la serie de residuos (el coeficiene de auo-correlación residual en el reardo k se define como r k ( â )). Para que el modelo ARIMA represene adecuadamene el parón de auocorrelación en una serie emporal cada coeficiene de auo-correlación residual (r k ( â )) debe ser pequeño con respeco a su error esándar. 56

65 - En la segunda, se realiza un es con la hipóesis nula H 0 : ρ a) = ρ ( a) =... = ρ ( a) 0. Si H 0 es ciera, enonces el esadísico Q* 1 ( 2 k = (Ecuación ) se aproxima por una disribución 2 χ con K-m grados de liberad (siendo m el número de coeficienes del modelo): Q* = n( n + 2) K k= 1 ( n k) 1 2 r k ( aˆ) Ecuación : cálculo del esadísico Q* FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN EXTENDIDA Idenificar el orden de un proceso AR puro o MA puro es fácil observando el pico máximo de sus respecivas FAS y FAS. Sin embargo, idenificar los órdenes p y d en un proceso mixo es más difícil. Según Pankraz [PANK91], para faciliar dicha area se puede uilizar la función de auo-correlación exendida (en inglés, Exended AuoCorrelaion Funcion (EACF)) y su equivalene función de auo-correlación exendida de la muesra (en inglés, Exended Sample AuoCorrelaion Funcion (ESACF)). Tano la EACF como la ESACF se represenan en una abla. En dicha abla hay * s, 0 s y X s. El vérice superior izquierdo formado por el riangulo de 0 s en la pare izquierda de la abla indica los valores de los órdenes p y q correspondienes con los procesos AR y MA. Esas funciones ambién conemplan los procesos que han sufrido previamene algún proceso de diferenciado de la media (d) ya que d esa incluido en p ( p = p + d). Seguidamene se muesra un ejemplo de una abla ESACF (Figura 2.21). En dicha abla, la columna de la izquierda que coniene los números del 1 al 4 represena el orden p, mienras que la fila superior que coniene los números del 1 al 7 represena el orden q. 57

66 Figura 2.21: abal ESACF hp:// Predicción Un modelo ARIMA realiza las predicciones con la menor media de errores cuadráicos posible si se compara con odos los modelos lineales univarianes con coeficienes fijos. Uilizando ARIMA, para cada periodo de iempo se puede realizar una predicción de un único valor, llamado puno de predicción. También se puede consruir un inervalo de confianza para cada puno para obener un inervalo de predicción. Para un modelo esacionario las predicciones convergen hacia la media de la serie. Como de rápido suceda eso, depende de la nauraleza del modelo y de la cercanía de las observaciones más recienes a la media INTERPRETACIÓN DE LAS PREDICCIONES DEL MODELO La inerpreación más general de las predicciones de un modelo ARIMA es basane simple; una predicción ARIMA es la mejor media ponderada de los valores aneriores. Sin embargo hay oras inerpreaciones ineresanes muy úiles que se planean en Pankraz [PANK91] y que surgen de casos especiales. Esos casos son: 1. La predicción de la media móvil con asignación de pesos exponenciales (EWNA). Los modelos ARIMA (0, 1, 1) y ARIMA (0, 1, 1)s o modelos con esas componenes surgen muy a menudo en la prácica. Son medias móviles con asignación de pesos exponenciales de los daos disponibles. Tras realizar una 58

67 serie de cambios en las ecuación original de ese ipo de modelos se llega a la siguiene ecuación en la cual se ve mucho mejor esa caracerísica: (1 ˆ θ ) z + ˆ θ (1 ˆ θ ) z ˆ2 + θ (1 ˆ θ ) z zˆ n+ 1 = 1 n 1 1 n n La predicción del ciclo esocásico. Algunos modelos AR (2) y AR (2) s generan ciclos esocásicos en el parón de predicción. Un parón de ciclos esocásico se puede definir como una onda senoidal deformada en el parón de predicción. Esos modelos son especialmene úiles en la descripción de los componenes del ciclo de negocio. Se puede llegar a calcular el periodo medio del ciclo. 3. La predicción de la endencia deerminisa. Cuando d > 0 o D > 0 y el modelo ARIMA coniene un érmino consane, dicha consane es una componene de la endencia deerminisa del iempo. A medida que se aumena el iempo de predicción se va añadiendo una canidad fija C al valor previamene observado o (z ) o previamene predicho ( ẑ ). Ese efeco se acumula para dar lugar a una componene de endencia coninua ascendene (si C > 0) o descendene (si C < 0) Modelos de Regresión Dinámica Según Pankraz [PANK91], un modelo de regresión dinámica esablece como una variable de salida (Y ) esa relacionada linealmene con los valores acuales y pasados de una o varias variables de enrada (X 1, X 2, ). A la hora de rabajar con los daos de series emporales, ese ipo de modelos son más adecuados que los de regresión lineal simple. Aunque esos úlimos son más sencillos, ienen una serie de limiaciones que hacen que los resulados no sean buenos y por lo ano que no se puedan uilizar. Dichas limiaciones son: - En primer lugar, y la más imporane, en los méodos de regresión simple solo puede haber una variable de enrada, por lo que si hay más de una, ya no ienen senido. - En segundo lugar y en el caso de ener una sola variable de enrada, los modelos de regresión simple no ienen en cuena la influencia que pueden ener los valores pasados de la variable de enrada en el valor acual de la 59

68 variable de salida. Eso supone una pérdida de información muy úil ya que, en el caso de las series emporales, los daos ienden a esar correlacionados enre sí. - Tampoco conemplan la relación bidireccional que puede haber enre la variable de salida Y y la de enrada X. Solo se conempla la relación de X a Y, y no al revés. - Además, dichos modelos no consideran el hecho de que la serie de dispersión, N (la serie formada por los errores que genera la dispersión alrededor de la relación lineal a lo largo del iempo) puede esar auo-correlacionada. - Por úlimo, en los modelos de regresión simple no se iene en cuena que, en general y como ya se ha comenado aneriormene, las series emporales ienden a esar auo-correlacionadas. Eso puede provocar que la serie emporal que forman las observaciones de la variable de enrada esé fueremene relacionada con la serie emporal que forman las observaciones de la variable de salida, y por lo ano, no enga ningún poder explicaivo. Por lo ano, y a diferencia de los méodos de regresión lineal simple, un modelo de regresión dinámica muesra como la variable de salida esa relacionada con la variable o variables de enrada eniendo en cuena la posible relación de los valores pasados con el valor acual (X -1, X -2, X -3, en Y ) y la posible esrucura emporal (parón de auo-correlación) de la serie de dispersión (N ) ARIMA Y MODELOS DE REGRESIÓN DINÁMICA Los procesos y modelos ARIMA esán muy relacionados con los modelos de Regresión Dinámica por las siguienes razones: - Si se quiere realizar una predicción de Y mediane un modelo de Regresión Dinámica, se consruye primero un modelo preliminar ARIMA para Y y así se esablece un modelo base y un conjuno de predicciones con los que luego comparar los resulados que se obengan con el modelo de Regresión Dinámica. - La serie de dispersión (N ) en regresión dinámica (la serie formada por los errores que genera la dispersión alrededor de la relación lineal a lo largo del iempo) suele esar auo-correlacionada. Ese parón se puede represenar muy 60

69 bien con un modelo ARIMA. Además, uilizando un modelo ARIMA para la dispersión, se mejora las predicciones del modelo de regresión dinámica. - Para predecir Y con un modelo de RD primero hay que predecir los valores de las variables de enrada (X 1, X 2, ). Normalmene, esas predicciones se hacen con un modelo ARIMA. - Normalmene, los modelos ARIMA para series de enrada o de salida revelan cosas ineresanes sobre los daos, y eso ayuda a decidir como consruir el modelo de RD. Por úlimo, los modelos ARIMA para enradas esocásicas son necesarios para comprobar el ajuse del modelo de RD y para calcular los errores esándar de las predicciones Inroducción de los modelos de regresión En Pankraz [PANK91], al igual que en el análisis de la auo-correlación, se diferencian dos funciones en el análisis de regresión; una función de regresión de la población (en inglés, Populaion Regression Funcion (PRF)) y una función de regresión de la muesra (en inglés, Sample Regression Funcion (SRF)) FUNCIÓN DE REGRESIÓN DE LA POBLACIÓN (PRF) En los modelos de regresión, las variables de enradas pueden ser esocásicas (con un componene aleaorio) o deerminisas (Sin componene aleaorio). Las ecuación de la función de regresión de la población (PFR) es una relación eórica, en la cual, los parámeros normalmene son desconocidos. 61

70 Supuesos de la PRF Linealidad En el análisis de regresión se asume que la población de salida (Y) debe esar relacionada linealmene con las enradas (las X s) por coeficienes fijos. Dicha linealidad se eniende en los coeficienes, por lo que no se iene porque dar en las variables. Relación esocásica También se asume que la relación enre la salida y las enradas es esocásica. Las enradas no predicen de forma exaca la salida. Dicha imperfección se represena con un érmino adicional de dispersión (a i ) en la ecuación Y + a i = C + b1 X1, i Ecuación : Término de dispersión en el modelo de regresión lineal simple. i Propiedades de la dispersión La dispersión represena el efeco de odas las variables independienes excluidas que inervienen en la variabilidad de Y. Normalmene, El érmino de dispersión esocásica 2 (a i ) se asume que es ruido blanco con una disribución Normal (0, σ a ), sin embargo, en algunos casos dicha suposición de normalidad no se iene en cuena. También se asume que la dispersión es independiene de las X s FUNCIÓN DE REGRESIÓN DE LA MUESTRA (SRF) CON UNA VARIABLE DE ENTRADA La función de regresión de la muesra (SRF) de los modelos de regresión con una sola enrada es la siguiene: Y i = Cˆ + bˆ X 1 1, i + aˆ i Esa función es la ecuación de la reca de regresión que mejor se ajusa a los daos de la muesra disponibles. Ĉ y ˆb 1 son esimaciones de los parámeros C y b 1, calculados 62

71 a parir de los daos muesrales, mienras que â i es la disancia que hay de la observación i de la muesra hasa la reca de regresión esimada y se le denomina error, residuo o valor residual. Esimación por mínimos cuadrados La reca de regresión que mejor se ajusa a los daos muesrales endrá que ener los residuos más pequeños posibles. A la hora de realizar la esimación de la reca de regresión, la regla que más se uiliza en los modelos de regresión lineal simple o múliple es la de elegir aquellos valores de Ĉ y ˆb 1 que minimicen el cuadrado de los residuos ( i = aˆ 1 n 2 i ). Sin embargo, cuando las variables del modelo son series emporales (modelos de regresión dinámica) se uilizan oras reglas ya que la dispersión suele esar auo-correlacionada. Desviación Esándar Residual Según Pankraz [PANK91], ambién es imporane ener una esimación ( σˆ ) de la desviación esándar de los errores ( σ ) (Ecuación ). Dicha esimación mide la a cercanía de los valores observados (Y s) con la SPR, y además se uiliza para calcular inervalos de confianza para las predicciones en los modelos de regresión. a ˆ σ a = n i= 1 ( Y Yˆ ) n k 1/ 2 2 i Ecuación : Esimación de la desviación esándar de los errores. i 63

72 PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES POR MÍNIMOS CUADRDADOS Los esimadores por mínimos cuadrados de los parámeros son imparciales, consisenes y ienen la menor varianza en muesreos repeidos, con respeco al reso de los esimadores ya sean lineales o no. La varianza es la siguiene: 2 s ( bˆ ) = 1 n i= 1 aˆ 2 i /( n k) ( n 1) s 2 x BONDAD DEL AJUSTE El esadísico R 2 ajusado, que se escribe 2 R es una medida de cómo de úiles son las variables de enrada (X s) en explicar la variable de salida (Y). Sin embrago, cuando se rabaja con series emporales los modelos de regresión dinámica suelen incluir modelos ARIMA, y en esos casos el esadísico 2 R pierde su inerpreación esándar. Dadas las siguienes fórmulas definidas en Pankraz [PANK91]: Suma oal de cuadrados, en inglés Toal Sum of Squares (TSS): TSS = ( Yi Y ) 2 Suma de regresión de cuadrados, en inglés Explained Sum of Squares (ESS): ESS = ( Yˆ i Y ) 2 Suma de errores cuadrados, en inglés Residual Sum of Squares (RSS): RSS ( Y ˆ i Y ) = i 2 TSS = ESS + RSS 64

73 Se iene que: El esadísico R 2 sin ajusar es: 2 ESS R = TSS Y Ajusado: R 2 = 1 (1 R 2 )( n 1) /( n k) INFERENCIA ESTADÍSTICA Conrase de Hipóesis para un único coeficiene b 1 (Una sola variable de enrada) Para conocer el valor de b 1 se puede realizar un conrase de hipóesis uilizando la esimación ˆb 1 y su error esándar (s( ˆb 1 )), siendo la hipóesis nula H 0 : b 1 = 0, es decir, suponiendo que la variable independiene no explica los movimienos de Y. El esadísico uilizado para conrasar la hipóesis es: bˆ 1 = s( bˆ ) 1 Si > n-k-1, se rechaza H 0, y por ano se puede decir que la esimación calculada del coeficiene es significaiva al nivel de significación correspondiene, y por lo ano, que la variable independiene explica la variable de salida. Conrase de Hipóesis para un conjuno de coeficienes (Varias variables de enrada) En el caso de ener una regresión con varias variables de enrada, cada una con su coeficiene b i, enonces la hipóesis nula es H 0 : b 1 = b 2 =..= b = 0. Si H 0 es ciera, el modelo incluye una consane y si la dispersión no esa auo-correlacionada, enonces el esadísico F (Ecuación ) sigue una disribución F de Fisher con k 1 y n-k grados de liberad. 65

74 F = ESS /( k 1) RSS /( n k) Ecuación : Cálculo del esadísico F. Si F > F k-1, n-k, se rechaza H 0, y por ano se puede decir que los coeficienes calculados son significaivos al nivel de significación correspondiene. Es decir las variables independienes explican la variable de salida. Relación enre F y Según Pankraz [PANK91], F y ienen una relación simple cuando la función de regresión iene una sola variable independiene: F = 2. En regresión múliple, el esadísico se uiliza para comprobar la significación de cada coeficiene de forma individual, mienras que F se uiliza para comprobar la significación del grupo de coeficienes REGRESIÓN MÚLTIPLE Una regresión múliple iene más de una variable independiene (Ecuación ). Y + a i = C + b1 X1, i + b2 X 2, i i Ecuación : modelo de regresión dinámica El coeficiene b 1 es lo que varía la población media en Y i, cuando varía en una unidad X 1,i, maneniendo consane X 2,i. Y b 2 es lo que varía la población media en Y i, cuando varía en una unidad X 2,i, maneniendo consane X 1,i. Predicción con una función de regresión de la población (PFR) con varias variables de enrada. Es difícil represenar gráficamene la idea de predecir Y i para una regresión múliple. Para una PRF con dos variables independienes se necesia un diagrama en res dimensiones. X 1,i es un eje, X 2,i es el segundo e Y i es el ercero. En el caso de ener más de dos variables independienes, la ecuación de predicción se endría que represenar en un híper plano. 66

75 Función de regresión de la muesra (SRF) con varias variables de enrada. La SRF para una regresión múliple, al igual que en regresión simple, se obiene usando la regla de los mínimos cuadrados (Ecuación ). Y i = Cˆ + bˆ ˆ 1 X1, i + b2 X 2, i + aˆ i Ecuación : Función de Regresión de la muesra Eligiendo Ĉ, ˆb 1 y ˆb 2 que minimicen la suma de errores cuadrados NOTACIÓN MATRICIAL Muchas expresiones en el análisis de regresión son presenadas convenienemene en forma de mariz. Así, en Pankraz [PANK91] una SRF con k 1 variables independienes y n observaciones se escribe de la siguiene forma: Y = XBˆ + aˆ REGRESIÓN MÚLTIPLE CON SERIES TEMPORALES Hasa ahora se ha esudiado modelos de regresión sin incluir series emporales en las variables de enrada o salida. Es decir, hasa ahora los valores de las variables del modelo de regresión eran independienes. Sin embargo, cuando la regresión implica series emporales, normalmene, la dispersión esa auo-correlacionada. Si se denomina N a la dispersión en una PRF que implica series emporales, se iene que: Y + N i = C + b1 X1, i Esa auo-correlación de la dispersión se suele represenar mediane un modelo ARIMA. Por ano, en el caso de que la dispersión de la regresión N enga un parón de iempo ARIMA (p, d, q)(p, D, Q) s : N s θ( B ) θ( B) = s φ( B ) φ( B) D s d a 67

76 Subsiuyendo N en el modelo de regresión: Y = C + b X 1 1, s θ( B ) θ( B) + s φ( B ) φ( B) D s d a En general, los coeficienes en una ecuación de regresión dinámica que incluye series emporales no se pueden esimar direcamene con los méodos de regresión de mínimos cuadrados ordinarios. Para esimar dichos coeficienes se pueden uilizar méodos de máxima verosimiliud. Un esadísico recomendado en Pankraz [PANK91] y que se usa mucho para comprobar la presencia de auo-correlación en los residuos de la regresión es el de Durbin-Wason (D-W). Forma funcional Como se ha comenado aneriormene, se asume que la PRF es lineal en los coeficienes. Sin embargo, hay una gran canidad de relaciones en la nauraleza que no son lineales, por lo que si se resringe la PRF exclusivamene a relaciones lineales se esaría limiando muchísimo el uso de los modelos de regresión. Una forma de resolver eso es ransformar los daos de relaciones no lineales para obener modelos de regresión con linealidad en los coeficienes pero no en las variables. Variables Excluidas Cuando se uiliza un modelo de regresión los resulados podrían ser pobres en el caso de excluir variables independienes que son imporanes. Por eso, es fundamenal uilizar diferenes méodos para cerciorarnos que se esán incluyendo odas las variables independienes que explican la variable de salida, así como los reardos correspondienes. Ecuaciones simuláneas Es adecuado uilizar modelos de regresión lineal con una sola ecuación cuando Y solamene depende lógicamene de las X s pero no viceversa. Cuando las X s ambién dependen de la Y, enonces hay que consruir un modelo de regresión con un sisema 68

77 de ecuaciones. En ese caso, se uilizan méodos diferenes al méodo de mínimos cuadrados ordinario usado para los modelos de regresión de una sola ecuación Modelos racionales de reardo disribuido Teniendo en cuena lo dicho en Pankraz [PANK91], un modelo de regresión que incluye un modelo ARIMA para expresar la dispersión es un modelo de regresión dinámica ya que la variable de enrada Y depende en pare de los valores aneriores de la dispersión. Pero además, un modelo de regresión dinámica ambién puede incluir valores pasados de las variables de enrada. Dichos modelos que ienen reardos como enradas reciben el nombre de modelos de reardo disribuido, en inglés, disribued lag models FUNCIÓNES DE TRANSFERENCIA DE RETARDO DISTRIBUIDO LINEALMENTE Funciones de Transferencia Si se conemplan solamene los modelos de regresión más sencillos que ienen una sola enrada, se puede afirmar que Y depende de alguna forma de X. Dicha dependencia se puede observar a ravés de la siguiene expresión: Y = f ( X ) Donde, f(.) es una función maemáica y se denomina función de ransferencia. Hay una gran variedad de funciones de ransferencia, sin embrago, sólo unas pocas aparecen con basane frecuencia. Un ejemplo son las funciones de ransferencia de reardo disribuido linealmene. Cuando Y es una combinación lineal del valor acual (X ) y de los valores pasados (X -1, X -2, ) de una variable de enrada, se dice que f(.) es una función de reardo disribuido linealmene. Según Pankraz [PANK91], es fundamenal para el proceso de modelado uilizar una forma úil de f(.) para un conjuno de daos. Incluyendo la función de ransferencia en la ecuación del modelo de regresión dinámica, ésa queda: Y = C + f ( X ) + N 69

78 Reardos disribuidos linealmene Cuando X cambia Y no iene porqué responder solamene en el insane acual, sino, que puede reaccionar con un reardo de iempo disribuido a lo largo de diferenes periodos. Suponiendo que esa relación es lineal se iene que: Y = f ( X ) = v0 X + v1 X 1 + v2x Los pesos v k pueden ser posiivos o negaivos. Evidenemene, el peso de mayor valor absoluo producirá el mayor cambio en Y ane un cambio en X -k. Tiempo Muero Debido a que Y no iene porqué reaccionar inmediaamene a un cambio en X, algunos pesos iniciales pueden valer 0. El número de pesos v que iguales a 0 (empezando por v 0 ) se denomina iempo muero, en inglés, dead ime y se denoa b. Función de respuesa de impulso Al igual que en los modelos ARIMA, se puede uilizar la noación con el operador de reardo B para definir v(b) como: 2 v ( B) = v + v B + v B + v B Si se inroduce v(b) en la función de ransferencia: Y = v( B) X Donde, los pesos individuales en v(b), (v 0, v 1, v 2, ), se llaman pesos de respuesa de impulso (en inglés, impulse response weighs), mienras que al conjuno de odos los pesos se le llama función de respuesa de impulso (en inglés, impulse response funcion). v(b) refleja como reacciona Y a lo largo del iempo ane un cambio en X. 70

79 EL MODELO DE KOYCK El modelo de Koyck es un caso paricular de la función de ransferencia del ipo v(b)x al cual se le da mucha imporancia en Pankraz [PANK91] ya que aparece con mucha frecuencia en la prácica. Parsimonia En la ecuación definida aneriormene para v(b), puede haber una gran canidad de pesos, posiblemene infinios y eso puede producir serios problemas a la hora de realizar las esimaciones. Para eviar esos problemas hay que ver si los pesos v en v(b) siguen un parón especial, ya que de ser así se puede reescribir v(b) con ora ecuación (forma parsimoniosa) en la que solo haya que esimar unos pocos parámeros. Decadencia exponencial de los pesos v En el modelo de Koyck se define una consane δ 1 donde 0 < δ 1 < 1. Suponiendo un iempo muero de 0 (b = 0) y suponiendo que los pesos de v(b) esán relacionados unos con oros de la siguiene forma: v = δ v v v = δ v = δ v 2 v k = δ1v k 1 Cada respuesa (reardo) sucesiva de Y ane un cambio en X es un fracción ( δ 1 ) consane de la respuesa del periodo de iempo anerior. Es decir, los pesos v disminuyen exponencialmene. Ese parón se puede expresar de la siguiene forma: v k, k = δ 1 v0 k 0 71

80 En esa úlima expresión se muesra como esán relacionados los pesos exclusivamene en función de δ 1 y de v 0. Por ano, según Pankraz [PANK91], si los pesos v realmene siguen ese parón de decadencia exponencial se puede ransformar la función de ransferencia en una forma parsimoniosa. Dicha forma parsimoniosa para el modelo de Koyck en paricular y con un iempo muero de 0 es la siguiene: Y δ = v0 X + 1Y 1 En ese caso v 0 acúa como valor de arranque. Si en vez de b = 0, se iene que b = 3, la función de ransferencia endría la misma esrucura pero cambiaría el valor de arranque de la siguiene forma: Y δ = v3x 3 + 1Y 1 Con esa función de ransferencia, habiendo esimado δ 1 y v 0, se pueden esimar el reso de pesos RETARDOS DISTRIBUIDOS EN FORMA RACIONAL Como ya se comenado aneriormene, exisen muchas familias de funciones de ransferencia. Concreamene, el modelo de Koyck es un caso paricular de una esas familias, los modelos racionales de reardo disribuido. Modelo de Koyck en forma racional Si se inroduce la noación de reardo en la forma parsimoniosa del modelo de Koyck calculada en el puno anerior, ésa queda: ( 1 δ = 1 B) Y v0x 72

81 Y despejando Y, Y = v 0 X ( 1 δ1b) Se obiene la ecuación del modelo de Koyck en forma racional. Ahora v(b) es un raio o fracción de polinomios en B, donde B se raa como una variable algebraica ordinaria. Familia de reardos disribuidos en forma racional Esa familia es un conjuno de funciones de respuesas de impulso v(b) cuya ecuación es la siguiene: ω( B) B v( B) = δ ( B) b Donde, 2 ω ( B) = ω0 + ω1b + ω2b ωhb h Y δ ( B) = 1 δ B δ B 2... δ 1 2 B r r Y B b incorpora el iempo muero. Según Pankraz [PANK91] los modelos racionales de reardo pueden abarcar una gran variedad de parones de respuesa de impulso con sólo unos pocos parámeros. En la familia de reardos disribuidos en forma racional puede haber un número infinio de posibles modelos, sin embargo, y como ya se ha indicado aneriormene sólo unos pocos aparecen a menudo en la prácica. 73

82 El numerador b ω(b)b y el denominador δ (B) en v(b) juegan disinos papeles en la represenación de los disinos parones: 1. El facor B b del numerador indica el iempo muero. 2. El facor del ω (B) del numerador represena los elemenos que no forman pare al parón de decadencia, además el valor de arranque. 3. Por úlimo, El denominador δ (B) represena el parón de decadencia. Ganancia esáica Los modelos considerados hasa el momeno son modelos esables. Es decir, un cambio finio o permanene en X da lugar cambio finio en Y. Cunado X se mueve de un esado de equilibrio a oro, Y debería hacer lo mismo inmediaamene o evenualmene. La ganancia esáica mide cuano cambia el nivel de equilibrio de Y frene a un cambio de X en una unidad. Si se raa B como una variable algebraica ordinaria y se fija en 1, la fórmula de la ganancia esáica es la siguiene: ω0 + ω ωh g = 1 δ δ... δ 1 2 r Condiciones de esabilidad Para que g enga un valor finio y que el modelo sea esable, los coeficienes δ deben de cumplir cieras condiciones de esabilidad. Para que se den dichas condiciones de esabilidad las raíces de la ecuación caracerísica δ ( B) = 0 deben esar fuera del círculo uniario del plano complejo. Por ejemplo, el modelo Koyck con r = 1 es esable si δ 1 < 1. 74

83 Reardos disribuidos en forma racional para múliples enradas Si se exiende el modelo racional de reados disribuidos para múliples enradas se obiene la siguiene expresión: Y = ω ( B) B M bi i i= 1 δi ( B) X i, FORMA RACIONAL COMPLETA PARA MODELOS DE REGRESIÓN DINÁMICA Si a la función de ransferencia calculada en Pankraz [PANK91] se le añade el érmino consane C y la serie de dispersión N se llega a la forma racional complea de los modelos de regresión: Y ω ( B) B = C + M bi i i= 1 δi ( B) X i, + N E inroduciendo el modelo ARIMA que describe la serie de dispersión N, la ecuación queda de la siguiene forma: Y ω ( B) B = C + θ( B ) θ( B) M bi s i X i, + s i= 1 δi ( B) φ( B ) φ( B) D s d = a 2.3. Árboles de decisión Una de las écnicas de predicción que más relevancia ha enido en el proyeco han sido los árboles de decisión. Es una écnica de aprendizaje auomáico por inducción que permien idenificar concepos (clases de objeos) a parir de las caracerísicas de un conjuno de ejemplos que los represenan. La información exraída de los mismos queda organizada jerárquicamene en forma de árbol. Se raa de un proceso de generalización a parir de casos pariculares. Dichos árboles se represenan por un gráfico dirigido que consa de nodos y arcos. Los nodos corresponden a una preguna o a un es que se hace a los ejemplos. 75

84 El árbol de decisión se consruye a base de ir haciendo pregunas sobre caracerísicas deerminadas a los ejemplos y clasificándolos según la respuesa. Por ano un árbol de decisión rabaja como un clasificador. Las diferenes opciones de clasificación (respuesa a las pregunas) son excluyenes enre sí, lo que hace que a parir de casos desconocidos y siguiendo el árbol adecuadamene, se llegue a una única conclusión o decisión a omar. Una vez creado el árbol de decisión, para un nuevo caso únicamene sería necesario recorrer dicho árbol para esablecer la clasificación a la que perenece Consrucción de un árbol La consrucción de un árbol de decisión requiere: - Un conjuno de ejemplos represenaivos de lo que se desea aprender (Conjuno de enrenamieno). - Una represenación simbólica del conocimieno (Ejemplos y definición de sus caracerísicas) a ravés de aribuos y sus valores. - Un algorimo de aprendizaje (clasificación). - Un esquema de valoración. Y se realiza de la siguiene forma: 1. Se pare del conjuno de enrenamieno 2. Se usa un crierio para seleccionar un aribuo "separador capaz de dividir el conjuno de enrenamieno. El árbol de decisión usa la esraegia de divide y vencerás 3. El conjuno de enrenamieno es subdivido progresivamene usando los separadores seleccionados como nodos. Los ejemplos caen en las hojas del árbol. 76

85 Un árbol de decisión iene un nodo raíz, nodos inermedios y hojas. Cualquier nodo inermedio puede ser un nodo raíz de un subárbol. Eso conduce a una definición recursiva de árbol de decisión. Cada nodo inermedio y el raíz ienen asociados separadores que formulan una preguna o realizan un es acerca de la exisencia o no de una caracerísica en cada caso ejemplo. Eso permie clasificar los ejemplos y deerminar cuáles serían los nodos sucesores. Una hoja en el árbol corresponde a un conjuno de ejemplos que represenan una sola clase. La clase de la hoja se asigna por el crierio de a la que perenezcan la mayoría de los ejemplos en ella. Las hojas del árbol de decisión represenan los concepos exraídos de manera auomáica. Una vez consruido un árbol de decisión (Figura 2.22), un nuevo ejemplo desconocido será represenane de la clase en donde caiga recorriendo el árbol desarrollado desde la raíz a las hojas. Figura 2.22: ejemplo sencillo de cómo se consruye un árbol de decisión El rasgo o descripor a seleccionar debe de cumplir el objeivo de que su posición en algún puno del árbol genere un subárbol an simple como sea posible y dé una concrea clasificación. 77

86 Cuando se consruye un árbol de decisión, es necesario ener un medio para deerminar: - Los aribuos imporanes requeridos para la clasificación - El orden de uso de esos aribuos imporanes Es necesario un crierio de selección de separadores. Cada crierio de selección será un es o prueba resringido a una función de solamene uno de los aribuos. Hay varios algorimos para desarrollar árboles de decisión: - ID3, Ineracive Dichoomizer 3, (Quinlan, 1986) orígen en CLS (Hun 1960), y ACLS. - C4.5, (Quinlan, 1993) Es un ID3 más evolucionado. - CART (Bresman 1984) - Uso de crierios esadísicos Rasgos comunes de esos méodos: - Uso de una esraegia de flujo de rabajo de arriba abajo del árbol - Uso de una esraegia de divide y vencerás - Diferencia más noable esá en los crierios de selección de rasgos Algorimo C4.5 El C4.5 es el algorimo uilizado enre oros por los árboles J48 que precisamene son los que se han seleccionado para consruir el modelo final del proyeco ya que son los que mejores resulados aporan (ver el puno 4.4 del capíulo III). Como ya se ha dicho en el puno anerior, el algorimo C4.5 fue desarrollado por JR Quinlan en 1993, como una exensión (mejora) del algorimo ID3 que desarrollo en El algorimo C4.5 genera un árbol de decisión a parir de los daos mediane pariciones realizadas recursivamene. El árbol se consruye mediane la esraegia de profundidad-primero (deph-firs). 78

87 El algorimo considera odas las pruebas posibles que pueden dividir el conjuno de daos y selecciona la prueba que resula en la mayor ganancia de información. Para cada aribuo discreo, se considera una prueba con n resulados, siendo n el número de valores posibles que puede omar el aribuo. Para cada aribuo coninuo, se realiza una prueba binaria sobre cada uno de los valores que oma el aribuo en los daos. En cada nodo, el sisema debe decidir cuál prueba escoge para dividir los daos. Los res ipos de pruebas posibles propuesas por el C4.5 son: - La prueba "esándar" para las variables discreas, con un resulado y una rama para cada valor posible de la variable. - Una prueba más compleja, basada en una variable discrea, en donde los valores posibles son asignados a un número variable de grupos con un resulado posible para cada grupo, en lugar de para cada valor. - Si una variable A iene valores numéricos coninuos, se realiza una prueba binaria con resulados A <= Z y A > Z, para lo cual debe deerminarse el valor límie Z. Todas esas pruebas se evalúan de la misma manera, mirando el resulado de la proporción de ganancia, o alernaivamene, el de la ganancia resulane de la división que producen (ver [WITT99]). Además, hay resricción adicional: para cualquier división, al menos dos de los subconjunos C i deben conener un número razonable de casos. Esa resricción, que evia las subdivisiones casi riviales, es enida en cuena solamene cuando el conjuno C es pequeño CARACTERÍSTICAS DEL ALGORÍTMO C4.5 - Permie rabajar con valores coninuos para los aribuos, separando los posibles resulados en 2 ramas Ai<=N y Ai>N. - Los árboles son menos frondosos, ya que cada hoja cubre una disribución de clases no una clase en paricular. - Uiliza el méodo "divide y vencerás" para generar el árbol de decisión inicial a parir de un conjuno de daos de enrenamieno. 79

88 - Se basa en la uilización del crierio de proporción de ganancia (gain raio), definido como I(X i,c)/h(x i ). De esa manera se consigue eviar que las variables con mayor número de posibles valores salgan beneficiadas en la selección. - Es recursivo ATRIBUTOS Aribuos de valores coninuos: Inicialmene el algorimo ID3 se planeó para aribuos que presenaban un número discreo de valores. Podemos fácilmene incorporar aribuos con valores coninuos, simplemene dividiendo esos valores en inervalos discreos, de forma que el aribuo endrá siempre valores comprendidos en uno de esos inervalos. Medidas alernaivas en la selección de aribuos: Al uilizar la ganancia de información esamos inroduciendo involunariamene un sesgo que favorece a los aribuos con muchos valores disinos. Debido a que dividen el conjuno de ejemplos en muchos subconjunos, la ganancia de información es forzosamene ala. Sin embargo, esos aribuos no son buenos predicores de la función objeivo para nuevos ejemplos. Una medida alernaiva que se ha usado con éxio es la "gain raio" (ver [WITT99]). Aribuos con valores perdidos: En cieros casos exisen aribuos de los cuales conocemos su valor para algunos ejemplos, y para oros no. Por ejemplo una base de daos médica en la que no a odos los pacienes se les ha pracicado un análisis de sangre. En esos casos lo más común es esimar el valor basándose en oros ejemplos de los que sí conocemos el valor. Normalmene se fija la aención en los demás ejemplos de ese mismo nodo. Así, al ejemplo de valor desconocido se le da el valor que más aparezca en los demás ejemplos. Aribuos con pesos diferenes: En algunas areas de aprendizaje los aribuos pueden ener coses asociados. Por ejemplo, en una aplicación médica para diagnosicar enfermedades podemos ener aribuos como emperaura, resulado de la biopsia, pulso, análisis de sangre, ec., que varían significaivamene en su cose, moneario y relaivo a molesias para el paciene. 80

89 SOBREAJUSTE (OVERFITTING) A medida que se añaden niveles al árbol, las hipóesis se refinan ano que describen muy bien los ejemplos uilizados en el aprendizaje, pero el error de clasificación puede aumenar al evaluar los ejemplos. Es decir, clasifica muy bien los daos de enrenamieno pero luego no sabe generalizar al conjuno de prueba. Es debido a que aprende hasa el ruido del conjuno de enrenamieno, adapándose a las regularidades del conjuno de enrenamieno. Ese efeco es, por supueso, indeseado. Hay varias causas posibles para que eso ocurra. Las principales son: - Exceso de ruido (lo que se raduce en nodos adicionales) - Un conjuno de enrenamieno demasiado pequeño como para ser una muesra represenaiva de la verdadera función objeivo. Hay varias esraegias para eviar el sobreajuse en los daos (ver [WITT99]). Pueden ser agrupadas en dos clases: - Esraegias que frenan el crecimieno del árbol anes de que llegue a clasificar perfecamene los ejemplos del conjuno de enrenamieno. - Esraegias que permien que el árbol crezca compleamene, y después realizan una poda POST PODA (POST PRUNNING) Es una variane de la poda y es usada por el C4.5. Consise en una vez generado el árbol compleo, planearse qué es lo que se debe "podar" para mejorar el rendimieno y de paso obener un árbol más coro (ver [WITT99]). Pero además el C4.5 conviere el árbol a un conjuno de reglas anes de podarlo. Hay res razones principales para hacer eso: - Ayuda a disinguir enre los diferenes conexos en los que se usa un nodo de decisión, debido a que cada camino de la raíz a una hoja se raduce en una regla disina. 81

90 - Deja de exisir la disinción enre nodos que esán cerca de la raíz y los que esán lejos. Así no hay problemas para reorganizar el árbol si se poda un nodo inermedio. - Mejora la legibilidad. Las reglas suelen ser más fáciles de enender. III Aplicación de diversas écnicas de predicción sobre las series emporales financieras. 1. Conjuno de daos. Para llevar a cabo ese proyeco se ha decidido rabajar con los daos de deerminados valores del IBEX 35. Concreamene, se han seleccionado 6 valores hisóricos, siendo 5 de ellos los que mayor influencia o peso ienen sobre el índice. Además, dichos valores perenecen a diferenes secores de la economía como son banca, consrucción, energía o elecomunicaciones. Son los siguienes: - BBVA - Fomeno de Consrucciones y Conraas (FCC) - Iberdrola - Repsol YPF - Sanander - Telefónica Una de las razones más imporanes por la cual se han escogido esos valores y no oros es que son compañías muy consolidadas, que ienen una anigüedad considerable y líderes en su secor por lo que llevan muchos años siendo componenes del IBEX 35 sin salir de ése (muchas de ellas incluso desde su creación). Dado que para la consrucción de un modelo es necesario ener un conjuno suficienemene grande, es muy imporane ener basanes daos disponibles. Para el diseño del sisema auomáico de inversión en bolsa se ha conemplado exclusivamene el mercado diario, sin ener en cuena la información inradiaria. 82

91 Básicamene, se ha rabajado con el precio de cierre diario, no obsane, ambién se han uilizado oros daos para el cálculo de algunos indicadores écnicos y como enradas en algunos modelos. Se han recopilado los daos para los diferenes valores en esudio durane aproximadamene 5 años del pasado; desde el 1 de Enero de 2003 hasa el 11 de Mayo de 2007 (Tabla 3.1). Los daos de han obenido a ravés de la web de yahoo en la sección de finanzas (hp://es.finance.yahoo.com/). Periodo/Día Fecha Aperura Máximo Mínimo Cierre Volumen Cierre ajusado 1 01/01/2003 3,34 3,34 3,34 3,34 0 0, /01/2003 3,26 3,34 3,26 3, , /01/2003 3,32 3,37 3,28 3, , /01/2003 3,35 3,35 3,35 3,35 0 0, /01/2003 3,35 3,37 3,33 3, , /01/2003 3,34 3,42 3,34 3, , /01/2003 3,39 3,5 3,37 3, , /01/2003 3,46 3,49 3,39 3, , /01/2003 3,45 3,52 3,45 3, , /01/2003 3,53 3,6 3,51 3, , /01/2003 3,57 3,57 3,53 3, , /01/2003 3,53 3,58 3,53 3, , /01/2003 3,54 3,55 3,53 3, , /01/2003 3,53 3,56 3,53 3, , /01/2003 3,56 3,59 3,55 3, , /01/2003 3,55 3,58 3,51 3, , /01/2003 3,56 3,57 3,49 3, , /01/2003 3,51 3,54 3,49 3, , /01/2003 3,51 3,51 3,51 3,51 0 0, /01/2003 3,45 3,45 3,3 3, , /01/2003 3,32 3,41 3,21 3, , /01/2003 3,35 3,43 3,35 3, , /01/2003 3,34 3,44 3,33 3, , /02/2003 3,42 3,46 3,38 3, , /02/2003 3,41 3,44 3,36 3, , /02/2003 3,39 3,44 3,34 3, , /02/2003 3,39 3,49 3,39 3, , /02/2003 3,48 3,48 3,41 3, , /02/2003 3,41 3,47 3,37 3, , /02/2003 3,49 3,5 3,46 3, , /02/2003 3,48 3,49 3,46 3, , /02/2003 3,44 3,5 3,44 3, , /02/2003 3,49 3,5 3,44 3, , /02/2003 3,52 3,54 3,49 3, , /02/2003 3,49 3,61 3,48 3, ,48 Tabla 3.1: pequeña muesra del conjuno de daos recogido para Iberdrola 83

92 Por cada valor seleccionado y para cada día del periodo usado se iene la siguiene información: - Precio de Aperura: Precio o coización de la acción cuando abre la sesión bursáil. - Máximo: Precio o coización máxima que alcanza la acción durane oda la sesión. - Mínimo: Precio o coización mínima que alcanza la acción durane oda la sesión. - Precio de Cierre: Precio o coización de la acción al cierre de la sesión. - Volumen: Número de acciones negociado durane la sesión - Cierre Ajusado: Precio o coización de la acción al cierre de la sesión ajusado para odas las emisiones grauias de acciones y reparos de dividendos oporunos. Teniendo en cuena que solo se ienen daos por cada día del año que hay sesión bursáil en la bolsa de Madrid (no hay sesión ni sábados, ni domingos, ni fesivos), por cada valor elegido durane los cinco años se ha recopilado un oal de 1139 días o insancias, excepo por Telefónica que por días en los que no ha coizado sólo hay A coninuación se muesra la evolución del precio de cierre diario de cada uno de los valores con los que se rabaja en el proyeco durane los cinco años mencionados (Figuras 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5 y 3.6). Se puede apreciar como en odas las gráficas mosradas hay una clara endencia posiiva. Algunas son muy similares enre sí. 84

93 22 20 Cierre BBVA 18 Precio de Cierre Día de coización Figura 3.1: Serie emporal formada por los precios de cierre diarios de BBVA desde el 1 de Enero de 2003 hasa el 14 de Mayo de Cierre FCC Precio de cierre Día de coización Figura 3.2: Serie emporal formada por los precios de cierre diarios de FCC desde el 1 de Enero de 2003 hasa el 14 de Mayo de

94 10 Cierre Iberdrola 9 8 Precio de cierre Día de coización Figura 3.3: Serie emporal formada por los precios de cierre diarios de Iberdrola desde el 1 de Enero de 2003 hasa el 14 de Mayo de Cierre Repsol Precio de cierre Día de coización Figura 3.4: Serie emporal formada por los precios de cierre diarios de Repsol desde el 1 de Enero de 2003 hasa el 14 de Mayo de

95 15 14 Cierre Sanander Precio de cierre Día de coización Figura 3.5: Serie emporal formada por los precios de cierre diarios de Sanander desde el 1 de Enero de 2003 hasa el 14 de Mayo de Cierre Telefónica Precio de cierre Día de coización Figura 3.6: Serie emporal formada por los precios de cierre diarios de Telefónica desde el 1 de Enero de 2003 hasa el 14 de Mayo de

96 Una vez recopilado los daos hisóricos de las coizaciones de los 6 valores, ésos se han uilizado para calcular los diferenes indicadores écnicos y superposiciones que se ha decidido inroducir en disinos modelos del proyeco. Debido a su sencillez a la hora de calcularlos, a su uilización an exendida enre los experos en el análisis écnico y a los buenos resulados que aporan, se han seleccionado los siguienes indicadores (con el érmino indicadores se hace referencia ano a indicadores écnicos como a superposiciones): - Media Móvil Simple (SMA) - Media Móvil Exponencial (EMA) - Bandas de Bollinger (BB) - Índice de Fuerza Relaiva (RSI) - Índice del Flujo del Dinero (MFI) - Oscilador Esocásico - Convergencia \ Divergencia de la Media Móvil (MACD) La descripción, cálculo e inerpreación gráfica de esos indicadores se puede ver en el puno del capíulo II. Se ha calculado el valor de cada uno de los indicadores aneriores para los 1139 días para los que se iene daos (1125 en el caso de Telefónica) con los parámeros que se han considerado más apropiados o los recomendados por los auores. En ese documeno se presenan los solamene los indicadores represenados gráficamene para FCC (Figuras 3.7, 3.8, 3.9, 3.10, 3.11, 3.12 y 3.13). 88

97 90 80 Cierre FCC SMA(10) Precio de cierre Día de coización Figura 3.7: Se raa de la Media Móvil Simple (SMA) de 10 días para los cierres de FCC Cierre FCC EMA(10) Precio de cierre Día de coización Figura 3.8: Se raa de la Media Móvil Exponencial (EMA) de 10 días para los cierres de FCC. 89

98 Cierre FCC Banda de Bollinger inferior Banda de Bollinger cenral Banda de Bollinger superior 60 Precio de cierre Día de coización Figura 3.9: Se raa de las Bandas de Bollinger para FCC. Para calcular las res Bandas se han uilizado 20 días (el del día en cuesión y los 19 aneriores). 90

99 Figura 3.10: RSI para FCC. El cálculo de dicho indicador se ha realizado con 14 días. 91

100 Figura 3.11: MFI para FCC. El cálculo de dicho indicador Al igual que el RSI se ha realizado con 14 días. 92

101 Figura 3.12: Oscilador Esocásico para FCC. Para calcular %K (rápido) se uilizan 26 días (el acual y los 25 aneriores). El reso son medias móviles; %D (rápido) es una Media Móvil Simple de 3 periodos de %K (rápido). %K (leno) es igual que D (rápido) y D (leno) es una SMA de 3 periodos %K (leno). 93

102 Figura 3.13: MACD para FCC. En el caso de la MACD se usan 26 días para su cálculo y 9 días para suavizarla. Por úlimo, se ha recopilado la coización hisórica durane el mismo periodo que el conjuno de daos original (desde el 1 de Enero de 2003 hasa el 14 de Mayo de 2007) de dos de los índices bursáiles que mayor peso ienen en la economía mundial. Se raa del precio de aperura diario del Dow Jones (Figura 3.14) y del precio de cierre diario del Nikkei 225 (Figura 3.15). Se ha opado por uilizar esos dos índices por la posible influencia que pueden ener en la coización de los diferenes valores con los que se rabaja en la bolsa española. Esos daos al igual que los relacionados con los valores en esudio se han obenido a ravés de la web de yahoo en la sección de finanzas (hp://es.finance.yahoo.com/). 94

103 14000 Dow Jones Valor del índice Día de coización Figura 3.14: Evolución emporal del precio de aperura del Dow Jones Nikkei Valor del índice Día de coización Figura 3.15: Evolución emporal del precio de aperura del Nikkei

104 Al igual que los precios de cierre mosrados aneriormene, los dos índices ienen un endencia posiiva a lo largo del periodo seleccionado. 2. ARIMA para la predicción de los precios de cierre Como primer paso en la búsqueda de un modelo apropiado para el diseño del sisema se ha valorado la opción de consruir un modelo ARIMA para cada uno de los valores seleccionados (para profundizar más en la pare eórica de ARIMA ver puno 2.1 del capíulo II). En ese caso, las enradas del modelo serían los propios cierres reardados (C -1, C -2, C -3 ) mienras que la salida sería el precio de cierre acual (C ) Preprocesado Anes de comenzar a aplicar la meodología apropiada para la consrucción de los modelos ARIMA, se han preprocesado los daos disponibles para saber si es razonable uilizar ese ipo de modelos para ajusar la serie emporal formada por los precios de cierre diarios. Dicho procesado se ha hecho a ravés de un programa desarrollado en el IIT llamado Ida que esa programado sobre MATLAB. Simplemene se ha cargado en el programa un fichero.da con los precios de cierre de cada valor y se han realizado diferenes acciones. En primer lugar se ha consruido la FAS (Función de Auocorrelación de la Muesra o Función de Auocorrelación Simple) de los cierres para ver si la serie es esacionaria (ver puno del capíulo II). Realmene no es necesario observar esa función ya que se ve simplemene observando gráficamene las series emporales que forman los cierres (Figuras 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5 y 3.6). La Función de Auocorrelación de la Muesra (FAS) de los precios de cierre diarios para un deerminado valor sirve de referencia para analizar la auocorrelación. En el eje de abcisas se represenan los diferenes reardos del precio de cierre (en el presene documeno normalmene se muesran los 30 primeros reardos), mienras que en el eje de ordenadas se indica el valor del coeficiene de regresión enre el cierre en el periodo y el reardo correspondiene (-i). Para que la correlación sea significaiva, al 95% de confianza, el coeficiene de correlación debe ser mayor que dos veces su error esándar (dicho umbral esa represenado mediane las dos líneas rojas disconinuas). Sin embargo, en la prácica se considera que hay correlación cuando además de cumplirse la condición anerior, dicho coeficiene iene un valor suficienemene grande. Más abajo 96

105 se muesra la FAS de para los precios de cierres diarios de Repsol (Figura 3.16). Las FAS del reso de valores son prácicamene iguales. Figura 3.16: FAS de precios de cierre diarios de Repsol sin diferenciar. En la gráfica se observa que la correlación enre dichos precios es muy ala y desciende muy lenamene a medida que avanzan los reardos. Eso es un signo evidene de que la serie no es esacionaria. Aunque en ese caso solamene con la FAS se puede comprobar que la serie formada por los cierres no es esacionaria, generalmene, dicha FAS se suele represenar juno con la Función de Auocorrelación Parcial (FAP) (y así se hace en las siguienes figuras). La FAP es similar a la anerior pero elimina la correlación acumulada en los sucesivos reardos (ver puno del capíulo II). Se calcula de una forma diferene a la FAS. En definiiva, dado que las series emporales en esudio no son esacionarias ni en media ni en varianza se ha realizado primero una ransformación logarímica y después una diferenciación regular (ln(c ) - ln(c -1 )). Al realizar eso se obiene lo que denomina rendimienos y la serie pasa a ser esacionaria. Al igual que anes sólo se muesra la serie que forman los rendimienos de los precios de cierre de Repsol ya que son odas muy parecidas (Figura 3.17). Además, se asume que las series no ienen ninguna componene esacional ya que en principio la coización de una acción no depende de la época del año en la que se da. 97

106 0.06 Rendimienos de los precios de cierre de Repsol Valor del rendimieno Día de coización Figura 3.17: Serie formada por los rendimienos de los precios de cierre diarios de Repsol. Esa serie es esacionaria (iene media y varianza consane). Una vez calculado los rendimienos se ha esudiado para cada valor la correlación denro de la propia serie formada por los cierres. El propósio es comprobar si hay algún ipo de relación enre el precio de un cierre en un periodo y los precios de los periodos aneriores (-1, -2, -3, -4 ec). Para ello se ha analizado la FAS/FAP de los rendimienos para cada valor en esudio (Figuras 3.18, 3.19, 3.20, 3.21, 3.22 y 3.23). 98

107 0.1 FAS de la serie formada por los precios de cierre de BBVA Coeficiene de correlación Coeficiene de correlación Reardo FAP de la serie formada por los precios de cierre de BBVA Reardo Figura 3.18: FAS/FAP de los rendimienos de los precios de cierre diarios de BBVA. 0.1 FAS de serie formada por los precios de cierre de FCC Coeficiene de correlación Coeficiene de correlación Reardo FAP de serie formada por los precios de cierre de FCC Reardo Figura 3.19: FAS/FAP de los rendimienos de los precios de cierre diarios de FCC. 99

108 0.1 FAS de la serie formada por los precios de cierre de Iberdrola Coeficiene de correlación Coeficiene de correlación Reardo FAP de la serie formada por los precios de cierre de Iberdrola Reardo Figura 3.20: FAS/FAP de los rendimienos de los precios de cierre diarios de Iberdrola. 0.1 FAS de la serie formada por los precios de cierre de Repsol Coeficiene de correlación Coeficiene de correlación Reardo FAP de serie formada por los precios de cierre de Repsol Reardo Figura 3.21: FAS/FAP de los rendimienos de los precios de cierre diarios de Repsol. 100

109 0.1 FAS de serie formada por los precios de cierre de Sanander Coeficiene de correlación Reardo 0.1 FAP de serie formada por los precios de cierre de Sanander Coeficiene de correlación Reardo Figura 3.22: FAS/FAP de los rendimienos de los precios de cierre diarios de Sanander. Coeficiene de correlación Coeficiene de correlación FAS de la serie formada por los precios de cierre de Telefónica Reardo FAP de serie formada por los precios de cierre de Telefónica Reardo Figura 3.23: FAS/FAP de los rendimienos de los precios de cierre diarios de Telefónica. 101

110 2.2. Resulados En odas y cada una de las figuras mosradas aneriormene se puede ver claramene que prácicamene odas las barras de los coeficienes de correlación esán por debajo de las bandas que represenan dos veces el error esándar. Eso quiere de decir que no exisen reardos significaivos (al 95% de confianza) que pudieran explicar linealmene los rendimienos del cierre correspondiene. Se puede concluir que los precios de cierre diarios no se pueden ajusar mediane un modelo ARIMA ya que no hay correlación lineal enre los elemenos denro la propia serie emporal. Todas las FAS/FAP demuesran que las series analizadas pueden ser inerpreadas como ruido incorrelado respondiendo a un proceso conocido como paseo aleaorio (Ecuación 2.2.1). Y Y 1 = ε Ecuación 3.2.1: Paseo Aleaorio 3. Regresión Dinámica para la predicción de los precios de cierre Después de comprobar que los precios de cierre de los diferenes valores del IBEX 35 escogidos no se pueden ajusar por un modelo ARIMA, se ha inenado ajusar dichos cierres por un modelo de Regresión Dinámica a parir de los indicadores écnicos (para profundizar más en la pare eórica de Regresión Dinámica ver puno 2.2 del capíulo II) Preprocesado De forma análoga a lo que se ha hecho con los modelos ARIMA, previamene a la consrucción del modelo, se ha realizado un esudio para conocer la correlación que hay enre los precios de cierre diarios y cada uno de los indicadores correspondienes. De esa forma, se sabe de anemano si iene senido consruir el modelo de Regresión Dinámica correspondiene. Para el preprocesado de los daos se ha usado el IDAT. Para llevar a cabo dicho esudio, ambién hay que ener en cuena como en el puno anerior que las series emporales formadas por los precios de cierre y por algunos indicadores no son esacionarias. Por ello, se han uilizado los rendimienos de los 102

111

112 0.3 EMA diferenciada de Iberdrola Precio de cierre Día de coización Figura 3.24: Serie emporal formada por la Media Móvil Exponencial (EMA) de los cierres de Iberdrola diferenciada. Como se puede observar en la figura la serie parece esacionaria por lo que no hace fala acudir a la FAS/FAP para confirmarlo. 104

113 0.12 Banda de Bollinger cenral diferenciada de Iberdrola Precio de cierre Día de coización Figura 3.25: Serie emporal formada por la Banda de Bollinger cenral de los cierres de Iberdrola diferenciada. Como se puede observar en la figura la serie parece esacionaria por lo que no hace fala acudir a la FAS/FAP para confirmarlo. Además, es imporane resalar que se ha analizado la correlación enre los rendimienos de los precios de cierre diarios de las acciones en el periodo y los indicadores (diferenciados o sin diferenciar) reardados un periodo (-1). De esa forma, se evia que el precio de cierre inervenga en el cálculo de los indicadores con los que se busca la correlación. La correlación enre cada par de variables (Rendimieno Indicador) se ha esudiado a ravés de la Función de Correlación Cruzada (FCC). En oal, se ha consruido para cada valor una FCC enre los rendimienos de dicho valor y cada uno de los siee indicadores uilizados. En ese documeno solamene se presenan las FCC consruidas para Iberdrola (Figuras 3.26, 3.27, 3.28, 3.29, 3.30, 3.31, 3.32). La FCC es muy similar a la FAS/FAP descria en los modelos ARIMA sólo que en esa función se incluyen 2 variables en vez de una. También iene dos pares: 1. La primera gráfica (superior) es la Función de Correlación Cruzada enre las variables con las que se ese rabajando (en ese caso cierre e indicador) y la que sirve de referencia para analizar la correlación. En el eje de abcisas se 105

114 represenan los diferenes reardos indicador (en ese caso se muesran los 30 primeros reardos), mienras que en el eje de ordenadas se indica el valor del coeficiene de regresión enre el cierre en el periodo y el indicador en el periodo -1-i (siendo i, el reardo del indicador). Para que la correlación sea significaiva, al 95% de confianza, el coeficiene de correlación debe ser mayor que dos veces su error esándar (dicho umbral esa represenado mediane las dos líneas rojas disconinuas). Sin embargo, en la prácica se considera que hay correlación cuando además de cumplirse la condición anerior, dicho coeficiene iene un valor suficienemene grande. 2. La segunda (inferior) es la Función de Correlación Cruzada Parcial enre las dos variables. Es similar a la anerior pero elimina la correlación acumulada en los diferenes reardos. Coeficiene de correlación Coeficiene de correlación Función de correlación cruzada enre el rendimieno de Iberdrola y la SMA diferenciada Reardo de la SMA Función de correlación cruzada parcial enre el rendimieno de Iberdrola y la SMA diferenciada Reardo de la SMA Figura 3.26: Corresponde a la FCC enre los rendimienos de los cierres de Iberdrola y la Media Móvil Simple (SMA) diferenciada. 106

115 Función de correlación cruzada enre el rendimieno de Iberdrola y la EMA diferenciada 0.06 Coeficiene de correlación Coeficiene de correlación Reardo de la EMA Función de correlación cruzada parcial enre el rendimieno de Iberdrola y la EMA diferenciada Reardo de EMA Figura 3.27: Corresponde a la FCC enre los rendimienos de los cierres de Iberdrola y la Media Móvil Exponencial (EMA) diferenciada. Función de correlación cruzada enre el rendimieno de Iberdrola y las Bandas de Bollinger diferenciadas 0.06 Coeficiene de correlación Reardo las Bandas de Bollinger Función de correlación cruzada enre el rendimieno de Iberdrola y las Bandas de Bollinger diferenciadas 0.4 Coeficiene de correlación Reardo las Bandas de Bollinger Figura 3.28: Corresponde a la FCC enre los rendimienos de los cierres de Iberdrola y la la Banda de Bollinger Cenral diferenciada. 107

116 0.06 Función de correlación cruzada enre el rendimineo de Iberdrola y el MFI Coeficiene de correlación Reardo del RSI 0.2 Función de correlación cruzada parcial enre el rendimineo de Iberdrola y el MFI Coeficiene de correlación Reardo del RSI Figura 3.29: Corresponde a la FCC enre los rendimienos de los cierres de Iberdrola y el Índice de Fuerza Relaiva (RSI) Función de correlación cruzada enre el rendimieno de Iberdrola y el MFI Coeficiene de correlación Coeficiene de correlación Reardo del MFI Función de correlación cruzada parcial enre el rendimieno de Iberdrola y el MFI Reardo del MFI Figura 3.30: Corresponde a la FCC enre los rendimienos de los cierres de Iberdrola y el Índice del Flujo del Dinero (MFI). 108

117 Coeficiene de correlación Función de correlación cruzada enre el rendimieno de Iberdrola y el oscilador esocásico %K rápido Reardo de %K rápido Función de correlación cruzada parcial enre el rendimieno de Iberdrola y el oscilador esocásico %K rápido 0.15 Coeficiene de correlación Reardo de %K rápido Figura 3.31: Corresponde a la FCC enre los rendimienos de los cierres de Iberdrola y el Oscilador Esocásico %K rápido Función de correlación cruzada enre el rendimieno de Iberdrola y la MACD Coeficiene de correlación Reardo de la MACD 1 Función de correlación cruzada parcial enre el rendimieno de Iberdrola y la MACD Coeficiene de correlación Reardo de la MACD Figura 3.32: Corresponde a la FCC enre los rendimienos de los cierres de Iberdrola y la Convergencia/Divergencia de la Media Móvil (MACD) 109

118 3.2. Resulados Tras observar las figuras aneriores se puede decir que no hay correlación enre los rendimienos de los precios de cierre diarios de Iberdrola y los indicadores con los que se ha realizado el esudio. Eso se debe a que en ninguna Función de Correlación Cruzada se sobrepasa las bandas que represenan dos veces el error esándar. Aunque no se muesren el reso de valores uilizados en el proyeco, los resulados han sido los mismos para odos. No hay correlación lineal enre los rendimienos de los cierres y los diferenes indicadores. Por lo ano, se puede afirmar que no se puede exraer información de los indicadores uilizados para explicar linealmene la serie compuesa por los precios de cierre diarios y por ello no se debe ajusar por un modelo de regresión dinámica con los indicadores como enradas. 4. Árboles de Decisión para la predicción de la dirección de los precios de cierre A la visa de los resulados obenidos con los modelos ARIMA y los modelos de Regresión Dinámica se decidió cambiar de enfoque y de écnica de predicción. En ese caso, se opó por uilizar clasificadores, concreamene árboles de decisión, para predecir los movimienos fuuros (para profundizar más en la pare eórica de los árboles de decisión ver puno 2.3 del capíulo II). A diferencia de los modelos basados en el análisis de series emporales consruidos hasa enonces, los árboles se han uilizado para esimar el signo de los rendimienos fuuros en vez del valor exaco de los precios de cierre fuuros. Es decir, se ha esimado la dirección de los precios de cierre diarios; si el precio de cierre fuuro va a ser mayor, parecido o menor que el acual. La razón por la cual se decidió usar écnicas de ineligencia arificial para esimar la dirección y no el valor de los precios de cierre ha sido los buenos resulados mosrados en el arículo ciado aneriormene de Leung, Daouk y Chen [LEUN00]. Según esos auores la predicción de la dirección apora mejores resulados que la predicción del nivel o valor de los cierres. Para llegar a esa conclusión realizan un esudio en el que uilizan diferenes écnicas de predicción de series emporales para esimar ano la dirección como el valor de los precios de cierre diarios de deerminados índices bursáiles. (Ver puno del capíulo I). 110

119 4.1. Enradas del modelo A la hora de consruir los árboles de decisión, se han planeado dos modelos disinos para cada uno de los valores seleccionados; un modelo denominado reducido y oro compleo. Ambos son similares, sin embargo, el reducido iene menos variables de enrada o aribuos que el modelo compleo y se incluyen menos reardos de los indicadores. A coninuación se describen las enradas de los dos ipos: Enradas/Aribuos del Modelo Reducido: - Reardos del rendimieno del valor correspondiene. Es decir, si se quiere predecir el rendimieno de un deerminado valor el día (Rendimieno()) se incluyen como enradas del modelo los siguienes reardos: Rendimieno(-1), Rendimieno(-2), Rendimieno(-3), Rendimieno(-4), Rendimieno(-5), Rendimieno(-6), Rendimieno(-7) y Rendimieno(-8). - Reardos de la Media Móvil Simple (SMA) diferenciada una vez (SMA_Diferenciada()=SMA()-SMA(-1)). Al igual que en el esudio realizado para analizar la correlación enre precios de cierre e indicadores, la Media Móvil Simple se incluye diferenciada para que la serie emporal que forma sea esacionaria. - Reardos de la Media Móvil Exponencial (EMA) diferenciada una vez (EMA_Diferenciada()=EMA()-EMA(-1)). Como la SMA, se incluye diferenciada para que la serie emporal que forma sea esacionaria. - Reardos de la Banda de Bollinger Cenral diferenciada una vez (BB_Cenral_Diferenciada()=BB_Cenral()-BB_Cenral(-1)). Como los aneriores indicadores, se incluye diferenciada para que la serie emporal que forma sea esacionaria. - Reardos del RSI. - Reardos del MFI. - Reardos del Oscilador esocásico %K rápido. - Reardos del Oscilador esocásico %D compleo. - Reardos de la MACD. 111

120 - Reardo del rendimieno del precio de aperura del Dow Jones. - Reardo de rendimieno del precio de cierre del NIKKEI 225. Enradas/Aribuos del Modelo Compleo: - Reardos del rendimieno del valor correspondiene. Es decir, si se quiere predecir el rendimieno de un deerminado valor el día (Rendimieno()) se incluyen como enradas del modelo los siguienes reardos: Rendimieno(-1), Rendimieno(-2), Rendimieno(-3), Rendimieno(-4), Rendimieno(-5), Rendimieno(-6), Rendimieno(-7) y Rendimieno(-8). - Reardos de la Media Móvil Simple (SMA) diferenciada una vez (SMA_Diferenciada()=SMA()-SMA(-1)). Al igual que en el esudio realizado para analizar la correlación enre precios de cierre e indicadores, la Media Móvil Simple se incluye diferenciada para que la serie emporal que forma sea esacionaria. - Reardos de la Media Móvil Exponencial (EMA) diferenciada una vez (EMA_Diferenciada()=EMA()-EMA(-1)). Como la SMA, se incluye diferenciada para que la serie emporal que forma sea esacionaria. - Reardos de las res Bandas de Bollinger diferenciadas una vez (BB_Diferenciada()=BB()-BB(-1)). Como los aneriores indicadores, se incluye diferenciada para que la serie emporal que forma sea esacionaria. - Reardos del RSI. - Reardos del MFI. - Reardos del oscilador esocásico %K rápido. - Reardos del oscilador esocásico %D rápido. - Reardos del oscilador esocásico %D leno. - Reardos del oscilador esocásico %D compleo. - Reardos de la MACD. - Reardos de la MACD suavizada. 112

121 - Reardo del rendimieno del precio de aperura del Dow Jones. - Reardo de rendimieno del precio de cierre del NIKKEI Salida del modelo Como ya se ha comenado aneriormene, en ese caso, la salida de los árboles de decisión consruidos es la dirección de los precios de cierre diarios de los disinos valores en esudio. La dirección de los cierres es lo mismo que el signo de los rendimienos de dichos cierres (Ecuación 2.4.1). Rendimieno( C ) = C C 1 Ecuación 3.4.1: Rendimieno de los precios de cierre Y represena lo que sube o baja en porcenaje el cierre diario de un valor de un día para oro. Si el signo del rendimieno es posiivo, quiere decir que el precio de cierre se ha incremenado, mienras que si es negaivo lo conrario. Además de esos dos posibles valores o clases para la salida del modelo se ha rabajado con oro valor llamado IRRELEVANTE que se uiliza cuando la subida o bajada en el cierre de un valor es pequeña. El moivo por el cual se ha decidido inroducir una ercera clase es eviar que el sisema de inversión ome acciones de compra-vena de acciones al predecir pequeñas variaciones en el precio de cierre de un valor ya que por lo general en bolsa no ineresa realizar operaciones con una renabilidad muy pequeña debido a que el cose asociado a la ransacción suele ser mayor. Por lo ano, la salida de los diferenes árboles consruidos puede ser: - Rendimieno POSITIVO (+): El precio de cierre diario fuuro va a ser noablemene mayor que el acual. - Rendimieno IRRELEVANTE (I): El precio de cierre diario fuuro va a ser muy parecido que el acual. - Rendimieno NEGATIVO (-): El precio de cierre diario fuuro va a ser noablemene menor que el acual. 113

122 Para deerminar cuando un rendimieno es posiivo, negaivo o irrelevane se han opimizado un conjuno de reglas con diferenes umbrales en base a conjuno de es. Ésas son las siguienes: - Si el rendimieno en es mayor que el umbral la salida árbol es POSITIVO. - Si por el conrario, es menor que el umbral la salida es NEGATIVO. - Por úlimo, si dicho rendimieno esa denro del umbral la salida es IRRELEVANTE. Tras analizar las series emporales a ajusar, se ha decidido seleccionar los siguienes umbrales: - [ -0.5%, +0.5% ] - [ -0.75%, +0.75% ] - [ -1%, +1% ] - [ -1.5%, +1.5% ] - [ -2%, +2% ] El hecho de ener diferenes umbrales ha permiido esudiar con cual de odos ellos se obienen mejores resulados. La disribución de clases para cada uno de los umbrales es diferene. Evidenemene, cuano más alo es el umbral mayor número de insancias perenecen a la clase IRRELEVANTE, reduciéndose el número de insancias perenecienes a la clase POSITIVO y NEGATIVO Consrucción del modelo La consrucción de odos los árboles de decisión se ha hecho con WEKA que es un sofware escrio en Java y se uiliza para aprendizaje auomáico y minería de daos. Ese paquee coniene un conjuno de herramienas de visualización y algorimos para el análisis de daos y modelado predicivo. Enre oras funcionalidades, e permie consruir diferenes ipos de árboles, además de oros clasificadores. Dado que dependiendo del árbol que se consruya los resulados varían, para cada uno de 114

123 los 6 valores seleccionados, para cada umbral y para cada modelo planeado (reducido o compleo) se han consruido los siguienes árboles: - FT - J48 - J48 Graf - LAD Tree - LMT - NBT Tree - Ramdom Fores - Ramdom Tree - Rep Tree - Simple Car La implemenación de los árboles aneriores con ese sofware es sencilla. En primer lugar, es necesario poner los conjunos de daos que conienen la salida y las enradas de los árboles en el formao.arff que es específico para ese sofware. Una vez realizado eso, hay que seleccionar un conjuno de enrenamieno, que es el que uiliza el sofware para enrenar y consruir el árbol correspondiene, y un conjuno de es que es usado para obener la evaluación de cómo clasifica dicho árbol. En ese caso, además de los dos conjunos descrios aneriormene, ambién se ha formado un ercer conjuno de validación para correr el modelo definiivo y obener las renabilidades finales. Dependiendo del modelo de árbol con el que se rabaje (reducido o compleo) el conjuno de enrenamieno iene más o menos insancias: Modelo reducido: - El conjuno de enrenamieno esa formado por 768 insancias. - El conjuno de es esa formado por las 164 siguienes - El conjuno de validación esa formado por las 164 úlimas. 115

124 Modelo compleo: - El conjuno de enrenamieno esa formado por 763 insancias - El conjuno de es esa formado por las 164 siguienes. - El conjuno de validación esa formado por las 164 úlimas. Ora de las funcionalidades desacadas de WEKA y que se uiliza anes de pasar a la consrucción de los diferenes árboles es el preprocesado de daos (Figura 3.33). Se raa de un panel que e permie visualizar la disribución de clases de los disinos conjunos que se cargan así como aplicar una amplia gama de filrados para modificar las variables de enrada. Figura 3.33: Panel de preprocesado de WEKA. Se puede ver el aspeco que iene el panel de preprocesado de WEKA. En la pare superior se puede aplicar diferenes filros al conjuno cargado si es conveniene. Además, es posible realizar diferenes acciones (Eliminar, inverir ) con las enradas o aribuos del modelo (pare inferior izquierda). Por úlimo, la pare de la derecha esa dedicada a mosrar la disribución de clases por el aribuo que se desee. 116

125 Cuando se consruye un árbol la salida que proporciona el WEKA iene dos pares. La que corresponde al enrenamieno y creación del árbol con el conjuno de enrenamieno (Figura 3.34) y la más imporane, la evaluación del árbol con el es (Figura 3.36) que se describe más adelane, en la pare de resulados. Figura 3.34: Pare de la salida correspondiene al enrenamieno de un árbol proporcionada por el sofware. En ese caso, la figura corresponde a una pare de la salida que muesra WEKA ras la consrucción de un árbol Decisión Sump. Debido a que cada árbol iene un aprendizaje disino, esa pare es diferene para cada ipo de árbol pero siempre muesra información relacionada con el conjuno de enrenamieno (Conjuno uilizado, Nº de insancias, Nº de aribuos ) además de información específica del aprendizaje. 117

126 Además, con algunos ipos de árboles el programa e permie la opción de visualizar gráficamene el árbol consruido (Figura 3.35). Figura 3.35: Se raa se una porción de un árbol NBree después de ser consruido. Se pueden disinguir los diferenes nodos y hojas del árbol. Dependiendo del ipo de árbol, el número de nodos, hojas y forma es diferene. 118