Tema 4. Los números reales.

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1 Tema 4. Los números reales. Números irracionales. En el tema anterior, has visto que los números racionales pueden escribirse en forma decimal, produciendo siempre un decimal exacto o periódico. También hemos visto que todo decimal exacto o periódico puede escribirse en forma de fracción. Es fácil comprobar que hay números cuya expresión decimal no es periódica, por ejemplo: 0, Estos números no se pueden escribir en forma de fracción: no son racionales. Recuerda: llamamos irracionales a los números cuya parte decimal no es exacta ni periódica. Otros ejemplos son, el número: π (pi)= e = = Etc. Números reales. El conjunto de los números reales, denotado por la letra R con la forma que ves en la figura de abajo, está formado por todos los números racionales y todos los números irracionales. Es decir, todos los números que pueden escribirse en forma decimal, sea ésta exacta, periódica o no periódica. 1

2 Esto engloba a todos los tipos de números que conocemos hasta el momento. Representación gráfica de números irracionales. Para representar gráficamente en la recta numérica: Se traza la recta y se ubica el punto cero; a cada punto de la recta se le asocia un número real. Sobre la recta numérica se traza un cuadrado de lado uno, y una diagonal al cuadrado partiendo desde el punto cero al vértice opuesto. Hipotenusa = 2

3 Hipotenusa = Intervalos. Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo. Intervalo abierto Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b. Intervalo cerrado Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b. 3

4 Intervalo semiabierto. Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b. Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b. Unión e intersección de intervalos. La unión de dos conjuntos, A B, es otro conjunto que reúne todos los elementos de A o los de B. La intersección de dos conjuntos, A B, recoge sólo los elementos comunes a A y a B. 4

5 Ejemplos: Unión: (1,3) (2,7] = (1, 7] Intersección (1,3) (2,7] = (2,3) Valor absoluto. La equivalencia entre puntos y números permite aplicar conceptos geométricos al cálculo, en particular la idea de distancia mediante el valor absoluto de un número. Llamamos valor absoluto de un número real, a, al mayor de los números a y -a. El valor absoluto de a se representa así: a. El valor absoluto de un número representa la distancia del mismo al cero. Podemos generalizar esta idea: Llamamos distancia entre dos números reales, a y b, al valor absoluto de su diferencia: d(a,b)= b-a = a-b Redondeo y truncamiento. Podemos aproximar un número decimal por otro que tenga menor número de cifras decimales. Esto podemos hacerlo de dos formas distintas: Mediante truncamiento. Dejamos el número de decimales deseado, quitando los demás. Mediante redondeo. La cifra que redondeamos aumenta en uno si la primera cifra suprimida es mayor o igual que 5. En otro caso no varía. 5

6 Por ejemplo 3,4578 con dos decimales se aproxima como 3,45 mediante truncamiento, y 3,46 mediante redondeo. Recuerda, solo debes aumentar la cifra redondeada si la primera cifra que quitas es 5, 6, 7, 8 ó 9. Medida de errores. Error absoluto y error relativo. Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos tipos de errores que se utilizan en los cálculos: Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. No tiene unidades. Ejercicio: Tenemos el número 38, Aproximamos con 4 cifras, por truncamiento y por redondeo. Calcular el error absoluto y relativo, para el caso de truncamiento y para el caso por redondeo. 6

7 Notación científica. En matemáticas y ciencias, a menudo se suelen manejar números muy grandes o muy pequeños. Una forma de evitar manejar demasiados dígitos (normalmente tendríamos problemas con las calculadoras para introducirlos) es utilizar la notación científica. Todo número en notación científica siempre viene expresado de la misma forma: Una parte entera que consta de un número distinto de cero, seguido de una coma y de cifras decimales, multiplicado todo ello por una potencia de diez, con exponente positivo o negativo. Cómo pasar un número muy grande a notación científica? Se pone como parte entera el primer dígito de la izquierda. Seguidamente se pone una coma y varias cifras decimales (dos o tres) con los siguientes dígitos. Como exponente de la potencia de 10 se pone el número de cifras no decimales que tiene el número menos una (la primera). Es decir, cuántos lugares hemos movido la coma decimal hacia la izquierda. Es un exponente positivo. Ejemplo: Poner en notación científica el número Parte entera: 3,897 Exponente de la potencia de diez: +15 (hay 16 dígitos no decimales, menos uno da quince) El número en notación científica sería: 3, Cómo pasar un número muy pequeño a notación científica? Se pone como parte entera el primer dígito distinto de cero de la izquierda. Seguidamente se pone una coma y varias cifras decimales (dos o tres) con los siguientes dígitos. 7

8 Como exponente de la potencia de 10 se pone el número de cifras decimales que tiene el número hasta la primera que sea distinta de cero (incluida). Es decir, cuántos lugares hemos movido la coma decimal hacia la derecha. Es un exponente negativo. Ejemplo: Poner en notación científica el número 0, Parte entera: 3,897 Exponente de la potencia de diez: -12 (hay 12 dígitos decimales, hasta la cifra 3, incluyendo dicha cifra) El número en notación científica sería: 3, Si todas las medidas de una misma magnitud están expresadas en notación científica, para compararlas solo deberemos ver el exponente de la potencia de diez. Ese exponente representa lo que denominamos grado de magnitud. 8

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