1. Números reales. Resuelve BACHILLERATO. Página 25

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1 . Números reles Unidd. Números reles Mtemátics plicds Mtemátics ls I Ciencis Sociles I Resuelve Págin A l F B d C. Demuestr que los triángulos ABF EBD son semejntes (es decir, demuestr que sus ángulos son respectivmente igules.. Si llmmos l l ldo del pentágono d su digonl, bsándote en l semejnz de los triángulos que cbs de demostrr, hll l relción d comprueb que es el número áureo: l E D d l ϕ El ángulo B^ en el triángulo ABF,, B^ en el triángulo EBD. Por otr prte los triángulos ^ ^ DAB EBD son igules, luego el ángulo A^ en el triángulo ABF,, D^ en el triángulo EBD son igules. Por tnto los triángulos son semejntes. El ldo AF d l. Por l semejnz de los triángulos ABF EBD; Operndo, d(d l l, por tnto d dl l 0. BD ED ; es decir, BF AF d l l d l Ls soluciones posibles pr d son l ± l d l l l ± Como d no puede ser negtiv, d l, d l ϕ

2 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Lenguje mtemático: conjuntos símbolos Págin 7 Verddero o flso? A B El conjunto coloredo de l izquierd se puede designr A B. Verddero, porque l prte colored está formd por todos los elementos de A que no están en B. b El conjunto coloredo de l izquierd se puede designr A B'. Verddero, porque l prte colored está formd por todos los elementos de A que no están en B, que B' es el complementrio de B. c El conjunto coloredo de l derech se puede designr: (A B (B A Verddero, porque pr que un elemento esté en el conjunto coloredo, o está en A no está en B, o está en B no está en A. d El conjunto coloredo de l derech se puede designr: (A B ( A B Verddero, porque pr que un elemento esté en el conjunto coloredo, tiene que estr en A o en B, pero no puede estr en los dos l vez (A B. e El conjunto coloredo de l derech se puede designr (A B' (A' B. Verddero, porque pr que un elemento esté en el conjunto, o está en A no está en B, o está en B no está en A. f Z Q Verddero, porque todos los números enteros son rcionles. g [ ( ( ] ( ( n es el conjunto de los múltiplos de n. Verddero, porque si un número es l vez múltiplo de de, entonces es múltiplo de. h ( ( ( Es l mism firmción nterior. i A B A B' Verddero, porque los elementos de A B están en A no están en B, luego están en A en B'. j ( A B es lo mismo que decir A B. Verddero, porque l implicción indic que todo elemento de A es un elemento de B. k ( A B A B Tenemos que comprobr que ls dos siguientes firmciones son cierts: ( A B A B que es l firmción del prtdo j A B A B, pero si B contiene A, es porque todos los elementos de A están en B, luego son equivlentes es verdder l firmción. l ( A B B A Flso, porque puede eistir lgún elemento de B que no esté en A. A B

3 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I m (0, Á 0 < < Verddero, porque los intervlos representn conjuntos de números reles el intervlo (0, está formdo por los números comprendidos entre 0 que son mores que 0 menores que, luego son firmciones equivlentes. n (Á Q (0, pero / (Á Q (0, Verddero, porque es un número rel que no es rcionl es mor que, sin embrgo / tmbién es irrcionl, pero está entre 0. ñ 0, (Á Q (0, Flso, porque 0, es rcionl. o (Á Q (0, es el conjunto de los números irrcionles positivos menores que. Verddero, porque son los números reles que no son rcionles, es decir, irrcionles, demás tienen que ser mores que cero, por tnto positivos, menores que. p { Z Z / < } {, 0,,,,, } Verddero, porque los únicos números enteros mores que menores o igules que son los del conjunto indicdo. q El conjunto de los números enteros mores que menores que 7 es Z (, 7. Verddero, porque, de los números enteros mores que menores que 7, están en el intervlo (, 7 demás son enteros. r ( es un número rel pero no es rcionl Á Q Verddero, porque Á Q es el conjunto de todos los números reles menos los rcionles, que es equivlente decir los números reles que no son rcionles.

4 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Números reles. L rect rel Págin Refleion resuelve Observ cómo se sitún estos números en los conjuntos numéricos:, Ahor, en tu cuderno, sitú los siguientes números en un digrm similr: ;,; ; 0; ; ; 7/; 7/ 7, 0 7, 8 7 7, 7 N Z Z,, 7 Q 0, Á no es rel Págin Represent los siguientes conjuntos: (, b [, c (, ] d (, 0 e { / < } f [, (, 7] g (, 0 (, h (, (, c e g b d f h Averigu represent pr qué vlores de se cumplen ls siguientes relciones: b c d e > f > b ; [, ] c d ; [, ] e < o > ; (, (, f < o > ; (, (,

5 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Rdicles. Propieddes Págin 0 Simplific. b 8 c 0 8 d 8 e f 8 8 Se dividen índice eponente entre. b 0 c d e f 8 Cuál es mor, o? Reducimos índice común: 7; 8 Por tnto, es mor. Reduce índice común. 8 7 b ; b ; 0 Simplific. 8 kkk k b 0 c ( ` kj k b c Págin Reduce. b c 8 d 8 e f 8 8 b c 7 d 8 ( ( e Se fctorizn los rdicndos se reduce índice común: $ $ f Se fctorizn los rdicndos se reduce índice común: 8 $ (

6 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Simplific. c b b b b d c b b b b b b c bc b bc c bc d b b b c b c 7 Reduce. c b b d c d 7 8 Sum simplific. b c d e 0 8 f 0 0 b 7 c d e f Se fctorizn los rdicndos se scn fctores de l ríz: Págin 0 0 Rcionliz denomindores simplific cunto pueds. e i c e g i b f j c g b 7 7 d f 0 h j 7 8 d h

7 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I 0 Rcionliz denomindores simplific cunto pueds. b c e f g d h ( ( ( ( ( ( b ( ( ( ( c ( ( ( ( ( ( ( d ( ( ( e ( ( 7 f ( g h ( ( ( ( ( ( ( ( 7

8 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Logritmos. Propieddes Págin Hll. b 0, c d 0 e f 7 g ln e h ln e / i 0,0 j c m b 0, c 0 d 0 0, 0 0 e f g ln e h ln e / i 0,0 j c m Hll l prte enter de 0. b 700. c d 0 0,08. e 0. f ln e. g 0 h, ; ; < 0 < < 0 < 0, b ; ; < 700 < < 700 < 700, c ; ; < 000 < < < 0 000, d 0 0,0 ; 0 0, ; 0,0 < 0,08 < 0, < 0 0,08 < 0 0,08, e ; 8 ; < 0 < 8 < 0 < 0, f ln e g ; ; Como < < < <. L prte enter de es. h, 00,07, 80,;,,7 Como, 80, < 00 <,7, <, 00 <. L prte enter de, 00 es. 8

9 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Aplic l propiedd 8 pr obtener los siguientes ritmos con l ud de l clculdor: 00 b 00 c d 00 0 En cd cso, comprueb el resultdo utilizndo l potencición. 00 0,; 0, 00 b 00,;, c,; 00, 0 00 d 0,80; 00 0, Clcul sbiendo que A,8 B,. A B b A B A [ B A B] ] [,8,] 08, 0,7 b A B A B,8,,7,8, Averigu l relción que h entre e, sbiendo que se verific: ln ln ln ln ln ln e ln ln ln e e

10 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Epresión deciml de los números reles. Números proimdos Págin 7 Verddero o flso? I. El precio de est viviend es, proimdmente, de 0 000, con un error menor que II. El precio del menú del dí es, proimdmente, de, con un error menor que. En I el error bsoluto es mucho mor que en II, pero el error reltivo es menor. I. E.R. < 0000, 0 0,0 E.R. <, % 0000 II. E.R. < 8, 0 0,08 E.R. < 8, % El error bsoluto nos lo dicen es mor en I que en II. Hemos clculdo el error reltivo en cd cso vemos que es verdder l firmción. Di un cot del error bsoluto otr del error reltivo en ls siguientes mediciones: Dniel le dice su hermn Mrí que l superficie de su cs es de, m. b Por l gripe se hn perdido 7 millones de hors de trbjo. c Jun gn unos 000 l ño. E.A. < 0,0 m ; E.R. < 00,,87 0 0,00087 E.R. < 0,0 %, b E.A. < 0, millones de hors hors E.R. < 0, < 0,0, % 7 c Si suponemos que los tres ceros finles se hn utilizdo pr poder epresr l cntidd (es decir, que se trt de mil, redondendo los miles de euros, entonces: 0, E.A. < 0, miles de 00 E.R. < < 0,07,7 % Si suponemos que es 000 ectmente: E.A. < 0, E.R. < 0, < 0, ,007 % 000 Págin 8 Clcul en notción científic sin usr l clculdor: ( : 0,000 0, 0 b 0, ( : 0,000 0, 0 ((8 0 : ( 0 0 ( b 0, , 0 7 0, Oper con l clculdor: (,87 0, 0 : (, 0 b 8, 0 0 7, 0 0, 0, 0 7, 0 (,87 0, 0 : (, 0,8 0 b 8, 0 0 7, 0 0, 0,

11 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Ejercicios problems resueltos Págin. Conjuntos numéricos Hzlo tú. Clsific los siguientes números: ; 7; 0,; ; 8 ; ; ;,! 0, 7 8,. Intervlos vlor bsoluto Hzlo tú. Indic, en cd cso, qué números cumplen ests condiciones: b < 8 * 8 (, 7] [, 7 b < 8 < < 8 7 < < Cmbimos de signo: < < 7 (, 7. Simplificción de rdicles Hzlo tú. Simplific. 7 b 7 : 8 c b c Págin 0. Operciones con rdicles Hzlo tú. Simplific: 0 b 8 b b Fctorizmos scmos fctores de ls ríces: 0 7 b Reducimos los rdicles índice común scmos fctores de ls ríces: 7 8 b b 8 b ( b b b 7 b b

12 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I. Rcionlizción de denomindores Hzlo tú. Rcionliz: b Multiplicmos numerdor denomindor por : b Multiplicmos numerdor denomindor por : ( ( ( (. Problems con rdicles Hzlo tú. El volumen de un pirámide cudrngulr regulr, cus crs lterles son triángulos equiláteros, es. Hll l longitud de su rist. B l H l l C O l L rist de l cr tringulr es igul l rist de l bse. V Pirámide Abse e H l H L distnci OC es l mitd de l digonl del cudrdo OC l. L rist es l hipotenus del triángulo rectángulo de ctetos l ltur H el ldo OC. Por ser l rist igul l ldo de l bse, H l e lo V Pirámide l l l Por tnto, l & l & l 8 l Págin 7. Definición de ritmo Hzlo tú. Clcul : / b 8 / 8 8 b

13 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I 8. Logritmos sin clculdor Hzlo tú. Hll el vlor de 0, de sin utilizr l clculdor. 8! 0, 8 / l o 8. Propieddes de los ritmos Hzlo tú. Si ln k,8, clcul: ln (k e b ln ck m e ln ( k e ln k ln e ln k ln e/ (,8, b ln ck m ln k ( ln e k ln e ( (, 8 8 8, e 0. Propieddes de los ritmos Hzlo tú. Clcul en estos csos: ln b ln Aplicmos l propiedd de los ritmos: mn n m. ( ln 8 8 8, ln ln b Aplicmos ls propieddes de los ritmos: ; Soluciones:, Pero como no se pueden tomr ritmos de números negtivos, l únic solución válid es. Págin. Errores notción científic Hzlo tú. Epres el resultdo de ests operciones en notción científic cot el error bsoluto el error reltivo cometidos: ( : 0,000 (0,008 b, 0 8, 0 7 (, 0 ( : 0, 000 ( 0, 008 e e 0 (8 0 0 o 8 8 ( 0 ( , E.A. < 0, E.R. < 0, 8 0 0, 00 0, %

14 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I b, 0 8, 0 7 (, 0, 0 8, 0 7, 0 8, , 0 8 (,, 0 8,0 0 8,0 0 7 E.A. < 0, E.R. < 0, , ,0 %, Reprtos proporcionles Hzlo tú. Reprte 00 en prtes inversmente proporcionles, Pr , Pr 0 0 8, Pr ,

15 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Ejercicios problems guidos Págin. Simplificción de rdicles Simplificr est epresión: 08. Vlor de un eponente Clculr pr que se cumpl l iguldd: 7 7; ( 7 7,;,,. Etrcción de fctores de un rdicl Etrer fuer del rdicl los fctores que se posible. cd 8bc bcd b cd cd 8bc bcd b b cd cd( ( 8b b b b cd( b ( b cd ( b cd. Propieddes de los ritmos Averigur l relción que eiste entre M, e si sbemos que: ln M ( ln ln ln ln M ( ln (ln ln ln ln ln ln ln M. Cots de error bsoluto reltivo Acotr el error que se comete l tomr, como proimción del número de oro, ϕ. E.A. < 0,00 0, 00 E.R. <,00 0 0,00 Corresponde un error reltivo menor que 0, %.

16 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Ejercicios problems propuestos Págin Pr prcticr Números rcionles e irrcionles Clsific los siguientes números indicndo cuáles de los conjuntos N, Z, Q o Á, pertenecen: ; 7;, ; 8 ; ; ; 7,! ; 8 N 7 Z π, 7,! Q,, π Á Cuáles de estos números son irrcionles? Epres como frcción los que se posible.,888 b 7,! c 8 d, e,0 f 8 g, h π,888 8! b 7, 7 c 8 Irrcionl. d, Irrcionl. e, f 8 Irrcionl. g, 7 0 h π Irrcionl. Qué números irrcionles representn los puntos: A, B, C D? Justific l respuest. 0 A B C 7 D A 0 B C D Indic cuál, de cd pr de números, es mor: 0 b 0,! & 0, Redonde ls centésims los números nteriores. b 0,! # c 8, $ c 8, d,08, d,08

17 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Intervlos vlor bsoluto Represent gráficmente epres como intervlo o como semirrect los números que cumplen l condición dd en cd cso. es menor que. b es menor o igul que. c está comprendido entre. d está entre 0, mbos incluidos. e es mor o igul que menor que. < ; (, b ; [, c < < ; (, d 0; [, 0] e [, ; < Escribe l desiguldd que verific todo número que pertenece estos intervlos o semirrects: [, 7] b [, c (, 0 d (, 0] e [/, f (0, 7 b c < 0 d < 0 e < f 0 < < 7 Epres en form de intervlo los números que cumplen cd un de ests epresiones: < 7 b c < 8 d e > f (7, 7 b [, ] [, ] c (, d [, 7] e (, 7 f (, ] [, 8 Escribe medinte intervlos los posibles vlores de pr que se pued clculr l rí z en cd cso. b c d e f 0 ; [, b 0 c 0 0; (, 0] ; <, F d 0 ; c, F e 0 ; (, ] f 0 0 Epres como un único intervlo. ; [, (, ] [, b [, (0, ] c (, ] [, 7 d [, (0, e [, ] [0, ] f [, (0, 0 (, ] [, (, ] b [, (0, ] [, ] c (, ] [, 7 [, ] d [, (0, (0, e [, ] [0, ] [0, ] f [, (0, 0 [, 0 7

18 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I 0 Se llm entorno de centro rdio r l intervlo ( r, r. Epres como intervlos los siguientes entornos: centro rdio 0,; centro rdio. b Describe como entornos los siguientes intervlos: I (, ; I (,,. Centro rdio 0, ( 0,; 0, (,7;, Centro rdio (, (, b I (,,; c entro: ; rdio I es un entorno de centro rdio. I (,,; centro:, (, ; rdio, (, 0,8 I es un entorno de centro, rdio 0,8. Potencis Epres los siguientes rdicles medinte potencis de eponente frccionrio simplific: / / / 0 0 / b / c / / b Resuelve, sin utilizr clculdor: b c d 0, e 8 c f 0, 00 b 7 7 c d 0, e f 0, 0 0, Epres como un potenci de bse : b ( / 8 c ( / b ( / c /8 / Clcul utilizndo potencis de bse, : c m b c m c m c ( ( 8 ( 0 ( b 8 c ( ( ( ( 8 8 m m c d ( d 00 8

19 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Epres en form de potenci, efectú ls operciones simplific: b / / 7 / b ( / ( / ( / / / 0 / 7 Simplific, utilizndo ls propieddes de ls potencis: c c b 8 d b b c 0 b b c b 7 b b b d c c 8 78 b b c8 c b Págin Rdicles 7 Introduce los fctores dentro de cd ríz. b d c 8 e f b c d e 8 f 8 Sc de l ríz el fctor que pueds. b 8 c 000 d 8 e g f b h i b 8 c 0 0 d e f b b g h ( i

20 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Simplific los siguientes rdicles: b 7 c 08 d e 8 8 f : g 00, 7 h 8 00, 0 i / / b c d e 8 f : : g 0, h 8 0, i Reduce índice común orden de menor mor.,, b, c, 0 d 0,, 00,, ;, 8, < < b, < c , < 0 d 0,, 00 ; tenemos ; ; 8000 < 00 < 0 Reliz l operción simplific, si es posible. 7 b 7 c 8 d ( e ( f : b c d ` j 8 e k f : : Efectú simplific, si es posible. b c f p d : 8 08 b c f p e o d : : Epres con un únic ríz. 7 b 8 c b 8 c k: 0

21 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Rcionliz los denomindores simplific. 8 d b e 7 8 c f b c ( ( ( d e f 7 8 Multiplicmos numerdor denomindor por 7 8 ( 7 8 ( 8 Clcul simplific. Multiplicmos numerdor denomindor por ( ( ( ( b 7 0 c 0 8 b 7 7 c 7 7 Simplific ls siguientes epresiones: b c 7 8 b c 7 m c 7 7 c c m ( 7 Efectú simplific. ( ( b ( ( c ( d ( ( 8 b c d (

22 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I 8 Rcionliz simplific. d b c 8 b e 0 c f ( ( ( ( ( ( ( ( ( d ( ( ( ( e 0 ( 0 ( 78 ( f ( ( 8 7 ( ( 7 Efectú simplific. b b ( ( ( ( ( 7 ( 7 ( 7 7 ( 7 7 7( ( 7 ( 7 7 Logritmos 0 Epres como potenci de l bse clcul plicndo l definición de ritmo. 0 b 0,00 c d e f 8 g / h π i ln 0 0 b 0 c d ( e / f / / g / c m h 0 i ln e / Clcul l bse de estos ritmos: b c d e 0,0 f e b c d / e 0,0 f /

23 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Clcul el vlor de en ests igulddes: b c 7 d e 7 0, f 7, b d 0, 8 e 7 0, c, Hll con l clculdor comprueb el resultdo medinte potencición. 8 b ln (, 0 c ln (7, 0 d, e, f 0,0 7 f 7 7,08 b ln (, 0, e,, 0 c ln (7, 0, e, 7, 0 d,,, e 0, 0,, f,88,88 0,0 Págin Desrroll ls siguientes epresiones: b b 00c b b ln e e 00c b 0 c b ln e ln ln ln ln e ln ln e ln Sbiendo que 0,8 clcul el vlor de: 00 b 000 c / l o / l o , 8, b , 8 8, c / 0 0, 8 0, d 0 0 0, 8,7 0 0, 8 0 b c d 0 Hll el vlor de en ests epresiones plicndo ls propieddes de los ritmos: ln ln 7 ln b c ln ln ln 0 d ln ln (7 7 b c ln ln ln 0 ; ln ln 0 ; ; d / ; ; 8 ; 8

24 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I 7 Si k,, escribe en función de. 00k b k 000 c k d 0k e k f ( k / 00 k b k 000 c k d ( g 0 k e k 0 f 8 Averigu, en cd cso, l relción entre,, z. z b z c z ( ( d ln z ln ln z ; z ; z b z 0 ; z 00 ; z 00 c z 0 ; z 0 d ln z ln e ln ln e ; ln z ln ; z Notción científic errores ; z e 0 ; z 0 Efectú d el resultdo en notción científic con tres cifrs significtivs. Determin tmbién, en cd cso, un cot del error bsoluto otr del error reltivo cometidos. (,,0 7, 0 0 8, 08, 0 (, (, 0 8 b, 0 c, 0, , 0 0 0, 0 ; E.A. < 0,00 0 0, E.R. < 0, < 0,00 b,8 0 ; E.A. < 0, E.R. < 0 <, 0, c, 0 ; E.A. < 0, E.R. < 0, 0 <,8 0 0 Epres en notción científic clcul: 0 ( 0 ( 0 0 7, 70 7( , , 000

25 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Orden de mor menor los números de cd prtdo. Pr ello, ps notción científic los que no lo estén.,7 0 ; 8,7 0 ; 0 b, 0 ; 0,0 0 7 ; ,7 0 >, 0 >,7 0 b 0 > 0 >, 0 Pr resolver Un depósito de gu tiene dos grifos. Si los brimos l vez, el depósito se llen en dos hors. Si brimos solo el primero, se llen en seis hors. Cuánto trdrá en llenrse el depósito si brimos solmente el segundo grifo? Llmmos n.º de hors que trd en llenr el depósito el segundo grifo. El primer grifo llen del depósito en un hor. El segundo grifo llen del depósito en un hor. Los dos juntos llenn del depósito en un hor. Por otr prte, los dos juntos, en un hor, llenn. Por tnto: El segundo grifo trd hors en llenr el depósito. En un concurso se reprten entre ls tres persons que hn trddo menos tiempo en relizr un prueb. L primer h trddo minutos; l segund, minutos, l tercer, 8 minutos. Cuánto dinero le corresponde cd un si el reprto es inversmente proporcionl l tiempo invertido? Debemos reprtir de form inversmente proporcionl l tiempo empledo: Al primero le corresponde , Al segundo le corresponde , Al tercero le corresponde ,8 trdrín entre los tres Vrios migos se reúnen en un br, tomn refrescos pgn 8,7 en totl. Uno de ellos tomó solo un refresco, otro tomó dos el resto tomron refrescos cd uno. Cuántos migos fueron cuánto tuvo que pgr cd uno? 8,7 :, por refresco., pg el primero;, pg el segundo,7 entre los dos. Los restntes tomn refrescos. : migos, cd uno pg,7. Son en totl. Pgn,,, los otros cutro,,7 cd uno.

26 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I En un grnj h 7 gllins que consumen 0 kg de míz en 0 dís. Pr umentr l producción de huevos, se ument el número de gllins 00 se comprn 800 kg de míz. Cuántos dís se podrá dr de comer ls gllins? 0 : 0 ; : 7 0, kg de míz es lo que come un gllin en un dí. 00 0, 0 kg por dí pr limentr 00 gllins. 800 : 0 0 dís podrán comer ls gllins. Un empledo puede hcer los / de un trbjo en 8 dís trbjndo hors diris, otro, los / del mismo trbjo en dís de 7 hors de trbjo. Cuánto tiempo trdrán los dos juntos en hcer el trbjo, dedicndo hors diris? Pr hcer todo el trbjo el primero trd: 8 0 hors. Y el segundo: 7 hors. En hor los dos juntos hcen: Pr hcer todo el trbjo trdn: 80 8, hors. 8, : dís hors 8 minutos 7 Dos migs, trbjndo junts, emplerín dís pr hcer un trbjo. Después del primer dí, un de ls dos lo tiene que dejr. Continú l otr sol trd dís en cbr el trbjo. En cuántos dís hrí el trbjo cd un isldmente? Después del primer dí quedn por hcer los / como l segund mig trd dís, pr hcer todo el trbjo trdrí dís. L primer hce por dí del trbjo. Por tnto, trdrí en hcer todo el trbjo, dís. 8 Dos poblciones A B distn 0 km. A l mism hor sle un utobús de A hci B un velocidd de 80 km/h un turismo de B hci A 0 km/h. Cuándo se cruzrán? Si se proimn km/h, en recorrer 0 km trdrán: t 0 7, hors hor minutos. 00 Un utomóvil trd hors en ir de A B otro trd hors en ir de B A. Clcul el tiempo que trdrán en encontrrse si slen simultánemente cd uno de su ciudd. El primero recorre / del cmino en hor. El segundo recorre / del cmino en hor. Entre los dos recorren: 8 del cmino en hor. Trdrán 8 h h ' 0'' en encontrrse.

27 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I 0 Hll el áre de l prte colored de est figur en el que el ldo del cudrdo mide m. Epres el áre en decímetros cudrdos con tres cifrs significtivs cot el error cometido. r d El áre pedid es el áre del cudrdo, menos cutro veces el áre verde menos el áre roj. Cutro veces el áre verde es el áre de un círculo de rdio, es decir, A Verde e π c m Llmmos d l digonl del cudrdo: d Clculmos el rdio: r d El áre roj es el áre del círculo de rdio A Roj πe o π π Áre pedid E.A. < 0,00 dm E.R. < 0, 00 7, 8 0. A Cudrdo A Verde e A Roj π c π πmπ m π π 7, 8 0 m 7,8 dm,8 0 0,08, que equivle l, %. π Págin 7 L estción espcil Mir estuvo en órbit csi ños durnte ese tiempo dio, proimdmente, 8 00 vuelts lrededor de l Tierr, un ltur medi de 00 km. Clcul l distnci totl recorrid por l Mir en esos ños. Redonde el resultdo ls decens de millón d un cot del error bsoluto un cot del error reltivo cometidos. El rdio medio de l Tierr es de 7 km. L longitud de un vuelt del stçelite es π (00 7 π km. El totl de kilómetros recorridos es: E.A. < 0, 0 7 E.R. < 0, 0, π 8 00,8 0 8 decens de millón 7, , , % 7

28 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I L longitud de un brr metálic después de clentrl es l l 0 ( kt donde l 0 es l longitud 0 C, t l tempertur finl k el coeficiente de diltción linel. Si un brr de plomo mide m 800 C, cuál es su longitud 00 C? (En el plomo k 0. Clculmos l 0 prtir de l longitud de l brr 800 C: l l 0 ( kt l 0 ( l 0 c 8 m, luego l 0 8 Clculmos hor l longitud de l brr 00 ºC: l l 0 ( kt ( ,8 m L estrell R, descubiert recientemente, está 000 ños-luz tiene un ms ctul equivlente veces l ms del Sol. Epres l distnci en kilómetros l ms en kirmos. D, en cd cso, cots del error bsoluto del error reltivo. Un ño luz es proimdmente, 0 km. L distnci de l estrell R l Tierr es: d 000, 0,0 0 8 km E.A. < 0 km E.R. < 0,0 0 0,0000, que equivle l 0,00 %., L ms del Sol es, proimdmente,,8 0 0 kg. L ms de l estrell R es: m,8 0 0,7 0 kg E.A. < 0 7 kg 7 E.R. < 0, 7 0 El volumen de un cubo es cm. Hll:,87 0 0, , que equivle l 0,000 %. Su rist. b L digonl de un cr. c L digonl del cubo. D, en cd cso, el vlor ecto. V cubo 8 b Digonl de un cr c Digonl del cubo 8 L superficie de un tetredro es cm. Clcul su rist su volumen. D el vlor ecto. Un tetredro tiene cutro crs igules. Llmmos l rist. L superficie de cd cr es cm. Cd cr es un triángulo equilátero cu ltur es L superficie de cd cr es: S cr Por tnto, 8 8 ±. Como es un longitud, cm. L ltur del tetredro es: h V Abse h cm.. b l. h 8

29 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Cuestiones teórics Eplic si ests frses son verdders o flss: H números irrcionles que son enteros. b Todo número irrcionl es rel. c Todos los números decimles son rcionles. d Entre dos números rcionles h infinitos números irrcionles. F b V c F d V 7 Si 0, eplic si ests firmciones son verdders o flss: es negtivo si lo es. b tiene el mismo signo que. c Si > 0 entonces <. Fls, siempre es positivo por ser el eponente pr, independientemente del signo de. b Verdder, porque el índice de l ríz es impr. c Fls, > 8 Cuáles de ests igulddes son verdders? Eplic por qué: m m n (m n b m n n c m n m d n e ( b ( b ( b Flso. m n (m n (m n b Flso. m n m m b l n n c Verddero. Por un propiedd de los ritmos. d Verddero. ( e Verddero. ( b [( b ( b] ( b ( b

30 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Autoevlución Clsific los siguientes números indicndo cuáles de los conjuntos N, Z, Q o Á pertenecen: 8 ; ; π ; ; 8 ; ;, 07 7! N: Z: ; 8 Q: ; Epres en form de intervlo. ; 8 ; 0,! 7 Á: ; 8 7 es mor que menor o igul que. b < (, ] b (, Escribe como potenci simplific. ( :( ; ( :( ( / :( / ( / :( / ( / :( / / / Clcul simplific: 7 Rcionliz. b 7 b ( ( 8 ( ( ( ( ( Simplific: ; 0,! 7 ; π ; / / 7 / 7 Si A, 0 ; B, 0 ; C,8 0 D, 0, clcul c A C C m D. Epres B el resultdo con tres cifrs significtivs d un cot del error bsoluto otr del error reltivo cometidos. c A C m D f, 0 8, 0, 0 B p, 0 e, 0, 80, 0 o 0, E.A. 0, 0 E.R. < ( 0, 8, 0, 0, 0, 0 7, 0 0, 0 7, 0,7 0,7 0, , 008 0, 8 % 0

31 Unidd. Números reles Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I 8 Aplic l definición de ritmo obtén. b, c ln 8 8 b, 8 0, 8 0 / c ln e Clcul en cd cso., 0,0087 b,00 0, 0087 lo, l o 0, , 8, b,00 Tommos ritmos:, 00 l o 8 lo, 00 8,8, 00 0 Epres como un solo ritmo di el vlor de A: A c m 8 A Si k 0,8, cuál es el vlor de 0k k 00? 0k k 0 k 00 08,8 00 k 0 k k 0,8, El áre totl de un cubo es cm. Cuál es el áre totl del cilindro inscrito en el cubo? D el vlor ecto. El áre totl del cubo es. El rdio del cilindro inscrito es r. El áre de un bse del cilindro es π e o π. El áre lterl del cilindro es π π. El áre totl del cilindro es π π c c m π cm.