DESIGUALDADES. AXIOMA 1.- Tricotomía de los números reales. Si a y b son números reales entonces se cumple una y solo una de las relaciones

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1 DESIGUALDADES AXIOMAS DE ORDEN. Cualquier conjunto o Campo de números que satisface los siguientes 4 Axiomas se dice que es un conjunto de números ORDENADO. El conjunto o Campo de los números reales satisfacen los cuatro axiomas por lo tanto es un conjunto de números ordenados. Las relaciones > significa Mayor que y la relación < menor que y se utilizan en los 4 axiomas denominados axiomas de orden.. AXIOMA 1.- Tricotomía de los números reales. Si a y b son números reales entonces se cumple una y solo una de las relaciones a > b a = b, b > a. AXIOMA 2.- Transitividad. Si a, b, & c son números reales tales que : a > b & b > c entonces a > c. AXIOMA 3.- Adición: Si a, b & c son números reales tales que a > b entonces a + c > b + c AXIOMA 4.- Multiplicación: Si a, b & c son números reales tales que a > b & c > 0 entonces: a c > b c. EJEMPLOS Para el axioma de tricotomía. 1.- Si tomamos 2 números reales cualesquiera como -15 y 21 y tomamos a = -15 y b = 21, se cumple que a < b a ya que el número negativo -15 es menor que el número positivo 21 y es la única relación que se cumple para esos números reales en particular ( y no otra relación).

2 2.- si a = 42 y b = 11 entonces se cumple que a > b ya que 42 es mayor que 11 y es la única relación que se cumple. Para la igualdad, es trivial el tener 2 = 2. Para el axioma de transitividad. 3.- Si tomamos 3 número reales tales que a = 14 > b = 6 y b = 6 > c = 3, entonces el axioma nos indica 14 > 6 y 6 > 3, entonces 14 > 3. Para el axioma de adición: 4.- Si tomamos 3 números reales a = 15 > b = 9 y c = 3, entonces: > es decir se cumple la relación resultante de la suma 18 > 12. Para el axioma de multiplicación. 5.- Si tomamos 3 números reales a = 15 > b = 7 y c = 4 es un real POSITIVO ( c > 0 ), entonces 15*4 7*4 ya que el resultado de las operaciones es 60 > 28. En este punto nos podemos preguntar, Cómo podemos determinar si un número real es mayor o menor que otro número real dado?, para contestar esto consideremos la siguiente característica del ORDEN que guardan los números reales en la recta numérica, a partir del cero los números reales positivos están ordenados a la derecha del cero y los números reales se encuentran a la izquierda del cero, por lo tanto al comparar a 2 número reales (positivos o negativos), se tiene siempre que o bien el primero está a la derecha del segundo (EN ESTE CASO EL PRIMERO ES MAYOR QUE EL SEGUNDO)

3 o bien el primero está a la izquierda del segundo ( EN ESTE CASO, EL PRIMER NÚMERO ES MENOR QUE EL SEGUNDO NÚMERO) y si coinciden entonces se cumple la igualdad de los números reales. Definición 1.- Un número real a es positivo si a > 0 & es negativo si a < 0. Consecuencias de los Axiomas de orden. Teorema 1.- Para cada pareja de número reales, a < b (a es menor que) si y solo si - a > - b Consecuencias del teorema: 1.-Si a > 0 ( si a es mayor que cero) entonces - a < 0 (su negativo es menor que cero) 2.- Si a > b & c < 0 entonces a c < b c. si en una desigualdad se multiplica en sus 2 lados por una constante negativa, la desigualdad cambia de sentido. Ejemplo: Si c = -4, y se tiene la desigualdad 15 > 7 entonces al multiplicar cada lado de la desigualdad por ( -4) obtenemos -60 < -28 por lo tanto 15*(-4) < 7*(-4), es decir la desigualdad se invierte ( de mayor que a menor que. 3.- Si a > b & c > d entonces a + c > b + d. d. 4.- Si a, b, c & d son números positivos y a > b c > d entonces a c > b

4 Si consideramos a la recta numérica (sistema coordenado Unidimensional ver el Capitulo I) podemos definir a conjuntos de números representados como subconjuntos de puntos en la recta numérica mediante el uso de las desigualdades, a estos subconjuntos los llamaremos intervalos y se definen como sigue: INTERVALOS EN LA RECTA NUMÉRICA. Definición.- Intervalo abierto entre 2 números reales a & b es el subconjunto de números reales que cumple con las desigualdades: a < x < b y lo representamos en la forma ( a,b ). Entonces a, b) x R a x b; a, b R ( = intervalo abierto. intervalo abierto ( a, b ) ( ) a b Como en este tipo de intervalo se usa la relación < menor que, los extremos, es decir los valores a & b no pertenecen al subconjunto definido por el intervalo abierto. Definición. Intervalo cerrado entre 2 números reales a & b es el subconjunto de números reales que cumple con las desigualdades a x b y lo representamos en la forma [ a, b ]. Entonces, [a, b ] = x R a x b; a, b R = intervalo cerrado..

5 intervalo cerrado [ a, b ] [ ] a b Como en este tipo de intervalo se usa la relación menor o igual que los extremos, es decir los valores de a & b pertenecen al subconjunto. Mediante la combinación de las relaciones < & podemos definir intervalos abiertos por la derecha y cerrados por la izquierda ó cerrados por la derecha y abiertos por la izquierda de acuerdo a la definición de los subconjuntos correspondientes: Abierto por la derecha y cerrado por la izquierda = ( a, b ] indica a < x b. Cerrado por la derecha y abierto por la izquierda = [ a, b ) indica a x < b. Si consideramos a los símbolos y podemos representar intervalos los cuales siempre serán abiertos del lado en que aparece el símbolo de mas infinito o menos infinito ya que estos símbolos no representan a números reales sino que indican que los números reales no tienen fin (no son cotados) y en términos de la recta numérica indica que el punto correspondiente a mas infinito esta del lado derecho del origen y muy alejado de él, de la misma manera menos infinito indica que el punto correspondiente está del lado izquierdo del origen y muy alejado de él. Los Intervalos: (,5), ( 3, ) los representamos como un subconjunto de números reales cuyo extremo izquierdo esta alejado del origen y el derecho es en número 5 y para el segundo intervalo, su extremo izquierdo es el número 3 y su extremo derecho está alejado del origen hacia la derecha. Intervalo abierto (, 5) Intervalo abierto (3, )

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7 Ejercicios. Traza los siguientes intervalos en la recta numérica ( -5, 4); 2.- [ 3, 7] 3.- ( -1, 8] 4.- [ -6, 2) 5.- [ 3, 8] 6.- ( -9, -2) 7.- [ -11, -5] 8.- ( -7, - 3] 9.- ( -,4] 10.- [ 5, ) VALOR ABSOLUTO. Definición.- Valor Absoluto de un número real x está definido como: x x x si 0 x 0 x 0 x 0 Definición 5.- Para cualquier número real x, se tiene la igualdad 2 x x ya que x 2 x x si 0 x 0 x 0 x 0 ** si a & b son números reales, entonces: ab a. b a a b 0 b b Ejemplos:

8 NOTA: AL VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO TAMBIÉN SE LE LLAMA VALOR NUMÉRICO. Ejemplo 1.- Las siguientes expresiones son desigualdades: a. 3x 2 4 x b. 2 x² 3x c. x 5 4 Cuando se trabajan con desigualdades de expresiones algebraicas el objetivo es determinar los valores de la variable de la expresión algebraica que cumplen con la desigualdad y al conjunto de valores se le llama conjunto solución de la desigualdad, además a los valores de la variable se les llama solución de la desigualdad. Al proceso de determinar leal conjunto de valores se le denomina resolver la desigualdad. Definición 6.- Una desigualdad se llama ABSOLUTA si es verdad (se cumple) para todos los valores Permisibles ( validos) de las variables que intervienen en ella. Un ejemplo de esta definición es la desigualdad x ² y² 1 0 la cual se cumple para todos los valores de x & y en el conjunto de los Números Reales por lo tanto es una desigualdad absoluta; La desigualdad -4 < 3 Es también una desigualdad absoluta. Definición 7.- Una desigualdad se llama CONDICIONAL si se cumple únicamente para algunos valores de las variables que intervienen en ella.

9 Un ejemplo de esta definición los tenemos en la siguiente desigualdad: 2x 6 0 es CONDICIONAL ya que de todo el conjunto de valores permisibles (que puede tomar) la expresión 2x 6 (todos los números reales) ; los valores de x que cumplen con la desigualdad son los que pertenecen al subconjunto de los números reales definido por x > 3 es decir el intervalo ( 3, ). Definición 8.- Al conjunto de valores que satisfacen una desigualdad se le llama conjunto solución de la desigualdad. Definición 9.- (desigualdad del triángulo). Para cualesquier números reales a & b de tiene: a b a b Propiedades de las desigualdades. Consideremos la desigualdad f( x ) > g( x ) donde f(x) y g(x) son expresiones algebraicas entonces se tiene: Propiedad 1.- El sentido de una desigualdad NO CAMBIA si se suma ó resta una MISMA CANTIDAD en ambos lados. f ( x) c gx c

10 Ejemplo 2.- La desigualdad x-2 > 10 se cumple para el conjunto de valores de x tales que x > 12. Si c = 15 entonces (x-2) - 15 > x 17 > - 5 y el conjunto de valores de x para los cuales es valida la desigualdad sigue siendo x > 12. Propiedad 2.- El sentido de la Desigualdad NO CAMBIA si se multiplica ó divide en ambos lados por una cantidad positiva. f ( x) g( x) Además, Dado b 0 (positivo) entonces: bf ( x) bg( x) f ( x) g( x) b b Ejemplo 3.- La desigualdad 2x+3 < 5 tiene como conjunto de valores que la cumplen a x < 1. Si b = 4 entonces 4 (2x + 3) < (4 ) ( 5 ) 8x + 12 < 20 tiene también como conjunto de valores ( conjunto solución ) que la cumplen a x < 1. ( lo mismo ocurre cuando dividimos por (4) a la desigualdad original).

11 Propiedad 4.- El sentido de la desigualdad se invierte cuando se multiplica ó divide en ambos lados por una Cantidad negativa. Si a < 0 & f ( x) g( x) entonces: a. f ( x) ag( x) f ( x) g( x) a a Ejemplo 4.- si tenemos la desigualdad: x 1 5 la cual se cumple para todo x > 6 entonces Si tomamos a = -3 tenemos: ( 3)( x 1) ( 3)(5) 3( x 1) x 15 la cual se cumple para todo x > 6. En este ejemplo observamos que el conjunto de valores de x no cambia con respecto a la desigualdad original. (lo mismo sucede si dividimos por ( -3 ) la desigualdad original. Propiedad 5.- Si se tiene una desigualdad de la forma f(x)g(x) > 0... (1) el conjunto solución debe satisfacer las siguientes condiciones: a.- f(x) > 0 & g(x) > 0 ó b.- f(x) < 0 & g(x) < 0 Denotaremos al conjunto solución de la desigualdad 1 por CS1 y al conjunto solución de la desigualdad 2 por CS2, entonces: Para el inciso ( a) debemos determinar los conjuntos soluciones CS1 & CS2 de f(x) > 0 & de g(x ) > 0 respectivamente, su intersección ( conector ( &) ) es el conjunto solución CS3 = CS1 CS2 de la parte (a), de la misma forma obtenemos el conjunto

12 solución CS4 & CS5 de la parte ( b ), su intersección CS6 es el conjunto solución de (b) f(x) < 0 & g(x) < 0. La unión del conjunto solución CS3 de ( a ) con el conjunto solución CS6 de ( b ) es el conjunto solución de la desigualdad original ( 1 ), f(x) g(x) > 0, es decir, CS = CS3 CS6. Este proceso se aplica también para la desigualdad f(x )g(x) < 0 (ó & ). Cuando una desigualdad es del tipo menor que < o Mayor que > el conjunto solución es un intervalo abierto o unión de intervalos abiertos y cuando la desigualdad es del tipo mayor o igual que o menor o igual que " el conjunto solución es cerrado o abierto por la derecha (izquierda) y cerrado por la derecha ( izquierda) o la unión de ellos. Propiedad 6.- Si se tiene una desigualdad del tipo f(x) / g(x) > a... (2) ( a un número real ) el conjunto solución debe satisfacer la siguiente condición: g ( x) 0 lo cual indica que : (a).- g(x) > 0 ó (b).- g(x) < 0 bajo estas condiciones obtenemos los conjuntos solución de las relaciones (a): g(x) > 0 & f(x) > a g(x) ó de (b): g(x) < 0 & f(x) < a g(x) en donde nuevamente, el conjunto solución de (a) es la intersección de los conjuntos solución de g(x) > 0 y f(x) > a g(x) conjuntos solución de y el conjunto solución de (b) es la intersección de los

13 g(x) < 0 y f(x) < a g(x), entonces el conjunto solución de la desigualdad ( 2 ) corresponde a la unión de estos 2 últimos conjuntos solución. Ejemplo 5.- Resuelve la desigualdad x ² x 6 0 para este tipo de ejemplos, expresamos al término cuadrático como el producto de sus factores ( o sus raíces): x ² x 6 ( x 3)( x 2) 0 y aplicamos el criterio dado en P5. a.- ( x 3) 0 & ( x 2) 0 ó b.- ( x 3) 0 & ( x 2) 0 Para el caso ( a ) determinamos los conjuntos solución de las desigualdades: x 3 0 & x 2 0 x 3 x 2 tienen como conjunto solución a los intervalos (3, ) ( 2, ) La intersección ( & ) de los intervalos da como resultado al conjunto solución de ( a ) ( 3, ) Para el caso ( b ) determinamos los conjuntos solución de las desigualdades: x 3 0 x 3 y x 2 0 x 2 (,3) tienen como o conjunto solución a los intervalos abiertos (, 2)

14 La intersección ( ) de los intervalos da como resultado al conjunto solución de (b) (, 2). Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad original es el intervalo formado por la unión ( ) ) de los intervalos obtenidos en (a ) y en (b):entonces el conjunto solución es: Conjunto solución = (, 2) (3, ) (, 2) solución de (x -3(x +2)<0 ( 3, ) solución de (x -3)(x +2)>0 y x (, 2) (3, ) conjunto solución de x ² x 6x 0 Ejemplo 6.- Resuelve la desigualdad 45x ² 46x (D6). Nuevamente expresamos al lado izquierdo de la desigualdad como el producto de sus factores, en este caso tenemos: ( x r1)( x r2) 0 en donde r1 & r2 son las raíces de la ecuación 45x ² 46x aplicando la fórmula r 1,2 b b² 4ac obtenemos r1 = 7/9 & r2 = - 9/5 2a por lo tanto la desigualdad (D6) la expresamos en la forma:

15 ( x 7 / 9)( x 9 / 5) 0 y aplicamos el criterio (P5): (a).- ( x 7 /9 ) < 0 & ( x 9/5) > 0 ó (b).- ( x 7/9) > 0 & ( x - 9/5) < 0 (a).- (, 7 ) 9 x & x 7 / 9 9 / x 7 / 9 x 9 / 5 tienen como conjunto solución los intervalos 9 (, ) 5 su intersección ( & ) da como resultado al conjunto solución ( 9 / 5,7 / 9) de (a). Para (b), 7 (, ) 9 x & x 7 / 9 9 / x 7 / 9 x 9 / 5 tienen como conjunto solución los intervalos (, 9 ) 5 La intersección de estos intervalos es el conjunto vacío La unión de los conjuntos solución de (a) y (b) es el intervalo ( - 9/5, 7/9). y x intersección

16 7 9 Intervalo (, ) Intervalo (, ) 9 5 Conjunto solución = ( - 9/5, 7/9 ) de la desigualdad: 45x ² 46x 63 0 Ejemplo 7.- Resuelve la desigualdad x 5x Para determinar al conjunto solución aplicamos las propiedades de las desigualdades a fin de obtener hasta donde sea posible la identificación de los valores que la satisfacen. Para este ejemplo primeramente aplicamos la propiedad de que la desigualdad no se altera si sumamos en ambos lados una misma cantidad, por lo tanto si sumamos 2 en cada lado tenemos: x 5 9 x por lo tanto x 5 13 x 3 2 Con el fin de no tener denominadores multiplicamos ambos lados de la desigualdad por 6 Obtenemos: 2x 15x 39

17 por ultimo, restamos 15x en ambos lados de la desigualdad y obtenemos 13x 39 ahora si dividimos por ( - 13 ) en ambos lados ( la desigualdad cambia de sentido): x por lo tanto el conjunto solución es x 3 intervalo ( 3, ). x, es decir el Conjunto solución ( - 3, ) de la desigualdad x 5x Ejemplo 8.- Resuelve la desigualdad: x 3 5 por definición de valor absoluto tenemos 5 ( x 3) 5 la cual es una desigualdad doble de donde tenemos: si restamos ( -3 ) en los tres lados de la desigualdad doble obtenemos:

18 5 3 x (3 3) x 2 por lo tanto en conjunto solución es: 8 x 2 que representa al intervalo abierto ( -8, 2 ). Otra forma de obtener el conjunto solución: Separamos la doble desigualdad en dos desigualdades y obtenemos los intervalos que definen cada una de ellas, teniendo en mente que la intersección de los intervalos obtenidos es el conjunto solución del problema original, tal y como se muestra a continuación: Separamos la doble desigualdad en las desigualdades x 3 5 & x 3 5 (,2) x 5 3 x 5 3 obtenemos x 2 x 8 tienen como solución a los intervalos ( 8, ) La intersección ( & ) de estos intervalos es ( - 8, 2 ) desigualdad: es el conjunto solución de la x 3 5 Conjunto solución (-8,2) ( 8, ) (,2)

19 Ejemplo 9.- Resuelve la desigualdad: x 2 6 Restamos 2 en cada lado de la desigualdad y obtenemos: x 4 que representa al intervalo [ 4, ) es el conjunto solución Ejemplo 10.- resuelve la desigualdad: 2x 7 2 Sumamos 7 en ambos lados de la desigualdad y obtenemos: 2x 9 dividimos por 2 en ambos lados de la desigualdad: 9 x que representa al intervalo [ 9/2, ) es el conjunto solución

20 Ejemplo 11.- Resuelve la desigualdad 6x 1 > 1 + 7x Sumamos 1 en ambos lados de la desigualdad: 6x > 2 + 7x Restamos 7x en ambos lados de la desigualdad: - x > 2 Multiplicamos por ( - 1 ) en ambos lados de la desigualdad ( la desigualdad se invierte). x < - 2 que representa la intervalo (, 2) es el conjunto solución Ejemplo 12.- Resuelve la desigualdad no lineal: 3 x esta desigualdad se cumple únicamente para valores de x positivos x > 0 define al intervalos ( 0, ) ahora bien, si multiplicamos en ambos lados de la desigualdad por x se obtiene: 3 3x si dividimos por 3 en ambos lados de la desigualdad obtenemos : tenemos 1 x por lo tanto x 1 que representa al intervalo (,1 ] entonces, el conjunto solución es la intersección (,1] (0, ) (0,1 ]

21 2 Ejemplo 13.- Resuelve la desigualdad cuadrática: x 4x 5 0 La desigualdad la podemos expresar como el producto de los factores ( x + 5) & (x 1 ) Por lo tanto se tiene: (x + 5 )(x 1) > 0 Para que este producto se cumpla es necesario que : a.- ( x + 5) > 0 entonces x > - 5 define al intervalo ( 5, ) y ( x- 1) > 0 entonces x > 1 define al intervalo ( 1, ) La intersección ( & ) define al intervalo ( 1, ) O bien b.- ( x + 5 ) < 0 entonces x < - 5 define al intervalo (, 5) y ( x 1 ) < 0 entonces x < 1 define al intervalo (,1 ) Nuevamente, la intersección ( & ) del los intervalos es (, 5) El conjunto solución es la Unión ( ó ) de los intervalos obtenidos en (a) & (b)., es decir Conjunto solución = (, 5) (1, ) Ejemplo 14.- Resuelve 2x 8 5. por definición de valor absoluto se tiene: 2x 8 = 5 y x = 13/2 o - ( 2x 8 ) = 5 se tiene - 2x + 8 = 5 entonces x = 3/2el conjunto solución está formado por los puntos: x = 3/2 & x = 13/2.

22 Ejemplo 15.- Resuelve 20 10x 5 Por definición de valor absoluto se tiene: x 5 restamos 20 en los tres elementos de la desigualdad: -25 > 10x > -15 dividimos por (- 10) en los tres elementos de la desigualdad: ( la desigualdad cambia de sentido). 25/10 < x < 15/10 simplificando: 5/2 < x < 3/2 el cual define a los intervalos x < 3/2 (,3/ 2) y x > 5/2 ( 5/ 2, ) el conjunto solución es la unión de los intervalos. (,3/ 2) (5/ 2, ) 3/ EJERCICIOS Determina el conjunto solución de cada una de las desigualdades, expresar su solución por medio de una desigualdad, de un intervalo y representarlo en la recta numérica.: 1.- x + 2 > x - 7 < x < x x x 1 2x x 3 1 7x x 2x 5 x x x x 2 4x x 7x 6 0

23 x 26x x 2 2x 5 1 Desigualdades de valor absoluto: x x x x x x x 1 3 7