Solución del Examen Extraordinario de Algebra y Matemática Discreta, Primer Curso, Facultad de Informática

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1 Solució del Exame Extraordiario de Algebra y Matemática Discreta, Primer Curso, Facultad de Iformática Putuació Máxima Posible: 20 putos Ejercicio Primero (Grafos, etc). a) ( puto) Defia Grafo cíclico K co vértices y aristas y escriba la matriz de adyacecia de ese tipo de grafos. Ayuda: Poga ejemplos co = 3, 4, 5 b) (2 putos) Se da el grafo cíclico K. Demuestre que es imposible umerar las aristas de á de maera que al adjudicar a cada vértice la suma de los úmeros de las aristas que cocurre e él sea costate. a) U grafo cíclico K es aquél que posee vértices y aristas, y e cada vértice cocurre sólo dos aristas. Para < 3 carece de setido hablar de grafos cíclicos. La image geométrica de K es u polígoo plao de lados. He aquí K 3, K 4 y K 5 : La matriz de adyacecia de u grafo idica qué vértices está coectados etre sí. El elemeto aij de dicha matriz vale si existe ua arista etre los vértices i, j, y 0 e caso cotrario. Por tato, los elemetos o ulos de la matriz de adyacecia de K será los a 2, a 23, a 34,, a, y a. Su aspecto es: b) Es imposible, pues si así fuera existiría aristas co el mismo úmero: E efecto, sea k el úmero adjudicado a la arista que ue los vértices i, j, y sea p y q los úmeros, respectivamete, de las otras dos aristas que cocurre e i y e j. Etoces tedría que ser k+ p= k+ q, de dode p = q, lo cual o puede ocurrir por existir sólo aristas, umeradas de á.

2 Ejercicio Segudo (Aritmética modular y sistemas). a) (2 putos) E este ejercicio trabajamos e 9. Se cosidera el sistema de ecuacioes lieales: 4x+ 5y = 8 2x+ 7y = 4 Tiee solucioes? Tiee solució úica? Carece de solucioes? b) ( puto) Explique e u máximo de 5 líeas cómo llegó a la coclusió del apartado a). Cotestamos primero el apartado b) b) Notamos que Z9 o es u cuerpo, pues 9 es u úmero compuesto. Los divisores de 0 e Z 9 so 3 y 6. Como o aparece etre los coeficietes del sistema, podemos itetar cualquier método de los habituales, teiedo e cueta la aritmética módulo 9. a) Usemos, por ejemplo, el teorema de Rouché-Fröbeius. El determiate de la matriz de coeficietes es ulo, y la matriz tiee característica. Por tato, o bie o hay solució o hay más de ua. Costruimos la matriz ampliada y vemos que todos sus posibles meores de orde 2, además del formado por la matriz de coeficietes, que so y , tiee determiate 0. Esto es, la matriz ampliada tiee tambié característica, luego hay más de ua solució (ojo: o podemos decir que haya ifiitas, pues el cuerpo umérico e que trabajamos es Z 9, que sólo tiee 9 elemetos). Por tato, hay 9 solucioes posibles. Para calcularlas, despejemos e ua ecuació la x, dejado la y como parámetro, y sustituyamos éste por los sucesivos valores de 0 á 8. Tedremos, usado la primera ecuació, que x = 7 (8+ 4 y), y la tabla resultate cotiee todas las solucioes: Ejercicio Tercero (Recurrecia). x y Se defie los úmeros de Lucas por la regla L = F + F+, dode los F k so los clásicos úmeros de Fiboacci que viee dados por la recurrecia siguiete: Fk+ 2 = Fk+ + Fk, F0 = 0, F =. a)(2 putos) Pruebe que los úmeros de Lucas tambié puede defiirse como L = 2F + F. b) ( puto) Calcule los cico primeros úmeros de Lucas. 2

3 a)la ley de recurrecia de los úmeros de Fiboacci os dice que F = F 2 + F 3 y F+ = F + F. Usado estas expresioes e la defiició de los úmeros de Lucas tedremos: L = F + F+ = ( F 2 + F 3) + F + F = F + F + F = F + 2F Notemos que como F0 = 0 y F =, el primer úmero de Lucas es L, o L 0. b) Para calcular los 5 primeros úmeros de Lucas ecesitamos calcular los 6 primeros de Fiboacci. Éstos so 0,,, 2, 3, 5, 8, luego los úmeros de Lucas será, 3, 4, 7,, NOTA: Observado los úmeros de Lucas se ve que satisface la misma ley de recurrecia que los úmeros de Fiboacci, cada uo igual a la suma de los dos ateriores, pero partiedo de la pareja iicial L = y L2 = 3. Ejercicio Cuarto (Fucioes). (3 putos, a por cuestió) La expresió siguiete represeta ua fució : f ( x) = e x a) Es iyectiva? b) Se sospecha que o es suprayectiva: Decida la cuestió. c) Usado la misma expresió y modificado el domiio de defiició y el espacio de llegada, ecuetre ua fució biyectiva. x a)la fució dada o es iyectiva, pues e es par y toma el mismo valor e x y e x. b) Tampoco es suprayectiva, porque x R, 0< e x. c) Ua posible forma es defiir la fució así: + R (0,] Gráfica de e x Ejercicio Quito (Combiatoria). Habitualmete las caras de los dados de juego está umeradas de á 6, de maera que la suma de los úmeros que se halla e caras opuestas es 7. Si embargo, e este exame las pregutas se refiere a dados que o cumple esa codició Se preguta, cuátos dados puede existir de modo que: a) (2 putos) Sólo u par de caras opuestas sume 7. b) ( puto) Co sólo dos pares de caras que sume 7. c) ( puto) Si igú par de caras opuestas que sume 7. 3

4 Este ejercicio admite varias iterpretacioes. Si embargo, e todas ellas la cuestió b) tiee siempre cotestació egativa: Si se ha fijado dos pares de caras opuestas co suma 7, el par restate tambié sumará 7. Queda, por tato, cotestar a las cuestioes a) y c). a) Supogamos que hemos fijado u par de caras (arriba y abajo) cuyos úmeros sume 7, lo cual podemos hacer de tres maeras: (,6), (2,5) y (3,4). No habrá más pares de caras que sume 7 si e las caras laterales del dado aparece cotiguos dos úmeros que sume 7. Por ejemplo, si elegimos el par (,6) para empezar, bastará co saber que 3 y 4 o se halla efretados e los laterales del dado. Esto puede ocurrir de cuatro maeras diferetes: Si la tabla siguiete represeta las caras laterales, seleccioemos las dos primeras posicioes para el 3 y el 4 (hay dos formas: 3-4 y 4-3), así que queda las otras dos para el 5 y el 2 (e las versioes 2-5 y 5-2). Por tato, hay cuatro formas de teer u dado co sólo u par de caras (,6) que suma 7. Como podemos cambiar (,6) por (2,5) y (3,4), aplicado la regla fudametal de la Combiatoria, hasta ahora habrá e total 2 tipos de dados co sólo u par de caras opuestas que sume 7. Además, dado que el par (,6) puede aparecer como -6 y 6-, tedremos e total 24 tipos de dados co sólo u par de caras opuestas que sume 7. c) Usemos el mismo argumeto que e el caso a). Elijamos ua cara, p. ej. la, y hagamos que su opuesta o sea su complemetaria a 7 (e el ejemplo, que o sea 6). Eso puede hacerse de 4 maeras diferetes. Para las cuatro caras laterales queda ua pareja que suma 7 y otra que o (e el ejemplo, si tomamos (,2) para empezar, so (3,4) y (5,6) respectivamete). Pero ya sabemos que hay cuatro modos de coseguir que la pareja que suma 7 o se halle efretada. Por tato, segú el pricipio fudametal de la combiatoria habrá 32 tipos de dados e los que o hay pares de caras opuestas que sume 7. NOTA : Si cosideramos que (3,4) es lo mismo que (4,3), etc., el ejercicio se reducirá a estudiar u dado coloreado co tres colores, correspodietes a los pares (,6), (2,5) y (3,4) y estudiar la distribució cromática. Por supuesto, es más fácil y sale úmeros diferetes. NOTA 2: Aú hay más iterpretacioes válidas para el ejercicio Ejercicio Sexto (Lógica y Demostracioes). El orde atural de los úmeros aturales N = { 0,, 2,3,... } es u orde bueo. a) ( puto) Dé la defiició exacta de orde bueo. b) U matemático se platea demostrar que etre 0 y o hay igú úmero atural (o sabemos para qué, pero bueo...). Comieza u demostració de la forma siguiete: Supogamos que hubiera algú úmero atural etre 0 y. Etoces puedo costruir ua familia de úmeros decrecietes F =..., 3, 2, etre 0 y { } b) ( puto) Qué tipo de demostració está itetado? b2) (2 putos) Cómo termiaría Ud. la demostració? Ayuda: Use la defiició que dio e a). 4

5 a) Partamos de u cojuto ordeado ( A, ) cuyo orde sea total, esto es, tal que dados dos elemetos cualesquiera a A, b A, sólo sea cierta ua de las dos relacioes a b, b a. U cojuto totalmete ordeado se dice que está bie ordeado, o que su orde es bueo, cuado cualquier subcojuto o vacío B A tiee u primer elemeto co respecto al orde de A. E leguaje formal: p B x B [( x p) ( p x)]. b) Se trata de ua demostració por reducció al absurdo. b2) Dado que las potecias de u úmero meor que so cada vez más pequeñas, 3 2 F =...,,, N si primer elemeto. habríamos ecotrado u subcojuto { } Pero N está bie ordeado, luego ahí está la cotradicció. * * * 5

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