Campo Estacionario. Campos Estacionarios

Transcripción

1 Electicidad y Magnetismo Campo Estacionaio Campo Estacionaio EyM 4- Campos Estacionaios Se denomina situación estacionaia a aquella en la que no hay vaiación con el tiempo. Existen sin embago movimientos de caga fomando coientes denominadas estacionaias poque no vaían con el tiempo. Las ecuaciones de Maxwell en situación estacionaia son: E B ( ) (, t) E, t t H D ( ) ( ) (, t) D ρ H, t J, t t B D ρ D E B B µ H t D E J J E B µ H J ( ) ( ) J ( ) EyM 4-7//9 EyM 4-

2 Electicidad y Magnetismo Campo Estacionaio Campos Estacionaios El campo eléctico estacionaio poduce coientes estacionaias y éstas genean campo magnético estacionaio. Peo ambos campos se estudian de foma independiente. E( ) D ρ D E J E J H B B µ H ( ) J ( ) Pimeo hay que detemina E A pati de E se detemina J A pati de J se obtienen H y B EyM 4-3 Campo Eléctico Estacionaio El conjunto de ecuaciones que gobienan el campo eléctico estacionaio son: E( ) que son idénticas a las de electostática. Po tanto puede definise un potencial escala estacionaio D ρ del que se obtiene el campo: D E E 6 cu 58 S φ 5 S Peo en el inteio de los conductoes J y po tanto E y estos ya no son equipotenciales (salvo si, conductoes pefectos o supeconductoes). Teniendo en cuenta la ley de Ohm se equiee de un campo eléctico paa poduci una coiente estacionaia: J E El campo eléctico estático poducido po distibuciones de caga no es capaz de mantene una coiente estacionaia. En efecto, consideando que las amaduas de un condensado cagado se conectasen con un conducto, apaeceía una coiente de electones libes que se moveían desde la amadua negativa a la positiva. Peo la caga de ambas amaduas dececeía pogesivamente, en consecuencia el campo y también la coiente, que desapaeceía al descagase el condensado. EyM 4-4 gafito 7//9 EyM 4-

3 Electicidad y Magnetismo Campo Estacionaio Coiente Estacionaia Las coientes estacionaias son solenoidales y po tanto las cagas se mueven descibiendo un cicuito ceado. Peo el campo electostático es consevativo y no cede enegía en un cicuito ceado. Sin embago las cagas en movimiento chocan con la ed iónica del medio conducto cediéndole enegía (efecto Joule) que debe poveni del campo. Así pues un campo electostático no es capaz de mantene una coiente estacionaia. Po tanto paa mantene una coiente estacionaia se equiee un campo no consevativo o sea no electostático. Paa poduci coientes estacionaias se usan geneadoes, dispositivos que apotan la enegía que se piede po efecto Joule. La acción de estos geneadoes se pone de manifiesto a tavés de un campo equivalente E no consevativo existente únicamente en el inteio de los geneadoes. En geneal se poduciá también un campo electostático E debido a la pesencia de distibuciones de caga. El campo total seá su suma. E E EyM 4-5 E t Geneadoes Un ejemplo de geneado capaz de mantene la coiente estacionaia ente dos amaduas es el de la figua. J E Las amaduas del condensado están conectadas mediante unos flejes metálicos a una cinta tanspotadoa dieléctica que se mueve con un moto o mediante una manivela. Las cagas positivas tanspotadas po la coiente a tavés del conducto son conducidas a la cinta y tanspotadas de nuevo a la amadua positiva po aquella. La esistencia que opone el campo a la incopoación de estas cagas en la amadua positiva es vencida po la fueza del moto o de la manivela que mueve la cinta. EyM 4-6 7//9 EyM 4-3

4 Electicidad y Magnetismo Campo Estacionaio Fueza Electo Motiz La ciculación a lo lago de una línea de coiente del campo seá E dl E E dl E dl E dl ( ) fem t geneado La densidad de coiente seá J E ( E E) Donde se denomina fueza electomotiz del geneado y es el tabajo apotado po el mismo paa move la unidad de caga ente sus bones. La ciculación del campo total sobe una línea ceada ya no es ceo y po tanto el campo total no es consevativo. Cuando el geneado esta en cicuito abieto no hay coiente y po tanto en su inteio: J E E - E E fem E dl E dl φ dl φ φ Y po tanto la fueza electomotiz de un geneado es la difeencia de potencial ente sus bones en cicuito abieto. EyM 4-7 t Condiciones de Continuidad Cuando se pesenta un cambio abupto de conductividad ente dos medios las condiciones de salto son las siguientes: J n ( J J) n ( E E ) n E E φ ( ) φ ρs n ( ) E E n E Po tanto en geneal hay una densidad supeficial de caga. En el caso de la supeficie ente un conducto pefecto () y un conducto (): E φ cte φ ; J S T ; ρs n E S En el caso de la supeficie ente un conducto () y un dieléctico (), ( ): φ J n J n E n EyM 4-8 7//9 EyM 4-4

5 Electicidad y Magnetismo Campo Estacionaio Resistencia Integando a lo lago de una línea de coiente se había encontado que: J dl fem E dl φ φ Admitiendo que la densidad de coiente se distibuyese unifomemente en la sección tansvesal del cicuito y que J dl esulta: I J dl dl J dl J dl dl φ φ S I IR S Es deci que la fueza electomotiz del geneado y la coiente están elacionadas mediante un paámeto esencialmente geomético, y dependiente de la conductividad del medio, que se denomina Resistencia. En geneal, dado un volumen conducto V conectado a un cicuito a tavés de dos electodos V φ φ E dl C conductoes pefectos S y S, la esistencia seá: R I I E ds V S E V S C S t t Siendo S t una sección tansvesal y C un tayecto ente S y S. Se necesita E paa calcula R S t EyM 4-9 Campo Eléctico Estacionaio Paa detemina la distibución de coientes estacionaias basta con detemina la distibución del campo eléctico estacionaio. Supóngase en pime luga una egión V de conducto homogéneo con conductividad limitado po la supeficie S lat S S, donde las supeficies S y S son equipotenciales (fomadas po conductoes pefectos). S En el conducto, bajo condiciones de lat campo estacionaio, no hay densidades voluméticas de caga. En efecto: S E V } S D E J V S t Po tanto el potencial debeá satisface la ecuación de Laplace: φ Las c-c sobe S y S seán: φ,, φ V Sobe S lat hay que considea que todas las líneas de n coiente deben esta contenidas en V. Po tanto: J φ V S lat J n E n φ n Slat Slat Slat EyM n S 4- ρ S S lat 7//9 EyM 4-5

6 Electicidad y Magnetismo Campo Estacionaio Conducto Cilíndico S V Sea un conducto cilíndico de sección tansvesal x L constante y áea S, de longitud L y con conductividad. Las supeficies z y zl están a potenciales V y espectivamente. La c-c sobe la z supeficie lateal se cumple si φ φ φ y x y n S lat Po tanto el potencial seá solución de: φ φ φ φ φ x y z z φ Az B Aplicando c-c se obtiene: V V φ ( L z) E zˆ L L La coiente total que ataviesa cualquie sección tansvesal seá: V I J ds E zds S S t ˆ S t L Y la esistencia: V V L R I ( V L) S S EyM 4- Resistencia de una Espia Sea una espia semicicula de adio inteio R y sección tansvesal ectangula de dimensiones axb como se indica en la figua. Si el potencial es constante en ϕ y en ϕ π la condición sobe la supeficie lateal se cumple si: φ φ φ z ρ z n S lat Po tanto el potencial seá solución de: b φ x φ φ A ϕ B R a ρ ϕ Y aplicando el esto de c-c: φ V, φ ( ) ϕ ϕ π se obtiene: φ V π ϕ π φ V El campo eléctico estacionaio es: E φ ˆ ϕ ˆ ϕ ρ ϕ π ρ V ˆ ϕ ˆ ϕdρdz π ρ V R a bln πr R ab EyM 4- R a b La coiente total: I E ds ( ) La esistencia: V R I S t π b ln R z π R a R ln a R a R L 7//9 EyM 4-6

7 Electicidad y Magnetismo Campo Estacionaio Dualidad Resistencia-Capacidad Sean dos electodos a potenciales y V como se indica en la figua. Considéense dos situaciones, en la pimea de las cuales el medio es un dieléctico de pemitividad y en la segunda es un medio conducto con conductividad. Consideando que la supeficie S envuelve totalmente al conducto, la expesión de la capacidad en la pimea situación es:, V Q ρsds D ds E ds S S S S C V V V V La expesión de la esistencia en la segunda situación: V V V R I J ds E ds Multiplicando ambas expesiones se obtiene: RC Esta analogía ente capacidad y esistencia pemite métodos indiectos de medida de capacidades a pati de medidas (más simples) de esistencias. EyM 4-3 S S Poblema 4- Dos medios homogéneos e isótopos caacteizados po las constantes, y, están sepaados po una supeficie S. Una coiente estacionaia ataviesa S de un medio al oto. Si los ángulos que foma una línea de coiente con la nomal en el punto de tansición son ϕ y ϕ poba que cot ϕ cot ϕ y calcula la densidad de caga que apaece en S. J T J J ϕ n J N J N ϕ J T,, J n J T J T n ( E E ) ρs n ( ) E E n E ( J J) J N J N Y dividiendo ambas expesiones: J J N N cot gϕ cot J T J T Po ota pate la densidad supeficial de caga seá: gϕ EyM 4-4 7//9 EyM 4-7

8 Electicidad y Magnetismo Campo Estacionaio Poblema 4- Una cuba electolítica cilíndica de adio inteio a y de adio exteio b se llena de un electolito hasta una altua h, y se aplica a los electodos una difeencia de potencial de V voltios, midiéndose una coiente de I ampeios. Calcula la conductividad del electolito. Obtene su valo paa los siguientes datos: a 6 cm, b cm, h cm, V V, I 7 ma. Debe deteminase la esistencia. El campo en el electolito es como el del condensado cilíndico sin efecto de bodes o del cable b a coaxial: I φ φ A ln ρ B φ ρ V φ A V ˆ ρ E ρ ρ ρ ˆ ρ ˆ ρ ρ ρ b ρ ln πhv a I b I πahe a ln b πhv a ln 3 a 7 3 ln.93 siemens π 6 ( ) EyM 4-5 Poblema 4-3 La figua muesta un sistema de conductoes semiesféicos po el que cicula una coiente I. El conducto inteio <<a, y el exteio c<<d son conductoes pefectos ( ) y están conectados a tavés de dos conductoes eales cuyas caacteísticas son: el pimeo (medio ), a<<b,,, el segundo (medio ), b<<c,,. Calcula: a) la densidad de coiente volumética en los conductoes eales. b) El campo eléctico en todos los conductoes. c) El potencial eléctico en todos los conductoes. d) La densidad de caga en la intefase ente los conductoes eales. e) La esistencia de cada uno de los conductoes eales y la total del sistema. I a b c d a) Po simetía la coiente seá adial y solo vaiaa con. Po tanto J J ( ) ˆ 4π I ˆ J ds J J π () () () b) El campo eléctico es: J ˆ J I ˆ E,, E π π EyM 4-6 7//9 EyM 4-8

9 Electicidad y Magnetismo Campo Estacionaio Poblema 4-3 c) El potencial seá ceo en el conducto pefecto exteio y constante en el inteio. d En el medio seá: φ E d C π π Como el potencial debe se ceo en c: I I C C π c π c Po tanto: φ π c En el medio seá: φ E d C π y el potencial seá continuo en b φ( b ) φ ( b) C π b c π b y po tanto: φ π b π b c d) La densidad supeficial de caga en el intefaz es: I ( ) ρ ˆ ˆ s n E E π b e) Dado que se conoce la coiente y la difeencia de potencial (como φ ) seán: φ( b) c b b a b a c b R R R R R π bc π ab π ab π bc EyM 4-7 Ejecicio R h R Debe deteminase la esistencia. El campo en el disco es como el del condensado cilíndico sin efecto de bodes o del cable coaxial: φ φ ρ φ A ln ρ B φ A V ˆ ρ E ρ ρ ρ ˆ ρ ˆ ρ ρ ρ R ρ ln R πhv V R I πr he( R ) R ln R I πh ln R R EyM 4-9 7//9 EyM 4-9

10 Electicidad y Magnetismo Campo Estacionaio Ejecicio EyM 4- Ejecicio EyM 4-7//9 EyM 4-

11 Electicidad y Magnetismo Campo Estacionaio Ejecicio EyM 4-7//9 EyM 4-