en su construcción sea mínima. Sol: r = 3, h =
|
|
- Carmelo Farías Herrero
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 RELACIÓN DE PROBLEMAS ) Encontrar los etremos absolutos de y 6+ definida en [0, ]. Sol. Má en 0 y ; mín -/ en,5. ) Hallar dos números positivos cuya suma sea 0, sabiendo que su producto es máimo. Sol.: 0 y 0 ) Hallar dos números positivos cuya suma sea 8, sabiendo que el producto de uno por el cuadrado del otro ha de ser máimo. Sol.: y 6 ) Hallar dos números positivos cuya suma sea y tales que el producto de uno por el cubo del otro sea máimo. Sol.: 8 y 6 5) Cuál es el número positivo que sumado con 5 veces su inverso da un valor mínimo? Sol.: 5 6) Encontrar un número tan que al restarle su cuadrado la diferencia sea máima.sol: 0,5 7) Un pastor quiere vallar un campo rectangular de.600 m de superficie. Calcular las dimensiones para que el coste sea mínimo. Sol.: 60m 60m 8) Una persona desea construir una cerca rectangular aprovechando una pared ya eistente. Para ello dispone de.000 m de tela metálica. Cuáles deben ser las dimensiones para que el terreno vallado sea lo mayor posible? Sol.: ) Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta 800 ptas/m y la de los otros 00 ptas/m, hallar el área del mayor campo que puede cercarse con pesetas. Sol.: 5.00 m 0) Qué medidas tiene el triángulo rectángulo de área máima de entre todos los que tienen 0 cm de hipotenusa? Sol: ) De todos los triángulos isósceles de cm de perímetro, hallar las dimensiones de los lados del que tenga área máima. Sol.:, y cm ) Dividir un segmento de 60 centímetros en dos partes, con la condición de que la suma de las áreas de los triángulos equiláteros construidos sobre ellas sea mínima. Sol: 0+0 ) Una hoja de papel debe contener 8 cm² de teto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener dos centímetros cada uno y los laterales, un centímetro. Calcular las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo. Sol: 05 ) Los barriles que se utilizan para almacenar petróleo tienen forma cilíndrica y una capacidad de 60 litros. Hallar las dimensiones del cilindro para que la chapa empleada en su construcción sea mínima. Sol: r, h 80 0 π 00π 5) Hallar los puntos de la curva y cuya distancia al punto (,0) es mínima. Sol: (, 8 ) y (, 8 ) 6) La función f() +p +q tiene un valor mínimo relativo igual a en. Hallar p y q. Sol.: p, q7 7) Hallar a, b, c y d para que la función f()a +b +c+d tenga un máimo en el punto M(0,) y un mínimo en M (,0) Sol.: a, b, c0, d 8) Hallar el valor de a, b, c y d para que la función f()a +b +c+d tenga un punto de infleión en P(,6) con tangente en él paralela a la recta 8+y+00, y tome, además, el valor para 0. Sol.: a, b6, c, d 9) Hallar a, b, c y d en la función f()a +b +c+d para que dicha función pase por el punto P(,) y tenga un punto de infleión con tangente horizontal en Q(0, ). Sol.: a, b0, c0, d I.E.S. V CENTENARIO. Prof.: R. Mohigefer Página
2 0) Representar gráficamente las siguientes funciones, de las que se da la solución: y + y + y ( ) y + y + y y y y 8 y yln yln( +) yln( 5+6) y 0, ln, 0 0, y ln 0, 0 0 ye y e ye ln I.E.S. V CENTENARIO. Prof.: R. Mohigefer Página
3 Dibujar la gráfica de: y + sen. Dominio. Dom(f) R. Par/Impar. f ( ) + sen ( ) sen f ( ) IMPAR (en la figura se señalan sen y sen(-)) - f ( ) + sen + sen ( + π ). Periodicidad. / k/ f()f(+k) No es f ( + k) + k + sen ( + k) periódica. Intersecciones con los ejes. OX: y 0 + sen 0 sen 0 (es el único corte entre las gráficas de y y de y sen, como se ve en la ilustración adjunta) Corta en (0,0) OY: 0 y 0 (0,0) 5. Asíntotas. AH: lím( + sen ), porque, si bien / lím sen (esta función oscila indefinidamente entre y +, por mucho que se aleje de 0), para valores muy grandes o muy negativos de, resulta que + sen, ya que sen lo máimo que puede valer es, y lo mínimo,, con lo que el error que se comete al aproimar + sen por cuando es despreciable. AV: No tiene, porque Dom(f) R (las asíntotas verticales están en puntos donde eiste discontinuidad asintótica, y esta función es continua en todo R). + sen AO: m lím, Aunque / lím sen, un teorema dice que el límite de una función que tiende a 0 por otra función que esté acotada, vale 0. Y sen es una función acotada entre los valores y +. Entonces: + sen sen m lím lím + lím + sen +0, puesto que / tiende a 0 y sen está acotada, como se ha dicho. n lim f ( ) m lim + sen lim sen, que no eiste No tiene ( ) ( ) asíntota oblicua. 6. Monotonía / Etremos relativos. Como f '( ) + cos, dividimos en intervalos Dom(f) mediante: a) Puntos de discontinuidad de f : No tiene b) Puntos críticos: + cos 0 cos π + πk, k Ζ π ( π, π ) π ( π, π) π (π, π) π f f???? No tiene etremos relativos, pero, como la derivada vale 0 en ellos, la tangente es horizontal en los puntos de la forma π + πk, k Ζ : ( π, π ), ( π, π ), (π, π), (π, π), (las imágenes de estos valores de se han calculado en la fórmula de la función: y + sen ). 7. Curvatura / Puntos de Infleión. f "() sen. Dividimos en intervalos Dom(f) mediante: a) Discontinuidades de f ', f ": No hay I.E.S. V CENTENARIO. Prof.: R. Mohigefer Página
4 b) Puntos que anulan f ": kπ, k Ζ π ( π, π ) π ( π, 0) 0 (0, π) π f f P.I. P.I. P.I. P.I. Todos los puntos de la forma (kπ, kπ) son puntos de infleión (como antes, las imágenes se han calculado en la fórmula de la función y + sen ). 8. Gráfica. EJEMPLOS DE EXÁMENES MATEMÁTICAS º BACH. C. N. Y S. 8 de Abril de 00 Análisis ) Hallar el dominio de y + ( puntos) ) Decir si la siguiente función es par, impar o ninguna de las dos cosas: y ( punto) ) Estudiar la continuidad de la función y 0 + ( puntos) 5 ) Calcular: lím ; lím + ( + puntos) MATEMÁTICAS º BACH. C. N. Y S. 8 de Mayo de 00 Análisis ) Estudiar la continuidad de f(), dando el valor de a para que sea continua en 0 y, si < 0 clasificando las discontinuidades: f ( ) + ( puntos) + a, si 0 ) Hallar los etremos absolutos de y + en [0, ] ( punto) ) Dar las ecuaciones de las rectas tangentes a f() paralelas a y ( punto) + ) Estudiar y dibujar la gráfica de y, comprobando previamente que sus Derivadas: punto + 5 Dominio, Par/Impar, Int. Ejes: 0,5 puntos derivadas son: y ' ; y " Asíntotas: punto ( ) ( ) Monotonía/Etr.relativos: punto Curvatura/P.Infleión: punto Gráfica (tras estudio anterior):,5 puntos I.E.S. V CENTENARIO. Prof.: R. Mohigefer Página
5 EXAMEN RESUELTO MATEMÁTICAS º BACH. C. N. Y S. 0 de Mayo de 00 Análisis ) Estudiar la continuidad de f(), dando el valor de a para que sea continua en y, si < clasificando las discontinuidades: f ( ) ( punto) + a, si ) Dar la ecuación de la recta tangente a f() paralela a y ( punto) + ) Calcular lim ) Derivar: y ln ( ) ( punto) ( punto) + 5) Estudiar y dibujar la gráfica de y, comprobando previamente que sus Derivadas: punto 6 Dominio, Par/Impar, Int. Ejes: 0,5 puntos derivadas son: y ' ; y " Asíntotas: punto ( ) Monotonía/Etr.relativos: punto SOLUCIONES ) Todas las funciones habituales, es decir, las algebraicas, que son las polinómicas, racionales (cociente de polinomios) y las irracionales (raíces de polinomios), y las transcendentes, que son las eponenciales (base constante y eponente variable), logarítmicas y trigonométricas, son continuas en su dominio. También, la suma, resta, producto, cociente y combinaciones (composiciones) de funciones continuas son, a su vez, continuas en el dominio resultante. Las funciones definidas a trozos, como la del enunciado, no figura entre las que hemos enumerado. Este tipo de funciones se define, normalmente, utilizando funciones habituales, con las que coincide en diferentes intervalos. El estudio de continuidad se hace estudiando la función con la que se define en cada intervalo, ecluyendo de dichos intervalos los puntos que separan uno de otro, que se estudian por separado. Según esto, el estudio de la continuidad de la función que nos dan es como sigue: Zona (, ): Aquí, nuestra función f coincide con y que, al ser racional, es continua en su dominio, es decir, en R { }. O sea, que en cualquier valor de es continua, salvo en. Pero (, ), es decir, que cuando f no tiene nada que ver con y, por lo que f es continua en todos los puntos de (, ). Zona (, + ): (Observar que ha sido ecluido de la zona, y se estudiará aparte). Aquí, f coincide con y + a, que, al ser polinómica, es continua en su dominio, que es R, independientemente de lo que valga a. De modo que es continua en (, + ), que es sólo una parte de R. : Las tres condiciones que una función f debe cumplir para ser continua en a son: ) Que eista f(a); ) Que eista lim f ( ) ; ) Que ambos valores coincidan. Comprobémoslas para. En primer lugar, f() + a, ya que cuando, f() + a. Luego la primera condición se cumple, independientemente de lo que valga a. I.E.S. V CENTENARIO. Prof.: R. Mohigefer Página 5 a Curvatura/P.Infleión: punto Gráfica (tras estudio anterior):,5 puntos
6 En segundo lugar, para estudiar lim f ( ) hemos de separar el análisis de dicho límite por la derecha y por la izquierda, ya que según por donde esté, a la derecha o a la izquierda de, la definición de f es distinta. De modo que: lim f ( ) lim ; lim f ( ) lim( + a) + a + + El límite completo eiste si, y sólo si los dos límites laterales eisten y coinciden. Luego para que eista lim f ( ) debe cumplirse que +a a 0. Entonces, si a 0, lim f ( ). Y como f() +a +0 coincide con dicho resultado, se cumplirá también la tercera condición de continuidad, con lo que f será continua en. En resumen, si a 0, f es continua en las tres zonas, es decir, en todo R. ) Buscamos una recta tangente a f() paralela a y, es decir, con pendiente. La pendiente de la recta tangente a f() en a vale, según la interpretación geométrica de la derivada, f '(a). Para saber el punto de tangencia (a, f(a)), buscamos a/ f '( a). Como f '(), lo anterior es: a a a. Como f(), el punto de tangencia es (, ). Conocido un punto de la recta tangente y su pendiente, usando la forma punto-pendiente, la ecuación de la tangente es: y ( ) y 6 + y. ) Si en tanto, + lim + + lim sustituimos por, obtenemos la indeterminación. Por ( ) + lim + + e e e + (+ ) e e e ( )( ) lim + 0 e ) Como y ln ( ) ln( ) ln ln( ) ln( ), derivando: y ' ( )( ) ( )( ) 5) Para dibujar la gráfica de y y' ( 6)( ) ( y 6, comenzaremos hallando sus derivadas. ( [ ( ) ] ) ) I.E.S. V CENTENARIO. Prof.: R. Mohigefer Página 6 [( 6)( ) ( )] 6
7 a) Dominio. R {}, ya que anula el denominador. ( ) b) Par/Impar. f( ) Ni par ni impar. ( ) [( )( + ) ] ( + ) c) Intersecciones con los ejes. OX: y , que es válido porque no anula al denominador (0, 0). OY: 0 y 0 (0,0) d) Asíntotas. Asíntotas Horizontales: lim No tiene. Asíntotas Verticales: Como sólo las hay en puntos de discontinuidad asintótica, y el único punto de discontinuidad es (ver dominio), éste es el único que hay que investigar: lim La recta de ec. es asíntota vertical. f ( ) Asíntotas Oblicuas: m lim lim lim lim ( ) ( ) n lim ( f ( ) m) lim ( ) lim ( + ) + lim lim lim + Por tanto, y + es asíntota oblicua. e) Monotonía / Etremos relativos. Dividimos en intervalos Dom(f) R {} por: a) Puntos de discontinuidad de f ': b) Puntos críticos: f '() ( )0 0 0 (, 0) 0 (0, ) (, ) (, + ) 0 f / 0 + Como f() 7/, las coordenadas del mínimo rela- f? / mín tivo son (, 7/) f) Curvatura / Puntos de Infleión. Dividimos en intervalos Dom(f) R {} por: a) Puntos de disc. de f ': b) Puntos de disc. de f ": (, 0) 0 (0, ) (, + ) c) Ptos que anulan f ": 6 0 f 0 + / + 0 f P.I. / Las coordenadas del punto de infleión son (0, 0). g) Gráfica. I.E.S. V CENTENARIO. Prof.: R. Mohigefer Página 7
IES Fernando de Herrera Curso 2017 / 18 Tercer trimestre Observación evaluable escrita nº 1 1º Bach C-T NOMBRE:
IES Fernando de Herrera Curso 017 / 18 Tercer trimestre Observación evaluable escrita nº 1 1º Bach C-T NOMBRE: Instrucciones: 1) Todos los folios deben tener el nombre y estar numerados en la parte superior.
Más detallesIES Fernando de Herrera Curso 2015 / 16 Tercer trimestre - Prueba de observación continua nº 1 1º Bach CT NOMBRE:
IES Fernando de Herrera Curso 0 / 6 Tercer trimestre - Prueba de observación continua nº º Bach CT NOMBRE: Instrucciones: ) Todos los folios deben tener el nombre y estar numerados en la parte superior.
Más detallesMatemáticas Problemas resueltos de gráficas de funciones (1) PROBLEMAS RESUELTOS DE GRÁFICAS DE FUNCIONES (1)
PROBLEMAS RESUELTOS DE GRÁFICAS DE FUNCIONES (1) 1) Halle los intervalos de monotonía y los etremos relativos, los intervalos de curvatura y los puntos de infleión de la función g() + +. Represéntela gráficamente.
Más detallesMatemáticas Problemas resueltos de gráficas de funciones (2)
Matemáticas Problemas resueltos de gráficas de funciones () PROBLEMAS RESUELTOS DE GRÁFICAS DE FUNCIONES () 1) Estudiar y dibujar la gráfica de: y + 1) Dominio: R (es polinómica). ) Par / Impar: f( ) (
Más detallesTema 4: Representación de Funciones
Tema 4: Representación de Funciones.- Dominio y recorrido: Dominio: Valores de para los que está definida (eiste) f () Recorrido: Valores que toma f () Funciones Polinómicas, son de la forma f ( ) ao a...
Más detallesMatemáticas II Hoja 9: Derivadas y Aplicaciones. Representación de Funciones.
Profesor: Miguel Ángel Baeza Alba (º Bachillerato) Matemáticas II Hoja 9: Derivadas y Aplicaciones Representación de Funciones Ejercicio 1: (Continuación del Ejercicio 1 de la Hoja 8) + 1 a 1 e < 0 0 Para
Más detallesIES Fernando de Herrera Curso 2012 / 13 Primer examen Segundo trimestre 2º Bach CCSS Enero de 2013 NOMBRE:
IES Fernando de Herrera Curso 01 / 1 Primer eamen Segundo trimestre º Bach CCSS Enero de 01 NOMBRE: 1) Sea la función f : R R definida mediante: ( puntos) e si 0 f() 1 si 0 a) Estudiar la continuidad y
Más detalles2. [2014] [EXT-B] De entre todos los números reales positivos, determina el que sumado con su inverso da suma mínima.
cos() - e + a. [04] [ET-A] Sabiendo que lim 0 sen() es finito, calcula a y el valor del límte.. [04] [ET-B] De entre todos los números reales positivos, determina el que sumado con su inverso da suma mínima..
Más detallesProblemas Tema 9 Solución a problemas de derivadas - Hoja 8 - Todos resueltos
página 1/10 Problemas Tema 9 Solución a problemas de derivadas - Hoja 8 - Todos resueltos Hoja 8. Problema 1 a) Deriva f ()=arcosen( 1 2 ) 1 f ' ( )= 2 1 ( 1 2 ) 2 2 1 = 1 2 1 2 b) Determina el punto (,
Más detallesEJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II CURSO
EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II CURSO 7-8 Ejercicio º.- Se considera la función f : R R dada por: f ( ) ( ) e a) (,5 puntos) Calcula las asíntotas de f. b) (,5 puntos) Calcula la
Más detallesEstudio y gráficas de funciones
PROBLEMAS RESUELTOS DE SELECTIVIDAD DE ESTUDIO Y GRÁFICAS DE FUNCIONES ) Sea f: R R la función definida por f() ( ) e. a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. A.H. Hay que calcular ( ) e. Pero como
Más detallesAPLICACIONES DE LA DERIVADA
APLICACIONES DE LA DERIVADA Crecimiento y decrecimiento. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto: Una función f() es creciente en un punto
Más detallesx 2 a) Calcula el valor de k. b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x = 1.
. [0] [SEP-B] Sea la función f definida por f() = e- para. - a) Estudia las asíntotas de la gráfica de f. b) Halla los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos
Más detallesAPLICACIONES DE LA DERIVADA. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente
APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Crecimiento y decrecimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente
Más detallesIES Fernando de Herrera Curso 2013 / 14 Primer examen Segundo trimestre 2º Bach CCSS 30 de enero de 2013 NOMBRE:
IES Fernando de Herrera Curso 01 / 14 Primer eamen Segundo trimestre º Bach CCSS 0 de enero de 01 NOMBRE: 1) Calcule las derivadas de las siguientes funciones: ( puntos) 5 1 f() ; g() ( + ) ln(1 + ) )
Más detallesAlonso Fernández Galián
Alonso Fernández Galián TEMA 3: ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Para representar gráficamente una función deben estudiarse los siguientes aspectos: i) Dominio. ii) Puntos de corte con los ejes de
Más detalles1) La función no está definida para x = 0 ya que anula el denominador de su exponente, por tanto, D = R- {0}.
6. Estudiar y representar gráficamente las siguientes funciones: a) ( ) f e b) Solución f( ) + 3 + c) f( ) ln + a) Para estudiar la función e se realizan los siguientes pasos: f( ) ) La función no está
Más detallesEJERCICIOS de REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
EJERCICIOS de REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES º BACH. INTERVALOS DE CRECIMIENTO. M Y m:. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los M y m de las siguientes funciones. Aplicar para ello, alternativamente,
Más detallesTema: Aplicaciones de derivadas. Sean x e y las dimensiones del rectángulo. Área del rectángulo: A = x y. 36 x. Luego, el área es A(x) =
JUNIO 0 GENERAL. Halle el rectángulo de mayor área inscrito en una circunferencia de radio. Sean e y las dimensiones del rectángulo. Área del rectángulo: A y El triángulo ABC es rectángulo, sus lados miden,
Más detallesAPLICACIONES DE LA DERIVADA CCSS
APLICACIONES DE LA DERIVADA CCSS Crecimiento y decrecimiento. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto: Una función f() es creciente en
Más detallesSegundo trimestre 1º Bach CCSS 10 de febrero de 2014 Primer examen 2ª evaluación NOMBRE: x 6x
Segundo trimestre º Bach CCSS 0 de febrero de 04 Primer eamen ª evaluación NOMBRE: ) Resolver: 3 3 8 ( 3) ) Resolver el sistema siguiente: 3 6 0 0 3) Hallar el dominio de y = 4) Decir si es par, impar
Más detallesen el intervalo - 1-cos(x) 2 si x > 0 sen(x)
. [04] [ET-A] Sea la función f() = e -. Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, etremos relativos, intervalos de concavidad y conveidad, puntos de infleión y asíntotas. Esbozar su gráfica..
Más detallesIES Fernando de Herrera Curso 2016 / 17 Primer trimestre Observación evaluable escrita nº 1 2º Bach CT NOMBRE:
IES Fernando de Herrera Curso 016 / 17 Primer trimestre Observación evaluable escrita nº 1 º Bach CT NOMBRE: Instrucciones: 1) Todos los folios deben tener el nombre y estar numerados en la parte superior.
Más detallesRELACIÓN EJERCICIOS ANÁLISIS SELECTIVIDAD MATEMÁTICAS II
1.- Sea f : R R la función definida como f() = e X.( ). (a) [1 punto] Calcula la asíntotas de f. (b) [1 punto] Halla los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos
Más detallesProblemas Tema 1 Solución a problemas de Repaso de Matemáticas I - Hoja 26 - Todos resueltos
página 1/12 Problemas Tema 1 Solución a problemas de Repaso de Matemáticas I - Hoja 26 - Todos resueltos Hoja 26. Problema 1 1. a) Calcula el número real m que cumple lim 0 ln(1+m ) sen(2 ) =. b) Obtener
Más detallesa) Calcular las asíntotas, el máximo y el mínimo absolutos de f (x). 4. (SEP 04) Sabiendo que una función f (x) tiene como derivada
Matemáticas II - Curso - EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE ACCESO COMUNIDAD DE MADRID (JUN ) Calcular la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8
Más detallesIES Fernando de Herrera Curso 2014 / 15 Primer trimestre - Primer examen 2º Bach CT NOMBRE:
IES Fernando de Herrera Curso / 5 Primer trimestre - Primer eamen º Bach CT NOMBRE: ) Sea la función f : R R definida por f() e ( + ) a) Calcular dominio, cortes con los ejes y asíntotas ( punto) b) Estudiar
Más detallesREPRESENTACIÓN DE CURVAS
ºBachillerato REPRESENTACIÓN DE CURVAS Esquema Para representar gráficamente una función se debe estudiar:. Dominio. Puntos de corte con los ejes coordenados. Paridad y periodicidad 4. Asíntotas 5. Monotonía
Más detallesf(x) = xe para x -1 y x 0, MATEMÁTICAS II PROBLEMAS DE FUNCIONES. Ejercicio 1. (Reserva 1 Septiembre 2013 Opción A) Sea f la función definida por
MATEMÁTICAS II PROBLEMAS DE FUNCIONES. Ejercicio. (Reserva Septiembre 0 Opción A) f() = para > 0, (donde ln denota el logaritmo neperiano). ln() a) [ 5 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica
Más detallesMatemáticas aplicadas a las CC.SS. II
Tema Nº 8 Aplicaciones de las Derivadas ( 17! Determina las dimensiones de una ventana rectangular que permita pasar la máima cantidad de luz, sabiendo que su marco debe medir 4 m. ---oooo--- La ventana
Más detallesConstruye la gráfica de las funciones propuestas a continuación, y estudia el signo de las mismas: (h)
Construye la gráfica de las funciones propuestas a continuación, y estudia el signo de las mismas: (a) y 6 ; (b) y ( )( ) + ; (c) (e) y + 6 ; + 4; (d) y ( ) 9 + 5 5; (f) 4 y y 9 ; ; (h) y ( + ) ; 4 (g)
Más detallesFUNCIONES. 7.(99).- Hallar la longitud de los lados del triángulo isósceles de área máxima cuyo perímetro sea 60 m.
Enunciados de problemas de selectividad. Matemáticas II. Funciones FUNCIONES.(97).- Hay alguna función f() que no tenga límite cuando y que, sin embargo, [f()] sí tenga límite cuando?. Si la respuesta
Más detallesRESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES
RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES Actividades iniciales. Estudia la continuidad derivabilidad de las funciones f() g() si f() si < Estudiamos la continuidad en. f() ( ) - - f() ( ) + + La función f() es continua
Más detallesIES PADRE SUÁREZ MATEMÁTICAS II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Ejercicios de continuidad y derivabilidad. Selectividad de 008, 009, 00 y 0 Anális 008 Ejercicio.- Sean f : R R y g : R R las funciones definidas por f() = + a + b y g() = c e -(+). Se sabe que las gráficas
Más detallesTEMA 9. DERIVADAS. Veamos cómo podemos calcular esa pendiente. Si tenemos una función f(x) y cogemos dos puntos de la misma:
TEMA 9. DERIVADAS. DEFINICIÓN DE DERIVADA. Se define la derivada de una función f() en un punto 0 como la pendiente de la recta tangente a f en dico punto, y se designa por f ( 0 ). Veamos cómo podemos
Más detallesTema 4. Representación de Funciones. Raúl González Medina. I.E. Juan Ramón Jiménez Tema 4
Tema 4 Representación de Funciones 0.- Introducción.- Estudio de una función...- Dominio...- Simetrías...- Periodicidad..4.- Continuidad..5.- Puntos de Corte con los ejes..6.- Asíntotas y ramas infinitas..7.-
Más detallesDEPARTAMENTO DE FUNDAMENTOS DE ECONOMÍA E HISTORIA ECONÓMICA
DEPARTAMENTO DE FUNDAMENTOS DE ECONOMÍA E HISTORIA ECONÓMICA Análisis Matemático I EXAMEN FINAL Septiembre de 00 APELLIDOS: NOMBRE: DNI CUESTIONARIO DE RESPUESTA MÚLTIPLE (50%) (Cada respuesta incorrecta
Más detallesEstudio de funciones mediante límites y derivadas
Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un
Más detallesf : IR IR 1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real f de variable real es una relación que asocia a cada número real, x, un único número real
Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real f de variable real es una relación que asocia a cada número real,, un único número real y = f (). A la
Más detalles2) (1p) Demuestra que la derivada de y=ln x es y'=1/x.
CURSO 00-0 6 de noviembre de 00. ) (p) Define función derivada. ) (p) Demuestra que la derivada de yln es y'/. 3) (p) Enuncia el criterio de la derivada segunda para el estudio de la curvatura y los puntos
Más detallesTema 9. Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización
09 Tema 9 Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización Aplicaciones de la derivada primera para el estudio de la variación de una función El signo de la derivada primera
Más detallesPropiedades de las funciones derivables. Representación gráfica de funciones. Determinar los puntos de inflexión. (Junio 1997)
Matemáticas II. Curso 008/009 de funciones 1 1. Determinar las asíntotas de f () =. Estudiar la concavidad y conveidad. 1 + Determinar los puntos de infleión. (Junio 1997) 1 Por un lado, lim 1 = 0 y =
Más detallesApuntes de A. Cabañó. Matemáticas II REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES. TEORÍA - ESQUEMA A SEGUIR EN LA REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES. Para dibujar la curva (C) de la unción :->y() se estudiará sucesivamente los siguientes puntos: * Dominio
Más detallesx 1. [ANDA] [SEP-B] Considera la función f:[0,4] definida por: f(x) =
Selectividad CCNN 00. [ANDA] [SEP-B] Considera la función f:[0,] definida por: f() = +a+b si 0 c si
Más detallesREPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES El estudio de la derivada de una función, junto con otras consideraciones sobre las funciones tales como el estudio de su campo de eistencia (dominio), de sus puntos de corte
Más detallesTEMA 9. Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización Problemas Resueltos
64 TEMA 9. Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización Problemas Resueltos Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos relativos; puntos de infleión. Dada la función
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS TEMA 2: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. APLICACIONES.
EJERCICIOS RESUELTOS TEMA : DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. APLICACIONES. Ejercicio 1 Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones y simplifícalas: a) f ( ) sine b)
Más detallesf : IR IR 1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real f de variable real es una relación que asocia a cada número real, x, un único número real
Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra 1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real f de variable real es una relación que asocia a cada número real,, un único número real y = f (. A
Más detallesExamen de Análisis Matemático. a) (1 punto) Calcula las derivadas de las siguientes funciones: (1 + 3x) 1 2
Curso º Bachillerato 16/05/017 Ejercicio 1 a) (1 punto) Calcula las derivadas de las siguientes funciones: f() = 1+3 ; g() = ln(1 5) + e7 b) (1 punto) Estudia la derivabilidad de la función dada por: a)
Más detallesREPRESENTACIÓN DE CURVAS - CCSS
REPRESENTACIÓN DE CURVAS - CCSS Esquema Para representar gráficamente una función se debe estudiar: 1. Dominio. Puntos de corte con los ejes coordenados. Paridad y periodicidad 4. Asíntotas 5. Monotonía
Más detallesSelectividad hasta el año incluido = 0. Página 1 de 13 ANÁLISIS
ANÁLISIS Selectividad hasta el año 9- incluido Ejercicio. Calificación máima: puntos. (Junio 99 A) Hallar la longitud de los lados del triángulo isósceles de área máima cuyo perímetro sea 6 m. Ejercicio.
Más detallesIES Fernando de Herrera Curso 2014 / 15 Primer trimestre Simulacro de examen 2º Bach CT NOMBRE: c) Esbozar la gráfica de f.
IES Fernando de Herrera Curso 0 / 5 Primer trimestre Simulacro de eamen º Bach CT NOMBRE: Instrucciones: ) Todos los folios deben tener el nombre y estar numerados en la parte superior. ) Todas las respuestas
Más detallesMATEMÁTICAS 2º BACH. CC. SS. 31 de octubre de 2005 Análisis. 2) Decir si la siguiente función es par, impar o ninguna de las dos cosas: (4 puntos)
MATEMÁTICAS º BACH. CC. SS. 3 de octubre de 005 Análisis ) Hallar el dominio de y = 3 ( puntos) ) Decir si la siguiente función es par, impar o ninguna de las dos cosas: 3 y = ( puntos) 3) Hallar las intersecciones
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesderivable en x = 0. b) Para los valores encontrados, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = 0.
. [04] [EXT-A] a) Calcula los intervalos de concavidad y conveidad de la función f() = - +. Estudia si tiene puntos de infleión. b) En qué puntos de la gráfica de f() la recta tengente es paralela a la
Más detallesSolución La función raíz cuadrada tiene sentido cuando lo de dentro de la raíz es mayor o igual que cero, por tanto:
Análisis Matématico Matemáticas Aplicadas a las CCSS º Bachillerato Ejercicio nº Para qué valores de tiene sentido la siguiente función? Es continua la función? f () La función raíz cuadrada tiene sentido
Más detallesI.- Representación gráfica de una función polinómica
Los campos a considerar en el estudio de una representación gráfica son; Dominio de la función Continuidad y derivabilidad Simetrías Periodicidad Asíntotas Verticales Horizontales Oblicuas Posición de
Más detalles( ) ( ) ( ) f h f h h h h. h 0 h h 0 h h 0 h h 0. f h f h h h h
Eamen de cálculo diferencial e integral /4/9 Opción A Ejercicio. (Puntuación máima: puntos) Sea la función f ( ) = 4 a. Estudiar su continuidad y derivabilidad. b. Dibujar su gráfica. c. Calcular el área
Más detalles5.3 Dominios de funciones: Polinómicas: Dom f(x): R La X puede tomar cualquier valor entre (, + )
Tema 5: Funciones. Dominio, Límites, Asíntotas y Continuidad de Funciones 5.1 Concepto de Dominio de una función Función: es una regla que asigna a cada número real X un único número real Y. X Dom R Dom
Más detallesejerciciosyexamenes.com
ejerciciosyeamenes.com Eamen de derivadas 1. Razona la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) f() toma todos los valores entre f(a) y f(b), es continua? b) Si f'() > 0 y g'() > 0 en [a,b]
Más detallesL A D E R I V A D A. C Á L C U L O Y A P L I C A C I O N E S
L A D E R I V A D A. C Á L C U L O Y A P L I C A C I O N E S 1. T A S A D E V A R I A C I Ó N M E D I A Definimos la variación media de una función f en un intervalo [, + ], y la designamos por t m o TVM[,
Más detallesx 2-4x+3 si -1 < x < 0 x 2 +a 2. [ANDA] [JUN-B] Se sabe que la función f:(-1,+ ), definida por f(x) = es continua en (-1,+ ). x+1
Selectividad CCNN 004. [ANDA] [JUN-A] Considerar la función f: definida por f() = (+)(-)(-). (a) Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto de abscisa =. (b) Determinar
Más detalles1.- Sea la función f definida por f( x)
Solución Eamen Final de la 3ª Evaluación de º Bcto..- Sea la función f definida por f( ) a) El dominio de la función es Dom( f) estudiando las asíntotas verticales:, por tanto vamos a empezar La función
Más detallesCálculo diferencial. 2. f(x)= x+3. a) f(6), f(-6). b) f(c), f(x + Δx). f (x) = x a) f( 2 ). f (x+δx) f (x) b) 4. f(x) = 3x 1. f (x) f ( 1 ) a) = 3x
Cálculo diferencial. Funciones y gráficas En los ejercicios -5 evaluar la función (si está definida) en los valores de la variable independiente indicados. Simplificar los resultados.. f() =. a) f(0),
Más detallesa) p = ½. b) p = 0. c) Ninguna de las anteriores. Solución: Para que sea continua en x = 0 debe cumplirse que lím
Matemáticas Empresariales I PREGUNTAS DE TIPO TEST DERIVADAS Y APLICACIONES si 0. La función f ( ) sen es continua en = 0 si: p si 0 a) p = ½. b) p = 0. Para que sea continua en = 0 debe cumplirse que
Más detalles1. MONOTONÍA: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN. Ejemplo: Estudiar la monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento) de la función 2
UNIDAD 11.- APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 1. MONOTONÍA: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN Estudiando el signo de la derivada primera podemos saber cuándo una función es creciente o decreciente.
Más detallesTEMA 10 FUNCIÓN DERIVADA. REPRESETACIÓN y aplicaciones.
A) CÁLCULO DE DERIVADAS. 1. Deriva las siguientes funciones polinómicas, a) f( = 5 b) g( = 4 c) h( = 7 d) i( = 4 5 e) i( = 3 + 1 f) j( = 5 4 + 3 g) k( = 3 + 4 + h) l( = 5 3 43 5 i) m( = 4 + 3 3 + 4. Calcula
Más detallesdada por c(x) = donde x indica el tamaño de los pedidos para renovar existencias
FUNCIONES +, si
Más detallesProfesor: Fernando Ureña Portero
MATEMÁTICAS º BACH CC. Y TECNOL. CURSO 13-14 1.-Dada la función a) (3p.) Dominio de f() b) (3 p.) Calcular. Es posible calcular? Por qué? c) (4p.) Calcular.- Estudiar la continuidad de la función: { 3.-a)
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesParte II. DERIVADAS. APLICACIONES.
Parte II. DERIVADAS. APLICACIONES. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. f ( a + h ) f ( a ) Se dice que f es derivable en = a si eiste el límite lim. Este número se denomina derivada
Más detallesTEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. f : R R
TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. Concepto de función. Definición Se llama función (real de variable real) a toda aplicación f : R R f() que a cada número le
Más detallesREPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES El estudio de la derivada de una función, junto con otras consideraciones sobre las funciones tales como el estudio de su campo de eistencia (dominio), de sus puntos de corte
Más detalles5x 2 +2 (x-6) 1-2x-e x +sen(3x) 1. [2014] [JUN-A] Calcular justificadamente: a) lim. ; b) lim x. x 2-1 (2x-1)
--e +sen(). [04] [JUN-A] Calcular justificadamente: a) lim ; b) lim 5 + (-6) - (-) a+ln(-) si < 0. [04] [JUN-B] Dada la función f() = e - (donde ln denota logaritmo neperiano) se pide: si 0 a) Calcular
Más detallesANÁLISIS MATEMÁTICO I (2012)
ANÁLISIS MATEMÁTICO I (2012) TRABAJO PRÁCTICO 4 Etremos y teorema del valor medio Ejercicio 1. Decir si las siguientes afirmaciones son correctas. En caso contrario, justificar la respuesta. 1. El teorema
Más detallesPAU: Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II 1. 2cos. x 0 x 0
PAU: Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II JULIO 0 ESPECÍFICA. Calcule a para que las siguientes funciones: sen a cos f( ) g() tengan el mismo límite en el punto 0. Calculamos cada límite: sen a 0
Más detallesFUNCIONES. La variable x se denomina variable independiente y la variable y es la variable dependiente. x y
. DEFINICIÓN FUNCIONES Una unción real de variable real es una relación entre dos variables numéricas e y de orma que a cada valor de la variable le corresponde un único valor del la variable y. La variable
Más detallesINTEGRALES DEFINIDAS. CÁLCULO DE ÁREAS
INTEGRALES DEFINIDAS. CÁLCULO DE ÁREAS. Dada la función f() = -. Calcular f () d. a) Representar y = ( ) 3. b b) Calcular la integral indefinida ( 3 ) d a c) Justificar el resultado de b en función de
Más detallesMatemáticas II TEMA 9 Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización Problemas Propuestos
Matemáticas II TEMA 9 Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización Problemas Propuestos Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos relativos; puntos de infleión
Más detallesRESUMEN PARA HACER EL ANÁLISIS COMPLETO DE UNA FUNCIÓN:
RESUMEN PARA HACER EL ANÁLISIS COMPLETO DE UNA FUNCIÓN: Ejemplo: 1 Dominio Representación de en el intervalo [,] Los puntos que no pertenecen al dominio de una función racional, son aquellos que anulan
Más detalles2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN
2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN 1.) Resuelve las siguientes derivadas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) f(x) = arcsen 2.) Resuelve la siguiente derivada, simplificando
Más detalles= 1. x = 3: Lím = Asíntota vertical en x = 3: = 0 ; No se anula nunca. Punto de corte con OY es (0, 3) 3 x
Modelo 4. Problema A.- (Calificación máima: puntos) 4 si Se considera la función real de variable real f ( ) si > a) Determínense las asíntotas de la función y los puntos de corte con los ejes. a. Asíntotas
Más detallesPROBLEMAS DE RECTA TANGENTE. 6 en el punto de abscisa 2. Halla la ecuación de la recta tangente a. ( en el punto de abscisa. x 3x
PROBLEMAS DE RECTA TANGENTE º Bachillerato CCSS Halla la ecuación de la recta tangente a ( ) 6 en el punto de abscisa Halla la ecuación de la recta tangente a Halla la ecuación de la recta tangente a (
Más detallesControl Global de la 2ª Evaluación Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales. 1º de Bachillerato B (2007/08)
Control Global de la ª Evaluación Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales. º de Bachillerato B (007/08). (4 puntos). Dada la función f( ) se pide: 4 a) Su dominio. b) Los puntos de corte con los
Más detallesCálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral (Junio-96 Un comerciante vende un determinado producto Por cada unidad de producto cobra la cantidad de 5 pesetas No obstante, se le encargan más de unidades, decide disminuir
Más detallesMATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS ANÁLISIS: Ejercicios de Exámenes Profesor: Fernando Ureña Portero
MATEMÁTICAS º BACH CIENCIAS ANÁLISIS: Ejercicios de Eámenes.-Calcular los siguientes límites: CURSO 5-6 a) (4 p.)lim +e/ 0 +e / b) (3 p.)lim 0 cos() e sen() c) (3 p.)lim 0 ( e + )/.-a)(4 p.)calcular el
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2005 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 005 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,
Más detalles1) (1,6p) Estudia y clasifica las discontinuidades de la función: x+4-3 x-5. f(x)=
2 de diciembre de 2008. ) (,6p) Estudia y clasifica las discontinuidades de la función: f()= +4-3 -5 2) (,6p) Halla las ecuaciones de las asíntotas de la siguiente función y estudia la posición relativa:
Más detallesHallar el dominio de las siguientes funciones : 1. log F(x) = 234. F(x) = x F(x) = ln( F(x) = 9 3. x.calcular simplificando
Hallar el dominio de las siguientes funciones : 4. F() = 3 8 0 6 5. F() = 3 7 6. F() = 6 7. F() = 9 4 8. F() = ln 9. F() = e e 30. F() = e 3 3. F() = log 7 3. F() = sen 33. F() = 3 8 34. F() = 3 3 4 35.
Más detallesTEMA 9: FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD
º CONCEPTOS PREVIOS Ejercicio º Valor absoluto a,b, TEMA 9: FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD º Intervalos: a, b, a, b, a, b Semirrectas:, a, -,a, a,, a, Representa gráficamente las siguientes funciones,
Más detallesIES Fernando de Herrera Curso 2013 / 14 Primer examen Tercer trimestre 4º ESO Opción B 25 de Abril de 2014 NOMBRE:
IES Fernando de Herrera Curso 01 / 14 Primer examen Tercer trimestre 4º ESO Opción B 5 de Abril de 014 NOMBRE: 1) Dados los vectores a = (1, 4/) y b = (1, 1/5), se pide: a) Hallar u a y v 5b. (0,1 puntos)
Más detallesSELECTIVIDAD APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
SELECTIVIDAD APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Septiembre 008: Calcula los valores del número real a sabiendo que punto) 0 a e a = 8. ( Septiembre 008: Hallar, de entre los puntos de la parábola de ecuación
Más detallesAplicaciones de la derivada
Aplicaciones de la derivada º) Calcula los máimos y mínimos de la función f() = Máimo en P( 6, ) ; Mínimo en Q(0, 0) º) Determina el parámetro c para que la función f() = + + c tenga un mínimo igual a
Más detallesUnidad 5. Funciones. Representación de funciones TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES. José L. Lorente Aragón
TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 1. Representación de funciones 1.1. Dominio 1.. Puntos de corte con los ejes 1..1. Con el eje 1... Con el eje y 1.. Signo de la función 1.4. Periodicidad y simetría
Más detalles