Teoría de Juegos Modelos Rectangulares. Agosto 2016

Transcripción

1 Teoría de Juegos Modelos Rectangulares Agosto 2016

2 Índice UNIDAD 3. MODELOS RECTANGULARES O ESTRATÉGICOS 3.1. Presentación del modelo y definición 3.2. Juegos simétricos y asimétricos 3.3. Equilibrio de Nash en estrategias puras 3.4. Estrategias conservadoras y máximo asegurable en juegos de una sola tirada 3.5. Juegos exhaustivos o antagónicos en estrategias puras 3.6. Equilibrio de subjuego perfecto. Generalización del algoritmo de Zermelo 2

3 3.1. Presentación del modelo y definición Existen dos tipos de modelos para los juegos no cooperativos, el de los llamados juegos rectangulares o estratégicos y el de los juegos extensivos. Los juegos rectangulares resultan más fáciles de definir que los extensivos, pero hacer un modelo de este tipo sobre un conflicto real es más difícil 3

4 Definición 3.1. Un juego rectangular consta de un conjunto N, de una colección de conjuntos D j, uno para cada j en N, y de una colección de funciones f j una para cada j en N, donde f j : p i D j R A N le llamaremos el conjunto de jugadores, a cada D j, el conjunto de estrategias puras del jugador j. (N,{D j } j N,{ j } j N) denotará el juego que tiene el conjunto de jugadores N, los conjuntos de estrategias puras D j y las funciones de pago j. Usaremos la letra D para denotar al producto cartesiano j N D j (igual a D 1 xd 2 x xdn si N es finito y tiene n elementos)a los elementos de D les llamaremos perfiles de estrategias puras 4

5 Definición 3.2. Si N y los conjuntos D j son finitos, se dice que el juego es finito. cada jugador solo puede tener un número finito de estrategias 5

6 Juegos en Forma Normal Esta manera de describir un juego se basa sólo en estrategias: codifica toda la información de la forma extensiva en una matriz de pagos. 6

7 Representación de Juegos de dos jugadores en forma normal Se hace un listado con las estrategias posibles de cada jugador. Se colocan las estrategias en una matriz. Las filas de la matriz corresponden a las estrategias del jugador 1, las columnas a las estrategias del jugador 2. Las ganancias de las ramas terminales se colocan en las casillas correspondientes de la matriz. 7

8 Representación de Juegos de dos jugadores en forma normal 8

9 Función de coalición La función de coalición es una tercer forma de representar un juego, especialmente útil en juegos de caracter cooperativo. Bajo esta forma, solamente se necesita responder las siguientes dos cuestiones: Cuánto es lo mínimo que puede conseguir cada jugador actuando en forma unilateral? Cuánto es lo mínimo que pueden obtener los dos jugadores cooperando? 9

10 Función de coalición (2) La forma Función de Coalición se usa principalmente para estudiar cómo se reparten las ganancias de la cooperación entre los participantes en un acuerdo. 10

11 Juegos simétricos y asimétricos Juegos simétricos Un juego simétrico es un juego en el que las recompensas por jugar una estrategia en particular dependen sólo de las estrategias que empleen los otros jugadores y no de quién las juegue. Si las identidades de los jugadores pueden cambiarse sin que cambien las recompensas de las estrategias, entonces el juego es simétrico. 11

12 Juegos simétricos (2) Muchos de los juegos 2 2 más estudiados son simétricos. Las representaciones estándar del juego de la gallina, el dilema del prisionero y la caza del ciervo son juegos simétricos. E F E -9, -9 0, -10 F -10, 0-1, -1 12

13 Juegos asimétricos Los juegos asimétricos más estudiados son los juegos donde no hay conjuntos de estrategias idénticas para ambos jugadores. Por ejemplo, el juego del ultimátum y el juego del dictador tienen diferentes estrategias para cada jugador; no obstante, puede haber juegos asimétricos con estrategias idénticas para cada jugador. 13

14 Juegos asimétricos (2) Por ejemplo, el juego mostrado es asimétrico a pesar de tener conjuntos de estrategias idénticos para ambos jugadores. E F E 1, 2 0, 0 F 0, 0 1, 2 14

15 Para N=2 Sea un juego finito donde N={A,B} Sea un juego m x n de dos jugadores A (ej. nosotros) y B (por ej, adversario) con estrategias A i y B j donde i: {1, 2, 3,,n} y j: {1, 2, 3,,m} 15

16 Ganancias y Valor Medio Sí, el juego se compone solo de jugadas personales, la elección de la estrategia A i, B j determina de una sola manera el término del juego, nuestra victoria se designará por las ganancias medias a ij Si el juego contiene jugadas de azar, además de las personales, entonces las ganancias que producen las dos estrategias A i, B j es una magnitud aleatoria que depende de los términos de todas las jugadas de azar. En este caso el valor natural de la ganancia esperada es su valor medio (esperanza matemática) Se emplea entonces: 1. a ij para las ganancias medias (en los juegos sin jugadas de azar) 2. El valor medio (en los juegos con jugadas de azar) 16

17 Matriz del Juego Supongamos que conocemos el valor a ij de la ganancia (o ganancia media) en cada par de estrategias Entonces se pueden expresar los valores a ij en forma de una tabla (matriz) en las que la líneas corresponden a nuestras estrategias (A i ) y las columnas, a las estrategias del adversario (B j ) Esta tabla se denomina matriz de pago o simplemente matriz del juego (juego en su forma normal) 17

18 Matriz del Juego La matriz del juego m x n tiene la forma siguiente: B j A i B 1 B 2... B n A 1 a 11 a a 1n A 2 a 21 a a 2n A m a m1 a m2... a mn Esta matriz se abrevia por la notación a ij 18

19 Valor de un juego El valor de un juego se encuentra a través de las ganancias medias identificando el conjunto de estrategias dominantes. En el caso de estrategias puras la estrategia dominante será solo una estrategia con (P=1). El valor del juego va a coincidir con el conjunto de equilibrios del juego. El equilibrio va a estar asociado al valor inferior y superior de un juego. 19

20 Valor inferior de un juego α = max i min j α ij B j A i B 1 B 2... B n α i A 1 a 11 a a 1n α 1 A 2 a 21 a a 2n α A m a m1 a m2... a mn α m 20

21 Valor superior de un juego β = mix j B j max i α ij A i B 1 B 2... B n α i A 1 a 11 a a 1n α 1 A 2 a 21 a a 2n α A m A m1 a m2... a mn α m β j β 1 β 2... β m 21

22 Valor puro de un juego Cuando el valor inferior de un juego es igual al valor superior entonces encontramos el valor puro de un juego = = v Esto quiere decir que las estrategias min-max son estables Este equilibrio es un punto de silla 22

23 Punto de silla 23

24 Dilema del prisionero B j C 2 D 2 A i C 1 a, a b, c Con c > a > d > b D 2 c, b d, d 24

25 Ejemplos Ejemplo 1. Dos jugadores, A y B, sin mirarse el uno al otro colocan en la mesa una moneda cada uno en posición de sol arriba o de aguila arriba, según su propio parecer. Si eligieron la misma posición (los dos pusieron cara o los dos pusieron cruz) entonces el jugador A se queda con las dos monedas, en caso contrario el jugador B se queda con ellas. Se debe analizar el juego, componer su matriz y encontrar su valor puro. 25

26 Ejemplos Resolución El juego consta sólo de dos jugadas: la nuestra y la del adversario. Las dos son personales. Este juego no pertenece a los juegos con información perfecta puesto que en el momento en el cual se hace la jugada el jugador no sabe lo que ha hecho el otro. Como cada jugador tiene sólo una jugada personal, su estrategia es la elección en esta única jugada personal. «Nosotros» tenemos dos estrategias: 1. A 1 que es elegir el sol 2. A 2 elegir águila El adversario tiene también las mismas dos estrategias 1. B 1 que es elegir el sol 2. B 2 elegir águila 26

27 Ejemplos Resolución Entonces tenemos un juego de 2x2 Consideremos que la ganancia de una moneda se expresa con +1. La matriz del juego se representa como sigue B j B 1 B 2 A i A 1 (sol) A 2 (águila) (sol) (águila)

28 Ejemplos Este juego a pesar de ser elemental, puede aclarar ideas escenciales en teoría de juegos: 1. Si suponemos que este juego se hace una vez, se puede apreciar que no tiene sentido hablar de tales o cuales «estrategias» de unos jugadores más razonables que otros. 2. Elegir siempre una jugada, por ejemplo A 1 supone que el adversario podrá adivinar que jugada vamos a utilizar y esto representará pérdidas. Esto deriva en utilizar de manera alternada las estrategias. 28

29 Dilema del prisionero B j NC 2 C 2 A i NC 1-1, -1-4, 0 C 1 0, -4-3, -3 29

30 El juego de la gallina 30

31 La batalla de los sexos B:ballet, F:futbol 31

32 Piedra, papel y tijeras 32

33 Mejor respuesta Si sabes lo que los demás van a hacer, sería fácil escoger tu propia acción Sea a i = a 1,, a i 1, a i+1,, a n Entonces a = (a i, a i ) Definición (Mejor Respuesta) a i MR a i sss A i, u i (a i, a i ) u i (a i, a i ) 33

34 3.2. Equilibrio de Nash en estrategias puras Realmente los agentes no conocen lo que van a hacer los otros. Definición (Equilibrio de Nash) a = a 1,, a n es un Equilibrio de Nash (en estrategias puras) si y solo si i, a i MR(a i ) 34

35 Dominancia Sean S i y S i dos estrategias para el jugador i, y sea S i el conjunto de todas las posibles estrategias de los otros jugadores. Qué es una estrategia? Por ahora, solo elijamos una accion (estrategia pura) 35

36 Equilibrio y dominancia Si una de las estrategias domina a todas las otras, entonces decimos que es dominante. Un perfil de estrategia que consiste en estrategias dominantes para cada jugador debe ser un equilibrio de Nash. Un equilibrio en estrategias dominantes estrictamente debe ser único. 36

37 Optimalidad de Pareto 37

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