Variables aleatorias continuas, TCL y Esperanza Condicional

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1 Variables aleatorias continuas, TCL y Esperanza Condicional FaMAF 17 de marzo, / 37

2 Poisson P(λ) Número de éxitos en una cantidad grande de ensayos independientes Rango: {0, 1, 2,... } = {0} N Función de masa: λ λk P(X = k) = e k!. Valor esperado: Varianza: Fórmula recursiva: E[X] = λ. Var(X) = λ. p k+1 = λ k + 1 p k. 2 / 37

3 Poisson 0.4 λ= λ= λ=5 0.2 λ= / 37

4 Variables aleatorias continuas Definición Una variable aleatoria X se dice (absolutamente continua) si existe f : R R con f 0, tal que P(X C) = f (x) dx. Ejemplos: Uniforme: X U(a, b) Normal: X N (µ, σ) Exponencial: X E(λ). Otras: " distribuciones derivadas de la normal": χ 2, t-student. Otras: Gamma, Beta, Weibull, Cauchy, Laplacian, etc. C 4 / 37

5 Distribución uniforme Definición X se dice uniformemente distribuida en (a, b) si su función de densidad está dada por f (x) = 1 b a I (a,b)(x) = { 1 b a a < x < b 0 c.c. Función de distribución acumulada: 0 x a x a F (x) = b a a < x < b 1 x b E[X] = a + b 2. Var(X) = 1 12 (b a)2. 5 / 37

6 Gráficos f (x) = 1 0 x 3 2 I x 3 (3,5)(x) F(x) = 2 3 < x < 5 1 x 5 6 / 37

7 Distribución exponencial Definición Una v.a. X con función de densidad dada por f λ (x) = λ e λx, x > 0, para cierto λ > 0 se dice una v.a. exponencial con parámetro λ. E[X] = 1 λ Var(X) = 1 λ 2 7 / 37

8 Función de densidad / 37

9 Propiedades Una variable aleatoria con distribución exponencial tiene falta de memoria. P(X > s + t X > s) = P(X > t). Son las únicas v.a. continuas con falta de memoria. El análogo en el caso discreto son las v.a. geométricas. Si X E(λ), entonces c X E( 1 c λ). 9 / 37

10 Mínimo de exponenciales Sean X 1, X 2,..., X n son v.a. independientes con f.d.a. F 1, F 2,..., F n, y sea M = min 1 i n {X 1, X 2,..., X n }. Entonces 1 F M (x) = P(M > x) = (1 F 1 (x)) (1 F 2 (x)) (1 F n (x)). Si X i E(λ i ), entonces 1 F X (x) = e λ 1x e λ 2x... e λnx = e ( i λ i ) x. M E(λ 1 + λ λ n ). 10 / 37

11 Distribución Normal Definición La v.a. X se dice normalmente distribuida con media µ y varianza σ 2 si su función de densidad de probabilidad está dada por f (x) = 1 2πσ e (x µ)2 /2σ 2, x R. µ R, σ > 0. Notación: X N(µ, σ). Distribución normal estándar: Z N(0, 1). f Z (x) = 1 2π e x 2 /2, x R. 11 / 37

12 Variando µ Máximo: x = µ 1 Valor Máximo: 2πσ 1 2π π / 37

13 Variando σ 13 / 37

14 La desviación estándar P( X µ < σ) 68% P( X µ < 2σ) 95% P( X µ < 3σ) 99.7% 14 / 37

15 Distribución Normal estándar Φ(x) = P(Z x) = 1 2π x No existe una fórmula cerrada para Φ(x). Si X N(µ, σ), entonces X µ Z = N(0, 1). σ Si X N(µ, σ), ax + b N(aµ + b, a σ). e t 2 /2 dt. ( ) X µ P(X x) = Φ. σ 15 / 37

16 La función Φ(x) P(X 2) = P(Z 1) = Φ(1). 16 / 37

17 Valores de Φ(x) Para α (0, 1), z α es el número real tal que P(Z > z α ) = α. Los valores de Φ(z) están tabulados: Φ(z α ) = P(Z α) = 1 α Φ( z) = 1 Φ(z), por lo tanto es suficiente tabular para z 0, o z / 37

18 Tabla de Φ(z) Z N(0, 1) P(Z 1.51) = z / 37

19 Valores usuales de z α α = 0.05 z α = 1.64 P( 1.64 Z 1.64) = / 37

20 Valores usuales de z α α = z α = 1.96 P( 1.96 Z 1.96) = / 37

21 Valores frecuentes de z α α = 0.01 z α = 2.33 P( 2.33 Z 2.33) = / 37

22 Desigualdad de Chebyshev Lema (Desigualdad de Markov) Si X toma sólo valores no negativos y a > 0, entonces P(X a) E[X] a. Teorema (Desigualdad de Chebyshev) Si X es v.a. con media µ y varianza σ 2, entonces para k > 0 P( X µ kσ) 1 k / 37

23 Leyes de los grandes números Si X 1, X 2,..., X n,... son v.a. independientes e idénticamente distribuidas, con media µ: Ley débil de los grandes números: ( ) X 1 + X X n P µ n > ɛ 0 n. Ley fuerte de los grandes números: Con probabilidad 1 se cumple que: X 1 + X X n lim n n = µ. 23 / 37

24 LGN 100 número de caras número de cecas 0.7 frecuencia relativa=proporción de caras N=cantidad de tiradas N=cantidad de tiradas 24 / 37

25 Teorema Central del límite Teorema (Teorema Central del Límite) Sean X 1, X 2,..., variables aleatorias igualmente distribuidas, con media µ y varianza σ 2. Entonces lim P n ( X1 + X X n nµ σ n ) < x = Φ(x). 25 / 37

26 Muestra finita 5 51 intervalos 7 25 intervalos intervalos intervalos / 37

27 Teorema Central del límite Ejemplo Supongamos que un programa suma números aproximando cada sumando al entero más próximo. Si todos los errores cometidos son independientes entre sí y están distribuidos uniformemente entre -0.5 y 0.5 y se suman 1500 números, A lo sumo cuántos números pueden sumarse juntos para que la magnitud del error total se mantenga menor que 10 con probabilidad 0.9? 27 / 37

28 resolución Cada error cometido es una variable aleatoria ε k con distribución U[ 0.5, 0.5] E(ε k ) = [0.5 + ( 0.5)]/2 = 0 Var(ε k ) = (0.5 (0.5)) 2 /12 = 1/12 Definamos S n = n k=1 ε k, si deseamos encontrar el n más grande para el cual 0.9 = P( S n < 10) Usando el TCL [S 1500 ne(ε)]/ nvar(ε) N(0, 1) y ( ) 10 ne(ε) P( S n < 10) = P S n ne(ε) 10 ne(ε) nvar(ε) nvar(ε) nvar(ε) = P 10 n 12 Z 10 n 12 = 1 2P Z 10 n / 37

29 resolución por lo cual y 10 n = 1 2P Z 10 n 12 = P Z 10 n 12 = 0.05 = Entonces, despejando resulta n = = / 37

30 Teorema Central del límite Ejemplo Suponga que se tienen 100 lámparas de un cierto tipo, cuya duración puede modelarse como una variable exponencial de parámetro λ = Si la duración de cada lámpara es independiente de la duración de las otras, encuentre la probabilidad de que el promedio muestral T = (1/100)(T T 100 ) se encuentre entre 400 y 550 horas. 30 / 37

31 Resolución Como n es 100, podemos suponerlo suficientemente grande y aproximar la distribución del promedio por una normal. Entonces la esperanza y varianza de S n = T T n son E(S n ) = E(T T 100 ) = 100.E(T 1 ) = = Var(S n ) = Var(T T 100 ) = 100.Var(T 1 ) = P(400 (1/100)T 1 + +T ) = P(40000 T 1 + +T ) Φ(55000 E(S n )/ Var(S n )) Φ(40000 E(S n )/ Var(S n )) = Φ( /5000) Φ( /5000) = Φ(1) Φ( 2) = = / 37

32 Distribución condicional X e Y discretas: p(x, y) = p X Y (x y)p Y (y) p X Y (x y) = P(X = x Y = y) = P(X = x Y = y) P(Y = y) P(X x Y = y) = a i x p X Y (a i y) = p(x, y) p Y (y). X e Y conjuntamente continuas con densidad: f (x, y) f X Y (x y) = f Y (y) = f Y X (y x)f X (x). f Y (y) P(X x Y = y) = x f X Y (s y) ds. 32 / 37

33 Esperanza condicional X e Y conjuntamente discretas se define a la esperanza condicional de X dado Y = y como E(X Y = y) = x xp X Y (x y) E(X Y = y) = x xp(x = x Y = y) = x P(X = x, Y = y) x P(Y = y) X e Y conjuntamente continuas con densidad: E(X Y = y) = xf X Y (x y)dx = xf (x, y)dx f (x, y)dx 33 / 37

34 Proposición Proposición Sea E(X Y ) la variable aleatoria (función de la variable aleatoria Y ) cuyo valor en Y = y es E(X Y = y). Entonces E(E(X Y )) = E(X) Para el caso X, Y conjuntamente absolutamente continuo o conjuntamente discreto, E(X) = y E(X) = E(X Y = y)p(y = y) E(X Y = y)f Y (y)dy 34 / 37

35 Esperanza condicional Ejemplo Una rata está encerrada en el centro de un laberinto con tres posibles salidas a diferentes corredores, A, B, C que llevan al interior del laberinto donde hay una celda con comida. La rata tiende a elegir la puerta de su derecha (A) la mitad de las veces, mientras que la otra mitad de las veces elige B o C sin distinguirlas. Ahora, si elige la puerta A tarda 2 minutos en encontrar la celda de la comida, si elige la puerta B tarda 3 minutos, y si elige la puerta C da vueltas dentro del laberinto por 5 minutos y vuelve al lugar de partida (pero no se da cuenta, es decir cuando elige la puerta del corredor lo hace nuevamente con las probabilidades de inicio). Encuentre la esperanza de T, el tiempo que tarda la rata en encontrar su comida. 35 / 37

36 Esperanza condicional Sea éxito elegir la salida A o B, y sea C la variable aleatoria que mide la cantidad de veces que se elige la salida C hasta por fin elegir A o B. Entonces C es geométrica de parámetro 3/4 (que va desde el cero!!). Sea T el tiempo que se tarda en encontrar la salida T = { C si se elige C veces la puerta C y luego A C si se elige C veces la puerta C y luego B Sea D la variable que es 1 si se eligió la puerta A y 0 si se eligió la puerta B. Entonces E(T ) = E(E(T D)) = E(T D = 0)P(D = 0)+E(T D = 1)P(D = 1) = (2 + 5E( C)) (3 + 5E( C)) 1 3 = 4 36 / 37

37 Varianza Condicional Definición X e Y variables aleatorias se define a la varianza condicional de X dado el valor de Y como Var(X Y ) = E[(X E[X Y ]) 2 Y ] Esto es, Var(X Y ) es una función de Y tal que en Y = y es la varianza de X dado Y = y. Proposición Var(X) = E[Var(X Y )] + Var(E[X Y ]) 37 / 37

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