Talento Matemático 2002/2003. Real Academia de Ciencias

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Talento Matemático 2002/2003. Real Academia de Ciencias"

Transcripción

1 Volvemos al hermoso tema de la simetría. Además de la imágenes de multitud de objetos y de seres vivos que poseen simetrías recuerdas en qué consistía una simetría desde el punto de vista matemático?, y a qué llamábamos movimiento? Teníamos una lista de todos los movimientos posibles en un plano... 1

2 1. Mundo tridimensional Saltamos al espacio: un objeto geométrico bien conocido es el dado o cubo puedes encontrar los movimientos que lo dejan tal como es? Y la lista de movimientos, será la misma en el espacio que en el plano? Tendremos reflexiones y giros pero con respecto a qué objetos? Además, en tres dimensiones hay muchas más posibilidades que en dos, seguro que aparece algún movimiento nuevo... Encuentra la lista completa y para cada movimiento piensa en algún objeto que se quede quieto cuando se lo aplicas. 2

3 En el mundo de la química, existe una molécula con una estructura increíblemente inusual y con el mayor número de simetrías entre todas las moléculas conocidas. Esto la hace ser especialmente bella y además le aporta propiedades físicas y químicas inusuales. El buckminsterfulereno está formadopor60átomos de carbono, cada uno de los cuales ocupa una posición equivalente. Las uniones químicas entre estos átomos siguen el mismo patrón que las costuras de una pelota de fútbol, como se muestra en la figura. 3

4 Te atreves a encontrar algunas de (o todas) sus simetrías? Pista: Posee las mismas que un icosaedro regular, porque se obtiene de él cortando cada vértice para obtener las 12 caras pentagonales y 20 hexagonales de un icosaedro truncado. Si te sigue resultando difícil, prueba primero con las de una molécula que tenga 6 átomos, pensando que cada uno es una pequeña esfera situada en un vértice de un hexágono regular. 4

5 2. Los grupos de simetría Volvemos a la estrella de mar: si te has fijado bien, hay diez posibles movimientos que la dejan quieta : las rotaciones de ángulo 360/5 =72, 2 72 = 144, 3 72 = 216, 4 72 = 288 y 5 72 = 360 alrededor de su centro y las reflexiones respecto a las rectas que parten de cada una de sus puntas. Imagina que aplicas dos de estas transformaciones seguidas. Por ejemplo, una rotación de ángulo 72 seguida de otra rotación de ángulo 144. Qué le ocurre a la estrella? Qué transformación obtienes al combinar o componer esas dos rotaciones? Pasará lo mismo con otras combinaciones? Acabas de comprobar que la colección de simetrías que posee un objeto no es una colección cualquiera, tiene una estructura especial: la combinación de dos simetríasesotravezunasimetría. Matemáticamente, a esto se le llama tener estructura de grupo. El de las simetríasdelaestrellademar(odeunpentágono regular) se llama grupo diédrico de orden 5, D 5. En un grupo debe cumplirse además que: existe un elemento inofensivo, llamado elemento neutro, que al ser combinado con cualquier otro, no lo altera. Es como el 0 al sumar o el 1 al multiplicar. Quién hace de elemento neutro en el grupo de simetrías de un objeto? cada elemento tiene su media naranja, llamada elemento inverso del elemento original: al combinar los dos, en cualquier orden se 5

6 obtiene el elemento neutro. Encuentra el inverso de cada una de las simetrías de la estrella de mar. También tienen la propiedad asociativa. Peroatención, no tiene por qué cumplirse la propiedad conmutativa. Podríamos pensar de repente que cualquier conjunto va a ser un grupo. Considera, por ejemplo, en el cuadrado, todas las reflexiones en los ejes de simetría. Qué ocurre al combinar dos de ellas? Grupos famosos: Además de Estopa, Mago de Oz... claro. El propio Leonardo da Vinci estudió todas las posibles simetrías de un edificio con capillas adyacentes, demostrando un resultado matemático: todos los grupos de transformaciones del plano con un número finito de elementos son, o bien algún grupo diédrico D n, oalgún grupo de los llamados cíclicos de orden n o simplemente Z n (un ejemplo de Z 3 son las rotaciones de ángulo múltiplo de 360/3 = 120). Antes hemos trabajado con poĺıgonos regulares. Euclides demostró que existen exactamente 5 sólidos regulares (sus caras son poĺıgonos regulares idénticos y el conjunto de caras compartido por un vértice es siempre el mismo). De hecho, Platón ya los conocía y por eso se les llama sólidos platónicos. 6

7 Las esferas de Kepler Losgruposdesimetría de los sólidos platónicos son especialmente interesantes. Ya hemos visto que, para el cubo, el grupo de simetría tiene 48 elementos De ellos, 24 son rotaciones y 24 reflexiones. El resto tienen grupos de: 48 elementos (octaedro), 120 (dodecaedro e icosaedro) y 24 (tetraedro). De hecho, en vez de cinco grupos diferentes, existen sólo tres, llamados octaédrico, icosaédrico y tetraédrico respectivamente. Por qué razón cubo y octaedro, por ejemplo, tienen el mismo grupo de simetría? Piensa en el sólido que obtienes al considerar los centros de las caras del cubo como centros de un nuevo sólido. Encuentras la razón por la que el tetraedro baila solo? 7

8 3. La geometría es simetría Poniendo el mundo al revés, la simetría no es una casualidad o un accidente de la geometría..., ah! no? Desempeña un papel muchísimo más importante. Empecemos diciendo que se puede hablar de diferentes geometrías. Probablemente, todos conocemos la de Euclides: la primera. En ella se habla de ángulos, longitudes, áreas, etc. A todos nos parece natural pensar en esos términos y a todos nos suena que la suma de los ángulos de un triángulo es 180 o. Pero, por ejemplo, la geometría de la superficie de una esfera, es igual que la anterior? Si dibujamos un triángulo en la cáscara de una naranja, nos parece que sus ángulos suman 180 o? Quéestápasando?Lageometría esférica es una geometría diferente de la eucĺıdea, pero igual de lógica y consistente. Simplemente parte de premisas diferentes. 8

9 ...Nosevayantodavía, aún hay más...lageometría proyectiva, por ejemplo, modeliza la manera de ver del ojo humano y, entre otras cosas, distorsiona las longitudes: lo lejano lo vemos pequeño, etc. En ella, dos rectas en un plano siempre se cortan, no existen las rectas paralelas de la geometría eucĺıdea. Por ejemplo, cómo vemos dos vías del tren al mirar al horizonte? Esta geometría ha sido utilizada frecuentemente por los artistas para recrear la perspectiva. Y qué tiene que ver todo esto con la simetría? Pues que las diferentes geometrías surgen como consecuencia de las simetrías. Pero... qué estamos diciendo? Por ejemplo, si pensamos en los grupos de simetría y tomamos el de los movimientos del plano, sabemos que la distancia, propiedad típica de la geometría eucĺıdea,seconserva.si,encambio,consideramos el grupo de las proyecciones, ya no se conserva la distancia pero sí por ejemplo el hecho de dos rectas se corten o varios puntos estén alineados, y entonces estas propiedades son las típicas de la geometría proyectiva... 9

Cuerpos geométricos. Objetivos. Antes de empezar. 1. Poliedros...pág. 138 Definición Elementos de un poliedro

Cuerpos geométricos. Objetivos. Antes de empezar. 1. Poliedros...pág. 138 Definición Elementos de un poliedro 8 Cuerpos geométricos. Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar que es un poliedro. Determinar los elementos de un poliedro: Caras, aristas y vértices. Clasificar los poliedros. Especificar

Más detalles

Qué son los cuerpos geométricos?

Qué son los cuerpos geométricos? Qué son los cuerpos geométricos? Definición Los cuerpos geométricos son regiones cerradas del espacio. Una caja de tetrabrick es un ejemplo claro de la figura que en matemáticas se conoce con el nombre

Más detalles

a De los siguientes cuerpos geométricos, di cuáles son poliedros y cuáles no. Razona tu respuesta.

a De los siguientes cuerpos geométricos, di cuáles son poliedros y cuáles no. Razona tu respuesta. POLIEDROS Ejercicio nº 1.- a De los siguientes cuerpos geométricos, di cuáles son poliedros y cuáles no. Razona tu respuesta. b Cuál es la relación llamada fórmula de Euler que hay entre el número de caras,

Más detalles

GEOMETRÍA SAGRADA. Ejemplos y dibujos vectoriales JUNIO de 2009 - Roberto García

GEOMETRÍA SAGRADA. Ejemplos y dibujos vectoriales JUNIO de 2009 - Roberto García GEOMETRÍA SAGRADA Ejemplos y dibujos vectoriales JUNIO de 2009 - Roberto García Génesis 1:1 En el principio creó Dios los cielos y la tierra. Espacio tridimensional definido Espacio tridimensional creado

Más detalles

Sistema Diédrico (I). Verdadera magnitud. Abatimientos

Sistema Diédrico (I). Verdadera magnitud. Abatimientos Sistema Diédrico (I). Verdadera magnitud. Abatimientos Cuando dibujamos las proyecciones diédricas (planta, alzado y perfil) de una figura, superficie, sólido, etc.., observamos cómo sus elementos (aristas

Más detalles

GRUPOS PUNTUALES. 4.- Si un plano de simetría contiene un eje de orden n, existen n planos que contienen el eje. formando entre ellos ángulos de

GRUPOS PUNTUALES. 4.- Si un plano de simetría contiene un eje de orden n, existen n planos que contienen el eje. formando entre ellos ángulos de GRUPOS PUNTUALES Existen algunas relaciones entre elementos de simetría que pueden ser útiles a la hora de deducir cuales son los conjuntos de estos que forman grupo. 1.- Todos los elementos de simetría

Más detalles

5º de E. Primaria LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS -TEMA 15

5º de E. Primaria LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS -TEMA 15 LOS POLIEDROS Los poliedros son cuerpos geométricos que tienen todas sus caras formadas por polígonos. Muchos objetos de nuestro alrededor tienen forma de poliedro: Los elementos de un poliedro son caras,

Más detalles

SIMETRÍA. http://www.chem.ox.ac.uk/courses/molecular_symmetry/part2.html http://www.chem.ox.ac.uk/vrchemistry/sym/splash.html

SIMETRÍA. http://www.chem.ox.ac.uk/courses/molecular_symmetry/part2.html http://www.chem.ox.ac.uk/vrchemistry/sym/splash.html SIMETRÍA Elementos y operaciones de simetría Grupos puntuales de simetría Modelo de repulsión de pares de electrones de la capa de valencia (VSEPR) Simetría de las moléculas Tablas de caracteres http://www.chem.ox.ac.uk/courses/molecular_symmetry/part2.html

Más detalles

Cuerpos geométricos OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Elementos de un poliedro y su desarrollo. Los poliedros regulares y sus características.

Cuerpos geométricos OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Elementos de un poliedro y su desarrollo. Los poliedros regulares y sus características. 826464 _ 0385-0396.qxd /2/07 09:27 Página 385 Cuerpos geométricos INTRODUCCIÓN Esta unidad completa la serie dedicada a la Geometría y afianza su comprensión mediante la descripción y desarrollo de las

Más detalles

ESTRUCTURAS CRISTALINAS (P2)

ESTRUCTURAS CRISTALINAS (P2) ESTRUCTURAS CRISTALINAS (P2) Objetivos - Visualización de estructuras de sólidos mediante el uso de modelos - Estudio de redes cristalinas basadas en ordenamientos de esferas de igual tamaño - Identificación

Más detalles

Hay 5 sólidos platónicos

Hay 5 sólidos platónicos 1 Un sólido es un poliedro, o sea una figura tridimensional conformada por planos de diversas formas (polígonos) que se intersectan. Hay 5 sólidos platónicos Fueron estudiados y descriptos por los geómetras

Más detalles

Capítulo 8: Movimientos en el plano y el espacio

Capítulo 8: Movimientos en el plano y el espacio 3º de ESO Capítulo 8: Movimientos en el plano y el espacio Autoras: Adela Salvador y María Molero Revisores: Javier Rodrigo y Sergio Hernández Ilustraciones: María Molero; Milagros Latasa; Banco de Imágenes

Más detalles

Definición de vectores

Definición de vectores Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen: O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre

Más detalles

LOS POLIEDROS. Los poliedros se clasifican en prismas y en pirámides.

LOS POLIEDROS. Los poliedros se clasifican en prismas y en pirámides. LOS POLIEDROS Una caja de zapatos, un dado y muchos otros objetos con superficies planas que ves a tu alrededor, tienen forma poliédrica. Se llaman poliedros a los cuerpos geométricos cuyas caras son polígonos.

Más detalles

GEOMETRÍA FLEXIBLE CON POLIFIELTROS 3D

GEOMETRÍA FLEXIBLE CON POLIFIELTROS 3D GEOMETRÍA FLEXIBLE CON POLIFIELTROS 3D Dolores Jiménez Cárdenas, CEIP Joaquín Tena Sicilia (Abla, Almería) José Luis Rodríguez Blancas, Universidad de Almería http://www.polifieltros3d.com/ RESUMEN. Polifieltros

Más detalles

Circunradio y Volumen de Poliedros

Circunradio y Volumen de Poliedros Circunradio y Volumen de Poliedros Julio Castiñeira Merino. Introducción A mis queridos nietos Santiago, Gonzalo y Nicolás Una parte importante de los poliedros convexos con caras regulares son inscribibles

Más detalles

TEMA 9: FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIALES

TEMA 9: FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIALES TEMA 9: FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIALES Matías Arce, Sonsoles Blázquez, Tomás Ortega, Cristina Pecharromán 1. INTRODUCCIÓN...1 2. SUPERFICIES POLIÉDRICAS. POLIEDROS...1 3. FIGURAS DE REVOLUCIÓN...3 4. POLIEDROS

Más detalles

1. Producto escalar, métrica y norma asociada

1. Producto escalar, métrica y norma asociada 1. asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores o puntos de R n, indistintamente, como x = (x 1,..., x n ) = n x i e i i=1 donde e i son los vectores de la

Más detalles

Matrices y transformaciones

Matrices y transformaciones Matrices transformaciones La simetría corre por nuestras venas. Esta imagen representa el núcleo central del grupo hemo, el centro activo de la hemoglobina que oigena nuestras células. Fuente: http://www.cienciateca.com/simetria.html

Más detalles

CRITERIOS DE EVALUACIÓN Resolver problemas geométricos valorando el método y el razonamiento de las construcciones, su acabado y presentación.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN Resolver problemas geométricos valorando el método y el razonamiento de las construcciones, su acabado y presentación. ASIGNATURA: DIBUJO TÉCNICO II Actualización: FEBRERO DE 2009 Validez desde el curso: 2009-2010 Autorización: COPAEU Castilla y León PROGRAMA Análisis del currículo y acuerdos para las Pruebas de Acceso

Más detalles

Descripciones de las Habilidades de Primaria por Trimestre Materia: Matemáticas Grade: Kinder

Descripciones de las Habilidades de Primaria por Trimestre Materia: Matemáticas Grade: Kinder Grade: Kinder Medición Geometría Leer y escribir los números hasta 5 Entender que escribiendo los números representan la cantidad de objetos (0-5) Contar de uno en uno hasta 10 (empezar con cualquier número

Más detalles

Actividades recreativas para recordar a los vectores. 1) Representa en un eje de coordenadas las siguientes sugerencias:

Actividades recreativas para recordar a los vectores. 1) Representa en un eje de coordenadas las siguientes sugerencias: Actividades recreativas para recordar a los vectores 1) Representa en un eje de coordenadas las siguientes sugerencias: a) Dibuja un segmento y oriéntalo en sentido positivo. b) Dibuja un segmento y oriéntalo

Más detalles

1.-La Cristalografía. 2.-Simetría

1.-La Cristalografía. 2.-Simetría 1.-La Cristalografía La Cristalografía es la ciencia que se ocupa de los sólidos cristalinos y describe su estructura interna, es decir, como están distribuidos los átomos en su interior. También estudia

Más detalles

Poliedros regulares Cuerpos de revolución

Poliedros regulares Cuerpos de revolución Poliedros regulares Cuerpos de revolución Poliedro. Un poliedro es un cuerpo limitado por caras poligonales. Ángulo diedro. Ángulo poliedro Se llama ángulo diedro de un poliedro el que está formado por

Más detalles

La suma y la resta. Introducción. Capítulo

La suma y la resta. Introducción. Capítulo Capítulo II La suma y la resta Introducción En el capítulo anterior, vimos que los números permiten expresar la cantidad de objetos que tiene una colección. Juntar dos o más colecciones, agregar objetos

Más detalles

CABRI-GÉOMÈTRE: ANALIZAR PARA DIBUJAR

CABRI-GÉOMÈTRE: ANALIZAR PARA DIBUJAR Cabri-Géomètre: analizar para dibujar CABRI-GÉOMÈTRE: ANALIZAR PARA DIBUJAR Javier Bergasa Liberal y Sergio Sara Goyén PARA QUÉ DIBUJAR EN CLASE DE GEOMETRÍA? Esta pregunta parece tener una respuesta evidente:

Más detalles

Movimientos en el plano

Movimientos en el plano 7 Movimientos en el plano Objetivos En esta quincena aprenderás a: Manejar el concepto de vector como elemento direccional del plano. Reconocer los movimientos principales en el plano: traslaciones, giros

Más detalles

10 FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS

10 FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS EJERCICIOS PROPUESTOS 10.1 Indica cuál de estos poliedros es cóncavo y cuál es convexo. a) Cóncavo b) Convexo 10.2 Completa la siguiente tabla. Caras (C ) Vértices (V ) Aristas (A) C V A 2 Tetraedro 4

Más detalles

CRITERIOS DE VALORACIÓN

CRITERIOS DE VALORACIÓN PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA ALUMNOS DE BACHILLERATO LOE Junio 2010 DIBUJO TÉCNICO II. CÓDIGO Ejercicio nº 1 CRITERIOS DE VALORACIÓN OPCIÓN A 1. Construcción del heptágono conocido el lado...

Más detalles

open green road Guía Matemática TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS tutora: Jacky Moreno .cl

open green road Guía Matemática TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS tutora: Jacky Moreno .cl Guía Matemática TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS tutora: Jacky Moreno.cl 1. Transformaciones isométricas Las transformaciones geométricas están presentes en diversos campos de la actividad humana así como

Más detalles

LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS Se llaman poliedros todos los cuerpos geométricos que tienen todas sus caras planas. Los cuerpos redondos son aquellos que tienen alguna de sus superficies

Más detalles

Grupos. 2.1 Introducción. Capítulo

Grupos. 2.1 Introducción. Capítulo Capítulo 2 Grupos 2.1 Introducción La estructura de grupo es una de las más comunes en toda la matemática pues aparece en forma natural en muchas situaciones, donde se puede definir una operación sobre

Más detalles

Geometría del plano. Objetivos. Antes de empezar

Geometría del plano. Objetivos. Antes de empezar 8 Geometría del plano Objetivos En esta quincena aprenderás a: Conocer los elementos del plano. Conocer las rectas y sus propiedades. Manipular rectas y otros elementos relacionados con ellas. Conocer

Más detalles

Tema 6: Geometría en dimensión 3

Tema 6: Geometría en dimensión 3 Tema 6: Geometría en dimensión 3 Contenidos: 1. Introducción. 2. Poliedros. 3. Volumen. Capacidad. Unidades. 4. Volumen de sólidos básicos: prismas y cilindros. 5. Volumen de pirámides y conos. 6. Volumen

Más detalles

Múltiplos y divisores

Múltiplos y divisores 2 Múltiplos y divisores Objetivos En esta quincena aprenderás a: Saber si un número es múltiplo de otro. Reconocer las divisiones exactas. Hallar todos los divisores de un número. Reconocer los números

Más detalles

Conjuntos Numéricos. Las dos operaciones en que se basan los axiomas son la Adición y la Multiplicación.

Conjuntos Numéricos. Las dos operaciones en que se basan los axiomas son la Adición y la Multiplicación. Conjuntos Numéricos Axiomas de los números La matemática se rige por ciertas bases, en la que descansa toda la matemática, estas bases se llaman axiomas. Cuántas operaciones numéricas conocen? La suma

Más detalles

Cámara. Práctica 5. 5.1. Introducción. 5.1.1. Proyección

Cámara. Práctica 5. 5.1. Introducción. 5.1.1. Proyección Práctica 5 Cámara 5.1. Introducción En esta práctica se aborda la creación de la cámara virtual, esto es, el medio o forma mediante el cual vamos a poder observar los elementos de la escena. De nuevo,

Más detalles

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO)

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO) Vectores Tema. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Definición de espacio vectorial Un conjunto E es un espacio vectorial si en él se definen dos operaciones, una interna (suma y otra externa (producto

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA ALUMNOS DE BACHILLERATO LOE Junio 2010 DIBUJO TÉCNICO II. CÓDIGO

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA ALUMNOS DE BACHILLERATO LOE Junio 2010 DIBUJO TÉCNICO II. CÓDIGO PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA ALUMNOS DE BACHILLERATO LOE Junio 2010 DIBUJO TÉCNICO II. CÓDIGO CRITERIOS PARA LA REALIZACIÓN DE LA PRUEBA 1.- Se establecen dos opciones A- y B- de tres problemas

Más detalles

MÓDULO Nº 4. Nivelación. Matemática 2005. Módulo Nº4. Contenidos. Circunferencia y Círculo Volúmenes

MÓDULO Nº 4. Nivelación. Matemática 2005. Módulo Nº4. Contenidos. Circunferencia y Círculo Volúmenes MÓDULO Nº 4 Nivelación Matemática 2005 Módulo Nº4 Contenidos Circunferencia y Círculo Volúmenes Nivelación Circunferencia y Círculo Circunferencia. Es una línea curva cerrada, cuyos puntos tienen la propiedad

Más detalles

PROBLEMAS MÉTRICOS. Página 183 REFLEXIONA Y RESUELVE. Diagonal de un ortoedro. Distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a una recta

PROBLEMAS MÉTRICOS. Página 183 REFLEXIONA Y RESUELVE. Diagonal de un ortoedro. Distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a una recta PROBLEMAS MÉTRICOS Página 3 REFLEXIONA Y RESUELVE Diagonal de un ortoedro Halla la diagonal de los ortoedros cuyas dimensiones son las siguientes: I) a =, b =, c = II) a = 4, b =, c = 3 III) a =, b = 4,

Más detalles

TIPOS DE RESTRICCIONES

TIPOS DE RESTRICCIONES RESTRICCIONES: Las restricciones son reglas que determinan la posición relativa de las distintas geometrías existentes en el archivo de trabajo. Para poder aplicarlas con rigor es preciso entender el grado

Más detalles

TEMA 8 ESTRUCTURA CRISTALINA

TEMA 8 ESTRUCTURA CRISTALINA Tema 8. Estructura cristalina 1 TEMA 8 ESTRUCTURA CRISTALINA Los sólidos pueden clasificarse: 1.- Por su ordenación: 1a. Sólidos amorfos: tienen una estructura desordenada. Sus átomos o moléculas se colocan

Más detalles

ESTALMAT-Andalucía. Geometría dinámica con Cabri. Sesión 16

ESTALMAT-Andalucía. Geometría dinámica con Cabri. Sesión 16 Geometría dinámica con Cabri Sesión 16 SAEM THALES Material recopilado y elaborado por: Encarnación Amaro Parrado Agustín Carrillo de Albornoz Torres Granada, 8 de marzo de 2008-2 - Actividades de repaso

Más detalles

POLIEDROS E CORPOS REDONDOS

POLIEDROS E CORPOS REDONDOS Escribe na parte dereita o que falta. POLIEDROS E CORPOS REDONDOS 1. Os corpos redondos. A xeometría do espazo estuda os corpos que teñen tres dimensións: lonxitude, anchura e altura. Os corpos que teñen

Más detalles

BENDITO TRIÁNGULO! AUTORA: ADRIANA RABINO

BENDITO TRIÁNGULO! AUTORA: ADRIANA RABINO BENDITO TRIÁNGULO! AUTORA: ADRIANA RABINO ES CIERTO QUE EL BURRO ES BURRO? Hace unos días tuve la suerte de conocer uno de los hermosos lugares que hay en la Argentina, Cafayate, en la Prov. de Salta.

Más detalles

6. Circunferencia. y polígonos

6. Circunferencia. y polígonos 6. Circunferencia y polígonos Matemáticas 2º ESO 1. Lugares geométricos 2. Polígonos en la circunferencia 3. Simetrías en los polígonos 4. Longitud de la circunferencia y superficie del círculo 192 Circunferencia

Más detalles

Vectores en el espacio

Vectores en el espacio Vectores en el espacio Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas

Más detalles

unidad 10 Cuerpos geométricos

unidad 10 Cuerpos geométricos unidad 10 Cuerpos geométricos Poliedros. Características Página 1 Poliedro es un cuerpo cerrado limitado por caras planas que son polígonos. Aristas son los lados de las caras. Cada dos caras contiguas

Más detalles

CLASIFICACIÓN DE LAS FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS. Según los lados. Triángulos. Según los ángulos. Paralelogramo. Cuadriláteros.

CLASIFICACIÓN DE LAS FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS. Según los lados. Triángulos. Según los ángulos. Paralelogramo. Cuadriláteros. CLASIFICACIÓN DE LAS FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS Equilátero Polígonos Según los lados Isósceles Figuras geometrícas Nombre según los lados 3-Triángulo 4-Cuadrilátero 5-Pentágono 6-Hexágono 7-Heptágono

Más detalles

Áreas de cuerpos geométricos

Áreas de cuerpos geométricos 9 Áreas de cuerpos geométricos Objetivos En esta quincena aprenderás a: Calcular el área de prismas rectos de cualquier número de caras. Calcular el área de pirámides de cualquier número de caras. Calcular

Más detalles

UNIDAD 11. GEOMETRÍA DEL ESPACIO (I).

UNIDAD 11. GEOMETRÍA DEL ESPACIO (I). UNIDAD 11. GEOMETRÍA DEL ESPACIO (I). Al final deberás haber aprendido... El examen tratará sobre... Describir los cuerpos geométricos del espacio e identificar sus elementos. Deducir las fórmulas para

Más detalles

LA MATEMÁTICA DEL TELEVISOR

LA MATEMÁTICA DEL TELEVISOR LA MATEMÁTICA DEL TELEVISOR ADRIANA RABINO Y PATRICIA CUELLO 1. Las publicidades, por lo general, describen el tamaño de las pantallas de TV dando la longitud de su diagonal en pulgadas (1 = 2,47 cm).

Más detalles

POLIEDROS. Ejercicio nº 1.- a De los siguientes cuerpos geométricos, di cuáles son poliedros y cuáles no. Razona tu respuesta.

POLIEDROS. Ejercicio nº 1.- a De los siguientes cuerpos geométricos, di cuáles son poliedros y cuáles no. Razona tu respuesta. POLIEDROS Ejercicio nº 1.- De los siguientes cuerpos geométricos, di cuáles son poliedros y cuáles no. Razona tu respuesta. b Cuál es la relación llamada fórmula de Euler que hay entre el número de caras,

Más detalles

TEMA 1: REPRESENTACIÓN GRÁFICA. 0.- MANEJO DE ESCUADRA Y CARTABON (Repaso 1º ESO)

TEMA 1: REPRESENTACIÓN GRÁFICA. 0.- MANEJO DE ESCUADRA Y CARTABON (Repaso 1º ESO) TEMA 1: REPRESENTACIÓN GRÁFICA 0.- MANEJO DE ESCUADRA Y CARTABON (Repaso 1º ESO) Son dos instrumentos de plástico transparente que se suelen usar de forma conjunta. La escuadra tiene forma de triángulo

Más detalles

Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores

Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Universidad Politécnica de Madrid 5 de marzo de 2010 2 4.1. Planificación

Más detalles

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N.

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N. TEMA 1: EL ESPACIO R N ÍNDICE 1. El espacio vectorial R N 1 2. El producto escalar euclídeo 2 3. Norma y distancia en R N 4 4. Ángulo y ortogonalidad en R N 6 5. Topología en R N 7 6. Nociones topológicas

Más detalles

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa:

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa: Página 90 5 LA PARÁBOLA 5.1 DEFINICIONES La parábola es el lugar geométrico 4 de todos los puntos cuyas distancias a una recta fija, llamada, y a un punto fijo, llamado foco, son iguales entre sí. Hay

Más detalles

TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS En una transformación isométrica: 1) No se altera la forma ni el tamaño de la figura. 2) Sólo cambia la posición (orientación o sentido de ésta). TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

Más detalles

Elementos de álgebra vectorial

Elementos de álgebra vectorial Hier auf glatten Felsenwegen laufe ich tanzend dir entgegen, tanzend wie Du pfeifst und singst : der Du ohne Schiff und Ruder, als der Freiheit frei ster Bruder ueber wilde Meere springst. Friedrich Nietzsche

Más detalles

Funciones más usuales 1

Funciones más usuales 1 Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Aplicaciones Lineales Concepto de aplicación lineal T : V W Definición: Si V y W son espacios vectoriales con los mismos escalares (por ejemplo, ambos espacios vectoriales reales o ambos espacios vectoriales

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA CARRERA DE CIENCIAS DE EDUCACIÓN AREA DE MATEMÁTICAS. Módulo

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA CARRERA DE CIENCIAS DE EDUCACIÓN AREA DE MATEMÁTICAS. Módulo UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA CARRERA DE CIENCIAS DE EDUCACIÓN AREA DE MATEMÁTICAS Módulo TRIGONOMETRÍA Y DIBUJO TÉCNICO Msc. Sexto Nivel Tercera Edición Quito, marzo

Más detalles

6. VECTORES Y COORDENADAS

6. VECTORES Y COORDENADAS 6. VECTORES Y COORDENADAS Página 1 Traslaciones. Vectores Sistema de referencia. Coordenadas. Punto medio de un segmento Ecuaciones de rectas. Paralelismo. Distancias Página 2 1. TRASLACIONES. VECTORES

Más detalles

Integral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad)

Integral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad) Integral definida Dada una función f(x) de variable real y un intervalo [a,b] R, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y rectas x = a y x = b. bb

Más detalles

TEORÍA DE POLIEDROS Y CONSTRUCCIÓN DE

TEORÍA DE POLIEDROS Y CONSTRUCCIÓN DE TEORÍA DE POLIEDROS Y CONSTRUCCIÓN DE Vicente Viana Martínez Vicente Viana Martínez Pág 1 CONSTRUCCIÓN DE UN OMNIPOLIEDRO Introducción. Definiciones Un poliedro es un cuerpo geométrico totalmente limitado

Más detalles

SELECTIVIDAD VALENCIA SEPTIEMBRE 1982.

SELECTIVIDAD VALENCIA SEPTIEMBRE 1982. SELECTIVIDAD VALENCIA SEPTIEMBRE 1982. Sistema diédrico:(el PUNTO) Observa detenidamente las proyecciones diédricas de lso puntos; A, B, C y D. Indica en que cuadrantes se hayan situados dichos puntos.

Más detalles

UNIDAD 4. Transformaciones isométricas (Primera parte)

UNIDAD 4. Transformaciones isométricas (Primera parte) Matemática UNIDD 4. Transformaciones isométricas (Primera parte) 1 Medio GUÍ N 1 INTRODUCCIÓN El artista holandés Maurits Cornelis Escher (1898 1972) es considerado uno de los artistas gráficos más famosos

Más detalles

1. Cambios de base en R n.

1. Cambios de base en R n. er Curso de Ingeniero de Telecomunicación. Álgebra. Curso 8-9. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Tema 5. Cambios de Base. Aplicaciones Lineales. Teoría y Ejercicios Resueltos..

Más detalles

VECTORES EN EL PLANO

VECTORES EN EL PLANO VECTORES EN EL PLANO VECTOR: vectores libres Segmento orientado, con un origen y extremo. Módulo: es la longitud del segmento orientado, es un número positivo y su símbolo es a Dirección: es la recta que

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Aplicaciones Lineales Primeras definiciones Una aplicación lineal de un K-ev de salida E a un K-ev de llegada F es una aplicación f : E F tal que f(u + v) = f(u) + f(v) para todos u v E f(λ u) = λ f(u)

Más detalles

Preguntas tipo OLIMPIADA DE DIBUJO TÉCNICO MARZO 2014

Preguntas tipo OLIMPIADA DE DIBUJO TÉCNICO MARZO 2014 E S C U E L A T É C N I C A S U P E R I O R D E A R Q U I T E C T U R A U N I V E R S I D A D D E N A V A R R A Preguntas tipo OLIMPIADA DE DIBUJO TÉCNICO MARZO 2014 G E O M E T R Í A M É T R I C A. T

Más detalles

PROYECTO DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS Estímulo del talento matemático

PROYECTO DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS Estímulo del talento matemático PROYECTO DE L REL CDEMI DE CIENCIS Estímulo del talento matemático Prueba de selección 8 de junio de 2013 Nombre:... pellidos:... Fecha de nacimiento:... Teléfonos:... Información importante que debes

Más detalles

ELEMENTOS DE UN POLIEDRO. PRINCIPALES POLIEDROS REGULARES

ELEMENTOS DE UN POLIEDRO. PRINCIPALES POLIEDROS REGULARES OBJETIVO 1 ELEMENTOS DE UN POLIEDRO. PRINCIPALES POLIEDROS REGULARES NOMBRE: CURSO: ECHA: CONCEPTO DE POLIEDRO Vértice Arista Cara Un poliedro es un cuerpo geométrico cuyas caras son polígonos. Los elementos

Más detalles

COORDENADAS CURVILINEAS

COORDENADAS CURVILINEAS CAPITULO V CALCULO II COORDENADAS CURVILINEAS Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un

Más detalles

Orbitales híbridos. Cajón de Ciencias

Orbitales híbridos. Cajón de Ciencias Orbitales híbridos Cajón de Ciencias Los orbitales híbridos son aquellos que se forman por la fusión de otros orbitales. Estudiarlos es un paso básico para entender la geometría y la estructura de las

Más detalles

Módulo 1 Parábola. a) Dibuja 3 trayectorias de la pelota, presentes en la cancha de futbol.

Módulo 1 Parábola. a) Dibuja 3 trayectorias de la pelota, presentes en la cancha de futbol. Módulo 1 Parábola I.- Preguntas contextualizadoras: Este ítem permite evidenciar la matemática que esta presente a nuestro alrededor, en nuestro caso, las siguientes preguntas muestran como en el deporte

Más detalles

HERRAMIENTAS PARA CREAR

HERRAMIENTAS PARA CREAR LECTURA 3: DIBUJO Debemos quedarnos con la idea según la cual cuando dibujamos objetos en Flash se generan vectores (también llamados formas) correspondientes a las curvas y rectas que trazamos. Las formas

Más detalles

4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES INDICE 4 4.1. Definición de una función de dos variables...2 4.2. Gráfica de una función de dos variables..2 4.3. Curvas y superficies de nivel....3 4.4. Límites y continuidad....6

Más detalles

LA FORMA DE LA TIERRA

LA FORMA DE LA TIERRA La Tierra Aprendemos también cosas sobre la Tierra mirando a la Luna y a las estrellas Por qué los griegos antiguos ya sabían que la Tierra era redonda? Qué movimientos presenta la Tierra? Por qué hay

Más detalles

Dibujo y geometría descriptiva II 2014

Dibujo y geometría descriptiva II 2014 ` CONTENIDO 1. Conceptos básicos Cuerpos geométricos Intersección 2. Intersección entre planos y sólidos. 3. Intersección de plano con prisma 4. Intersección de plano con cilindro. 5. Intersección de sólido

Más detalles

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por

Más detalles

Punto. Recta. Semirrecta. Segmento. Rectas Secantes. Rectas Paralelas. Rectas Perpendiculares

Punto. Recta. Semirrecta. Segmento. Rectas Secantes. Rectas Paralelas. Rectas Perpendiculares Punto El punto es un objeto geométrico que no tiene dimensión y que sirve para indicar una posición. A Recta Es una sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión. Semirrecta Es una línea

Más detalles

CAPÍTULO II. 2 El espacio vectorial R n

CAPÍTULO II. 2 El espacio vectorial R n CAPÍTULO II 2 El espacio vectorial R n A una n upla (x 1, x 2,..., x n ) de números reales se le denomina vector de n coordenadas o, simplemente, vector. Por ejemplo, el par ( 3, 2) es un vector de R 2,

Más detalles

Movimientos y semejanzas

Movimientos y semejanzas 865 _ 057-068.qxd 7/4/07 :4 Página 57 Movimientos y semejanzas INTRODUIÓN Esta unidad tiene un componente gráfico muy importante, por lo que conviene comenzar la unidad aportando ejemplos reales, sobre

Más detalles

SISTEMA DIÉDRICO POLIEDROS REGULARES DIBUJO TÉCNICO 2º BACH.

SISTEMA DIÉDRICO POLIEDROS REGULARES DIBUJO TÉCNICO 2º BACH. SISTEMA DIÉDRICO POLIEDROS REGULARES DIBUJO TÉCNICO. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 0 SISTEMA DIÉDRICO: REPRESENTACIÓN DE POLIEDROS REGULARES DEFINICIÓN DE POLIEDRO: Sólido geométrico limitado por caras planas.

Más detalles

TEMA 4 FRACCIONES MATEMÁTICAS 1º ESO

TEMA 4 FRACCIONES MATEMÁTICAS 1º ESO TEMA 4 FRACCIONES Criterios De Evaluación de la Unidad 1 Utilizar de forma adecuada las fracciones para recibir y producir información en actividades relacionadas con la vida cotidiana. 2 Leer, escribir,

Más detalles

UNIDAD 10. PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA. TEOREMA DE TALES.

UNIDAD 10. PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA. TEOREMA DE TALES. UNIDAD 10. PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA. TEOREMA DE TALES. Unidad 10: Proporcionalidad geométrica. Teorema de Tales. Al final deberás haber aprendido... El examen tratará sobre... Reconocer figuras semejantes.

Más detalles

Ejemplos de actividades

Ejemplos de actividades Matemática Unidad 9 Ejemplos de actividades O Identificar y dibujar puntos en el primer cuadrante del plano cartesiano, dadas sus coordenadas en números naturales. ctividades,,,,,, 7 y 8 REPRESENTR Usar

Más detalles

CAPÍTULO II. 4 El grupo afín

CAPÍTULO II. 4 El grupo afín CAPÍTULO II 4 El grupo afín En geometría clásica, antes de la aparición de los espacios vectoriales, se hablaba de puntos en lugar de vectores. Para nosotros serán términos sinónimos salvo que, cuando

Más detalles

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR}

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR} Subespacios Capítulo 1 Definición 1.1 Subespacio Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V K. Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar

Más detalles

Movimientos en el plano-vectores Dirección: http://descartes.cnice.mec.es/aplicaciones/movimientos_plano_vectores/movimientos_vectores.

Movimientos en el plano-vectores Dirección: http://descartes.cnice.mec.es/aplicaciones/movimientos_plano_vectores/movimientos_vectores. Movimientos en el plano-vectores Dirección: http://descartes.cnice.mec.es/aplicaciones/movimientos_plano_vectores/movimientos_vectores.htm Alumno/a: Curso: Grupo 1.- Dibuja un vector en tu cuaderno y pon

Más detalles

Tema 1: Cuerpos geométricos. Aplicaciones

Tema 1: Cuerpos geométricos. Aplicaciones Tema 1: Cuerpos geométricos. Aplicaciones 1.- los polígonos. Un polígono es un trozo de plano limitado por una línea poligonal (sin curvas) cerrada. Es un polígono No son polígonos Hay dos clases de polígonos:

Más detalles

Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP Proyecto: Análisis, Reflexión y Producción. Fracciones

Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP Proyecto: Análisis, Reflexión y Producción. Fracciones Fracciones. Las fracciones y los números Racionales Las fracciones se utilizan cotidianamente en contextos relacionados con la medida, el reparto o como forma de relacionar dos cantidades. Tenemos entonces

Más detalles

PRISMAS Y PIRÁMIDES. Qué es un poliedro? Un poliedro es un cuerpo geométrico que tiene alto, ancho y largo.

PRISMAS Y PIRÁMIDES. Qué es un poliedro? Un poliedro es un cuerpo geométrico que tiene alto, ancho y largo. PRISMAS Y PIRÁMIDES. 06 1 Comprende la relación que existe entre el volumen de un prisma con respecto al volumen de una pirámide que tienen la misma base y altura. En Presentación de Contenidos para explicar

Más detalles

1.1 Construcción de un reloj de sol de cuadrante ecuatorial

1.1 Construcción de un reloj de sol de cuadrante ecuatorial Tarea 2. Plan de mejora de las competencias lectoras en la ESO. TEXTO. 1.1 Construcción de un reloj de sol de cuadrante ecuatorial Los relojes de sol de "cuadrante solar" están formados por un estilete,

Más detalles

El rincón de los problemas. Nuevos horizontes matemáticos mediante variaciones de un problema

El rincón de los problemas. Nuevos horizontes matemáticos mediante variaciones de un problema www.fisem.org/web/union El rincón de los problemas ISSN: 1815-0640 Número 35. Septiembre de 2013 páginas 135-143 Pontificia Universidad Católica del Perú umalasp@pucp.edu.pe Nuevos horizontes matemáticos

Más detalles

Aplicaciones de vectores

Aplicaciones de vectores Aplicaciones de vectores Coordenadas del punto medio de un segmento Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos. Ejemplo: Hallar las coordenadas del

Más detalles

GEOMETRÍA. 307. Cuántas cajitas de 5 cm de largo, 1 cm de fondo y 3 cm de alto, caben en una caja de 28 cm de lago por 18 cm de fondo y 50 cm de alto?

GEOMETRÍA. 307. Cuántas cajitas de 5 cm de largo, 1 cm de fondo y 3 cm de alto, caben en una caja de 28 cm de lago por 18 cm de fondo y 50 cm de alto? GEOMETRÍA 307. Cuántas cajitas de 5 cm de largo, 1 cm de fondo y 3 cm de alto, caben en una caja de 28 cm de lago por 18 cm de fondo y 50 cm de alto? A) 740 B) 840 C) 540 D) 640 308. El largo de un rectángulo

Más detalles