Bloc I. Nombres i mesures. Tema 5: El sistema sexagesimal. Mesures d angles i de temps TEORIA

Transcripción

1 TEORIA 1. INTRODUCCIÓ * De la mateixa forma que nosaltres comptem de 10 en 10 (sistema decimal), altres cultures al llarg de la història han comptat de 60 en 60 (sistema sexagesimal). * L adopció de 10 com a base del sistema de numeració decimal es fonamenta en la forma primitiva de comptar utilitzant els deu dits de la mà * L adopció del 60 es basa, probablement, en una forma més sofisticada de comptar, utilitzant les 12 falanges dels dits índex, cor, anul lar i menut d una mà recorreguts amb el polze com guia. El compte del nombre de recorreguts es portava amb els dits de l altra mà. 2. MESURA DEL TEMPS I DE L AMPLITUD ANGULAR * En l actualitat, el sistema sexagesimal s utilitza en la mesura del temps i en la de l amplitud angular. En estes magnituds, cada unitat es dividix en 60 unitats de l ordre inferior. Observa que les notacions dels minuts i els segons diferixen d una magnitud a una altra. És 1 h = 60min i 1 min = 60 s, per tant 1 h = (60! 60) s = 3600 s Es 1 º = 60 ' i 1 ' = 60 ' ', per tant 1 º = (60! 60)'' = 3600' ' Passem d una unitat superior a una altra inferior multiplicant per 60. Per exemple: 2 h = 120 min ; 1,25h = 75min ; 13,2º = 792'. Passem d una unitat inferior a una altra superior dividint entre Per exemple: 1 min = h ; 12 min = 0,2h ; 15 min = 0,25h ; 30 '' = 0,5 ' = º * Per a la magnitud angular, a més dels graus sexagesimals que es denoten amb el símbol º, s utilitzen altres unitats de mesura: els graus centesimals que es denoten amb g es denoten amb rad sent 360 º = 2" rad! 6, 28 rad. S estudiaran en cursos superiors. 1 g sent 360 º = 400 i els radians que

2 TEORIA 3. EXPRESSIONS COMPLEXES I INCOMPLEXES. PAS DE COMPLEX A INCOMPLEX I VICEVERSA * Recorda que la mesura de les quantitats relatives a una magnitud es poden expressar utilitzant simultàniament diverses unitats (forma complexa) o una unitat única (forma incomplexa). Per exemple, 1 h 30 min = 1,5 h. A l esquerra de la igualtat, el temps està expressat de forma complexa i a la dreta de forma incomplexa. * En els següents 4 exemples aprendràs els procediments per a passar d una forma a una altra: * En els següents 2 exemples aprendràs a passar de graus (o hores) a graus (o hores) minuts i segons o viceversa amb ajuda de la calculadora CASIO fx-82ms. El primer que has de fer és seleccionar el mode sexagesimal (no el de radians o centesimal) per a mesurar els angles. Per a això polsa diverses vegades la tecla "MODE" que està en la part superior fins a poder seleccionar l opció "DEG". Ha d aparéixer en la part superior de la pantalla una "D" xicoteta. Exemple 1: Passar 8 º30' 02' ' a graus sexagesimals. ) Solució: 8,5005º Exemple 2: Passar a graus sexagesimals, minuts i segons Solució: 25 º33'43,2' ' Observa que els exercicis 2 i 4 de l apartat anterior es fan molt fàcil amb la calculadora però no l 1 i 3 ERV 1 al 4 2

3 TEORIA 4. OPERACIONS AMB MESURES D ANGLES O DE TEMPS * Suma de mesures d angles o temps:: 1) Es col loquen els graus (o hores) davall dels graus (o hores), els minuts davall dels minuts i els segons davall dels segons. 2) Es comença sumant els segons. Per cada 60" es pren 1' més. 3) Se sumen amb els minuts. Per cada 60' es pren 1' més. Exemple: Suma els angles 25 º 43' 32' ' i 37 º 32' 56' ' * Restar angles o temps: 1) Es col loquen els graus (o hores) davall dels graus (o hores), els minuts davall dels minuts i els segons davall dels segons. 2) Es comença restant els segons. Si el minuend és menor que el subtrahend, es passa un minut a segons per a poder fer la resta. 3) Es fa el mateix amb els minuts. Exemple: Troba la diferència entre l angle 85 º 17' 37' ' i 36 º 31' 52' ' * Multiplicar un angle per un nombre: 1) Es multiplica el nombre pels segons, minuts i graus (o hores) successivament. 2) Si els segons passen de 60", es dividixen entre 60. La resta són segons, i el quocient són minuts, que se sumen als minuts. 3) Si els minuts passen de 60', es dividixen entre 60. La resta són minuts, i el quocient són graus (o hores), que se sumen als graus (o hores). 3

4 TEORIA Exemple: Troba l angle triple de 24 º 35' 46' ' * Dividir un angle entre un nombre: 1) Es dividixen els graus (o hores) entre el nombre. 2) La resta dels graus (o hores) es passa a minuts multiplicant per 60, i estos se sumen als minuts del dividend. 3) Es dividixen els minuts entre el nombre. 4) La resta dels minuts es passa a segons multiplicant per 60, i estos se sumen als segons del dividend. 5) Es dividixen els segons entre el nombre. Exemple: Troba la quarta part de l angle 75 º 34' 25' ' * Operar amb angles o temps expressats en forma complexa és molt fàcil amb ajuda d una calculadora ERV del 5 al 36 4

5 EXERCICIS Passar de l expressió complexa a incomplexa i viceversa 1. a) Convertix l angle 73 25' 32" a forma incomplexa. b) Convertix el temps 37,5243 h a forma complexa. 2. a) Passa mentalment els següents angles a forma incomplexa: a1) 85 30' a2) ' b) Passa mentalment els següents angles a forma complexa: b1) 42,5 b2) 92,25 c) Passa mentalment les següents unitats de temps a forma incomplexa: c1) 5 h 15 min c2) 4 h 30 min d) Passa mentalment les següents unitats de temps a forma complexa: d1) 3,25 h d2) 32,75 h 3. a) Utilitzant la calculadora, passa els següents angles a forma incomplexa: a1) 45 33' 22" a2) ' 29" b) Utilitzant la calculadora, passa els següents angles a forma complexa: b1) 34,789 b2) 122,045 c) Utilitzant la calculadora, passa les següents unitats de temps a forma incomplexa: c1) 6 h 15 min 23 s c2) 115 h 45 min 23 s d) Utilitzant la calculadora, passa les següents unitats de temps a forma complexa: d1) 8,567 h d2) 58,28 h 4. De mode prou aproximat, la duració d un any és de 365, dies. Passa esta unitat de temps a forma complexa. Nota: utilitza la calculadora. Operacions amb angles o temps expressats en forma complexa 5. Realitza les operacions següents: a) 93 h 47 min + 18 h 49 min 23 s b) 25 h 12 min 5 s 14 h 12 s c) (87 h 14 min 32 s) 13 d) (125 h 35 min 43 s): 19 e) Comprova els resultats amb la calculadora 6. Realitza mentalment les operacions següents: a) 5 h 30 min + 2 h 15 min b) 8 h 30 min 4 h 45 min c) (3 h 10 min) 5 d) (13 h): 5 7. (1r ESO) a) Definix alguns elements del pla: recta, semirecta, angle, mesures d angles: graus sexagesimals, graus decimals i radians. Classes d angles: agut, recte, obtús, pla, complet, convex, còncau, angle complementari a un altre, angle suplementari a un altre. b) Suma els següents angles! = 35º 41' 35' ' i! = 40º 25' 58' ' c) Efectua " #!, sent! = 93º 21' 14' ' i! = 42º15' 32' ' d) Multiplica un angle per un número: ( ) 4! 15º 55' 44'' e) Dividix un angle per un número: ( 17 º 55' 40'' ): 4 f) Troba l angle complementari de! = 34º 12' 47' ' g) Troba l angle suplementari de! = 73º 47' 21' ' h) Dos rectes assecants formen un angle de 70º. quant mesuren cada un dels altres tres angles que 5

6 formen? i) Repetix els apartats anteriors utilitzant la calculadora. Problemes d operacions d angles o temps 8. (1r ESO) Angles en figures planes. Triangles: a) Quant mesuren els angles d un triangle equilàter? b) En un triangle isòsceles l angle desigual mesura 19º 50', quant mesuren els angles iguals? c) En un triangle escalé, dos dels seus angles mesuren 23º 0' 12'' i 45º 2' 14'', quant mesura el tercer angle?. d) Si un triangle és rectangle i isòsceles, quant mesura cada un dels angles aguts? e) En un triangle rectangle un dels angles aguts mesura 20º, quant mesura l altre?. f) Un angle d un triangle escalé mesura 102º 21' 44'', un altre angle la mitat, quant mesura el tercer angle? 9. (1r ESO) Angles en figures planes a) Dibuixa un rectangle i les seues diagonals. Si un dels angles de les diagonals és 70º, quant mesuren els altres angles?. b) Què és un romboide? Si l angle obtús d un romboide mesura 150º, quant mesura l angle agut? c) Quant mesura l angle central d un pentàgon regular? I els angles interiors del pentàgon regular? d) Quant mesura l angle central d un hexàgon regular? I els angles interiors de l hexàgon regular? e) Deduïx una fórmula per a trobar l angle central d un polígon regular de n costats i una fórmula per a trobar els angles interiors d eixe polígon. 10. En l IES L Assumpció he tingut 6 classes de 55 minuts, i a casa he estat estudiant 2 h 30 min. Quant temps del dia em queda per a altres coses? 11. a) En una carrera de Fórmula 1, Fernando Alonso empra, generalment, 1 min 35s per a fer una volta al circuit. Si la carrera es compon de 50 voltes, en quant temps completarà la carrera? b) En una carrera de Fórmula 1, un cotxe tarda 1 h 27 min i 30 s per a donar 50 voltes al circuit. Quant temps invertix de mitja en cada volta? 12. Un angle mesura 43 28' 45". a) Troba quant mesura el complementari. Nota: dos angles són complementaris si sumen 90º. b) Troba quant mesura el seu suplementari. Nota: dos angles són suplementaris si sumen 180º. 13. Si Pedro ha parlat pel telèfon mòbil amb els seus amics un total de 18 min 32 sg i li costa 0,18 /min, quant ha de pagar? 14. Un autobús tarda 1 h 20 min 32 s per a fer un trajecte d anada. En el camí de volta tarda 1 h 35 min 15 s a) Quant temps hi ha invertit entre l anada i la volta? b) Quant temps tarda més en la volta que en l anada? 15. Si l angle mesura ' 37", calcula quant mesura cada un dels altres angles. 16. Benjamí es llita a les onze i trenta-dos de la nit, i s alça l endemà a les set i quaranta-dos. Quant temps ha estat en el llit? 17. Es dividix un angle recte en 7 parts iguals. Quant mesura cada una d elles? 18. Si un mòbil recorre 100 m en 9 s, quants quilòmetres recorrerà en 1 hora? 6

7 19. L angle desigual d un triangle isòsceles mesura 56 23' 42". Troba quant mesura cada un dels altres angles. 20. En el següent triangle, l angle A mesura 37 22' 45'' i l angle B mesura 83 53' 48". Quant mesura l angle C? 21. Ana treballa 12 h 15 min un dia, i 7 h 13 min un altre dia. Si li paguen l hora a 7, quants diners haurà guanyat? 22. Un dels angles diedres que formen els següents plans mesura ' 43". Quant mesura l altre? 23. Un autobús tarda 44 min 45 per a fer un trajecte. Si ha fet 15 parades i en cada parada tarda un minut, quant temps tarda de hi ha entre parada i parada? 24. Un angle d un rombe mesura 52 23' 43". Quant mesura cada un dels altres angles? 25. Per a maquetar amb l ordinador la revista de l IES L Assumpció, 5 alumnes han tardat 20 h 30 min treballant conjuntament. Si se ls pagara a 17 l hora, quant costaria la maquetació de la revista? 26. Juan ha pagat 15,25 per 5 telefonades de telèfon mòbil, i li cobren a 0,18 /min. Quant temps ha estat parlant? Expressa el resultat en unitats complexes. 27. En un trapezi isòsceles un angle mesura 50 32' 47". Quant mesura cada un dels altres angles? 28. Troba quant mesura cada un dels angles pintats de roig del següent heptàgon regular: 29. De Madrid a Sevilla hi ha 540 km, i l AVE va a 220 km/h. Quant temps tarda a recórrer la distància que hi ha entre les dos ciutats? Expressa el resultat en unitats complexes. 30. La cadena de muntatge d una fàbrica d electrodomèstics està programada per a llançar un llavaplats cada 5 minuts i 13 segons. Quant tardarà a cobrir una comanda de 50 llavaplats? 31. Si dividixes una hora en 25 intervals iguals, quant dura cada interval? 32. Una cadena de ràdio inicia a les 18 h 45 min 13 s l emissió d un programa de música, pregravat, que té una duració d 1 h 16 min 52 s. A quina hora acabarà el programa? 7

8 33. Un camió de mudances ha realitzat un viatge de 169,29 km en 2 h 42 min. Quin ha sigut la seua velocitat mitjana? 34. Un autobús interurbà fa una volta al seu recorregut cada hora i dotze minuts. Quantes voltes donarà en les 12 hores que dura el seu servici? 35. Quin angle recorre la maneta horària d un rellotge analògic durant una hora? 36. Calcula l angle que formen les agulles del rellotge a les: a) 2 h 24 min b) 7 h 42 min 8

9 1. Veure vídeo. a) 72,425º o 4345,53' o '' b) 37h 31 min 27 sg 2. Veure vídeo a1) 85,5º; a2) 167,75º; b1) 42º30' ; b2) 92º15' ; c1) 5,25h ; c2) 4,5h ; d1) 3h 15min ; d2) 32h 45min 3. Veure vídeo. a1) 45,5561º; a2) 127,2581º; b1) 34º47'20,4''' ; b2) 122º2'42'' ; c1) 6,25638h ; c2) 115,75639h ; d1) 8h 34min 1,2sg; d2) 58h 16 min 48 sg 4. Veure vídeo. 365días 6h 9min 10sg 5. Veure vídeo. a)112h 36min 23sg ; b) 11h 11min 53sg ; c) 47días 6h 8min 56sg ; d) 6h 36 min 37 sg 6. Veure vídeo. a) 7h 45min ; b) 3h 45min ; c) 15h 50min 7. Veure vídeo. b) 76º 7' 33'' ; c) 51º 5' 42'' ; 63º 42' 56'' ; e) 4º 28' 55'' ; f) 55º 47' 13'' ; g) 106º 12' 39'' 8. Veure vídeo. a) 60º ; 80º 5' ; c) 111º57'34'' ; d) 45º ; e) 70º ; f) 26º27'24'' 9. Veure vídeo. b) 30º ; c) 108º ; d) 60º ; 120º ; e)! = 360º / n ; # = ( n " 2)! 180º / n 10. Veure vídeo. 16h 11. Veure vídeo. 1h 19min 10sg 12. Veure vídeo. a) 46º 31' 15'' ; b) 136º 31' 15'' 13. Veure vídeo. 3, Veure vídeo. a) 2h 55min 47 sg ; b) 14 min 43sg SOLUCIONS: 15. Veure vídeo. 1ˆ = 3ˆ = 5ˆ = 7ˆ = 119º 12' 37'' 2ˆ = 4ˆ = 6ˆ = 8ˆ = 60º 47' 23'' 16. Veure vídeo. 8h 10min 17. Veure vídeo. 12º 51' 25,71'' 18. Veure vídeo. 40 km 19. Veure vídeo. 61º 48' 9'' 20. Veure vídeo. 58º 43' 27'' 21. Veure vídeo. 136, Veure vídeo. 52º 29' 17'' 23. Veure vídeo. 1 min 51,6sg o 1min 59sg 24. Veure vídeo. 127º 36' 17'' 25. Veure vídeo. 1742,5 26. Veure vídeo. 84 min 43,3 sg 27. Veure vídeo. 129º 27' 13'' 28. Veure vídeo. 51º 25' 42'' y 64º 17' 9'' 29. Veure vídeo. 2h 27min 16,2sg 30. Veure vídeo. 4h 20min 50sg 31. Veure vídeo. 2min 24 sg 32. Veure vídeo. 20h 2min 5sg 33. Veure vídeo. 62,7 km/h 34. Veure vídeo. 10 vueltas. 35. Veure vídeo. 30º 36. Veure vídeo. a) 72º ; 21º 9